Responsables : Nicolas Dutertre et Laurent Meersseman
Le séminaire Systèmes dynamiques et géométrie a lieu généralement les mardi à 17h00 en salle I001.
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Nous montrons comment la théorie de la classification locale des systèmes dynamiques analytiques discrets en une variable peut s'étendre au cadre formel des transséries et de certains germes transsériels. Ces résultats s'étendent également à certains corps de "transséries généralisées" contenus dans le corps des nombres surréels, en s'appuyant sur des considérations inspirées des travaux de Rosenlicht sur les corps de Hardy. Travail joint avec V. Mantova, D. Peran et T. Servi.
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Les géodésiques fermées et simples sur les sphères riemanniennes ont fait l'objet de nombreuses preuves incomplètes tout au long du XXe siècle, depuis un premier article de Birkhoff en 1908. Un point d'achoppement est notamment la préservation de la simplicité des courbes, par les flots de rétrécissement utilisés. En 1994, Hass et Scott décrivent un nouveau flot de rétrécissement des courbes : le flot par disques, lequel résout la question de la simplicité, tout en amenant d'autres difficultés. Nous présenterons cet outil tel qu'utilisé par Hass et Scott, avant de rendre compte des différentes adaptations que nous avons pu en faire, dans deux preuves utilisant la géométrie discrète : - Existence et constructibilité d'une quasi-géodésique fermée faiblement simple sur toute sphère polyédrale. - Existence d'une géodésique fermée simple sur toute sphère riemannienne (nouvelle preuve). Nous évoquerons enfin nos travaux en cours, où nous cherchons à appliquer un flot par disques sur des graphes plongés dans la sphère.
On sait depuis les travaux de Baily-Borel-Mok que tout quotient de la boule par un réseau (discret, de covolume fini) admet une structure de variété quasi-projective. Les compactifications minimales de ces objets sont des variétés à canonique ample, obtenues en ajoutant un nombre fini de points au bord : ces points donnent alors lieu à des singularités canoniques. On peut naturellement se demander s'il est possible de caractériser algébriquement les variétés ainsi obtenues : étant donnée une variété à fibré canonique ample et singularités log-canoniques, quand peut-on trouver un ouvert de Zariski qui soit uniformisable par la boule ? La question est ainsi de généraliser au cas log-canoniques plusieurs résultats récents, traitant de situations klt ou orbifoldes (Greb-Kebekus-Peternell-Taji, Dang, Claudon-Guenancia-Graf...) Je vais présenter un énoncé d'uniformisation valide dans ce cadre, sous une hypothèse un peu plus forte sur les singularités : comme c'est souvent le cas dans cette théorie, le critère sera formulé en terme du cas d'égalité dans une inégalité de Miyaoka-Yau. On verra que l'hypothèse de log-canonicité est essentielle pour éviter une classe de non-examples constructibles à partir du travail de Deligne-Mostow-Siu, Deraux, Stover-Toledo... Comme je l'expliquerai, cette hypothèse sera en fait utilisée par le biais d'un résultat d'intérêt indépendant, sur le caractère "connexe par chaînes de variétés spéciales" (au sens de Campana) des fibres de résolutions de singularités log-canoniques.
Il est d'usage en théorie des déformations de chercher des hypothèses garantissant la lissité de l'espace de Kuranishi d'une structure donnée. Dans le cas d'une variété complexe compacte $X$, Kodaira et Spencer, garantissent la lissité de cet espace en supposant l'annulation du second groupe de cohomologie $ H^2(X,TX)$. Cet espace contient effectivement toutes les obstructions possibles, mais il contient plus. Les travaux de Tian, Todorov et Bogomolov permettent d'affiner cette hypothèse dans le cas des variétés de Calabi-Yau. Les déformations de telles variétés sont non-obstruées sans l'hypothèse brutale d'annulation du $H^2$, et nous permettent de distinguer les obstructions au sein des éléments du $H^2$. Nous présenterons dans cet exposé une notion de feuilletage de Calabi-Yau garantissant la lissité de l'espace de Kuranishi associé à certaines de ses déformations.
En géométrie de Kähler, la conjecture de Yau-Tian-Donaldson relie la géométrie différentielle d'une variété kählerienne compacte à une notion algébro-géométrique appelée K-stabilité. Je commencerai par un bref aperçu du sujet, puis je discuterai d'une approche non archimédienne possible pour résoudre cette conjecture, en généralisant un résultat de Chi Li au cadre transcendant.
Dans les années 1980, William Thurston a montré une célèbre caractérisation des fonctions rationnelles postcritiquement finis. En termes simples, ce théorème donne un critère qui permet de déterminer si une application continue définie sur la 2-sphère est équivalente (au certain sens combinatoire et dynamique) à une fonction rationnelle définie sur la sphère de Riemann. Ce résultat est à la base d'un domaine de la dynamique complexe, appelé théorie de Thurston, qui analyse le comportement dynamique des revêtements ramifiés postcritiquement finis et les utilise pour étudier la dynamique des fonctions rationnelles. En même temps, dans la dynamique complexe, on s'intéresse aussi à des familles de fonctions holomorphes à valeurs dans la sphère de Riemann, mais qui ne sont pas définies partout sur celle-ci. Par exemple, les fonctions méromorphes transcendantes sont des fonctions holomorphes définies partout sauf en un seul point. L'objectif de cet exposé est de montrer comment la théorie de Thurston peut être étendue à ce contexte. En particulier, je vais expliquer comment le théorème de caractérisation de Thurston peut être généralisé à certaines familles larges de fonctions qui ne sont pas définies sur toute la sphère.
L’exposé porte sur les feuilletages admettant des structures géométriques transverses. Nous discutons un résultat de Ghys sur la classification des feuilletages holomorphes de codimension un sur les tores complexes et, en particulier, nous introduisons les feuilletages tourbillonnés. Nous motivons et prouvons le résultat suivant : un feuilletage holomorphe nonsingulier tourbil- lonné générique sur le produit de deux courbes elliptiques n’admet aucune structure projective transverse. Ceci est un travail en collaboration avec Indranil Biswas (Shiv Nadar University).
On applique la théorie des déformations avec contraintes cohomologiques en termes de L_\infty paires, développée par Budur-Rubió au cas des fibrés vectoriels stables sur des courbes lisses projectives génériques. Plus précisément, on prouve que les loci de Brill-Noether associés sont localement des variétés déterminantales génériques. Par conséquent, on obtient des informations importantes concernant leurs singularités. Il s’agit d’un travail en commun avec N. Budur.
In characteristic zero, we construct principalization of ideals on smooth orbifolds endowed with a foliation. We then illustrate how the method can be used in the general study of foliations by providing a resolution of singularities of Darboux totally integrable foliations in arbitrary dimensions. This is a work in collaboration with Dan Abramovich, Michael Temkin and Jaroslaw Wlodarczyk
A toute matrice $A$ à coefficients entiers de taille $d\times n$ et à un paramètre $\beta\in \CC^d$, on associe un système différentiel linéaire sur $\CC^n$. Un tel système est holonome, i.e. à variété caractéristique lagrangienne et les équations sont de deux types: équations d'Euler $\sum_i a_{ij}x_j\p_j$ associées à chaque ligne de $A$ et équations binomiales $\p^u-\p^v$ d'une variété torique liée au système. La fonction hypergéométrique de Gauss et maintes autres fonctions spéciales, les fonctions hypergéométriques sur les Grassmanniennes introduites par Gelfand et son école (fin des '80), les racines d'une équation algébrique, vues comme fonctions des coefficients de l'équation, sont des exemples de solutions de tels systèmes. Nous nous intéressons au cas à singularités irrégulières appelé aussi confluent. Selon Hotta et Schulze-Walther cette irrégularité équivaut à une condition de non homogéneité. Nous examinons deux types de solutions : des solution intégrales de type Laplace (Adolphson et Esterov-Takeuchi) et les solutions séries formelles de type Gevrey, le long des hyperplans d'irrégularité. Notre objectif est d'obtenir les solutions Gevrey à partir de développements asymptotiques de solutions intégrales. Nous avons traité le cas des matrices à une ligne, avec des intégrales de Laplace le long de chemins, puis le cas dit à une seule pente, sous certaines conditions restrictives. Dans un travail en cours nous éliminons ces conditions restrictives. Le prix à payer est d'accepter des dévelopements asymptotiques virtuels mettant en jeu des équations aux différences et des prolongements méromorphes des coefficients par rapport au paramètre. Travaux en commun avec FJ Castro Jimenez et MC Fernandez Fernandez.
Joint with E. Becerra and L. Katzarkov. I will revisit the classical McKay correspondence via homological mirror symmetry. Specifically, I will explain how this corre- spondence can be articulated as a derived equivalence between the category of vanishing cycles associated with a Kleinian surface singularity and the cate- gory of perfect complexes on the corresponding quotient orbifold.
Quand une variété X admet une résolution des singularités, elle en admet une infinité. Nash a, grosso modo, suggéré que l'information commune à toutes les résolutions des singularités de X serait cachée dans l'espace d'arcs de X ; ce dernier est l'espace qui paramétrise les germes des courbes formelles tracées sur X. La suggestion (plus précise) de Nash a attiré beaucoup d'attention les deux dernières décennies et il y a eu de grandes avancées sur le problème (de Nash) qui a découlé de cette question, même si en général, il reste largement ouvert. Je vais parler de la solution de ce problème (et d'une de ses généralisations) pour les variétés de dimension d qui sont munies d'une action d'un tore de dimension d-1 et dont le quotient rationnel est une courbe de genre >0 ; puis de ce que cette solution apporte à la discussion générale de ce problème. Il s'agit d'un travail en collaboration avec David Bourqui et Kevin Langlois.
Je décrirai un travail en collaboration avec Adolfo Guillot, dans lequel on s'intéresse à des structures projectives le long de courbes holomorphes en famille. Nous verrons notamment qu'il n'existe pas de manière de prescrire une structure projective sur une courbe de genre g>=2 de façon holomorphe. Nous nous intéresserons aussi à la famille des courbes intégrales d'une équation différentielle algébrique ou ce qui est équivalent d'un feuilletage algébrique. Nous donnerons un théorème d'indice, et discuterons de problèmes d'uniformisabilité de l'équation différentielle.
Soit ${\mathbb K}$ un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, et soient $f,g$ deux éléments non nuls de ${\mathbb K}[x,y]$. Le problème Jacobien en dimension deux affirme que si $J(f,g)\in{\mathbb K}\setminus\lbrace 0\rbrace$, alors ${\mathbb K}[f,g]={\mathbb K}[x,y]$. En 1977, J. Briançon, dans un papier non publié, a démontré que si $J(f,g)\in{\mathbb K}\setminus\lbrace 0\rbrace$, alors les polygones de Newton de $f$ et $g$ sont similaires. Cette propriété a aussi été démontré par plusieurs auteurs (Oka, Abhyankar,...), mais ne semble pas suffire pour donner une réponse au problème. Dans cet exposé nous considérons la version méromorphe du problème Jacobien ($F(X,y)=f(X^{-1},y)$, $G(X,y)=g(X^{-1},y)$, et $J(F,G)\in{\mathbb K}((X))\setminus\lbrace 0\rbrace$), et nous introduisons la notion de polygones de Newton par rapport à une série de Puiseux $y(x)\in{\mathbb K}((X^{1/n})), n\in {\mathbb N}$. Cette notion a l'avantage de donner des informations au-delà des premières paires de Puiseux déterminées par le polygone de Newton usuel. Nous montrons que sous l'hypothèse Jacobienne, les polygônes de Newton de $F$ et $G$ sont -presque- similaires. Nous introduisons ensuite la notion de ``bonnes'' et ``mauvaises'' composantes irréductibles de $F$ et $G$ et lions, moyennant ces polygones, cette notion aux valeurs atypiques des applications polynomiales $f$, $g$, et $(f,g)$. Enfin, nous donnons, en rajoutant un autre ingrédient qui est l'arithmétique des semi-groupes des branches de $F$ et $G$, une réponse positive au problème Jacobien dans quelques cas particuliers.
Il est connu depuis les travaux de Tadeusz Mostowski en 1985 que l'ensemble des germes de surface complexe à équivalence bilipschitz près est dénombrable. En mettant à profit les travaux de Lev Birbrair, Walter Neumann et Anne Pichon sur la classification bilipschitz des germes de surface complexe, nous décrirons comment construire une infinité de germes de surface complexe à singularité isolée qui sont homéomorphes deux à deux (en fait qui ont la même normalisation à isomorphisme près) mais qui ne sont pas bilipschitz équivalents deux à deux.
Generalised Monge-Ampère (gMA) equations were introduced by Pingali and capture several well-known families of PDE on compact Kähler manifolds, including the J-equation, inverse Hessian equations, and certain deformed Hermitian-Yang-Mills and Z-critical equations. By results of Datar-Pingali and Fang-Ma (extending those of Gao Chen, Song, and others) solvability of gMA equations is equivalent to a Demailly-Paun type positivity condition tested on subvarieties, reminiscent of slope stability. In general this slope type condition can be violated by infinitely many subvarieties, of any codimension. However, as a main result we will show that the divisorial Boucksom-Zariski decomposition can be applied to prove that the set of destabilising subvarieties is actually finite in the semistable case, if we impose enough positivity on a certain $(1,1)$ - class. This leads to first existence results and first examples of locally finite wall-chamber decompositions for gMA equations in arbitrary dimension. This is ongoing work with Sohaib Khalid (SISSA).
Dans un travail en commun avec Sébastien Tavenas, on s'intéresse à la question du nombre de points d'intersection entre une courbe rationnelle du plan complexe et une courbe ayant peu de monômes, ou lacunaire. Le cas des systèmes polynomiaux réels ayant peu de monômes est largement étudié, au moins depuis Khovanskii et sa théorie des fewnomials. Le cas complexe l'est moins, car par nature il offre moins de possibilités de borner le nombre de solutions de systèmes creux, autrement que par les degrés en jeu. Nous obtenons néanmoins une borne du point d'intersection entre deux telles courbes qui dépend du diagramme de lacunarité de la courbe lacunaire en question.
Let $f:(\R^3,0)\to(\R^4,0)$ be an analytic map germ with isolated instability. Its link is a stable map which is obtained by taking the intersection of the image of $f$ with a small enough sphere $S^3_\epsilon$ centered at the origin in $\R^4$. If $f$ is of fold type, we define a tree, that we call dual tree, that contains all the topological information of the link and we prove that in this case it is a complete topological invariant. As an application we give a procedure to obtain normal forms for any topological class of fold type.
Dans cet exposé nous allons présenter la résolution du problème des valeurs propres de l'opérateur de Monge-Ampère complexe dans un domaine borné strictement pseudoconvexe à bord lisse de $\C^n$. Cela constitue une généralisation des travaux de P. L. Lions en 1984 dans le cas réel. Pour y parvenir nous allons utiliser la formule d'algèbre linéaire de B. Gaveau (1977) pour définir l'opérateur de Monge-Ampère complexe à partir d'opérateurs linéaires elliptiques du second ordre. Ensuite, nous allons démontrer, l'existence d'une valeur propre de l'opérateur de Monge-Ampère complexe en utilisant les valeurs propres des opérateurs linéaires qui le définissent. Enfin, nous allons démontrer que cette valeur propre est unique et qu'à une constante multiplicative positive, la fonction propre associée est unique.
For any negative psh function on a bounded domain of C^n, we construct a psh function determined by the asymptotical behavior of the given function near its singularity points, both inside the domain and on its boundary. We study properties of such "residual functions" and their relations to asymptotic psh rooftops. The considerations are motivated by a problem on when two given psh functions can be connected by a psh geodesic.