Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

In this talk, we talk about a collection of homological conditions for Gutierrez–Sotomayor flows on singular surfaces.

In 2020, Parusinski and Rond proved that every algebraic set V of R^n is homeomorphic to a Qr-algebraic set V' of R^n, where Qr denotes the field of real algebraic numbers. The aim of this talk is to introduce a new approach to real algebraic geometry with equations over Q in order to provide some classes of algebraic sets that positively answer the following open problem: Q-algebraicity problem: (Parusinki, 2021) Is every algebraic set V of R^n homeomorphic to some Q-algebraic set V' of R^m, with m >= n ?

On commencera par introduire les notions d'indices et de mesures de Lipschitz-Killing dans le cas des ensembles semi-algébriques, en motivant les définitions par l'étude du cas lisse. On présentera ensuite des formules de type Poincaré-Hopf et Gauss-Bonnet pour les semi-algébriques en expliquant les différences entre les cas compacts et fermés, ainsi qu'une version en famille de ces formules. Enfin, on détaillera le cas particulier des fonctions linéaires génériques, qui permet d'obtenir une formule cinématique globale pour les fermés semi-algébriques.

In singularity theory it is of interest to know whether real or complex analytic germs are approximable by germs that are algebraic (i.e., defined by algebraic power series) and which retain algebro-geometric properties of the original germs. In this talk I will present various algebraic approximability results for analytic germs. A feature common to all these results is that the Hilbert-Samuel function is preserved by the approximation. The Hilbert-Samuel function was used by Hironaka as a measure of singularity and plays a central role in algorithmic realizations of Hironaka's seminal result on the resolution of singularities, such as the well known procedure developed by Bierstone and Milman. All of the results in this talk can be proved by first deriving algebraic systems of equations which encode the algebro-geometric properties to be preserved under the approximation and then applying a version of Artin's approximation theorem. Time permitting, I will sketch a proof of one of the results to demonstrate this technique. Also I will present some future directions of research and the challenges associated with them. Some of the results presented in this talk are joint work with Janusz Adamus at the University of Western Ontario in Canada.

Given a Hamiltonian action of a Lie group G on a symplectic manifold, the Quantization commutes with Reduction principle ([Q,R]=0) of Guillemin-Sternberg states that the space of G-invariants of the quantization of this manifold coincides with the quantization of its symplectic reduction by G. This principle provides in particular a geometric approach to the study of the representation theory of G. In this talk, I will consider the case where G is a circle and where the symplectic reduction is a compact singular symplectic space, then present an approach to establish this principle based on the Berline-Vergne formula and the asymptotics of the Witten integral. This talk is based on a joint work in collaboration with Benjamin Delarue and Pablo Ramacher.

Comment contrôler les volumes des variétés complexes compactes lorsque l'on fait varier la métrique hermitienne ? Cette question est centrale dans de nombreux problèmes de géométrie hermitienne. J'expliquerai certaines motivations et des résultats partiels obtenus en collaboration avec D.Angella et H.C.Lu

Les valeurs atypiques d'un polynôme, ou plus généralement d'une fonction définissable, sont les valeurs au-dessus desquelles le polynôme n'est pas localement trivial. On rappelle plusieurs critères qui caractérisent ces valeurs atypiques, et on donne des relations avec les intégrales de courbures de Gauss et Lipschitz-Killing sur les fibres du polynôme. C'est un travail avec Vincent Grandjean (Universidade Federal de Santa Catarina, Brésil).

The index of a vector field with isolated zeroes enters in the celebrated Poincaré-Hopf theorem which expresses the Euler characteristic of a compact manifold, and which has been extended in various directions. After briefly discussing several of the recent occurrences of the index in the complex geometry, we address the computation of the global index in case of 2-variable real polynomials.

In this talk, we are going to prove the existence of a stable limit cycle that bifurcates from a zero Hopf equilibrium point of a differential system in three dimensions. Also, we will give the explicit analytical expression of this limit cycle. Writing the equations that describe the orbit of the limit cycle is not easy or common.

Soit $f$ une application de $CP(2)$. Le courant de Green $T$ est un courant positif fermé invariant par $f. Son auto intersection $\mu=T^2$ définit une mesure $\mu$ invariante par $f$. On sait que $T$ est lisse si et seulement si $\mu$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, dans ce cas la dynamique est du type Lattès. En général $T$ n’est pas lisse et le support de $\mu$ est fractal. Dans cette exposé on supposera que $\mu$ vérifie une certaine relation d'absolue continuité par rapport à $T$. Je présenterai un théorème obtenu pendant ma thèse qui montre que, dans ce cadre singulier, $f$ préserve un feuilletage holomorphe au voisinage du support de $_mu$. Lorsque le feuilletage se prolonge à $CP(2)$ celui-ci devient un pinceau de droites invariant par $f$.

Dans cet exposé, je présente des résultats de mes articles récents avec Armin Rainer sur la perturbation des polynômes d'une ou plusieurs variables et avec Guillaume Rond sur la perturbation des opérateurs linéaires. Avec A. Rainer, nous avons montré, en particulier, que les racines des polynômes complexes d'une variable dépendant de façon lisse d'un paramètre réel t sont localement absolument continues par rapport à t, et nous avons donné une estimation optimale de leur régularité de Sobolev. Dans un article avec Guillaume Rond, nous avons montré que une famille analytique de matrices normales dépendant d'un multiparamètre peut être localement diagonalisées analytiquement si le discriminant de son polynôme caractéristique est à croisement normal. On a un résultat similaire pour la décomposition des valeurs singulières des familles de matrices arbitraires. La théorie de la perturbation des polynômes et des opérateurs linéaires est motivée par l'étude des équations pseudodifférentielles.

In this talk we investigate the critical points of the Dinew-Popovici energy functional in higher dimensions and under holomorphic deformations. We first prove that being a critical point for the Dinew-Popovici energy function is a closed property under holomorphic deformations. We then show that the existence of a Kähler metric in the Aeppli cohomology class is an open property under holomorphic deformations.

Les variétés de Vaisman sont des variétés non-kähleriennes ayant un lien étroit avec les variétés projectives. Quand leur première classe de Chern s'annule, elle peuvent manifester des comportements très différents, en fonction du signe d'une certaine classe secondaire. Après avoir fait une brève introduction à la géométrie de Vaisman, je vais décrire plus précisément ce comportement et les analogues des propriétés des variétés kähleriennes dans ce cadre. Cela concerne l'existence des métriques canoniques, le groupe d'automorphismes ou encore les petites déformations.

We study the comparison between the logarithmic and the meromorphic de Rham complexes along a divisor in a complex manifold. We focus on the case of free divisors, starting with the case of locally quasihomogeneous divisors, and we explain how D-module theory can be used for this comparison.

Je présente une notion de configuration test et de stabilité (pour la fonctionnelle de Ding) pour des variétés dont le fibré anticanonique est gros, c'est-à-dire quand les sections des puissances de -K_X ont une croissance maximale, mais peuvent avoir des points-base. Pour ce faire, j'utilise le formalisme des espaces de Zariski-Riemann. J'explique ensuite comment cette notion de stabilité est liée à l'existence de métriques Kähler--Einstein singulières. Ces résultats sont basés sur un travail en commun avec Ruadhaí Dervan.

Les structures projectives sur les surfaces de Riemann jouent un rôle important dans la théorie des équations différentielles sur les surfaces de Riemann, ainsi que dans le théorème d'uniformisation. La notion de structure projective branchée est beaucoup plus souple. En particulier, toute représentation d'un groupe de surface dans PSL(2, C) est la monodromie d'une structure projective branchée. L'une des propriétés centrales des structures projectives sur une surface différentielle donnée est la structure de leur espace de modules, qui est une variété complexe lisse. Nous montrerons comment l'espace des modules des structures projectives branchées hérite lui aussi d'une structure de variété complexe lisse.

In this talk I will explain a work in progress, joint with Baldur Sigurdsson, in which we explore an idea by A'Campo. An explicit collapsing map is constructed for each isolated hypersurface singularity using a natural connection depending on the ambient metric. The preimage of the singular point by the collapsing map yields, on each Milnor fiber of an isolated plane curve singularity, a piecewise smooth spine. The combinatorics and the properties of this spine are analyzed by means of a vector field which is defined on the boundary of the real oriented blow-up of a resolution of the singularity that also resolves the polar curves.

Dans le cas d'un Hamiltonien H à singularités de Morse, des résultats déjà anciens permettent d'établir le lien entre la géométrie des surfaces de niveau et la répartition précises des valeurs propres du quantifié de H, ce qui aboutit à un joli résultat inverse : retrouver la géométrie (symplectique) à partir du spectre semiclassique. Dans le cas de singularité dégénérées de type Ak (dans la classification d'Arnold), nous obtenons avec N. Martynchuk (Groningen) une classification plus subtile (au delà des intégrales d'action), mais nous conjecturons malgré tout que le problème inverse devrait être soluble.

Using tropical geometry one can translate problems in enumerative geometry to combinatorial problems. Thus tropical geometry is a powerful tool in enumerative geometry over the complex and real numbers. Results from $\mathbb{A}^1$-homotopy theory allow to enrich classical enumerative geometry questions and get answers over an arbitrary field. In the resulting area, $\mathbb{A}^1$-enumerative geometry, the answer to these questions lives in the Grothendieck-Witt ring of the base field $k$. In this paper, we use tropical methods in this enriched set up by showing Bézout's theorem and a generalization, namely the Bernstein-Kushnirenko theorem, for tropical hypersurfaces enriched in $\operatorname{GW}(k)$.

Dans un travail en collaboration avec Emiliano Ambrosi, nous étudions la topologie réelle des dégénérescences semi-stables totalement réelles, avec certaines conditions techniques sur la fibre spéciale X0, et nous donnons une borne pour les nombres de Betti réels individuels d'une fibre lisse proche de 0 en termes de la géométrie complexe de X0. L'ingrédient principal est l'utilisation de la géométrie logarithmique réelle, qui permet de travailler avec des dégénérescences qui ne sont pas nécessairement toriques et donc de dépasser le cas de dégénérescences tropicales lisses. En particulier, ce résultat généralise travaux antérieurs de Renaudineau-Shaw, obtenu par des techniques tropicales, à un cadre plus général.

Classically equivariant algebraic topology focuses on studying and defining algebraic invariants of topological spaces with group actions. Voevodsky's and Morel's work have provided new insights on how to use many techniques of algebraic topology in algebraic geometry. To give an example, recently Mark Behrens and Jay Shah gave a method for computing C_2 equivariant homotopy groups of the Betti realization of certain motivic spectra over R. In this talk, I will discuss how to construct an isovariant homotopy theory for spaces carrying an action of the C_2-group by means of Cisinski's techniques on model structures for presheaf categories. This theory has been constructed to study real Betti realization functors with values in the isovariant homotopy category.

En mécanique des milieux continus, les lois de comportements des matériaux sont modélisées à l'aide de tenseurs réels. L'espace des tenseurs d'une loi de comportement donnée est un espace vectoriel réel muni de l'action du groupe orthogonal d'ordre trois, induite par le changement d'orientation dans l'espace, et on s'intéresse alors aux orbites des tenseurs, ainsi qu'à leurs symétries sous cette action. Bien que les tenseurs mesurés expérimentalement ne présentent en général aucune symétrie, on s'attend à ce qu'une symétrie dans la microstructure d'un matériau donné induise une symétrie dans les tenseurs de comportements associés et on cherche donc à estimer quelle est la symétrie la plus proche d'un tenseur expérimental (on parle de "strate d'isotropie" la plus proche). Les objets mis en jeu étant algébriques réels, on a accès à des méthodes d'optimisation polynomiale réelle pour estimer la distance d'un tenseur expérimental à une strate d'isotropie donnée. Dans cet exposé, on présentera la méthode d'optimisation polynomiale de Lasserre, basée sur la géométrie algébrique réelle, et son application pour calculer des distances à des strates d'isotropies dans les cadres de l'élasticité et de la piézoélectricité. Travail en collaboration avec Perla Azzi, Rodrigue Desmorat et Boris Kolev.