Séminaire de géométrie algébrique

Je vais présenter une correspondance entre un problème essentiellement combinatoire, à savoir le comptage raffiné de courbes tropicales, et un problème de géométrie énumérative complexe, à savoir une variante de la théorie de Gromov-Witten des surfaces toriques. Ce résultat a des applications à la symétrie miroir en genre supérieur et à des questions a priori purement algébriques de construction d'algèbres non-commutatives (quantification par déformation avec base canonique des algèbres amassées de rang 2).

The plane Cremona group Cr2 is the group of birational automorphisms of P^2. From the half of the XIXth century the plane Cremona group has been studied under many aspects. We say that a curve is contractible if it can be contracted to a finite set of points. Starting from Castelnuovo and Enriques untill Calabri and Ciliberto, the problem has been investigated and related to adjoint linear systems. In this talk I will present the state of the art and give some general results about the contractibility of a curve. Then we will focus on the study of contractible configurations of lines.

Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les formules classiques reliant la caractéristique d'Euler d'une fibre d'un polynôme à coefficients complexes f, à ses singularités et à son défaut d'équisingularité à l'infini dans une compactification. À la manière de Denef-Loeser, Guibert-Loeser-Merle, nous définirons ensuite des invariants motiviques à l'infini de f. Ceux-ci sont construits à l'aide d'une compactification mais n'en dépendent pas. Ils se réalisent sur les invariants topologiques classiques à l'infini de f et sont génériquement nuls. Il est alors naturel de se demander si la nullité de l'invariant motivique à l'infini pour une valeur a implique la trivialité topologique de f au voisinage de a. En utilisant certains résultats de Parusinski, nous considérerons par exemple le cas des singularités isolées à l'infini. Nous traîterons enfin le cas à deux variables où les calculs peuvent être formulés en termes des polygones de Newton de f. Techniquement, lorsque le polynôme est non dégénéré pour son polygone de Newton, le calcul est aisé, dans le cas contraire, nous proposons un raisonnement par induction utilisant des transformations de Newton et des polygones itérés à hauteur décroissante. Travail en commun avec Pierrette Cassou-Nogues (Bordeaux) et Lorenzo Fantini (Marseille)

La classification des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles d’un degré fixé dans le plan projectif réel est un sujet classique qui a connu un essor considérable depuis les années 1970. En revanche, en dehors des études concernants les surfaces de Hirzebruch et les surfaces de degré au plus 3 dans l'éspace projectif réel, à peu prés rien n’est connu dans le cas de surfaces ambiantes plus générales. Dans cet éxposé on presentera des resultas qui élargissent l’étude des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles aux surfaces réelles minimales de del Pezzo de degré 2 avec partie réelle homéomorphe à l'union disjointe de 4 spheres. La difficulté de classifier les courbes algébriques réelles dans ces surfaces est liée au fait que les surfaces réelles minimales de del Pezzo de degré 2 sont non-toriques et avec partie réelle non-connexe; en revanche, toute courbe algébrique réelle dans ces surfaces réalise en homologie un multiple de la classe anti-canonique. On expliquera les méthodes employées pour classifier les types topologiques réalisés par des courbes algébriques réelles de classe “petite” en homologie. En particulier, on combinera l’application de résultats classiques, l’application des invariants de type Welschinger et l’utilisation de méthodes de dégénérescence ayant récemment trouvé des applications en géométrie énumérative.

Depuis le théorème de décomposition de Bogomolov, les variétés hyperkählériennes jouent un rôle important en géométrie algébrique, elles peuvent être considérées comme des briques élémentaires dans le projet de classification des variétés kählériennes. En 2011, Verbitsky démontre un outil fondamental à l’origine de nombreux développements : le théorème de Torelli global. L’idée est de pouvoir retrouver la géométrie de la variété à partir de la structure de Hodge de son second groupe de cohomologie comme dans le cas des surfaces K3. Une orbifolde est une généralisation de variété constituée par le recollement de quotients d’ouverts de C^n par des groupes finis. Dans cet exposé nous verrons, dans les grandes lignes, comment le théorème de Torelli global peut être étendu au cas des orbifoldes symplectiques irréductibles.

A famous result of Beauville and Donagi states that the Fano variety of lines on a cubic fourfold is a smooth projective irreducible holomorphic symplectic (IHS) variety of dimension four, equivalent by deformation to the Hilbert square on a K3 surface. More recently, Lehn, Lehn, Sorger and van Straten constructed an IHS eightfold of K3 type from twisted cubic curves on a cubic fourfold Y non containing a plane. In this talk, I will give an interpretation of the Fano variety of lines and of the LLSvS eightfold as moduli spaces of Bridgeland stable objects in the Kuznetsov component of Y. As a consequence, we reprove the categorical version of Torelli Theorem for cubic fourfolds, we obtain the identification of the period point of the LLSvS eightfold with that of the Fano variety, and we discuss the derived Torelli Theorem for cubic fourfolds. This is a joint work with Chunyi Li and Xiaolei Zhao.