Séminaire de topologie et géométrie algébriques

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This is a report on work in progress. We will discuss the following problem: if (C,p_1,…,p_n) is a general pointed curve of genus g and X_1, …, X_n are general linear subspaces of P^r, then how many non-degenerate maps f from C to P^r are there with f(p_i) contained in X_i? A virtual answer in Gromov-Witten theory is easy to obtain, but is often not enumerative; the geometric counts are considerably more subtle. Our method proceeds through a series of degenerations on the moduli space of complete collineations. The case in which the X_i are points is that of geometric Tevelev degrees of P^r, which were previously known only when r=1 or when d is large; here, we explain a connection to torus orbit closures of Grassmannians and obtain a conceptual new proof of a result of Berget-Fink. Our approach to the general case involves Coskun’s geometric Littlewood-Richardson rule in an essential way.

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Sur les corps de caractéristique p>0, l'algèbre de Lie d'un groupe ne donne pas autant d'information qu'en caractéristique 0. Cependant, une structure supplémentaire, appelée "p-application", nous permet de reconstruire au moins le premier noyau de Frobenius du groupe. Dans cet exposé, nous donnerons les définitions et les propriétés essentielles pour mieux comprendre les "p-applications", puis nous allons décrire le lieu restreignable de l'algèbre de Lie universelle (i.e. le lieu où elle admet une p-application), et l'espace de modules des p-algèbres de Lie sur la stratification applatissante de son centre (car nous verrons que ce dernier joue un rôle clé). Enfin, nous revisiterons l'exemple classique de l'espace de modules L_3 des algèbres de Lie libres de rang 3 en montrant qu'il est représentable sur l'anneau des entiers. En utilisant la jolie théorie de la liaison, nous montrerons qu'il est plat et de présentation finie. Nous montrerons aussi qu'il se décompose en deux composantes irréductibles, plates sur Z, avec des fibres géométriques intègres et Cohen-Macaulay. Grâce à cette description de L_3 et grâce à une extension de l'équivalence de catégories entre les groupes de hauteur 1 et les p-algèbres de Lie, nous pourrons décrire l'espace des modules des groupes algébriques de hauteur 1 d'ordre p^3.

The famous theorem of Noether and Castelnuovo states that the group of birational self-maps of the complex projective plane is generated by its subgroup of linear automorphisms and a single quadratic self-map, the Cremona involution. The situation is much more subtle when one changes the base field to a non-algebraically closed, or considers the closest relative of the projective plane - a Severi-Brauer surface. In this talk, I will discuss some recent results in this direction.

Dans cet exposé, j’expliquerai une application du formalisme des catégories de pré-Calabi-Yau à l’étude des espaces de lacets. On a développé ce formalisme avec Kontsevich et Vlassopoulos, comme une version non-commutative des structures de Poisson. Après une introduction à ce formalisme, je présenterai les résultats de travaux en préparation avec Rivera et Wang, où on utilise ces structures pour construire versions algébriques des produits et co-produits (de Chas-Sullivan et Goresky-Hingston) sur l’homologie des espaces de lacets libres.

Les groupes d'homotopie stable des sphères demeurent un objet central de la topologie algébrique. La théorie de l'homotopie chromatique, initiée par Miller-Ravenel-Wilson, propose une approche systématique de son étude. À un nombre naturel n et un nombre premier p fixés, la théorie de l'homologie K(n), la n-ième K-théorie de Morava, joue dans la théorie de l'homotopie stable le rôle des nombres premiers dans les entiers. L'approche chromatique consiste à décomposer le spectre de la sphère en des spectres plus maniables, à savoir, pour un nombre naturel n et un nombre premier p, sa localisation de Bousfield en K-théorie de Morava K(n). Lorsque n=1, la localisation en K(1) a été bien étudiée dans la littérature et permet d'isoler certains phénomènes de périodicité dans les groupes d'homotopie stable de la sphère. Dans cet exposé, je présenterai des outils pour analyser la localisation en K(2) au nombre premier p=2 et je rapporterai des résultats récents de calculs de groupes d'homotopie des spectres K(2)-locaux, ainsi que la perspective que cela présente.