Séminaire de géométrie algébrique

The use of symmetric cryptography enables to provide various security features such as confidentiality, authentication or hashing by combining a low-level primitive (i.e. a permutation or a block cipher), with a mode of operation. In this presentation we will focus on the design and security analysis of some symmetric primitives. New symmetric primitives are designed to be executed in abstract contexts such as zero-knowledge proof systems (ZK), widely used in crypto-currency applications such as Bitcoin or Ethereum. ZK protocols are algorithms involving several parties that allow a prover to convince a verifier that he knows a secret without revealing it. These protocols have, in particular, highlighted the need to minimise the number of multiplications performed by the primitive in large finite fields. As the number of the so-called Arithmetization-Oriented (AO) designs increases, it is important to better understand the properties of their underlying operations. First, we will study the algebraic degree of one of the first such block ciphers, namely MiMC, that is mainly composed a low-degree power permutation (usually the cube). We will show that, while the univariate degree increases predictably with the number of rounds, the algebraic degree has a much more complex behaviour, and simply stays constant during some rounds. In particular, we will provide a precise guarantee on the algebraic degree of this cipher, and then on the minimal complexity for integral attacks. In addition to this mathematical analysis, we will also be interested in practical attacks on other primitives like Rescue or Poseidon. Finally, from the cryptanalysis of these different designs we will see how we came up with our own family of ZK-friendly hash functions: Anemoi. With this new family, we will push further the frontier in understating the design principles behind AO hash functions. Indeed, we will rely on a mathematical concept, namely the CCZ equivalence, to design our main component: the Flystel.

Dans cet exposé, je présenterai des interactions entre les surfaces K3 et certains groupes de réflexions complexes : tout d'abord en utilisant certains sous-groupes de groupes de réflexions complexes on peut construire plusieurs familles de surfaces K3 avec nombre de Picard maximal. Je montrerai comme la théorie des groupes de réflexions complexes et plus précisément la théorie de Lehrer-Springer, aide dans la compréhension des propriétés géométriques de ces familles en évitant au maximum une analyse au cas par cas. Si le temps le permettra je montrerai aussi comme les groupes de réflexions complexes apparaissent dans l'étude des groupes d'automorphismes des surfaces K3. Ces résultats sont issus de travaux communs avec C. Bonnafé.

Mukai realised the blow-up X of P^4 in 8 points as a moduli space of vector bundles on a degree-one del Pezzo surface. With the same construction, Casagrande-Codogni-Fanelli associated to the degree-one del Pezzo surface S a smooth Fano fourfold Y with remarkable geometric properties, and described explicitly the interplay between S, X and Y. Building on their work, we continue to explore the birational geometry of Y which is an important example of Fano fourfold. We will describe completely the base scheme of the anticanonical system of Y, and discuss the action of the Bertini involution on Y induced by the Bertini involution on S. In particular, we will explain the relation between the Bertini involution and the anticanonical map of Y, and show that the involution preserves every divisor in the anticanonical system of Y.

L'invariant de Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa (BCOV) est un invariant réel des variétés de Calabi-Yau, construit par la torsion analytique. Après une introduction de sa construction, je vais présenter un travail en commun avec Yeping Zhang, où on démontre son invariance birationnelle. Notre résultat peut être vu comme l'analogue "secondaire" du théorème de Kontsevich sur l'invariance birationnelle des nombres de Hodge pour les variétés de Calabi-Yau. Si le temps le permet, je discuterai une définition naturelle de l'invariant de BCOV pour les variétés de Calabi-Yau légèrement singulières.

Une singularité $(X,0)$ de dimension $d$ est quasi-ordinaire par rapport à une projection finie $p: (X,0)\longrightarrow (\textbf{C}^d,0)$ si le discriminant de la projection est un diviseur à croisements normaux. Les singularités quasi-ordinaires sont au cœur de l'approche de Jung de la résolution des singularités en caractéristique zéro. En caractéristiques positives, elles ne sont pas très utiles du point de vue de la résolution des singularités, le problème de leurs résolutions étant presque aussi compliqué que le problème de résolution des singularités en général. En utilisant une version pondérée du polyèdre caractéristique de Hironaka (ou tout simplement la géométrie des équations) et des plongements successifs dans des espaces affines de "grandes" dimensions, nous introduisons la notion de singularités Teissier qui coïncide avec les singularités quasi-ordinaires en caractéristiques zéro, mais qui en est différente en caractéristiques positives. Nous démontrons qu'une singularité Teissier $(X,0)$ définie sur $\bar{F}_p$ est la fibre spéciale d'une famille équisingulière $\chi$ sur $ \mathrm{Spec}(O_{\textbf{C}_p}), $ dont la fibre générique (en caractéristique zéro donc) a des singularitiés quasi-ordinaires. Ici, L'équisingularité de la famille $\chi$ correspond à l'existence d'une résolution plongée simultanée. Travail en collaboration avec Bernd Schober.

Une capacité symplectique est une fonction qui associe à toute variété symplectique X (éventuellement dans une classe restreinte) un nombre c(X) \in [0,\infty], satisfaisant certaines conditions; en particulier que c(X)\leq c(U) si X se plonge symplectiquement dans U. Ces capacités sont utilisées pour obtenir des obstructions non-triviales à l'existence de plongements symplectiques. Une version forte de la conjecture de Viterbo affirme que toutes les capacités "normalisées" coïncident sur les domaines convexes. Nous montrons cette conjecture pour les domaines toriques monotones en dimension quatre, qui incluent tous les domaines toriques dynamiquement convexes. Ceci est un travail en collaboration avec M. Hutchings et V. Ramos.