Responsables : Tristan Bozec et Alessandra Occelli
Les interactions d’ordre supérieur impliquent simultanément plusieurs éléments d’un ensemble, au-delà d’une simple interaction entre deux éléments. Dans plusieurs domaines allant de la sociologie à l’écologie en passant par la chimie, des voix se sont élevées pour dire qu’il faut aller au-delà de l’approche dite de « systèmes complexes » en vogue ces 25 dernières années et qui se focalise sur les interactions paires-à-paires, pour prendre en compte cette dimension supplémentaire. L’exemple le plus emblématique d’interaction d’ordre supérieur est celui de la co-rédaction (par exemple d’articles scientifiques) : « 3 personnes ont co-écrit une oeuvre » n’est pas une information équivalente à « chaque paire formée par ces 3 personnes a co-écrit une oeuvre ». La modélisation mathématique qui semble la plus adaptée se fonde sur les hypergraphes, qui généralisent la notion de graphes. J’essayerai de présenter quelques enjeux statistiques et computationnels liés à la modélisation probabiliste des hypergraphes.
Il est parfois utile de raffiner la notion de cardinal d’un ensemble lorsque ce dernier possède une structure supplémentaire. Par exemple, les d racines d’un polynôme complexe de degré d viennent avec une action de la conjugaison complexe. Plus généralement, l’ensemble des d racines, sur une clôture algébrique, d’un polynôme sur un corps k de degré d n’est pas seulement un ensemble de d point, mais un ensemble de d point muni d’une action du groupe de Galois absolu de k. On peut alors raffiner la notion de cardinal d’un tel ensemble en utilisant la théorie de Galois. Le résultat n’est plus un nombre entier, mais une forme quadratique dont le rang retrouve le cardinal de l’ensemble en question. Le début de l’exposé sera consacré à exposer cette stratégie, qui remonte au moins à Hermite dans les années 1850. Je rappellerai en particulier les notions nécessaires de théorie de Galois. J’illustrerai ensuite, à travers l’énumération de courbes rationnelles dans le plan, comment ce dénombrement quadratique a récemment trouvé une incarnation géométrique spectaculaire à la suite en particulier des travaux de Voevodsky, Morel et Levine.
Large random systems - such as eigenvalues of random matrices or random tilings of planar domains - typically concentrate around a deterministic limiting configuration, known as a limit shape. While this limit shape depends on the specific model, the nature of the fluctuations around it often exhibits striking universality. Making this universality precise often leads to deep connections between probability and analysis. In this talk, I will discuss global fluctuations in such systems and explain how, in many cases, they converge to universal Gaussian log-correlated fields. Using the classical example of the Circular Unitary Ensemble as a guiding case, I will explain how this perspective goes beyond the strong Szego limit theorem for Toeplitz determinants and fits into a broader picture of universality for determinantal processes in random matrix theory and related models. I will also describe how this viewpoint sheds light on the emergence of the Gaussian Free Field in random tiling models.
