Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Soit ${\mathbb K}$ un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, et soient $f,g$ deux éléments non nuls de ${\mathbb K}[x,y]$. Le problème Jacobien en dimension deux affirme que si $J(f,g)\in{\mathbb K}\setminus\lbrace 0\rbrace$, alors ${\mathbb K}[f,g]={\mathbb K}[x,y]$. En 1977, J. Briançon, dans un papier non publié, a démontré que si $J(f,g)\in{\mathbb K}\setminus\lbrace 0\rbrace$, alors les polygones de Newton de $f$ et $g$ sont similaires. Cette propriété a aussi été démontré par plusieurs auteurs (Oka, Abhyankar,...), mais ne semble pas suffire pour donner une réponse au problème. Dans cet exposé nous considérons la version méromorphe du problème Jacobien ($F(X,y)=f(X^{-1},y)$, $G(X,y)=g(X^{-1},y)$, et $J(F,G)\in{\mathbb K}((X))\setminus\lbrace 0\rbrace$), et nous introduisons la notion de polygones de Newton par rapport à une série de Puiseux $y(x)\in{\mathbb K}((X^{1/n})), n\in {\mathbb N}$. Cette notion a l'avantage de donner des informations au-delà des premières paires de Puiseux déterminées par le polygone de Newton usuel. Nous montrons que sous l'hypothèse Jacobienne, les polygônes de Newton de $F$ et $G$ sont -presque- similaires. Nous introduisons ensuite la notion de ``bonnes'' et ``mauvaises'' composantes irréductibles de $F$ et $G$ et lions, moyennant ces polygones, cette notion aux valeurs atypiques des applications polynomiales $f$, $g$, et $(f,g)$. Enfin, nous donnons, en rajoutant un autre ingrédient qui est l'arithmétique des semi-groupes des branches de $F$ et $G$, une réponse positive au problème Jacobien dans quelques cas particuliers.

Il est connu depuis les travaux de Tadeusz Mostowski en 1985 que l'ensemble des germes de surface complexe à équivalence bilipschitz près est dénombrable. En mettant à profit les travaux de Lev Birbrair, Walter Neumann et Anne Pichon sur la classification bilipschitz des germes de surface complexe, nous décrirons comment construire une infinité de germes de surface complexe à singularité isolée qui sont homéomorphes deux à deux (en fait qui ont la même normalisation à isomorphisme près) mais qui ne sont pas bilipschitz équivalents deux à deux.

Generalised Monge-Ampère (gMA) equations were introduced by Pingali and capture several well-known families of PDE on compact Kähler manifolds, including the J-equation, inverse Hessian equations, and certain deformed Hermitian-Yang-Mills and Z-critical equations. By results of Datar-Pingali and Fang-Ma (extending those of Gao Chen, Song, and others) solvability of gMA equations is equivalent to a Demailly-Paun type positivity condition tested on subvarieties, reminiscent of slope stability. In general this slope type condition can be violated by infinitely many subvarieties, of any codimension. However, as a main result we will show that the divisorial Boucksom-Zariski decomposition can be applied to prove that the set of destabilising subvarieties is actually finite in the semistable case, if we impose enough positivity on a certain $(1,1)$ - class. This leads to first existence results and first examples of locally finite wall-chamber decompositions for gMA equations in arbitrary dimension. This is ongoing work with Sohaib Khalid (SISSA).

Dans un travail en commun avec Sébastien Tavenas, on s'intéresse à la question du nombre de points d'intersection entre une courbe rationnelle du plan complexe et une courbe ayant peu de monômes, ou lacunaire. Le cas des systèmes polynomiaux réels ayant peu de monômes est largement étudié, au moins depuis Khovanskii et sa théorie des fewnomials. Le cas complexe l'est moins, car par nature il offre moins de possibilités de borner le nombre de solutions de systèmes creux, autrement que par les degrés en jeu. Nous obtenons néanmoins une borne du point d'intersection entre deux telles courbes qui dépend du diagramme de lacunarité de la courbe lacunaire en question.

Let $f:(\R^3,0)\to(\R^4,0)$ be an analytic map germ with isolated instability. Its link is a stable map which is obtained by taking the intersection of the image of $f$ with a small enough sphere $S^3_\epsilon$ centered at the origin in $\R^4$. If $f$ is of fold type, we define a tree, that we call dual tree, that contains all the topological information of the link and we prove that in this case it is a complete topological invariant. As an application we give a procedure to obtain normal forms for any topological class of fold type.

Dans cet exposé nous allons présenter la résolution du problème des valeurs propres de l'opérateur de Monge-Ampère complexe dans un domaine borné strictement pseudoconvexe à bord lisse de $\C^n$. Cela constitue une généralisation des travaux de P. L. Lions en 1984 dans le cas réel. Pour y parvenir nous allons utiliser la formule d'algèbre linéaire de B. Gaveau (1977) pour définir l'opérateur de Monge-Ampère complexe à partir d'opérateurs linéaires elliptiques du second ordre. Ensuite, nous allons démontrer, l'existence d'une valeur propre de l'opérateur de Monge-Ampère complexe en utilisant les valeurs propres des opérateurs linéaires qui le définissent. Enfin, nous allons démontrer que cette valeur propre est unique et qu'à une constante multiplicative positive, la fonction propre associée est unique.

For any negative psh function on a bounded domain of C^n, we construct a psh function determined by the asymptotical behavior of the given function near its singularity points, both inside the domain and on its boundary. We study properties of such "residual functions" and their relations to asymptotic psh rooftops. The considerations are motivated by a problem on when two given psh functions can be connected by a psh geodesic.

Après avoir introduit la notion de variété et sous-variété singulières coniques et asymptotiquement coniques, on montrera que la "majorité" des ensembles algébriques affines (réels et complexes) ont une telle structure. On déduira ensuite que les métriques intérieure et extérieure sur ces ensembles sont équivalentes. Travail en commun avec André Costa (UECE) et Maria Michalska (Université de Lodz).

La K-stabilité est une notion inspirée de la GIT de Mumford qui permet de produire des espaces de modules de variétés complexes. Ces espaces de modules restent malgré tout assez mystérieux en général, en particulier au voisinage des points dont le stabilisateur est non discret. Dans cet exposé, on présentera une description explicite de l'espace des modules des surfaces de Kähler à courbure scalaire constante (conjecturellement K-polystables) au voisinage d'une surface torique "pliable".

Les perturbations de l'identité d'ordre 2 ou supérieure peuvent être décrites comme flot au temps 1 de champs de vecteurs (formels), appelés générateurs infinitésimaux. Leur résolution de singularités nous amène à étudier les champs de vecteurs non-saturés dont la saturation a une partie linéaire non-nilpotente. Dans un travail en collaboration avec Samuele Mongodi, on identifie des familles de tels champs de vecteurs non-saturés, pour lesquels la variété centrale (non-saturée) est transverse au lieu de saturation. Comme conséquence, on donne une classe de champs de vecteurs en 3d avec séparatrices dans la variété centrale en tout modèle éclaté, phénomène en contraste avec la situation 2d. En appliquant des techniques récentes développées par Lopez-Hernanz, Ribon, Sanz-Sanchez et Vivas, nous décrivons les variétés paraboliques tangentes aux séparatrices.

In 2020, Parusinski and Rond proved that every algebraic set V of R^n is homeomorphic to a Qr-algebraic set V' of R^n, where Qr denotes the field of real algebraic numbers. The aim of this talk is to introduce a new approach to real algebraic geometry with equations over Q in order to provide some classes of algebraic sets that positively answer the following open problem: Q-algebraicity problem: (Parusinki, 2021) Is every algebraic set V of R^n homeomorphic to some Q-algebraic set V' of R^m, with m >= n ?

In this talk, we talk about a collection of homological conditions for Gutierrez–Sotomayor flows on singular surfaces.

On commencera par introduire les notions d'indices et de mesures de Lipschitz-Killing dans le cas des ensembles semi-algébriques, en motivant les définitions par l'étude du cas lisse. On présentera ensuite des formules de type Poincaré-Hopf et Gauss-Bonnet pour les semi-algébriques en expliquant les différences entre les cas compacts et fermés, ainsi qu'une version en famille de ces formules. Enfin, on détaillera le cas particulier des fonctions linéaires génériques, qui permet d'obtenir une formule cinématique globale pour les fermés semi-algébriques.

In singularity theory it is of interest to know whether real or complex analytic germs are approximable by germs that are algebraic (i.e., defined by algebraic power series) and which retain algebro-geometric properties of the original germs. In this talk I will present various algebraic approximability results for analytic germs. A feature common to all these results is that the Hilbert-Samuel function is preserved by the approximation. The Hilbert-Samuel function was used by Hironaka as a measure of singularity and plays a central role in algorithmic realizations of Hironaka's seminal result on the resolution of singularities, such as the well known procedure developed by Bierstone and Milman. All of the results in this talk can be proved by first deriving algebraic systems of equations which encode the algebro-geometric properties to be preserved under the approximation and then applying a version of Artin's approximation theorem. Time permitting, I will sketch a proof of one of the results to demonstrate this technique. Also I will present some future directions of research and the challenges associated with them. Some of the results presented in this talk are joint work with Janusz Adamus at the University of Western Ontario in Canada.

Given a Hamiltonian action of a Lie group G on a symplectic manifold, the Quantization commutes with Reduction principle ([Q,R]=0) of Guillemin-Sternberg states that the space of G-invariants of the quantization of this manifold coincides with the quantization of its symplectic reduction by G. This principle provides in particular a geometric approach to the study of the representation theory of G. In this talk, I will consider the case where G is a circle and where the symplectic reduction is a compact singular symplectic space, then present an approach to establish this principle based on the Berline-Vergne formula and the asymptotics of the Witten integral. This talk is based on a joint work in collaboration with Benjamin Delarue and Pablo Ramacher.

Comment contrôler les volumes des variétés complexes compactes lorsque l'on fait varier la métrique hermitienne ? Cette question est centrale dans de nombreux problèmes de géométrie hermitienne. J'expliquerai certaines motivations et des résultats partiels obtenus en collaboration avec D.Angella et H.C.Lu

Les valeurs atypiques d'un polynôme, ou plus généralement d'une fonction définissable, sont les valeurs au-dessus desquelles le polynôme n'est pas localement trivial. On rappelle plusieurs critères qui caractérisent ces valeurs atypiques, et on donne des relations avec les intégrales de courbures de Gauss et Lipschitz-Killing sur les fibres du polynôme. C'est un travail avec Vincent Grandjean (Universidade Federal de Santa Catarina, Brésil).

The index of a vector field with isolated zeroes enters in the celebrated Poincaré-Hopf theorem which expresses the Euler characteristic of a compact manifold, and which has been extended in various directions. After briefly discussing several of the recent occurrences of the index in the complex geometry, we address the computation of the global index in case of 2-variable real polynomials.