Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Dans un travail en collaboration avec Emiliano Ambrosi, nous étudions la topologie réelle des dégénérescences semi-stables totalement réelles, avec certaines conditions techniques sur la fibre spéciale X0, et nous donnons une borne pour les nombres de Betti réels individuels d'une fibre lisse proche de 0 en termes de la géométrie complexe de X0. L'ingrédient principal est l'utilisation de la géométrie logarithmique réelle, qui permet de travailler avec des dégénérescences qui ne sont pas nécessairement toriques et donc de dépasser le cas de dégénérescences tropicales lisses. En particulier, ce résultat généralise travaux antérieurs de Renaudineau-Shaw, obtenu par des techniques tropicales, à un cadre plus général.

In this talk I will explain a work in progress, joint with Baldur Sigurdsson, in which we explore an idea by A'Campo. An explicit collapsing map is constructed for each isolated hypersurface singularity using a natural connection depending on the ambient metric. The preimage of the singular point by the collapsing map yields, on each Milnor fiber of an isolated plane curve singularity, a piecewise smooth spine. The combinatorics and the properties of this spine are analyzed by means of a vector field which is defined on the boundary of the real oriented blow-up of a resolution of the singularity that also resolves the polar curves.

En mécanique des milieux continus, les lois de comportements des matériaux sont modélisées à l'aide de tenseurs réels. L'espace des tenseurs d'une loi de comportement donnée est un espace vectoriel réel muni de l'action du groupe orthogonal d'ordre trois, induite par le changement d'orientation dans l'espace, et on s'intéresse alors aux orbites des tenseurs, ainsi qu'à leurs symétries sous cette action. Bien que les tenseurs mesurés expérimentalement ne présentent en général aucune symétrie, on s'attend à ce qu'une symétrie dans la microstructure d'un matériau donné induise une symétrie dans les tenseurs de comportements associés et on cherche donc à estimer quelle est la symétrie la plus proche d'un tenseur expérimental (on parle de "strate d'isotropie" la plus proche). Les objets mis en jeu étant algébriques réels, on a accès à des méthodes d'optimisation polynomiale réelle pour estimer la distance d'un tenseur expérimental à une strate d'isotropie donnée. Dans cet exposé, on présentera la méthode d'optimisation polynomiale de Lasserre, basée sur la géométrie algébrique réelle, et son application pour calculer des distances à des strates d'isotropies dans les cadres de l'élasticité et de la piézoélectricité. Travail en collaboration avec Perla Azzi, Rodrigue Desmorat et Boris Kolev.

Le théorème de rigidité symplectique d'Eliashberg-Gromov affirme que la limite d'une suite de symplectomorphismes convergeant au sens C^0 vers un difféomorphisme est encore un symplectomorphisme. Ce résultat suggère que l'essence de la géométrie symplectique peut se transposer sur un modèle topologique, et donc par extension sur un modèle PL. Après avoir dressé un bref cadre historique de cette géométrie symplectique PL, nous discuterons d'un résultat de flexibilité quant au immersion lagrangienne dans le cas lisse, ce qui nous conduira à présenter une construction permettant d'approcher un tore lagrangien lisse par une surface PL lagrangienne au sens C^1.

Sur une variété kählérienne compacte, la distance de Mabuchi entre deux métriques kählériennes admet une formule explicite en termes de la dérivée en temps du chemin géodésique. On s’étend cette formule au cas des potentiels singuliers dont l’entropie de la mesure de Monge-Ampère est finie. C’est un travail en collaboration avec Eleonora Di Nezza.

Un polynôme à coefficients entiers peut-il prendre un nombre infini de valeurs qui soient des nombres premiers ? Cette question ouverte se généralise dans la célèbre hypothèse de Schinzel (H) : soient $P_1$,...,$P_s$ des polynômes irréductibles dans $\mathbb{Z}[x]$, sous une hypothèse naturelle, existe-t-il une infinité de $n \in \mathbb{Z}$ tels que $P_1(n)$,...,$P_s(n)$ sont simultanément des nombres premiers ? Si cette hypothèse était vraie, elle prouverait plusieurs conjectures anciennes comme le problème des nombres premiers jumeaux. Nous allons considérer deux variantes : a) une version relative de l'hypothèse de Schinzel : existe-t-il une infinité de $n$ tels que $P_1(n)$,...,$P_s(n)$ soient premiers entre eux ? b) une version de l'hypothèse de Schinzel où l'anneau $\mathbb{Z}$ est remplacé par l'anneau $R=\mathbb{Z}[t]$. Nous terminerons par le lien entre ces deux variantes. Ceci est un travail conjoint avec Pierre Dèbes, Salah Najib et Joachim König.

Le tenseur d'élasticité est un exemple riche et important pour la mécanique du solide qui illustre l'intérêt pour les applications de la géométrie des espaces d'orbites en géométrie algébrique réelle. Je présenterai une série de résultats obtenus récemment, notamment sur ses invariants et covariants. Une base minimale complète d'invariants de ce tenseur a été obtenue récemment et des critères algébriques, caractérisant les classes de symétrie ont été formulés en utilisant des covariants polynomiaux (plutôt que des invariants). J'expliquerai les principales étapes de ces développements, notamment la théorie des invariants des formes binaires et de leur traduction tensorielle.

Le but de l’exposé est de présenter une description explicite et simple de la cohomologie des puissances symétriques tordues du fibré cotan- gent d’intersections complètes lisses, et d’en donner des applications. Entre autres choses, nous discuterons de théorèmes d’annulation et de non-annulation, ainsi que d'un théorème qui généralise un résultat récent de DeOliveira–Langdon via une méthode complètement différente.

We study the relationship between metric and algebraic structures on section rings of polarised projective manifolds. More precisely, we prove that once the kernel is factored out, the multiplication operator of the section ring becomes an approximate isometry (up to normalization) with respect to the L^2-norm. We then show that this algebraic property characterises L^2-norms and describe some applications of this characterisation. The semiclassical version of Ohsawa-Takegoshi theorem, describing holomorphic extensions from submanifolds to global manifolds of holomorphic sections of sufficiently large tensor powers, lies at the heart of our approach.

On introduit une nouvelle méthode pour établir l’estimation uniforme C0 des solutions aux équations de Monge-Ampère complexes. Notre approche est basée sur une utilisation raffinée des enveloppes pluri-sousharmoniques. C’est un travail en collaboration avec Vincent Guedj.

Soit (X,0) un germe de surface complexe plongée dans C^n ayant une singularité isolée en l'origine et f : (X,0) -> (C,0) un germe fonction holomorphe non constante. Nous nous focaliserons sur l'étude de la métrique interne des fibres de Milnor f^(-1)(t) en définissant une famille d'invariants métriques appelés taux-internes (ou inner-rates en anglais). Je vais ensuite énoncer la formule des inner-rates qui non seulement procure un moyen concret de calculer ces invariants mais également de les mettre en lien avec les courbe polaires générique de la fonction f.

On s'intéresse à la stabilité des systèmes dynamiques holomorphes sous perturbation. En dimension 1, la théorie est maintenant classique et est basée sur les travaux de Lyubich, Mané-Sad-Sullivan, et DeMarco. Je passerai en revue cette théorie et présenterai une généralisation récente valable pour les familles d'endomorphismes en toute dimension. Puisque les techniques classiques de la dimension 1 ne s'appliquent plus aux dimensions supérieures, notre approche est basée sur des méthodes ergodiques et pluripotentielles.

Les fonctions rationnelles bornées sont une extension naturelle des fonctions régulues et sont liées à la normalisation. On cherche à créer une géométrie à l'aide de ces fonctions, malgré le fait qu'elle ne soient pas définies partout. À partir de cette géométrie on cherche à dériver des résultats algébriques. On présentera la géométrie, proche de la géométrie semi-algébrique, et ses différents raffinements nécessaire pour l'obtention de résultats algébriques forts. On verra notamment les hypothèses nécessaires pour avoir un Nullstellensatz, et d'autres résultats algébriques comme un théorème sur la dimension de Krull. On étudiera des idéaux non de type finis assez peu conventionnels, et si le temps le permet, on donnera la particularité surprenante du spectre réel des fonctions rationnelles bornées sur le plan.

We prove that actions of complex reductive Lie groups on a complex compact manifold are locally extendable to its Kuranishi family. This can be seen as an analogue of the existence of formal equivariant structures on formal semi-universal deformations of projective schemes in the analytic setting.

In [1], Labourie introduces what he calls the asymptotic Plateau problem for surfaces of constant extrinsic curvature which are complete in a suitable sense ($k$-surfaces) in Cartan-Hadamard manifolds. We provide a complete solution of this problem. [1] Labourie F., Un Lemme de Morse pour les surfaces convexes, Invent. Math., 141, no. 2, (2000), 239–297

K-stability is an algebraic notion that detects the existence of Kahler-Einstein metrics on Fano varieties. I will give some overview of the theory of K-stability from a birational geometer’s perspective. Then I go through the existing methods of verifying K-stability for a given Fano variety before introducing the new method (joint work with Ziquan Zhuang) which is based on linear algebra and induction. Several results will be illustrated.

Anosov representations are a geometrically and dynamically distinguished family of homomorphisms from a hyperbolic discrete group into a semisimple Lie group. In this talk we consider the case of Anosov representations from pi_1(S) to G, where S is a closed orientable surface and G is a complex semisimple Lie group. A theory developed by Guichard-Wienhard and Kapovich-Leeb-Porti associates compact complex manifolds to the actions of pi_1(S) on flag varieties of G arising from such representations. We present various results on the topology and complex geometry of such manifolds, and consider the question of whether the family they form over the space of Anosov representations is universal. This is joint work with Andrew Sanders (arxiv:1704.01091 and arxiv:2010.05147).

On étudie la variation de la masse de la mesure de Monge-Ampère complexe sur une variété non-kählérienne. On montre que la positivité (et la finitude) de la masse ne dépend pas de la métrique choisie et c'est un invariant biméromorphe. Une conjecture de Demailly-Paun affirme que si une variété compacte hermitienne admet une classe de cohomologie nef et big alors cette classe contient un courant de Kähler, et donc la variété est biméromorphe à une variété de Kähler. On confirme cette conjecture dans le cas où la masse de Monge-Ampère est finie. C’est un travail en collaboration avec Vincent Guedj: https://arxiv.org/pdf/2106.04272.pdf.

Considérons un champ de vecteurs X partout non-nul sur une variété fermée de dimension 3. On dit que X admet une section de Birkhoff s'il existe une surface compacte à bord S immergée, telle que son intérieur est plongé et transverse à X, et l’image de son bord est une collection d’orbites périodiques. Nous demandons de plus que toute orbite de X intersecte S (en temps borné). Une section de Birkhoff permet de réduire l’étude de la dynamique du flot à celle d’un difféomorphisme de S. Je vais citer quelques exemples de résultats d'existence de sections de Birkhoff, en commençant par un théorème de H. Poincaré. Je finirai par expliquer un résultat récent obtenu en collaboration avec V. Colin, P. Dehornoy et U. Hryniewicz : génériquement tout flot de Reeb admet une section de Birkhoff.

Les points singuliers sont les points au voisinage desquels la géométrie présente des caractères différents des autres points. Il y a deux types de points singuliers de variétés de Poisson, la structure peut être singulière mais aussi la variété elle-même peut avoir des singularités. Résoudre une singularité de Poisson est (intuitivement) obtenir celle-ci comme une projection à partir d'une variété sans singularités et symplectique. Dans un premier temps, je vais montrer que certains types de structures de Poisson n'admettent pas de résolution symplectique. Ensuite, je vais donner deux exemples de la construction de résolution symplectique des quotients de R^2 par des groupes infinis mais discrets qui agissent proprement sur R^2.