Séminaire de géométrie algébrique

Les invariants de Welschinger des variétés symplectiques réelles de dimension 4 ont été introduits au début des années 2000, et n'ont cessé de jouer un rôle fondamental dans le développement de la géométrie énumérative réelle depuis. Dans cet exposé, j'expliquerai que l'énoncé de Welschinger originel d'invariance peut être renforcé. Je donnerai quelques conséquences de ce résultat, comme l'optimalité de ces invariants. Le résultat principal est obtenu par chirurgie le long d'une sphère lagrangienne réelle, et semble indiquer une relation avec les invariants tropicaux raffiné récemment introduits par Block et Göttsche.

Un groupe kleinien classique est par définition un sous-groupe de PGL2(C), vu comme le groupe d'automorphismes de la droite projective complexe, qui préserve un ouvert et qui agit proprement discontinument cocompactement sur cet ouvert. On peut considérer le même problème en dimension complexe supérieure, c'est-à-dire on remplace la droite projective complexe par une surface projective et PGL2(C) par le groupe des transformations birationnelles. Je présenterai un théorème de classification en dimension deux. A part la structure des groupes de transformations birationnelles, la preuve utilise des résultats sur les groupes de Kähler et les feuilletages holomorphes.

Dans cet exposé, nous allons étudier la réalisation motivique (et l-adique) de la catégorie de singularités attachées à un modèle de Landau-Ginzburg généralisé. En suite, on reliera cette réalisation à un formalisme du type "cycles évanescents". Enfin, on utilisera cette comparaison pour calculer la réalisation l-adique de la catégorie de singularités de la fibre spécial d'un schéma régulier, propre e plat sur un anneau régulier de dimension n.

(Joint with Piotr Pstragowski) We extend the construction of the normal cone of a closed embedding of schemes to any locally of finite type morphism of higher Artin stacks and show that in the Deligne-Mumford case our construction recovers the relative intrinsic normal cone of Behrend and Fantechi. We characterize our extension as the unique one satisfying a short list of axioms, and use it to construct the deformation to the normal cone. As an application of our methods, we associate to any morphism of Artin stacks equipped with a choice of a global perfect obstruction theory a relative virtual fundamental class in the Chow group of Kresch.