Séminaire de géométrie algébrique

En mathématique, nous avons beaucoup des groupes très grands et mystérieux, par exemple le groupe de difféomorphismes d'une variété différentielle, le groupe d'automorphismes externes d'un groupe libre, ou - dans la géométrie algébrique - le groupe d'automorphismes birationnels d'une variété algébrique. Qu'est-ce que ces groupes ont en commun? En fait, dans de nombreux cas, ces groupes démontrent une sorte de «délimitation» au niveau de leurs sous-groupes finis. Je vais discuter de ce phénomène pour les groupes finis agissant sur les variétés rationnellement connexes de dimension 3. En particulier, je vais montrer comment répondre de plusieurs manières à la question suivante de J.-P. Serre: existe-t-il un groupe fini qui ne se plonge pas dans le groupe de Cremona de rang 3.

En mathématique, nous avons beaucoup des groupes très grands et mystérieux, par exemple le groupe de difféomorphismes d'une variété différentielle, le groupe d'automorphismes externes d'un groupe libre, ou - dans la géométrie algébrique - le groupe d'automorphismes birationnels d'une variété algébrique. Qu'est-ce que ces groupes ont en commun? En fait, dans de nombreux cas, ces groupes démontrent une sorte de «délimitation» au niveau de leurs sous-groupes finis. Je vais discuter de ce phénomène pour les groupes finis agissant sur les variétés rationnellement connexes de dimension 3. En particulier, je vais montrer comment répondre de plusieurs manières à la question suivante de J.-P. Serre: existe-t-il un groupe fini qui ne se plonge pas dans le groupe de Cremona de rang 3.

Complex projective varieties with nef anticanonical divisor appear as natural generalisations of Fano varieties. Fano manifolds are classified up to dimension three and many of their properties are well studied. However, the classification of manifolds with nef anticanonical divisor is more complicated as new phenomena arise and many results for Fano manifolds no longer hold for this class of varieties. In this talk, we will first look at some examples in dimension two case. Then we will discuss some properties of rationally connected threefolds with nef anticanonical divisor. We will consider the case where the anticanonical divisor is not semi-ample, and by investigating the base locus of the anticanonical system, we will give a classification result in this case.

Depuis le théorème de décomposition de Bogomolov—Beauville, les variétés hyperkählériennes compactes jouent un rôle important en géométrie algébrique. En effet, elles peuvent être considérées comme des briques élémentaires pour classifier les variétés kählériennes dont la première classe de Chern est nulle. D'un autre côté, dans le cadre du programme du modèle minimal, on s'aperçoit qu'il est aussi nécessaire de considérer des variétés singulières pour aboutir à une classification. L'étude des orbifoldes hyperkählériennes s'inscrit, entre autres, dans ces démarches de classification. Les orbifoldes sont définies comme des espaces analytiques complexes admettant uniquement des singularités quotients. Dans cet exposé nous donnerons une vue d'ensemble des récents progrès dans ce domaine.

Les nombres de Markov sont des entiers positifs qui apparaissent dans les solutions d'une équation diophantienne, la cubique de Markov x2 + y2 + z2 ? 3xyz = 0. Sujet classique de la théorie des nombres, ces nombres sont liés à de nombreux domaines des mathématiques tels que la combinatoire, la géométrie hyperbolique, la théorie de l'approximation et les algèbres amassées. Dans les années 50, H. Cohn a découvert une relation entre les nombres de Markov et les longueurs de géodésiques simples fermées sur le tore percé. Dans les années 90, avec Igor Rivin, nous avons introduit une méthode qui permet d'estimer le nombre de nombres de Markov inférieurs à $ L> 0 $. L'ingrédient clé en était l'utilisation d'une norme sur la première homologie du tore. Dans cet exposé nous allons : - expliquer la géométrie de la norme et comment elle peut être utilisée pour prouver de nouvelles identités pour des longueurs de géodésiques fermées simples - utiliser la convexité pour donner une nouvelle preuve unifiée de certaines conjectures que Martin Aigner a formulées dans son livre, le théorème de Markov et 100 ans de la conjecture d'unicité.

I will explain a geometric construction of an Enriques surface fibration over P^1 of even index. This answers a question of Colliot-Thelene and Voisin, and provides new counterexamples to the Integral Hodge conjecture. This is joint work with Fumiaki Suzuki.