Séminaire de topologie et géométrie algébriques

Le Combinatorial Nullstellensatz est un théorème de Noga Alon généralisant aux polynômes à plusieurs variables l'idée qu'un polynôme de degré $d$ ne peut avoir $d+1$ racines. S'il n'a été isolé et publié qu'en 1999, certaines de ses applications l'avaient précédé. C'est la multitude de ses applications combinatoires qui ont mis en valeur ce résultat algébrique subtil mais élémentaire. Dans un premier temps, je préciserai plusieurs énoncés équivalents du Combinatorial Nullstellensatz, qui justifieront son appelation algébrique et donnerai une ébauche de preuve. Ensuite, je développerai autant que possible le vaste éventail combinatoire de ses applications, en géométrie discrète, en théorie des graphes et plus particulièrement en combinatoire additive.

Le résumé : Une des questions importantes concernant une surface lisse complexe de P^4 est le calcul de son irrégularité. Dans cet exposé nous parlerons de ce problème en supposant que la surface est contenue dans une hypersurface de degré plus petit ou égal à 4. On montre que les fibrés elliptiques en droites et, respectivement, en coniques sont les seules surfaces irrégulières contenues dans une hypersurface cubique et, respectivement, quartique (ayant seulement des points doubles ordinaires). L'outil technique principal de ce calcul sera le complexe de Koszul associé à la section globale du fibré conormal (tordu) de la surface, section induite par l’hypersurface.

Les variétés toriques sont habituellement supposées normales afin d'avoir une description combinatoire complète par des éventails de cônes dans $\R^n$. On obtient ainsi un dictionnaire entre les propriétés géométriques de ces variétés toriques et les propriétés combinatoire des éventails. Pedro Daniel Gonzalez Perez et Bernard Teissier ont étendu cette équivalence aux variétés toriques non-normales en considérant des éventails avec la donnée supplémentaire d'une famille de monoïdes compatibles. Dans un travail avec François Bernard, nous étudions une classe intermédiaire de variétés toriques, dites "semi-normales" et montrons, grâce à un résultat de Les Reid et Leslie Roberts sur la semi-normalisation des monoïdes, qu'elles sont équivalentes à la donnée d'un objet combinatoire que nous avons appelé "éventails à groupes". On obtient ainsi une classe de variétés toriques ayant des singularités plus générales que les variétés normales, tout en ayant une structure combinatoire beaucoup plus simple que les variétés toriques générales non-normales.

Une contraction de Mori élémentaire depuis une variété algébrique lisse X est un morphisme à fibres connexes vers une variété normale qui contracte un unique rayon extrémal de courbes K_X-négatives. Grâce à un résultat de P. Ionescu et J. Wisniewski, on sait que la longueur d'une telle contraction est majorée. Dans un article publié en 2014, A. Höring et C. Novelli on étudié les contractions de Mori de longueur maximale, c'est à dire celles dont la longueur est égale à sa borne supérieure. Leur résultat donne une classification totale de ces contractions à modification birationnelle près, construisant un fibré projectif comme modèle birationnel du lieu contracté. Dans mon exposé, je vais évoquer le cas des contractions divisorielles de longueur sous-maximale.

En 2013, Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi ont introduit la notion de structure symplectique décalée sur un champ algébrique (dérivé), et produit de nombreux exemples de telles structures à l'aide de la construction AKSZ. Dans une première partie, j'introduirai ce résultat, en mentionnant les exemples de structures symplectiques classiques qu'il généralise. Ensuite, j'exposerai une stratégie pour étendre cette construction au cas plus général des structures Poisson décalées. Comme nous le verrons, cette stratégie réduit le problème à une question algébro-homotopique : celui d'établir une procédure d'intégration le long des fibres pour les bigèbres de Lie décalées. En fonction du temps restant, j'esquisserai une preuve de ce résultat dans le cas 1-catégorique. Il s'agit d'un travail en cours en collaboration avec Valerio Melani.

Soit X -> Y une application holomorphe entre variétés compactes Kähleriennes. Si une fibre générale du morphisme est une variété projective il est naturel de se demander si le morphisme est projectif, c'est à dire si X se plonge dans un fibré projectif P(V) -> Y. Dans cet exposé on verra qu'en général la réponse est non (c'est bien connu), mais que dans certaines situations intéressantes pour la géométrie birationelle, la réponse est oui. Ceci est un travail en commun avec Benoit Claudon.