Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Dans cet exposé, je montrerai comment en utilisant la théorie des systèmes différentiels extérieurs de E.Cartan, on peut retrouver le complexe associé à l'opérateur de Cauchy-Fueter. Contrairement aux complexes de De Rham ou Dolbeault, la résolution minimale de cet opérateur d'ordre 1 à coefficients constants, contient des opérateurs d'ordre 2. J'expliquerai également que la condition d'involution pour un opérateur sur-déterminé au sens de E.Cartan, est une condition suffisante pour que sa résolution minimale ne contienne que des opérateurs d'ordre 1. C'est en particulier le cas pour les opérateurs "d" et "d-bar" mais pas pour l'opérateur de Cauchy-Fueter. Enfin, je discuterai autour d'une preuve de "l'involution des tableaux associés à un opérateur" au sens de Cartan. Il s'agit de travaux en commun avec P.Bonneau.

Etant donnée une distribution totalement non holonomique de rang deux $\Delta$ sur une variété de dimension trois $M$, il est naturel d'étudier la taille de l'ensemble des points $\mathcal{X}^x$ qui peuvent être atteints par des chemins horizontaux singuliers partant d'un même point $x$ dans $M$. Dans ce contexte, la conjecture de Sard déclare que $\mathcal{X}^x$ devrait être un sous-ensemble de la surface dite de Martinet de mesure de Hausdorff 2-dimensionnelle nulle. Je présenterai une reformulation de la conjecture en termes de comportement d'un feuilletage singulier. En explorant ce cadre géométrique, dans un travail récent en collaboration avec A. Figalli, L. Rifford et A. Parusinski, nous montrons que la version forte de la conjecture est valable pour les variétés analytiques de dimension trois, à savoir l'ensemble $\mathcal{X}^x$ est une union dénombrable de courbes semi-analytiques. Ensuite, en étudiant la régularité des solutions de l'ensemble $\mathcal{X}^x$, nous montrons que les géodésiques sous-riemanniennes sont toutes $C^1$. Nos méthodes reposent sur la résolution des singularités des surfaces, des champs vectoriels et des métriques; sur l'analyse de régularité des cartes de transition de Poincaré; et sur un argument symplectique, concernant une métrique transversale d'un feuilletage singulier isotrope.

La géométrie Lipschitz est une branche de la théorie des singularités qui étudie les données métriques d'un germe d'espace analytique complexe et l'invariance de celles-ci à homéomorphisme bi-Lipschitz près. Après en avoir introduit les bases, je vais parler d'une nouvelle approche de l'étude de ces invariants, et en particulier des taux de croissance Lipschitz internes, basée sur la combinatoire d'un espace de valuations (l'entrelacs non archimédien - à la Berkovich - de la singularité). Je vais décrire précisément la structure métrique interne d'un germe de surface singulière complexe en expliquant comment ses taux de croissance déterminent et sont déterminés par des données géométriques globales : la topologie du germe, ses sections hyperplanes et ses courbes polaires génériques. S'il me reste du temps, je parlerai aussi du problème dit de l'exploration polaire des surfaces complexes et j'en donnerai la solution pour les surfaces Lipschitz normalement plongées. Ceux-ci sont des travaux en commun avec André Belotto et Anne Pichon.

Nous nous intéressons aux deux problèmes suivants : (1) Le problème de prolongement de Whitney consistant à déterminer si une fonction g:X->R définie sur un fermé X\subset R^n admet un prolongement de classe C^m sur R^n. (2) Le problème de Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár portant sur l'existence d'une solution G pour un système A(x)G(x)=F(x) où A est une matrice de fonctions définies sur R^n. Dans un travail en collaboration avec E. Bierstone et P.D. Milman nous démontrons que si les données de ces problèmes sont semi-algébriques (ou plus généralement définissables dans une structure o-minimale vérifiant certaines propriétés) alors il en est de même pour leurs solutions. Néanmoins nos résultats impliquent une perte de régularité. Formellement, pour (1), nous montrons que pour X semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si g:X->R semi-algébrique admet un prolongement de classe C^(r(m)) alors g admet un prolongement semi-algébrique de classe C^m. Concernant (2), nous montrons qu'étant donnée A semi-algébrique, il existe r:N->N telle que si F est semi-algébrique et si A(x)G(x)=F(x) admet une solution G de classe C^(r(m)), alors il existe une solution semi-algébrique de classe C^m.

La notion de stabilité des fibrés (au sens de Mumford et Takemoto) est centrale dans les problèmes de classification de des derniers. Étant donnée une variété projective X, et un morphisme p : Y - > X, il est naturel de se demander si les notions de stabilité sur X sont préservées par pullback sur Y. Dans le cas où p est un plongement, Mehta et Ramanathan ont donné une condition suffisante naturelle pour que la stabilité soit préservée par restriction à Y. Dans cet exposé, on étudiera le cas où p est une submersion entre variétés de Kahler. On montrera que stabilité et instabilité sont préservées par pullback pour des polarisations dites "adiabatiques". On étudiera également le cas plus subtil de la semistabilité. Les arguments reposent sur la correspondance de Kobyashi-Hitchin et une construction perturbative de métriques d'Hermite-Einstein, et sont issus d'un travail de collaboration avec Lars Martin Sektnan.

La fibre de Milnor est un invariant topologique associé à une application régulière complexe. La fibre de Milnor motivique en est un avatar algébrique, vivant dans un groupe de Grothendieck. La construction de la fibre motivique provient d'un processus limite à partir d'une fonction génératrice, la fonction zeta motivique introduite par Denef-Loeser. On propose un lien géométrique entre ces deux objets en combinant déformation sur le cône normal et éclatement réel orienté.

Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche pour construire des exemples de fibrés holomorphes munis de métriques d'Hermite-Einstein. On étudiera à cette fin la descente de fibrés holomorphes sous réduction symplectique, en partant du cas torique. À l'aide de la correspondence de Kobayashi-Hitchin, on en déduira un critère combinatoire pour comparer des espaces de modules de fibrés stables sur des variétés toriques reliées par des quotients GIT.

Le tenseur d'élasticité fournit un exemple riche et important pour la mécanique du solide qui illustre l'intérêt pour les applications de la géométrie des espaces d'orbites en géométrie algébrique réelle. Je présenterai une série de résultats obtenus récemment, notamment sur ses invariants et covariants. Une base minimale complète de 297 invariants a été obtenue récemment et des critères algébriques, caractérisant les classes de symétrie ont été formulés en utilisant des covariants polynomiaux (plutôt que des invariants). J'expliquerai les principales étapes de ces développements, notamment la théorie des invariants des formes binaires et de leur traduction tensorielle.

Dans cet exposé, je montrerai comment en utilisant la théorie des systèmes différentiels extérieurs de E.Cartan, on peut retrouver le complexe associé à l'opérateur de Cauchy-Fueter. Contrairement aux complexes de De Rham ou Dolbeault, la résolution minimale de cet opérateur d'ordre 1 à coefficients constants, contient des opérateurs d'ordre 2. J'expliquerai également que la condition d'involution pour un opérateur sur-déterminé au sens de E.Cartan, est une condition suffisante pour que sa résolution minimale ne contienne que des opérateurs d'ordre 1. C'est en particulier le cas pour les opérateurs "d" et "d-bar" mais pas pour l'opérateur de Cauchy-Fueter. Enfin, je discuterai autour d'une preuve de "l'involution des tableaux associés à un opérateur" au sens de Cartan. Il s'agit de travaux en commun avec P.Bonneau.

Je présenterai un travail fait en collaboration avec Maria Angelica Cueto et Dmitry Stepanov, expliquant comment combiner des outils tropicaux et logarithmiques afin de comprendre la structure des fibres de Milnor des singularités complexes.

In algebraic and analytic geometry one studies the level sets $X= f^{-1}(c)$ of algebraic or analytic functions $f : \mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C},0)$. A particular task in this context is the computation of topological invariants such as homology and homotopy groups. For a given space $X$ these groups encode the number of holes and handles of $X$. J. Milnor has shown that whenever the function $f$ has an isolated singularity on $\mathbb C^n$ at the origin, the space $X$ is known to be homotopy equivalent to a bouquet of spheres $S^n$ and there is a well known algebraic formula for the number $\mu$ of these spheres: $\mu$ is the dimension is the Jacobian algebra. For functions $f$ whose restriction $f|(X,0)$ to a stratified complex analytic space $(X,0) \subset (\mathbb{C}^n,0)$ has an isolated singularity, the situation is more complicated. We will describe a generalization of the classical phenomena to this more general setup including Milnor's formula.

Nous allons montrer un lien entre les espaces des arcs (qui sont des objets algébro-géométriques) et des identités des partitions des nombres entiers : une partition d’un nombre entier positif n est simplement l’expression de n comme somme de nombres entiers positifs. Les partitions des nombres entiers ont une histoire longue et passionnante en théorie des nombres. Le lien que nous allons décrire est basé sur un invariant des singularités des variétés algébriques ; il donne un nouveau point de vue sur des résultats connus et des nouvelles identités. L’exposé s’adresse à un large public. Une partie de ce travail est en collaboration avec Pooneh Afsharijoo ; une autre partie est en collaboration avec Clemens Bruschek et Jan Schepers.