Séminaire de géométrie algébrique

Les variétés toriques sont des variétés algébriques qui sont entièrement déterminées par la donnée combinatoire d'un éventail de cônes rationnels (par rapport à un réseau de $\R^d$) fortement convexes. Cette rationalité fait que ces variétés toriques sont rigides car perturber un peu un réseau peut le faire devenir dense. Le but de cet exposé est d'introduire une généralisation champêtre des variétés toriques où le "réseau" est en fait un sous-groupe finiment engendré de $\R^d$ (dans le cas où les cônes sont simpliciaux comme introduit par Katzarkov, Lupercio, Meersseman et Verjovsky puis dans le cas général).

A morphism of smooth varieties of the same dimension is called real fibered if the inverse image of the real part of the target is the real part of the source. It goes back to Ahlfors that a real algebraic curve admits a real fibered morphism to the projective line if and only if the real part of the curve disconnects its complex part. Inspired by this result, in a joint work with Mario Kummer and Cédric Le Texier, we are interested in characterising real algebraic varieties of dimension n admitting real fibered morphisms to the n-dimensional projective space. We present a criterion to construct real fibered morphisms that arise as finite surjective linear projections from an embedded variety; this criterion relies on topological linking numbers. We address special attention to real algebraic surfaces. We classify all real fibered morphisms from real del Pezzo surfaces to the projective plane and determine when such morphisms arise as the composition of a projective embedding with a linear projection.

En mathématique, nous avons beaucoup des groupes très grands et mystérieux, par exemple le groupe de difféomorphismes d'une variété différentielle, le groupe d'automorphismes externes d'un groupe libre, ou - dans la géométrie algébrique - le groupe d'automorphismes birationnels d'une variété algébrique. Qu'est-ce que ces groupes ont en commun? En fait, dans de nombreux cas, ces groupes démontrent une sorte de «délimitation» au niveau de leurs sous-groupes finis. Je vais discuter de ce phénomène pour les groupes finis agissant sur les variétés rationnellement connexes de dimension 3. En particulier, je vais montrer comment répondre de plusieurs manières à la question suivante de J.-P. Serre: existe-t-il un groupe fini qui ne se plonge pas dans le groupe de Cremona de rang 3.

Complex projective varieties with nef anticanonical divisor appear as natural generalisations of Fano varieties. Fano manifolds are classified up to dimension three and many of their properties are well studied. However, the classification of manifolds with nef anticanonical divisor is more complicated as new phenomena arise and many results for Fano manifolds no longer hold for this class of varieties. In this talk, we will first look at some examples in dimension two case. Then we will discuss some properties of rationally connected threefolds with nef anticanonical divisor. We will consider the case where the anticanonical divisor is not semi-ample, and by investigating the base locus of the anticanonical system, we will give a classification result in this case.

Depuis le théorème de décomposition de Bogomolov—Beauville, les variétés hyperkählériennes compactes jouent un rôle important en géométrie algébrique. En effet, elles peuvent être considérées comme des briques élémentaires pour classifier les variétés kählériennes dont la première classe de Chern est nulle. D'un autre côté, dans le cadre du programme du modèle minimal, on s'aperçoit qu'il est aussi nécessaire de considérer des variétés singulières pour aboutir à une classification. L'étude des orbifoldes hyperkählériennes s'inscrit, entre autres, dans ces démarches de classification. Les orbifoldes sont définies comme des espaces analytiques complexes admettant uniquement des singularités quotients. Dans cet exposé nous donnerons une vue d'ensemble des récents progrès dans ce domaine.