Séminaire de géométrie algébrique

Les modèles de dimères sur les graphes planaires, englobant les pavages aléatoires par dominos et par losanges, ont fait leur début en tant qu'objet d'étude mathématique avec les travaux de Kasteleyn dans les années 1960. Au début des années 2000, d'importants résultats théoriques sont démontrés, dont deux résultats dans des directions différentes : - la construction du diagramme de phases pour les modèles de dimères sur graphes planaires bipartis bipériodiques, et les propriétés universelles de ces phases (Kenyon, Okounkov, Sheffield) à l'aide de la "courbe spectrale" - la "localité" de l'"inverse" de la matrice de Kasteleyn qui sert à calculer les corrélations entre dimères pour une famille de graphes planaires particuliers : les graphes "isoradiaux" critiques (Kenyon). Nous généralisons ces deux types de résultats dans un cadre unifié. En travaillant sur une famille de graphes un peu plus générale que les graphes isoradiaux, sans hypothèse de périodicité, et étant donné une surface de Riemann compacte maximale, nous construisons des familles de poids pour le modèle de dimères sur ces graphes et décrivons le diagramme de phase. Toutes les mesures obtenues ont la propriété de localité observées par Kenyon dans le cas critique. Ce travail est une collaboration avec David Cimasoni (Genève) et Béatrice de Tilière (Dauphine).

La mesure de Mahler des polynômes en plusieurs variables, introduite d'abord pour la théorie des nombres transcendants, est une quantité qui apparaît dans de nombreux domaines des mathématiques. En particulier, des liens profonds et conjecturaux ont été découverts entre mesures de Mahler et fonctions L de variétés algébriques. Sous certaines hypothèses sur le polynôme, Deninger a donné une explication cohomologique de ces relations. Je présenterai un travail en cours avec Riccardo Pengo, où nous continuons cette approche pour les polynômes dits exacts. J'introduirai la notion de polynôme successivement exact et montrerai que la mesure de Mahler s'interprète dans la cohomologie de variétés de dimension de plus en plus petite dans l'hypersurface définie par le polynôme.

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Une équation différentielle à coefficients analytiques sur une surface de Riemann X donne lieu à un faisceau localement constant d'espaces vectoriels sur X (le faisceau des solutions) ou, de manière équivalente, à une représentation linéaire du groupe fondamental (la monodromie de l'équation) Si l'équation possède une "symétrie cachée", celle-ci se reflète dans le système local associé, qui devient un système local "tordu". Concrètement, la représentation de monodromie n'est plus un morphisme de groupes mais un morphisme croisé pour une certaine action du pi_1 sur les coefficients du système local (comme en cohomologie des groupes). Le but de l'exposé est de donner une introduction à ces objets, en insistant sur le contenu géométrique. Dans un premier temps, on verra que les variétés de caractères tordues (=morphismes croisés modulo équivalence) paramètrent certains objets géométriques qui généralisent naturellement les G-fibrés plats. Et dans un second temps, on verra ce qu'il advient de la correspondance de Hodge non-abélienne dans ce contexte tordu, répondant ainsi à une question de Carlos Simpson dans son article 'Higgs bundles and local systems’ (1992).

In this talk we discuss the appearance of cluster algebras structures in a new example of symplectic/Poisson manifold: the Stokes manifold, namely the  monodromy manifold associated to a linear system of ODEs in the complex plane with polynomial coefficient of generic degree (i.e. having only one irregular singularity). This is obtained from the construction of log-canonical coordinates for the classical Flaschka-Newell Poisson structure, first defined there by these authors in the ‘80 while studying the inverse monodromy map. Based on the joint work with Marco Bertola arXiv:2104.13784.

Gromov-Witten invariants are notoriously hard to compute, and despite much work, we currently lack a good understanding of how Gromov-Witten invariants change under blowups. On the other hand, we have a relatively good understanding of Gromov-Witten invariants of complete intersections in toric varieties and Grassmannians, thanks to theorems by Givental and Ciocan-Fontanine-Kim-Sabbah. I will show that under favorable circumstances we can view blowups as such complete intersections, which allows us to write down explicit generating functions for Gromov-Witten invariants of these blowups. This is joint work with Tom Coates and Qaasim Shafi.

Dans le contexte de la théorie de jauge, l’espace des modules joue un rôle important pour décrire la structure des vides supersymmètriques. En particulier, la branche de Coulomb de l’espace des modules en 4 dimensions est décrite par la théorie de Seiberg-Witten, qui présente des connexions aux systèmes intégrables, théorie conforme des champs, etc. Dans cet exposé, je discuterai des aspects théoriques géométriques des représentations de l’espace des modules de la théorie de jauge du point du vue de la variété de carquois. Je notamment montrerai comment obtenir quantification de l’espace des modules en utilisant l’action équivariante sur la variété de carquois, qui donne doublement quantification du caractère, appelé qq-caractère, associé à la représentation du carquois.

We will begin this talk with a brief summary of different notions of equisingularity in families of isolated hypersurface singularities, concentrating on various notions of simultaneous desingularization. We will then report on joint work with Max Leyton and Hussein Mourtada. The starting point of this work is a 1980 paper by Yujiro Kawamata in which the author claims to relate the existence of simultaneous embedded resolution in a family to the property of the family being \mu*-constant. Inspired by this paper, we formulated two conjectures relating the notions of \mu-constant, \mu*-constant and simultaneous embedded resolution. We will discuss our proof of the first of the two conjectures and illustrate it with the example of Briançon – Speder.

Soit X une variété affine complexe. On peut construire, par un procédé algébrique sur l'anneau de cordonnées de X, une variété X? que l’on appelle la seminormalisation de X. Cette nouvelle variété peut être vue comme la normalisation de X dont on auraient collé les points se trouvant au dessus d’un même point de X. Un des intérêts de la seminormalisation provient du fait qu’elle possède des singularités particulières tout en restant liée à X par un morphisme fini, bijectif et birationnel. Le résultat principal de cet exposé est que l’on peut identifier l’anneau de cordonnées de X? avec les fonctions définies sur C) qui sont rationnelles et continues pour la topologie euclidienne. Pour mieux comprendre la seminormalisation, il convient alors de mieux comprendre ce type de fonctions. Nous verrons dans un premier temps qu’une fonction euclidiennement continue et annulée par un polynôme à coefficients dans C[X] est nécessairement rationnelle. De cela nous déduirons que les fonctions rationnelles continues coïncident avec les fonctions régulues dans le cadre de la géométrie algébrique complexe. Enfin nous regarderons des exemples explicites de seminormalisations et de fonctions régulues complexes.