Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Il y a un peu plus de 30 ans, W. Pawlucki a démontré que l'ensemble des points en lesquels un ensemble sous-analytique réel est semi-analytique, est lui-même un ensemble sous-analytique. Je vais expliquer les différents termes de cet énoncé et présenter une nouvelle stratégie de preuve, plus algébrique, qui permet d'étendre ce résultat au cadre p-adique. C'est un travail en commun avec André Belotto et Octave Curmi.

Les points singuliers sont les points au voisinage desquels la géométrie présente des caractères différents des autres points. Il y a deux types de points singuliers de variétés de Poisson, la structure peut être singulière mais aussi la variété elle-même peut avoir des singularités. Résoudre une singularité de Poisson est (intuitivement) obtenir celle-ci comme une projection à partir d'une variété sans singularités et symplectique. Dans un premier temps, je vais montrer que certains types de structures de Poisson n'admettent pas de résolution symplectique. Ensuite, je vais donner deux exemples de la construction de résolution symplectique des quotients de R^2 par des groupes infinis mais discrets qui agissent proprement sur R^2.

Considérons un champ de vecteurs X partout non-nul sur une variété fermée de dimension 3. On dit que X admet une section de Birkhoff s'il existe une surface compacte à bord S immergée, telle que son intérieur est plongé et transverse à X, et l’image de son bord est une collection d’orbites périodiques. Nous demandons de plus que toute orbite de X intersecte S (en temps borné). Une section de Birkhoff permet de réduire l’étude de la dynamique du flot à celle d’un difféomorphisme de S. Je vais citer quelques exemples de résultats d'existence de sections de Birkhoff, en commençant par un théorème de H. Poincaré. Je finirai par expliquer un résultat récent obtenu en collaboration avec V. Colin, P. Dehornoy et U. Hryniewicz : génériquement tout flot de Reeb admet une section de Birkhoff.

In [1], Labourie introduces what he calls the asymptotic Plateau problem for surfaces of constant extrinsic curvature which are complete in a suitable sense ($k$-surfaces) in Cartan-Hadamard manifolds. We provide a complete solution of this problem. [1] Labourie F., Un Lemme de Morse pour les surfaces convexes, Invent. Math., 141, no. 2, (2000), 239–297

La topologie de la fibre de Milnor est une source riche d'invariants pour étudier les singularités d'hypersurfaces analytiques complexes. Plusieurs approches ont été proposées afin d'obtenir un pendant purement algébrique de cette dernière, parmi lesquelles se trouve la fibre de Milnor motivique définie par J. Denef et F. Loeser. Celle-ci est considérée comme une incarnation motivique de la fibre de Milnor puisque les réalisations communes connues coïncident. Dans un travail en collaboration avec G. Fichou et A. Parusi?ski, nous comparons les fibrations de Milnor topologique et motivique d'une fonction régulière complexe à croisements normaux en construisant une généralisation commune pour laquelle nous proposons deux constructions équivalentes : la première consiste en une extension de l'espace logarithmique de Kato-Nakayama, la seconde, plus géométrique, repose sur une généralisation de la déformation sur le cône normal. Nous montrons alors comment les fibrations de Milnor topologique et motivique se déterminent l'une l'autre en tant que fibrations d'espaces stratifiés.

Si une courbe complexe (éventuellement singulière) dans une surface Kählerienne a auto-intersection positive, elle admet un voisinage symplectique concave, et donc une structure de contact associé qu’on appelle divisorielle. Motivés par l’étude des courbes symplectiques singulières dans le plan projectif complexe, on s’intéresse aux problèmes d’existence et de classification des remplissages de certaines structures de contact divisorielles. Cet exposé sera basé sur mes travaux communs avec Laura Starkston.

Les familles holomorphes de représentations linéaires fournissent des exemples de familles de systèmes dynamiques qui exhibent une grande variété de comportements. Nous introduirons la notion de stabilité proximale, qui mesure une certaine forme de stabilité dynamique et nous expliquerons comment cette propriété est détectée par un un courant de bifurcation sur l’espace des paramètres. Ce courant de bifurcation mesure la pluriharmonicité de l’exposant de Lyapunov de la famille de représentation, associé à une marche aléatoire. Ce travail est une généralisation en rang supérieur de résultats de Deroin et Dujardin en rang 1 et est analogue à de nombreux résultats en dynamique complexe.

Selon un théorème d’Andrei Teleman, une surface complexe compacte avec $b_1=1$, $b_2=0$ et n’admettant aucune courbe complexe comme sous-espace est isomorphe à soit une surface $S_M$, soit une surface $S_N$ dont la découverte est due à Inoue (et Bombieri pour $S_M$) en 1974. Dans cet exposé, on explique les constructions de deux classes de variétés en dimension supérieure qui généralisent les dites surfaces et on en étudie quelques propriétés analytiques-complexes.

Cet exposé présentera l'aspect feuilleté des géométries (connexions) de Cartan qui sont des structures géométriques infinitésimalement modelées sur des espaces homogènes. Après une introduction du cadre classique, nous allons montrer des résultats de classification pour les feuilletages holomorphes avec des géométries de Cartan transverses sur les variétés de Calabi-Yau et sur les les variétés rationnellement connexes. L'exposé s'attachera à introduire le cadre classique et les motivations de manière géométrique et accessible.

La quintique de Togliatti est une surface de degré 5 dans $\PP^3$ ayant le maximum de points doubles isolés (=31) pour une telle surface. Pour l'obtenir, on considère une hypersurface cubique de $\PP^5$, et on fait la projection de centre l'une de ses droites. On obtient alors un fibré en coniques sur $\PP^3$ et $\Sigma_5$ est le lieu de dégénérescence de ces coniques. En résolvant les singularités de $\Sigma_5$ on obtient une surface complexe lisse, notée X, à laquelle on peut lui associer sa Variation Infinitésimale de Structure de Hodge (notées VISH(X)). Dans cet exposé, je tâcherai d'expliquer la construction de E. Togliatti et l'existence d'une famille de cônes de contact à $\Sigma_5$ qui en résulte. Cette collection de cônes est paramétrée par un Z/2 espace vectoriel de dimension 5 noté V. Nous verrons alors que VISH(X) détermine les singularités de $\Sigma_5$ ainsi que la collection de cônes de contact. Comme il existe une seule quintique de Togliatti ayant (Q_v)_ {v\in V} comme cônes de contact, on en déduira que VISH(X) détermine $\Sigma_5$ , c'est à dire que l'on aura un théorème de type Torelli. Si le temps le permet, j'expliquerai comme retrouver une équation explicite de $\Sigma_5$ grâce aux données encodées par un plan de V.

Le groupe fondamental d’une variété hyperbolique compacte de dimension 3 qui fibre sur le cercle agit par automorphismes sur le groupe fondamental de la fibre et possède dont une action naturelle sur le cercle. Je montrerai que cette action est topologiquement conjuguée à une action de classe C1, ce qui répond à une question de Bonatti—Kim—Koberda—Triestino.

In this talk I present some ideas about the construction of characteristic classes in the singular setting and some research directions on these topics in the determinantal case. Work in progress with Miriam da Silva Pereira and Raphael de Omena Marinho.

There are many objects in geometry that are called "singularities", depending on the context. The most basic examples being the set of zeroes and of critical points of a function, or the set of points where two hypersurfaces (defined as level sets of some function) are tangent to each other. A slightly more elaborate example involving second order derivatives is the set of points where the (Riemann, Ricci, scalar) curvature of a hypersurface is degenerate. I will introduce the framework of jets and type-W singularities, that allows to put all the previous examples under the same umbrella. In the polynomial case, the complexity (isotopy type, Betti numbers, volume) of such sets can be controlled via the degree of the polynomials, for instance as a consequence of Thom-Milnor bound and stratified Morse theory. I will present a substitute of the degree that can be used in the smooth case, for what concerns the isotopy type and the Betti numbers. Time permitting, I will also address the probabilistic perspective. Here, the main point is that the average complexity of a singularity has approximately the order of the square root of the maximal complexity.

Une forme réelle d’une variété algébrique complexe X est une variété algébrique réelle dont la complexification est isomorphe à X. Jusqu’à récemment, on savait que démontrer la finitude d’un nombre de formes réelles pour certaines familles de variétés complexes. Lesieutre a construit le premier exemple d’une variété projective de dimension six avec une infinité de formes réelles non isomorphes. Dinh, Oguiso et Yu ont généralisé la construction à des surfaces de Kummer et plus récemment à des surfaces projectives rationnelles. Dans cet exposé je vais présenter le premier exemple d’une surface affine rationnelle possédant une infinité non dénombrable de formes réelles non isomorphes.

Une surface de Kummer généralisée X est le quotient d’un tore complexe A de dimension 2 par un groupe d’automorphismes G_A symplectique d’ordre 3. Si (B,G_B) est un autre tore complexe muni d’un tel groupe et tel que la surface de Kummer généralisée associée à (B,G_B) soit isomorphe à X, on dit que (B,G_B) est une structure de Kummer sur X. On calculera le nombre de structures de Kummer à isomorphisme près et on verra que ce nombre est lié au nombre de classes de conjugaisons de sous-groupes d’ordre 3 dans les unités d’algèbres de quaternions sur les rationnels. Une partie de ce travail est en commun avec A. Sarti, et une autre partie avec D. Cartwright et J. Voight.

On connait des théorèmes d'approximations transverses : d'abord, pour une application lisse $f:N\to M$ que l'on veut approximer par une application transverse à une sous-variété $S\subset B$ (Thom 1954) ; puis, la même question avec des contraintes (ouvertes) sur la différentielle de $f$ (Thom 1956). En fait, on peut prendre l'approximation de la forme $g\circ f$ où $g$ est un difféomorphisme de $N$ qui est $C^\infty$ proche de $Id_N$. Je veux discuter, dans le cas avec contraintes, la question de savoir si on peut prendre $g$ sur un flot $g^t$ tel que la transversalité demandée soit satisfaite pour tout temps $t>0$ assez petit et pas seulement pour certains temps arbitrairement petits. La réponse positive à cette question donne les relations $A_\infty$ sur tous les complexes de Morse.

On montre deux formules cinématiques principales pour les germes d'ensembles définissables fermés, qui généralisent la formule de Cauchy-Crofton pour la densité due à Comte et la formule cinématique linéaire infinitésimale due à l'orateur.

Les flots des chambres de Weyl réguliers agissant sur l'espace des chambres de Weyl d'un espace symétrique de rang supérieur sont un exemple de généralisation du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une surface hyperbolique. Dans le cas compact, les orbites périodiques des flots des chambres de Weyl réguliers vivent sur des tores. Je vais vous présenter un résultat d'équidistribution de ces tores, issu de travaux en collaboration avec Jialun Li.

La dynamique symbolique étudie les sous-décalages, qui sont des codages symboliques de systèmes dynamiques discrets. Étant donnés un groupe de type fini G et un alphabet fini A, les sous-décalages sont des sous-ensembles fermés de A^G qui sont également stables par l’action de G sur A^G par translation. Ces objets peuvent également être définis de manière combinatoire, comme sous-ensembles de A^G qui évitent des motifs finis. Dans cet exposé on s’intéressera particulièrement aux sous-décalages de type fini (que l’on peut définir en excluant un nombre fini de motifs) et je présenterai deux problèmes les concernant : le problème du domino (peut-on décider algorithmiquement si un sous-décalage de type fini est vide ou non ?) et la question de l’existence de sous-décalages de type fini apériodiques. J’expliquerai sur des exemples en quoi le choix du groupe est déterminant dans la résolution de ces problèmes.

Les valuations ont été très étudiées depuis des décennies, et c'est devenu un objet très important dans diverses thèmes de mathématiques. À l'inverse, les préordres sont assez récents, et utilisés principalement en dynamique. Dans cet exposé, j'expliquerai que ces deux objets sont en fait très proches, et qu'il existe un dictionnaire pour aller de l'un à l'autre. Ceci nous permet de voyager du monde des valuations à celui des préordres, ou inversement, en prenant le meilleur de chacun d'eux. Comme exemple, les valuations nous ont permis de résoudre un problème de théorie des groupes ordonnables ouvert depuis plus de 15 ans : la compacité de l'ensemble des préordres d'un groupe. Travail en collaboration avec G.Rond.

Dans cet exposé, je vais expliquer comment l'utilisation de techniques d'analyse fonctionnelle peut permettre d'analyser la croissance asymptotique des degrés des itérés d'une application rationnelle de l'espace projectif de dimension d. Les éléments présentés seront issus d'un travail en commun avec Charles Favre.

Les systèmes dynamiques différentiables préservent souvent des structures géométriques in- duites par des distributions invariantes d’origine dynamique, et il est naturel de se demander si des hypothèses de régularité sur ces distributions contraignent le système dynamique d’origine. Dans le cas des flots Anosov de contact, des résultats de rigidité allant dans ce sens existent en dimension trois depuis les travaux de Ghys [Ghy87], puis en dimension supérieure grâce à ceux de Benoist-Foulon-Labourie [BFL92]. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la situation analogue pour des systèmes dynamiques à temps discrets, en considérant les difféomorphismes partiellement hyperboliques en dimension trois dont les trois distributions invariantes sont lisses et dont la somme des distributions stable et instable est de contact. Nous verrons que ces dif- féomorphismes préservent une structure géométrique rigide appelée structure Lagrangienne de contact, qui peut être décrite comme une géométrie de Cartan modelée sur l’espace des dra- peaux en dimension trois. L’analyse de cette structure nous permet d’obtenir une classification des difféomorphismes étudiés, sous réserve que tous les points soient non-errants (voir [MM20]). \\ Références [BFL92] Yves Benoist, Patrick Foulon, and François Labourie. Flots d’Anosov à distributions stable et instable différentiables. Journal of the American Mathematical Society, 5(1) :33–74, 1992. [Ghy87] Étienne Ghys. Flots d’Anosov dont les feuilletages stables sont différentiables. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Quatrième Série, 20(2) :251–270, 1987. [MM20] Martin Mion-Mouton. Partially hyperbolic diffeomorphisms and Lagrangian contact structures, 2020. Preprint arXiv : 2002.10720.

Soit X une variete compacte kalerienne et f un endomorphisme holomorphe de X vers X. Une question fondamentale en dynamique complexe est de determiner un asymptotique pour le nomber P_n de points periodiques isoles de period n de f. On introduit la notion de points periodiques exotiques de f et notons par P'_n le nombre des points periodiques exotiques de period n. J'expliquerai comment obtenir un asymptotique pour la somme (P_n+ P'_n).

En 1969, René Thom énonçait le critère d'algébricité suivant : "une surface réelle S de P^2(C) telle que le nombre d'intersection entre S et une droite complexe générique soit constant est soit un plan affine réel soit une courbe complexe". On peut en fait voir ce critère comme un résultat portant sur l'ensemble V(S) des droites complexes qui intersectent S non transversalement. Il se trouve que cette construction S -> V(S) est un cas particulier d'une construction beaucoup plus générale permettant de définir un dual V(E) pour n'importe quelle sous-variété réelle E, de sorte que le bidual V(V(E)) soit canoniquement isomorphe à E. Dans cet exposé j'expliquerai cette construction ainsi que son lien avec le critère d'algébricité ci-dessus. »