Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Étant donné un germe analytique complexe (X,0) dans (C^n,0), la métrique hermitienne standard de C^n induit naturellement une métrique par longueurs d’arcs sur (X,0), appelée métrique interne. La structure métrique interne d’un germe de singularité isolée de surface (X,0) s’étudie via une famille d’invariants numériques appelés taux internes. Je vais expliquer comment ces taux internes peuvent se calculer à partir de la donnée de la topologie de (X,0), avec la configuration d’une section hyperplane générique et de la courbe polaire d’une projection plane générique de (X,0) à l’aide d’une formule de Laplacien sur l’entrelacs non archimédien de (X,0). Puis je vais donner quelques conséquences de cette formule, en particulier une approche de la question de Lê Dung Tràng sur l’existence d’une dualité entre les algorithmes de résolution des singularités de surface par une suite d’éclatements normalisés d’une part, et par une suite de modifications de Nash normalisées d’autre part. Il s’agit d’un travail en commun avec André Belotto et Lorenzo Fantini.

Dans cet exposé, on présentera une approche algébrique de la théorie de la déformation des complexes de faisceaux analytiques, basée sur certaines propriétés des extensions de carré nul. On présentera des applications géométriques.

Récemment A. Dickenstein et l'orateur ont obtenu une borne "à la règle des Descartes" c'est-à-dire s'exprimant comme un nombre de changement de signes, sur le nombre de solutions positives d'un système polynomial de support un circuit. Ils ont également montré que leur borne n'était pas toujours atteinte pour un circuit fixé. Dans cet exposé, nous allons présenter une borne du même type que la précédente, mais qui est atteinte pour tout circuit fixé. C'est un travail en commun avec A. Dickenstein et J. Forsgard.

Khimshiashvili a montré une formule de degré topologique pour la caractéristique d'Euler des fibres de Milnor d'un germe de fonction à singularité isolée. On donne deux généralisations de ce résultat pour les singularités non-isolées. En corollaire, on obtient une formule algébrique pour la caractéristique d'Euler des fibres d'un polynôme réel quasi-homogène et une version réelle de la formule de Lê-Iomdine.

In this talk I will explain how to apply tropical geometry to obtain a continuous model for self-organized criticality.

Nous étudions les feuilletages et tissus sur des surfaces projectives qui possèdent des symétries continues. La classification analytique étant trop fine, nous décrivons ces tissus modulo équivalence rationnelle. En particulier nous prouvons que si un tissus sur une surface est invariant par un flot birationel, alors il y a un modèle birationel de la surface qui est soit le produit d'une courbe par la droite projective, soit un fibré de Seifert sur une courbe, soit un tore. Ceci est un travail en commun avec D. Marín.

Il est connu que les systèmes hypergéométriques GKZ admettent des solutions intégrales "de type Laplace". Nous étudions de tels systèmes dans le cas irrégulier. On sait alors qu'ils admettent des solutions formelles, séries de type Gevrey d'un ordre déterminé par la matrice associée au système. Sous certaines conditions nous montrons que toute solution Gevrey le long d'un hyperplan de coordonnées du support singulier est le développement asymptotique d'une solution intégrale convenablement choisie. Le but de cet exposé est d'introduire les objets qui interviennent dans ce problème, et de montrer qu'on peut obtenir des solutions avec des cycles à décroissance rapide, tels qu'introduits par F. Pham et développés par Marco Hien. Ceci est un travail en commun avec F.J. Castro-Jiménez et M.C. Fern\'andez Fern\'andez.

This seminar is divided in two parts: In the first part we show that a 1-parameter family of real analytic map germs $f_t\mathbb{R}^2,0)\to(\mathbb{R}^3,0)$ with isolated instability is topologically trivial if it is excellent and the family of double point curves $D(f_t)$ in $(\mathbb{R}^2,0)$ is topologically trivial. In particular, we deduce that $f_t$ is topologically trivial when the Milnor number $\mu(D(f_t))$ is constant. In the final part, we show, as an application of this results, that any real analytic map germ $f(\mathbb{R}^2,0)\to(\mathbb{R}^3,0)$ with isolated instability is $\mathcal{C}_0$-finitely determined. (Joint work with Juan José Nuño Ballesteros, Universitat de València)

Dans ce travail de thèse, on s'intéresse à la géométrie des variétés algébriques qui apparaissent comme résolutions minimales de quotients du produit de courbes par l'action d'un groupe fini. On étudie alors la positivité de leur fibré cotangent, en raison des nombreuses implications géométriques de celle-ci et des informations importantes que l'on en déduit pour aborder certains problèmes difficiles comme la résolution des célèbres conjectures de Lang, Lang-Vojta et Green-Griffiths-Lang ; ces conjectures imposent en particulier de fortes contraintes sur la distribution des courbes rationnelles dans les variétés de type général. Dans le cas de la dimension deux, on donne un critère de positivité du fibré cotangent et l'on étudie l'hyperbolicité algébrique des surfaces produit-quotient. Ces résultats s'appliquent au cas des surfaces produit-quotient de type général dont le genre géométrique, l'irrégularité et le second nombre de Segre sont nuls, pour lesquelles on démontre des versions effectives des conjectures précédentes. Plus généralement, en dimension supérieure, on obtient également un critère de positivité du fibré cotangent dans le cas de quotients lisses et l'on étudie en détail le cas des produits symétriques de courbes.

En utilisant l'existence d'une large famille d'entrelacs fibrés en grande codimension - i.e. plus grande que la dimension - nous construisons des exemples ou le nombre minimum de points critiques d'une application lisse entre deux variétés compactes n'est pas trivial, c'est-à-dire ni zéro ni infini.

Les fibres de Milnor jouent un rôle crucial dans l’étude de la topologie d’une singularité de surface. Elles correspondent aux différents lissages possibles de cette singularité. Une description de cette fibre est connue dans certains cas particuliers, mais pas en général, même pour des singularités isolées. D’un autre côté, l’étude de son bord est un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’années. Dans différents contextes, il est prouvé que ce bord est une variété graphée. (Mumford, 1961, pour les singularités isolées, Michel-Pichon, 2003, 2014, pour un lissage d’une surface réduite d’espace total lisse, Némethi-Szilard, 2012, sous les mêmes hypothèses, Bobadilla-Menegon Neto, 2014, pour une surface non réduite et un espace total avec singularité isolée). J’expliquerai comment la preuve constructive proposée par Némethi et Szilard peut être adaptée pour prouver, constructivement, le même résultat pour un lissage de surface réduite d’espace total quelconque. Ceci permet d’espérer l’obtention, à terme, d’une caractérisation des variétés lisses bordant une fibre de Milnor de lissage de surface complexe. De plus, je propose un algorithme simple pour le calcul du bord d’une fibre de Milnor, dans le cas d’une surface définie par une fonction générique sur un germe d’espace torique.

Résumé: As was verified by Kapaev and others, the most basic Stokes phenomena for Painlevé transcendents are described by formal power series solutions and transseries solutions of Painlevé equations. However, to discuss more general Stokes phenomena, we need to deal with instanton-type solutions, which are purely formal and whose behavior are much more wild than transseries solutions. In this talk, from the viewpoint of exact WKB analysis, we investigate instanton-type formal solutions of Painlevé equations and those of the equation for Weierstrass' elliptic functions. After explaining the construction of instanton-type solutions, we discuss analytic interpretation of them. In particular, in the case of the equation for Weierstrass' elliptic functions it turns out that instanton-type solutions are nothing but Fourier expansions of elliptic functions.

Le quotient d'un ensemble algébrique réel V par l'action algébrique d'un groupe fini G n'est pas algébrique en général : il s'agit d'un ensemble semi-algébrique. Cependant, si V est compact et si l'action de G est libre, le quotient est un ensemble dit symétrique par arcs. Nous verrons comment ce résultat permet de montrer qu'un certain invariant additif des ensembles algébriques réels avec action de G est invariant sous homéomorphisme équivariant de graphe algébrique.

For any projective hypersurface $V := {f = 0} \subset P^n$, the notion of polar degree is defined as the topological degree of the (projectivized) gradient mapping of the homogeneous polynomial $f : C^{n+1} \to C$: $$ grad f : P^n \setminus SingV \to P^n.$$ Thus $pol(V ) := #(gradf)^{-1}(a)$ for any generic point $a \in P^n$. We will discuss first the history of polar degree and give several examples, e.g. the determinant hypersurface has polar degree 1, which means the gradient map is bi-rational. The hypersurfaces with $pol(V ) = 1$ are called homoloidal and are of extra interest. The case that $pol(V ) = 0$ is related to the question what happens if the Hessian of $f$ is identically zero. This was solved by Gordan and Noether in 1876. Dolgachev classified in 2000 all the projective homoloidal plane curves: a short list. Huh determined in 2014 all homoloidal hypersurfaces in $P^n$ with at most isolated singularities. In this talk we will reprove Huh’s results with methods of singularity theory. Moreover we will prove the conjecture of Huh that his list of polar degree 2 surfaces with isolated singularities is complete! Finally we say something more about hypersurfaces with the non-isolated singularities.

Je présenterai une généralisation de la notion d'hyperbolicité (au sens de Kobayashi) et des techniques associées dans le cadre des paires orbifoldes (au sens de Campana) qui donne de nouvelles perspectives sur l'étude de la distribution des courbes entières (ou des points rationnels) dans les variétés projectives. (Travail en commun avec F. Campana et L. Darondeau)

Nous nous plaçons dans le contexte de la résolution à la Puiseux d’équations polynomiales en plusieurs variables. Notre objectif est de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux multivariée algébrique (sur $K(x_1,....,x_r)$ le corps des fonctions rationnelles à r variables) d’une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous résolvons les problèmes suivants : - étant donnée une équation polynomiale $P(x_1,....,x_r,y)=0$, donner une formule pour les coefficients d’une série de Puiseux $y(x_1,....,x_r)$ solution en fonction des coefficients de l’équation ; - étant donnée une série de Puiseux algébrique, reconstruire à partir de ses coefficients un polynôme annulateur. Il s’agit d’une généralisation à plusieurs variables de notre travail sur les mêmes questions pour le cas monovarié. Travail en commun avec M. Hickel (Bordeaux).

Une surface de Hilbert-Blumenthal modulaire est une surface obtenue en quotientant le produit de deux demi-plans de Poincaré par l'action du groupe PSL_2(E) où E sont les entiers d'un corps quadratique réel. Je décrirai des analogues quaternioniques.

Seade, Tibar et Verjovsky (Math. Annalen, 2005) ont défini l'obstruction d'Euler globale d'un ensemble algébrique affine complexe et ils ont donné une formule de multiplicité polaire pour cette obstruction. Dans cet exposé, on définit plusieurs généralisations de l'obstruction d'Euler globale et on donne plusieurs généralisations de la formule de multiplicité polaire. C'est un travail avec Nivaldo Grulha.