Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

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La dynamique symbolique étudie les sous-décalages, qui sont des codages symboliques de systèmes dynamiques discrets. Étant donnés un groupe de type fini G et un alphabet fini A, les sous-décalages sont des sous-ensembles fermés de A^G qui sont également stables par l’action de G sur A^G par translation. Ces objets peuvent également être définis de manière combinatoire, comme sous-ensembles de A^G qui évitent des motifs finis. Dans cet exposé on s’intéressera particulièrement aux sous-décalages de type fini (que l’on peut définir en excluant un nombre fini de motifs) et je présenterai deux problèmes les concernant : le problème du domino (peut-on décider algorithmiquement si un sous-décalage de type fini est vide ou non ?) et la question de l’existence de sous-décalages de type fini apériodiques. J’expliquerai sur des exemples en quoi le choix du groupe est déterminant dans la résolution de ces problèmes.

Les valuations ont été très étudiées depuis des décennies, et c'est devenu un objet très important dans diverses thèmes de mathématiques. À l'inverse, les préordres sont assez récents, et utilisés principalement en dynamique. Dans cet exposé, j'expliquerai que ces deux objets sont en fait très proches, et qu'il existe un dictionnaire pour aller de l'un à l'autre. Ceci nous permet de voyager du monde des valuations à celui des préordres, ou inversement, en prenant le meilleur de chacun d'eux. Comme exemple, les valuations nous ont permis de résoudre un problème de théorie des groupes ordonnables ouvert depuis plus de 15 ans : la compacité de l'ensemble des préordres d'un groupe. Travail en collaboration avec G.Rond.

Dans cet exposé, je vais expliquer comment l'utilisation de techniques d'analyse fonctionnelle peut permettre d'analyser la croissance asymptotique des degrés des itérés d'une application rationnelle de l'espace projectif de dimension d. Les éléments présentés seront issus d'un travail en commun avec Charles Favre.

Les systèmes dynamiques différentiables préservent souvent des structures géométriques in- duites par des distributions invariantes d’origine dynamique, et il est naturel de se demander si des hypothèses de régularité sur ces distributions contraignent le système dynamique d’origine. Dans le cas des flots Anosov de contact, des résultats de rigidité allant dans ce sens existent en dimension trois depuis les travaux de Ghys [Ghy87], puis en dimension supérieure grâce à ceux de Benoist-Foulon-Labourie [BFL92]. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la situation analogue pour des systèmes dynamiques à temps discrets, en considérant les difféomorphismes partiellement hyperboliques en dimension trois dont les trois distributions invariantes sont lisses et dont la somme des distributions stable et instable est de contact. Nous verrons que ces dif- féomorphismes préservent une structure géométrique rigide appelée structure Lagrangienne de contact, qui peut être décrite comme une géométrie de Cartan modelée sur l’espace des dra- peaux en dimension trois. L’analyse de cette structure nous permet d’obtenir une classification des difféomorphismes étudiés, sous réserve que tous les points soient non-errants (voir [MM20]). \\ Références [BFL92] Yves Benoist, Patrick Foulon, and François Labourie. Flots d’Anosov à distributions stable et instable différentiables. Journal of the American Mathematical Society, 5(1) :33–74, 1992. [Ghy87] Étienne Ghys. Flots d’Anosov dont les feuilletages stables sont différentiables. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Quatrième Série, 20(2) :251–270, 1987. [MM20] Martin Mion-Mouton. Partially hyperbolic diffeomorphisms and Lagrangian contact structures, 2020. Preprint arXiv : 2002.10720.

Soit X une variete compacte kalerienne et f un endomorphisme holomorphe de X vers X. Une question fondamentale en dynamique complexe est de determiner un asymptotique pour le nomber P_n de points periodiques isoles de period n de f. On introduit la notion de points periodiques exotiques de f et notons par P'_n le nombre des points periodiques exotiques de period n. J'expliquerai comment obtenir un asymptotique pour la somme (P_n+ P'_n).

En 1969, René Thom énonçait le critère d'algébricité suivant : "une surface réelle S de P^2(C) telle que le nombre d'intersection entre S et une droite complexe générique soit constant est soit un plan affine réel soit une courbe complexe". On peut en fait voir ce critère comme un résultat portant sur l'ensemble V(S) des droites complexes qui intersectent S non transversalement. Il se trouve que cette construction S -> V(S) est un cas particulier d'une construction beaucoup plus générale permettant de définir un dual V(E) pour n'importe quelle sous-variété réelle E, de sorte que le bidual V(V(E)) soit canoniquement isomorphe à E. Dans cet exposé j'expliquerai cette construction ainsi que son lien avec le critère d'algébricité ci-dessus. »

Les variétés kählériennes compactes Ricci plates sont construites à partir de 3 type bien précis : les tores complexes, les variétés de Calabi-Yau et les variétés hyperkählériennes. Du point de vue de la géométrie birationnelle, il est cependant important de pouvoir étendre ce type de résultats à des espaces kählériens compacts avec des singularités modérées. J'expliquerai les techniques développées dans un travail en commun avec Patrick Graf, Henri Guenancia et Philipp Naumann, en vue d'établir une version singulière de la décomposition évoquée ci-dessus.

Dans cet exposé, je montrerai comment en utilisant la théorie des systèmes différentiels extérieurs de E.Cartan, on peut retrouver le complexe associé à l'opérateur de Cauchy-Fueter. Contrairement aux complexes de De Rham ou Dolbeault, la résolution minimale de cet opérateur d'ordre 1 à coefficients constants, contient des opérateurs d'ordre 2. J'expliquerai également que la condition d'involution pour un opérateur sur-déterminé au sens de E.Cartan, est une condition suffisante pour que sa résolution minimale ne contienne que des opérateurs d'ordre 1. C'est en particulier le cas pour les opérateurs "d" et "d-bar" mais pas pour l'opérateur de Cauchy-Fueter. Enfin, je discuterai autour d'une preuve de "l'involution des tableaux associés à un opérateur" au sens de Cartan. Il s'agit de travaux en commun avec P.Bonneau.

Etant donnée une distribution totalement non holonomique de rang deux $\Delta$ sur une variété de dimension trois $M$, il est naturel d'étudier la taille de l'ensemble des points $\mathcal{X}^x$ qui peuvent être atteints par des chemins horizontaux singuliers partant d'un même point $x$ dans $M$. Dans ce contexte, la conjecture de Sard déclare que $\mathcal{X}^x$ devrait être un sous-ensemble de la surface dite de Martinet de mesure de Hausdorff 2-dimensionnelle nulle. Je présenterai une reformulation de la conjecture en termes de comportement d'un feuilletage singulier. En explorant ce cadre géométrique, dans un travail récent en collaboration avec A. Figalli, L. Rifford et A. Parusinski, nous montrons que la version forte de la conjecture est valable pour les variétés analytiques de dimension trois, à savoir l'ensemble $\mathcal{X}^x$ est une union dénombrable de courbes semi-analytiques. Ensuite, en étudiant la régularité des solutions de l'ensemble $\mathcal{X}^x$, nous montrons que les géodésiques sous-riemanniennes sont toutes $C^1$. Nos méthodes reposent sur la résolution des singularités des surfaces, des champs vectoriels et des métriques; sur l'analyse de régularité des cartes de transition de Poincaré; et sur un argument symplectique, concernant une métrique transversale d'un feuilletage singulier isotrope.

La géométrie Lipschitz est une branche de la théorie des singularités qui étudie les données métriques d'un germe d'espace analytique complexe et l'invariance de celles-ci à homéomorphisme bi-Lipschitz près. Après en avoir introduit les bases, je vais parler d'une nouvelle approche de l'étude de ces invariants, et en particulier des taux de croissance Lipschitz internes, basée sur la combinatoire d'un espace de valuations (l'entrelacs non archimédien - à la Berkovich - de la singularité). Je vais décrire précisément la structure métrique interne d'un germe de surface singulière complexe en expliquant comment ses taux de croissance déterminent et sont déterminés par des données géométriques globales : la topologie du germe, ses sections hyperplanes et ses courbes polaires génériques. S'il me reste du temps, je parlerai aussi du problème dit de l'exploration polaire des surfaces complexes et j'en donnerai la solution pour les surfaces Lipschitz normalement plongées. Ceux-ci sont des travaux en commun avec André Belotto et Anne Pichon.

Nous nous intéressons aux deux problèmes suivants : (1) Le problème de prolongement de Whitney consistant à déterminer si une fonction g:X->R définie sur un fermé X\subset R^n admet un prolongement de classe C^m sur R^n. (2) Le problème de Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár portant sur l'existence d'une solution G pour un système A(x)G(x)=F(x) où A est une matrice de fonctions définies sur R^n. Dans un travail en collaboration avec E. Bierstone et P.D. Milman nous démontrons que si les données de ces problèmes sont semi-algébriques (ou plus généralement définissables dans une structure o-minimale vérifiant certaines propriétés) alors il en est de même pour leurs solutions. Néanmoins nos résultats impliquent une perte de régularité. Formellement, pour (1), nous montrons que pour X semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si g:X->R semi-algébrique admet un prolongement de classe C^(r(m)) alors g admet un prolongement semi-algébrique de classe C^m. Concernant (2), nous montrons qu'étant donnée A semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si F est semi-algébrique et si A(x)G(x)=F(x) admet une solution G de classe C^(r(m)), alors il existe une solution semi-algébrique de classe C^m.

La notion de stabilité des fibrés (au sens de Mumford et Takemoto) est centrale dans les problèmes de classification de des derniers. Étant donnée une variété projective X, et un morphisme p : Y - > X, il est naturel de se demander si les notions de stabilité sur X sont préservées par pullback sur Y. Dans le cas où p est un plongement, Mehta et Ramanathan ont donné une condition suffisante naturelle pour que la stabilité soit préservée par restriction à Y. Dans cet exposé, on étudiera le cas où p est une submersion entre variétés de Kahler. On montrera que stabilité et instabilité sont préservées par pullback pour des polarisations dites "adiabatiques". On étudiera également le cas plus subtil de la semistabilité. Les arguments reposent sur la correspondance de Kobyashi-Hitchin et une construction perturbative de métriques d'Hermite-Einstein, et sont issus d'un travail de collaboration avec Lars Martin Sektnan.

La fibre de Milnor est un invariant topologique associé à une application régulière complexe. La fibre de Milnor motivique en est un avatar algébrique, vivant dans un groupe de Grothendieck. La construction de la fibre motivique provient d'un processus limite à partir d'une fonction génératrice, la fonction zeta motivique introduite par Denef-Loeser. On propose un lien géométrique entre ces deux objets en combinant déformation sur le cône normal et éclatement réel orienté.