Séminaire de géométrie algébrique

Le principe de Lefschetz quantique permet de connaître les invariants de Gromov--Witten du lieu des zéros d'une section de fibré à partir de ceux de l'espace ambiant. Plus généralement, il exprime une relation entre les classes fondamentales virtuelles des champs de modules d'applications stables vers ces schémas, obtenues par une construction qui peut sembler impénétrable. Dans cet exposé, j'expliquerai comment interpréter à l'aide de la géométrie dérivée ce résultat comme un phénomène purement géométrique, et en déduire une catégorification de la formule pour les classes virtuelles.

L'inversion de Laurent est un algorithme pour construir des déformations qui sont au centre de la symétrie miroir des variétés de Fano. Le but de cette construction c'est de trouver une variété de Fano peu singulière à partir d'un certain polynôme de Laurent f. Je présenterai mes progrès dans le cas 3-dimensionnel. Soit f un polynôme de Laurent dont le support est un polytope P, auquel on associe un variété de Fano torique X_P. Dans le cas le plus général, l'inversion de Laurent construit un plongement de X_P dans une variété torique ambiente Y. Si en plus X_P est une intersection complète des fibrés en droites sur Y, alors une section générale de ces fibrés est une variété de Fano X dont une dégénération torique est X_P. La difficulté est donc d'en trouver un tel Y permettant que X soit le plus lisse que possible.

C-holomorphic functions defined on algebraic sets and having algebraic graphs can be considered as a complex counterpart of regulous functions introduced recently in real geometry. They share many properties with regular functions but do not have a sufficiently good structure to be dealt with with purely algebraic or differential methods. The approach has to be more geometric. During the talk we shall concentrate on some effective Nullstellensätze in the class of c-holomorphic functions with algebraic graphs.