Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

On s'intéresse à la stabilité des systèmes dynamiques holomorphes sous perturbation. En dimension 1, la théorie est maintenant classique et est basée sur les travaux de Lyubich, Mané-Sad-Sullivan, et DeMarco. Je passerai en revue cette théorie et présenterai une généralisation récente valable pour les familles d'endomorphismes en toute dimension. Puisque les techniques classiques de la dimension 1 ne s'appliquent plus aux dimensions supérieures, notre approche est basée sur des méthodes ergodiques et pluripotentielles.

Les fonctions rationnelles bornées sont une extension naturelle des fonctions régulues et sont liées à la normalisation. On cherche à créer une géométrie à l'aide de ces fonctions, malgré le fait qu'elle ne soient pas définies partout. À partir de cette géométrie on cherche à dériver des résultats algébriques. On présentera la géométrie, proche de la géométrie semi-algébrique, et ses différents raffinements nécessaire pour l'obtention de résultats algébriques forts. On verra notamment les hypothèses nécessaires pour avoir un Nullstellensatz, et d'autres résultats algébriques comme un théorème sur la dimension de Krull. On étudiera des idéaux non de type finis assez peu conventionnels, et si le temps le permet, on donnera la particularité surprenante du spectre réel des fonctions rationnelles bornées sur le plan.

We prove that actions of complex reductive Lie groups on a complex compact manifold are locally extendable to its Kuranishi family. This can be seen as an analogue of the existence of formal equivariant structures on formal semi-universal deformations of projective schemes in the analytic setting.

In [1], Labourie introduces what he calls the asymptotic Plateau problem for surfaces of constant extrinsic curvature which are complete in a suitable sense ($k$-surfaces) in Cartan-Hadamard manifolds. We provide a complete solution of this problem. [1] Labourie F., Un Lemme de Morse pour les surfaces convexes, Invent. Math., 141, no. 2, (2000), 239–297

K-stability is an algebraic notion that detects the existence of Kahler-Einstein metrics on Fano varieties. I will give some overview of the theory of K-stability from a birational geometer’s perspective. Then I go through the existing methods of verifying K-stability for a given Fano variety before introducing the new method (joint work with Ziquan Zhuang) which is based on linear algebra and induction. Several results will be illustrated.

Anosov representations are a geometrically and dynamically distinguished family of homomorphisms from a hyperbolic discrete group into a semisimple Lie group. In this talk we consider the case of Anosov representations from pi_1(S) to G, where S is a closed orientable surface and G is a complex semisimple Lie group. A theory developed by Guichard-Wienhard and Kapovich-Leeb-Porti associates compact complex manifolds to the actions of pi_1(S) on flag varieties of G arising from such representations. We present various results on the topology and complex geometry of such manifolds, and consider the question of whether the family they form over the space of Anosov representations is universal. This is joint work with Andrew Sanders (arxiv:1704.01091 and arxiv:2010.05147).

On étudie la variation de la masse de la mesure de Monge-Ampère complexe sur une variété non-kählérienne. On montre que la positivité (et la finitude) de la masse ne dépend pas de la métrique choisie et c'est un invariant biméromorphe. Une conjecture de Demailly-Paun affirme que si une variété compacte hermitienne admet une classe de cohomologie nef et big alors cette classe contient un courant de Kähler, et donc la variété est biméromorphe à une variété de Kähler. On confirme cette conjecture dans le cas où la masse de Monge-Ampère est finie. C’est un travail en collaboration avec Vincent Guedj: https://arxiv.org/pdf/2106.04272.pdf.

Considérons un champ de vecteurs X partout non-nul sur une variété fermée de dimension 3. On dit que X admet une section de Birkhoff s'il existe une surface compacte à bord S immergée, telle que son intérieur est plongé et transverse à X, et l’image de son bord est une collection d’orbites périodiques. Nous demandons de plus que toute orbite de X intersecte S (en temps borné). Une section de Birkhoff permet de réduire l’étude de la dynamique du flot à celle d’un difféomorphisme de S. Je vais citer quelques exemples de résultats d'existence de sections de Birkhoff, en commençant par un théorème de H. Poincaré. Je finirai par expliquer un résultat récent obtenu en collaboration avec V. Colin, P. Dehornoy et U. Hryniewicz : génériquement tout flot de Reeb admet une section de Birkhoff.

Les points singuliers sont les points au voisinage desquels la géométrie présente des caractères différents des autres points. Il y a deux types de points singuliers de variétés de Poisson, la structure peut être singulière mais aussi la variété elle-même peut avoir des singularités. Résoudre une singularité de Poisson est (intuitivement) obtenir celle-ci comme une projection à partir d'une variété sans singularités et symplectique. Dans un premier temps, je vais montrer que certains types de structures de Poisson n'admettent pas de résolution symplectique. Ensuite, je vais donner deux exemples de la construction de résolution symplectique des quotients de R^2 par des groupes infinis mais discrets qui agissent proprement sur R^2.

Il y a un peu plus de 30 ans, W. Pawlucki a démontré que l'ensemble des points en lesquels un ensemble sous-analytique réel est semi-analytique, est lui-même un ensemble sous-analytique. Je vais expliquer les différents termes de cet énoncé et présenter une nouvelle stratégie de preuve, plus algébrique, qui permet d'étendre ce résultat au cadre p-adique. C'est un travail en commun avec André Belotto et Octave Curmi.

La topologie de la fibre de Milnor est une source riche d'invariants pour étudier les singularités d'hypersurfaces analytiques complexes. Plusieurs approches ont été proposées afin d'obtenir un pendant purement algébrique de cette dernière, parmi lesquelles se trouve la fibre de Milnor motivique définie par J. Denef et F. Loeser. Celle-ci est considérée comme une incarnation motivique de la fibre de Milnor puisque les réalisations communes connues coïncident. Dans un travail en collaboration avec G. Fichou et A. Parusi?ski, nous comparons les fibrations de Milnor topologique et motivique d'une fonction régulière complexe à croisements normaux en construisant une généralisation commune pour laquelle nous proposons deux constructions équivalentes : la première consiste en une extension de l'espace logarithmique de Kato-Nakayama, la seconde, plus géométrique, repose sur une généralisation de la déformation sur le cône normal. Nous montrons alors comment les fibrations de Milnor topologique et motivique se déterminent l'une l'autre en tant que fibrations d'espaces stratifiés.

Si une courbe complexe (éventuellement singulière) dans une surface Kählerienne a auto-intersection positive, elle admet un voisinage symplectique concave, et donc une structure de contact associé qu’on appelle divisorielle. Motivés par l’étude des courbes symplectiques singulières dans le plan projectif complexe, on s’intéresse aux problèmes d’existence et de classification des remplissages de certaines structures de contact divisorielles. Cet exposé sera basé sur mes travaux communs avec Laura Starkston.

Les familles holomorphes de représentations linéaires fournissent des exemples de familles de systèmes dynamiques qui exhibent une grande variété de comportements. Nous introduirons la notion de stabilité proximale, qui mesure une certaine forme de stabilité dynamique et nous expliquerons comment cette propriété est détectée par un un courant de bifurcation sur l’espace des paramètres. Ce courant de bifurcation mesure la pluriharmonicité de l’exposant de Lyapunov de la famille de représentation, associé à une marche aléatoire. Ce travail est une généralisation en rang supérieur de résultats de Deroin et Dujardin en rang 1 et est analogue à de nombreux résultats en dynamique complexe.

Selon un théorème d’Andrei Teleman, une surface complexe compacte avec $b_1=1$, $b_2=0$ et n’admettant aucune courbe complexe comme sous-espace est isomorphe à soit une surface $S_M$, soit une surface $S_N$ dont la découverte est due à Inoue (et Bombieri pour $S_M$) en 1974. Dans cet exposé, on explique les constructions de deux classes de variétés en dimension supérieure qui généralisent les dites surfaces et on en étudie quelques propriétés analytiques-complexes.

Cet exposé présentera l'aspect feuilleté des géométries (connexions) de Cartan qui sont des structures géométriques infinitésimalement modelées sur des espaces homogènes. Après une introduction du cadre classique, nous allons montrer des résultats de classification pour les feuilletages holomorphes avec des géométries de Cartan transverses sur les variétés de Calabi-Yau et sur les les variétés rationnellement connexes. L'exposé s'attachera à introduire le cadre classique et les motivations de manière géométrique et accessible.

La quintique de Togliatti est une surface de degré 5 dans $\PP^3$ ayant le maximum de points doubles isolés (=31) pour une telle surface. Pour l'obtenir, on considère une hypersurface cubique de $\PP^5$, et on fait la projection de centre l'une de ses droites. On obtient alors un fibré en coniques sur $\PP^3$ et $\Sigma_5$ est le lieu de dégénérescence de ces coniques. En résolvant les singularités de $\Sigma_5$ on obtient une surface complexe lisse, notée X, à laquelle on peut lui associer sa Variation Infinitésimale de Structure de Hodge (notées VISH(X)). Dans cet exposé, je tâcherai d'expliquer la construction de E. Togliatti et l'existence d'une famille de cônes de contact à $\Sigma_5$ qui en résulte. Cette collection de cônes est paramétrée par un Z/2 espace vectoriel de dimension 5 noté V. Nous verrons alors que VISH(X) détermine les singularités de $\Sigma_5$ ainsi que la collection de cônes de contact. Comme il existe une seule quintique de Togliatti ayant (Q_v)_ {v\in V} comme cônes de contact, on en déduira que VISH(X) détermine $\Sigma_5$ , c'est à dire que l'on aura un théorème de type Torelli. Si le temps le permet, j'expliquerai comme retrouver une équation explicite de $\Sigma_5$ grâce aux données encodées par un plan de V.

Le groupe fondamental d’une variété hyperbolique compacte de dimension 3 qui fibre sur le cercle agit par automorphismes sur le groupe fondamental de la fibre et possède dont une action naturelle sur le cercle. Je montrerai que cette action est topologiquement conjuguée à une action de classe C1, ce qui répond à une question de Bonatti—Kim—Koberda—Triestino.

In this talk I present some ideas about the construction of characteristic classes in the singular setting and some research directions on these topics in the determinantal case. Work in progress with Miriam da Silva Pereira and Raphael de Omena Marinho.

There are many objects in geometry that are called "singularities", depending on the context. The most basic examples being the set of zeroes and of critical points of a function, or the set of points where two hypersurfaces (defined as level sets of some function) are tangent to each other. A slightly more elaborate example involving second order derivatives is the set of points where the (Riemann, Ricci, scalar) curvature of a hypersurface is degenerate. I will introduce the framework of jets and type-W singularities, that allows to put all the previous examples under the same umbrella. In the polynomial case, the complexity (isotopy type, Betti numbers, volume) of such sets can be controlled via the degree of the polynomials, for instance as a consequence of Thom-Milnor bound and stratified Morse theory. I will present a substitute of the degree that can be used in the smooth case, for what concerns the isotopy type and the Betti numbers. Time permitting, I will also address the probabilistic perspective. Here, the main point is that the average complexity of a singularity has approximately the order of the square root of the maximal complexity.

Une forme réelle d’une variété algébrique complexe X est une variété algébrique réelle dont la complexification est isomorphe à X. Jusqu’à récemment, on savait que démontrer la finitude d’un nombre de formes réelles pour certaines familles de variétés complexes. Lesieutre a construit le premier exemple d’une variété projective de dimension six avec une infinité de formes réelles non isomorphes. Dinh, Oguiso et Yu ont généralisé la construction à des surfaces de Kummer et plus récemment à des surfaces projectives rationnelles. Dans cet exposé je vais présenter le premier exemple d’une surface affine rationnelle possédant une infinité non dénombrable de formes réelles non isomorphes.

Une surface de Kummer généralisée X est le quotient d’un tore complexe A de dimension 2 par un groupe d’automorphismes G_A symplectique d’ordre 3. Si (B,G_B) est un autre tore complexe muni d’un tel groupe et tel que la surface de Kummer généralisée associée à (B,G_B) soit isomorphe à X, on dit que (B,G_B) est une structure de Kummer sur X. On calculera le nombre de structures de Kummer à isomorphisme près et on verra que ce nombre est lié au nombre de classes de conjugaisons de sous-groupes d’ordre 3 dans les unités d’algèbres de quaternions sur les rationnels. Une partie de ce travail est en commun avec A. Sarti, et une autre partie avec D. Cartwright et J. Voight.