Séminaire de topologie et géométrie algébriques

De la même manière que les champs algébriques se présentent comme quotients de leur atlas — le long du groupoïde formé par les intersections itérées — les champs dérivés symplectiques (cohomologiquement décalés) peuvent être présentés comme quotients de groupoïdes symplectiques. Nous nous intéressons ici, à partir d'un travail commun avec Damien Calaque, à l'exemple fondamental des champs cotangents décalés. La construction des cotangents décalés ne préserve pas /a//priori/ toute la structure de groupoïde de Segal d'un atlas, mais seulement une structure plus faible, dite de 2-Segal. Nous expliquerons comment on produit et comprend cette structure, et comment les symétries groupoïdales sont ce qui permet de retrouver les conditions de Segal.

La construction originale d'Enriques des surfaces d'Enriques date de 1896. Elle implique une famille de dimension 10 de surfaces sextiques dans l'espace projectif, qui ne sont pas normales le long des bords d'un tétraèdre. La question de savoir si toute surface d'Enriques résulte de la construction d'Enriques est restée ouverte pendant plus d'un siècle. Dans deux travaux communs avec G. Martin (Bonn) et G. Mezzedimi (Bonn), nous avons désormais tranché cette question en toutes caractéristiques en étudiant des configurations particulières de fibrations de genre un, et deux invariants appelés non-dégénérescence minimale et maximale. La preuve utilise ce que l'on appelle des `graphes triangulaires', ainsi que la distinction entre les 3-séquences spéciales et non spéciales de demi-fibres. Dans mon exposé, je présenterai la classification des surfaces d'Enriques à faible non-dégénérescence et j'expliquerai comment cette classification résout ce problème centenaire.

Soit (C^n,0)->(C,0) un germe d'une fonction holomorphe avec une singularité isolée. La formule de Milnor calcule la différence des caractéristiques d'Euler de la fibre singulière et de la fibre générique en termes du nombre de Milnor, i.e. de la dimension (complexe) de l'algèbre Jacobienne. Soit S un trait hensélien de caractéristique résiduelle p et soit X un S-schéma plat, séparé, de type fini et régulier. On suppose que le morphisme structurel n'a qu'une singularité isolée. La formule de Deligne-Milnor, conjecturée par P. Deligne, généralise la formule de Milnor au cas de caractéristique positive ou mixte. Elle calcule la différence des caractéristiques d'Euler (l-adiques, pour l un nombre premier différent de p) des fibres géométriques de X/S en termes d'un nombre de nature algébrique (qui s'appelle aussi nombre de Milnor) et d'un nombre de nature arithmétique (le conducteur de Swan de la cohomologie de la fibre générique géométrique). Le cas où S est d'équi-caractéristique positive a été démontré par P. Deligne (aussi que le cas de dimension relative de X/S=0 et le cas des singularités quadratiques ordinaires). En caractéristique mixte, la conjecture est ouverte en dehors des cas dessus et du cas de dimension relative de X/S égal à 1, obtenue par des théorèmes de S. Bloch et de F. Orgogozo. Dans cet exposé, en suivant des idées de B. Toën et G. Vezzosi, on discutera comment démontrer la formule de Deligne-Milnor sous l'hypothèse additionelle d'action unipotente du groupe d'inertie sur la cohomologie de la fibre générique géométrique en utilisant la géométrie non commutative et la géométrie dérivée. Cela nous donne des nouveaux cas de la conjecture en caractéristique mixte. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec D. Beraldo: arXiv:2211.11717.

Il a été montré par Mukai que l'ordre maximum d'un groupe fini agissant fidèlement et symplectiquement sur une surface K3 est 960. De plus, si ce groupe est exactement d'ordre 960, alors il est isomorphe au groupe de Mathieu M20. Dans cet exposé, nous allons nous intéresser aux surfaces K3 projectives admettant une telle action. Le but est de toutes les décrire et de comprendre quand il est possible de construire explicitement un modèle projectif. Nous verrons aussi qu'il existe un nombre infini de telles surfaces K3. Enfin si le temps le permet, nous parlerons d'une potentielle généralisation de ces résultats aux variétés IHS du type K3^[2].

Les groupes de cohomologies à coefficients tordus des groupes de difféotopies des surfaces compactes orientables sont généralement très difficiles à calculer. Dans cet exposé, je vais décrire des calculs de groupes de cohomologies stables de ces groupes de difféotopies à coefficients dans l'homologie des fibrés tangents unitaires des surfaces considérés. Ce type de coefficients se situe en dehors des cadres traditionnels de la stabilité homologique successivement définis par Harer, Ivanov, puis Randal-Williams et Wahl. En effet, ils forment un foncteur covariant (et non pas contravariant comme c'est classiquement le cas) sur la catégorie canonique associée aux groupes de difféotopies. Je présenterai également des calculs de cohomologie stables à coefficients donnés par les puissances tensorielles et extérieures de ces représentations. Ces travaux sont en collaboration avec Nariya Kawazumi.

TBA

La topologie quantique s’intéresse à des invariants topologiques de nœuds et 3-variétés inspirés par certaines théories quantiques des champs. L’un de ces invariants quantiques est fourni par la TQFT de Teichmüller, construite par Andersen et Kashaev en 2011. D’autre part, certains complémentaires de nœuds peuvent admettre une métrique hyperbolique complète, qui est alors unique. On peut alors en extraire des invariants de nœuds comme le volume hyperbolique, notamment en étudiant l'espace de solutions d'un système d'équations polynomiales complexes. La conjecture du volume d’Andersen-Kashaev connecte ces deux familles d’invariants en proposant que la TQFT de Teichmüller d’un complémentaire de nœud hyperbolique doit contenir le volume hyperbolique de ce nœud comme un certain coefficient asymptotique. Dans cet exposé, après un historique des invariants quantiques des nœuds et des conjectures du volume, je présenterai la construction de la TQFT de Teichmüller et comment nous avons démontré la conjecture du volume pour la famille infinie des nœuds twist. Pour ce faire nous avons construit de nouvelles triangulations des complémentaires de ces nœuds, appelées triangulations géométriques car elles encodent la structure hyperbolique de la 3-variété sous-jacente. Aucun prérequis en topologie quantique ou en géométrie hyperbolique n'est nécessaire. (Travail en collaboration avec E. Piguet-Nakazawa et F. Guéritaud.)

A préciser.

La construction originale d'Enriques des surfaces d'Enriques date de 1896. Elle implique une famille de dimension 10 de surfaces sextiques dans l'espace projectif, qui ne sont pas normales le long des bords d'un tétraèdre. La question de savoir si toute surface d'Enriques résulte de la construction d'Enriques est restée ouverte pendant plus d'un siècle. Dans deux travaux communs avec G. Martin (Bonn) et G. Mezzedimi (Bonn), nous avons désormais tranché cette question en toutes caractéristiques en étudiant des configurations particulières de fibrations de genre un, et deux invariants appelés non-dégénérescence minimale et maximale. La preuve utilise ce que l'on appelle des `graphes triangulaires', ainsi que la distinction entre les 3-séquences spéciales et non spéciales de demi-fibres. Dans mon exposé, je présenterai la classification des surfaces d'Enriques à faible non-dégénérescence et j'expliquerai comment cette classification résout ce problème centenaire.

De la même manière que les champs algébriques se présentent comme quotients de leur atlas — le long du groupoïde formé par les intersections itérées — les champs dérivés symplectiques (cohomologiquement décalés) peuvent être présentés comme quotients de groupoïdes symplectiques. Nous nous intéressons ici, à partir d'un travail commun avec Damien Calaque, à l'exemple fondamental des champs cotangents décalés. La construction des cotangents décalés ne préserve pas /a//priori/ toute la structure de groupoïde de Segal d'un atlas, mais seulement une structure plus faible, dite de 2-Segal. Nous expliquerons comment on produit et comprend cette structure, et comment les symétries groupoïdales sont ce qui permet de retrouver les conditions de Segal.

Dubrovin's conjecture, arising from physics, relates two different areas of algebraic geometry, quantum cohomology and derived categories. It states that, for any Fano variety, the derived category admits a full exceptional decomposition if and only if the quantum cohomology is generically semisimple. Test cases to show that the conjecture holds are homogeneous projective spaces: for some of them, among which (co)adjoint varieties, the conjecture has been shown to be true. In this talk we will focus on the cohomology side of the conjecture and we will study hyperplane sections of (co)adjoint varieties. These varieties, even though they are not homogeneous, admit an action of a torus with a finite number of fixed points. The aim of the talk is to show how to use this action to compute the cohomology and the quantum cohomology of such varieties; if time permits, we will summarize what is known with respect to Dubrovin’s conjecture in this context. This is a joint work with N. Perrin.

I would like to speak on joint work with Adeel Khan, Alyosha Latyntsev, Hyeonjun Park and Charanya Ravi about using homotopical methods to study torus and cosection localization. One of the consequences of this is a general form of Graber and Pandharipande's virtual localization formula with no hypothesis about global resolutions or global embeddings. Along the way I will describe a general concentration theorem for torus actions on stacks and a homotopy invariance result for quasi-smooth cone stacks. With respect to cosection localization, working in the derived/homotopical setting allows us to consider cosection localization in settings where cone reduction does not generally hold. My plan is to cover torus localization in some detail and depending on the time/audience interest say a bit about cosection localization afterwards.

By making use of Halperin's local systems over simplicial sets and the model structure of the category of diffeological spaces (diff-space) due to Kihara, we introduce a framework of rational homotopy theory for such smooth spaces with arbitrary fundamental groups. As a consequence, we have an equivalence between the homotopy categories of fibrewise rational diffeological spaces and an algebraic category of minimal local systems elaborated by G\'omez-Tato, Halperin and Tanr\'e. Moreover, we give an example of the minimal local system for a diffeological function space by incorporating rational homotopy theory for nilpotent diff-spaces into the theory for the local systems.

The K3 surfaces and the Abelian surfaces are strictly related by several construction and properties. A first relation between K3 surfaces and Abelian surfaces is the Kummer construction which associates to an Abelian surface its quotient by a specific involution. Such a quotient is birational to a K3 surface. The transcendental lattice of an Abelian surface and of its quotient are related, but not isometric. Shioda and Inose proposed in the Seventies a different construction to relate Abelian surfaces and K3 surfaces which have isometric transcendental lattices. Morrison proved the existence of this relation for every Abelian surfaces and constructed it by considering special automorphisms of order 2. There exists a generalization of the Kummer construction by using higher order automorphisms. The aim of this talk is to discuss the generalization of the Shioda--Inose constructions related with automorphisms of order greater than 2. In particular, we prove results analogous to the ones for the order 2 cases in the case of order 3, but we show that there are problems in generalizing the results to other orders.