Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

In algebraic and analytic geometry one studies the level sets $X= f^{-1}(c)$ of algebraic or analytic functions $f : \mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C},0)$. A particular task in this context is the computation of topological invariants such as homology and homotopy groups. For a given space $X$ these groups encode the number of holes and handles of $X$. J. Milnor has shown that whenever the function $f$ has an isolated singularity on $\mathbb C^n$ at the origin, the space $X$ is known to be homotopy equivalent to a bouquet of spheres $S^n$ and there is a well known algebraic formula for the number $\mu$ of these spheres: $\mu$ is the dimension is the Jacobian algebra. For functions $f$ whose restriction $f|(X,0)$ to a stratified complex analytic space $(X,0) \subset (\mathbb{C}^n,0)$ has an isolated singularity, the situation is more complicated. We will describe a generalization of the classical phenomena to this more general setup including Milnor's formula.

Étant donné un germe analytique complexe (X,0) dans (C^n,0), la métrique hermitienne standard de C^n induit naturellement une métrique par longueurs d’arcs sur (X,0), appelée métrique interne. La structure métrique interne d’un germe de singularité isolée de surface (X,0) s’étudie via une famille d’invariants numériques appelés taux internes. Je vais expliquer comment ces taux internes peuvent se calculer à partir de la donnée de la topologie de (X,0), avec la configuration d’une section hyperplane générique et de la courbe polaire d’une projection plane générique de (X,0) à l’aide d’une formule de Laplacien sur l’entrelacs non archimédien de (X,0). Puis je vais donner quelques conséquences de cette formule, en particulier une approche de la question de Lê Dung Tràng sur l’existence d’une dualité entre les algorithmes de résolution des singularités de surface par une suite d’éclatements normalisés d’une part, et par une suite de modifications de Nash normalisées d’autre part. Il s’agit d’un travail en commun avec André Belotto et Lorenzo Fantini.

La célèbre formule de Gauss-Bonnet-Chern relie la courbure totale d'une variété riemannienne lisse et compacte à sa caractéristique d'Euler. La suppression de l'une ou l'autre des hypothèses de ce théorème nécessite d'imposer un contrôle géométrique fort au voisinage des singularités et/ou des parties non compactes et d'ajouter des termes quantifiant la courbure concentrée dans les singularités et dans les bouts. Dans cet exposé je présenterai le résultat principal de ma thèse qui est une formule de Gauss-Bonnet-Chern dans le cas où les singularités sont coniques et les bouts de la variété sont asymptotiquement coniques. En associant un nouvel invariant géométrique, appelé la courbure conique totale, au link de chaque singularité et de chaque bout, on est en mesure de quantifier le défaut de courbure en fonction de la géométrie locale des links. Cette courbure conique totale s'exprime en particulier en fonction des courbures de Lipschitz-Killing de chaque link. Si le temps le permet, je présenterai un corollaire intéressant qui montre qu'il n'y a pas d'obstruction topologique à la valeur de la courbure totale d'une variété de dimension 4 admettant un bout conique.

Dans cet exposé, on présentera une approche algébrique de la théorie de la déformation des complexes de faisceaux analytiques, basée sur certaines propriétés des extensions de carré nul. On présentera des applications géométriques.

Récemment A. Dickenstein et l'orateur ont obtenu une borne "à la règle des Descartes" c'est-à-dire s'exprimant comme un nombre de changement de signes, sur le nombre de solutions positives d'un système polynomial de support un circuit. Ils ont également montré que leur borne n'était pas toujours atteinte pour un circuit fixé. Dans cet exposé, nous allons présenter une borne du même type que la précédente, mais qui est atteinte pour tout circuit fixé. C'est un travail en commun avec A. Dickenstein et J. Forsgard.

Khimshiashvili a montré une formule de degré topologique pour la caractéristique d'Euler des fibres de Milnor d'un germe de fonction à singularité isolée. On donne deux généralisations de ce résultat pour les singularités non-isolées. En corollaire, on obtient une formule algébrique pour la caractéristique d'Euler des fibres d'un polynôme réel quasi-homogène et une version réelle de la formule de Lê-Iomdine.

In this talk I will explain how to apply tropical geometry to obtain a continuous model for self-organized criticality.

Nous étudions les feuilletages et tissus sur des surfaces projectives qui possèdent des symétries continues. La classification analytique étant trop fine, nous décrivons ces tissus modulo équivalence rationnelle. En particulier nous prouvons que si un tissus sur une surface est invariant par un flot birationel, alors il y a un modèle birationel de la surface qui est soit le produit d'une courbe par la droite projective, soit un fibré de Seifert sur une courbe, soit un tore. Ceci est un travail en commun avec D. Marín.

Il est connu que les systèmes hypergéométriques GKZ admettent des solutions intégrales "de type Laplace". Nous étudions de tels systèmes dans le cas irrégulier. On sait alors qu'ils admettent des solutions formelles, séries de type Gevrey d'un ordre déterminé par la matrice associée au système. Sous certaines conditions nous montrons que toute solution Gevrey le long d'un hyperplan de coordonnées du support singulier est le développement asymptotique d'une solution intégrale convenablement choisie. Le but de cet exposé est d'introduire les objets qui interviennent dans ce problème, et de montrer qu'on peut obtenir des solutions avec des cycles à décroissance rapide, tels qu'introduits par F. Pham et développés par Marco Hien. Ceci est un travail en commun avec F.J. Castro-Jiménez et M.C. Fern\'andez Fern\'andez.

This seminar is divided in two parts: In the first part we show that a 1-parameter family of real analytic map germs $f_t\mathbb{R}^2,0)\to(\mathbb{R}^3,0)$ with isolated instability is topologically trivial if it is excellent and the family of double point curves $D(f_t)$ in $(\mathbb{R}^2,0)$ is topologically trivial. In particular, we deduce that $f_t$ is topologically trivial when the Milnor number $\mu(D(f_t))$ is constant. In the final part, we show, as an application of this results, that any real analytic map germ $f(\mathbb{R}^2,0)\to(\mathbb{R}^3,0)$ with isolated instability is $\mathcal{C}_0$-finitely determined. (Joint work with Juan José Nuño Ballesteros, Universitat de València)

Dans ce travail de thèse, on s'intéresse à la géométrie des variétés algébriques qui apparaissent comme résolutions minimales de quotients du produit de courbes par l'action d'un groupe fini. On étudie alors la positivité de leur fibré cotangent, en raison des nombreuses implications géométriques de celle-ci et des informations importantes que l'on en déduit pour aborder certains problèmes difficiles comme la résolution des célèbres conjectures de Lang, Lang-Vojta et Green-Griffiths-Lang ; ces conjectures imposent en particulier de fortes contraintes sur la distribution des courbes rationnelles dans les variétés de type général. Dans le cas de la dimension deux, on donne un critère de positivité du fibré cotangent et l'on étudie l'hyperbolicité algébrique des surfaces produit-quotient. Ces résultats s'appliquent au cas des surfaces produit-quotient de type général dont le genre géométrique, l'irrégularité et le second nombre de Segre sont nuls, pour lesquelles on démontre des versions effectives des conjectures précédentes. Plus généralement, en dimension supérieure, on obtient également un critère de positivité du fibré cotangent dans le cas de quotients lisses et l'on étudie en détail le cas des produits symétriques de courbes.

En utilisant l'existence d'une large famille d'entrelacs fibrés en grande codimension - i.e. plus grande que la dimension - nous construisons des exemples ou le nombre minimum de points critiques d'une application lisse entre deux variétés compactes n'est pas trivial, c'est-à-dire ni zéro ni infini.

Les fibres de Milnor jouent un rôle crucial dans l’étude de la topologie d’une singularité de surface. Elles correspondent aux différents lissages possibles de cette singularité. Une description de cette fibre est connue dans certains cas particuliers, mais pas en général, même pour des singularités isolées. D’un autre côté, l’étude de son bord est un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’années. Dans différents contextes, il est prouvé que ce bord est une variété graphée. (Mumford, 1961, pour les singularités isolées, Michel-Pichon, 2003, 2014, pour un lissage d’une surface réduite d’espace total lisse, Némethi-Szilard, 2012, sous les mêmes hypothèses, Bobadilla-Menegon Neto, 2014, pour une surface non réduite et un espace total avec singularité isolée). J’expliquerai comment la preuve constructive proposée par Némethi et Szilard peut être adaptée pour prouver, constructivement, le même résultat pour un lissage de surface réduite d’espace total quelconque. Ceci permet d’espérer l’obtention, à terme, d’une caractérisation des variétés lisses bordant une fibre de Milnor de lissage de surface complexe. De plus, je propose un algorithme simple pour le calcul du bord d’une fibre de Milnor, dans le cas d’une surface définie par une fonction générique sur un germe d’espace torique.

Résumé: As was verified by Kapaev and others, the most basic Stokes phenomena for Painlevé transcendents are described by formal power series solutions and transseries solutions of Painlevé equations. However, to discuss more general Stokes phenomena, we need to deal with instanton-type solutions, which are purely formal and whose behavior are much more wild than transseries solutions. In this talk, from the viewpoint of exact WKB analysis, we investigate instanton-type formal solutions of Painlevé equations and those of the equation for Weierstrass' elliptic functions. After explaining the construction of instanton-type solutions, we discuss analytic interpretation of them. In particular, in the case of the equation for Weierstrass' elliptic functions it turns out that instanton-type solutions are nothing but Fourier expansions of elliptic functions.