Le projet Math en Jeans, cherche à mettre des élèves de collège ou lycée dans une activité de recherche en mathématiques.
Un chercheur propose différents sujets de recherche à un groupe d’élèves de collège ou lycée, encadrés par des professeurs de mathématiques de l’établissement scolaire. Pendant un an, les élèves cherche à résoudre le problème en autonomie, tout en étant suivi par le chercheurs, qui peut leur suggérer des pistes.
À la fin de l’année scolaire, les élèves exposent leur résultats devant d’autres élèves lors d’un congrès, qui dure deux ou trois jours.
Enfin, les élèves rédigent un article rassemblant leurs résultats ; celui-ci est revu par un comité d’édition, et il est publié sur le site de Math en Jeans, s’il est jugé d’une qualité adéquate.
Encadrement de projets par des enseignants d’Angers
Depuis 2011, plusieurs enseignants de l’université d’Angers (François Ducrot, Johan Leray, Daniel Naie) ont encadré des projets dans les lycées Guy Mocquet à Chateaubriant (professeur : David Gréau), Blaise Pascal à Segré (professeur : Bernard Gault) , Douanier Rousseau à Laval (professeures : Stéphanie Chancerel et Anne Duval), les collèges La vénaiserie à Saint-Bartélémy d’Anjou (professeur : Manuel Mounet), Le Vieux Chêne à La Flèche ( professeur : Aurélien Sachot), Reverdy à Sablé (professeurs : Christine Hubert et Mickael Batteux), de l’Èvre à Montrevault
Voici quelques sujets posés, et les articles qui ont été rédigés par les élèves :
Les interrupteurs défectueux
Un réseau électrique est équipé avec des interrupteurs défectueux. Chaque interrupteur peut être soit ouvert, soit fermé. Malheureusement, à cause de faux contacts, lorsque l’on appuie sur le bouton d’un interrupteur, cela modifie non seulement son état, mais aussi celui de tous les interrupteurs immédiatement voisins. Initialement tous les interrupteurs sont fermés. Peut-on arriver, en appuyant successivement sur un certain nombre d’interrupteurs, à ouvrir tous les interrupteurs?
Compter des droites finies
On appelle plan projectif fini un ensemble fini d’éléments appelés points , possédant un certain
nombre de sous-ensembles appelés droites. On veut que les points et les droites vérifient certaines propriétés :
– deux droites distinctes se coupent toujours en exactement un point;
– il existe un ensemble $F$ constitué de 4 points, tel que aucune droite ne coupe $F$ en plus de 2 points;
– par deux points distincts, il passe exactement une droite.
On cherche à déterminer de tels ensembles. En tâtonnant, on peut ainsi voir assez facilement que le plus petit plan projectif est constitué de 7 points. Pour trouver le suivant, c’est déjà moins simple ; on est alors conduit à étudier le problème de façon générale.
La plaquette de chocolat empoisonnée
Deux personnes mangent chacune à son tour un certain nombre de carré d’une plaquette de chocolat, en découpant à chaque fois un secteur rectangulaire comprenant le coin en haut à droite de la plaquette (avec un dessin c’est plus clair…). Le carré en bas à gauche est empoisonné. Peut-on trouver une stratégie pour être sûr de ne pas être celui qui mangera ce dernier carré?
Recollons les morceaux !
Prenons deux polygones $A$ et $B$ dans le plan. On veut découper $A$ en plusieurs petits polygones, et recoller ces petits polygones pour obtenir $B$. On comprend facilement qu’il est nécessaire que $A$ et $B$ aient la même aire. On utilise ainsi cette méthode de découpage pour démontrer le théorème de Pythagore. La question qui se pose est de savoir si, étant donnés deux polygones de même aire, on peut toujours passer de l’un à l’autre par découpage et recollement, et si oui, comment ?
Celui qui prend le dernier pion a gagné
Tout le monde connait ce jeu simple : deux joueurs sont devant un tas de pions. Chacun à son tour prend un certain nombre de pions dans le tas en respectant une certaine règle (l’exemple le plus simple de règle est celle où chaque joueur prend 1, 2 ou 3 pions, mais il y en a bien d’autres). Le joueur qui prend le dernier pion a gagné.
En réfléchissant un petit peu, on trouve très vite quelle doit être la stratégie des joueurs. Mais si on complique un peu le jeu en répartissant les pions en différents tas, et en imposant qu’à chaque tour le joueur choisisse un tas et ne pioche que dans ce tas, cela devient beaucoup moins évident. On se propose d’étudier ce jeu.
C’est du billard
On considère deux points M et N sur un billard. Peut on envoyer un boule placée en M sur la boule placée en N en respectant une suite de bandes imposée ?
Massacre en cercle
Dans la mine de la Moria, quarante gobelins pris au piège par des nains ne voulant pas tomber aux mains de ces derniers décidèrent de s’entre-tuer de façon algorithmique…Ils se disposèrent en cercle et décidèrent de compter dans l’ordre jusqu’à trois, celui disant trois étant tué et ainsi de suite…jusqu’à ce qu’il ne reste plus que
deux gobelins. Où doivent se placer les deux gobelins qui préfèrent être lâchement prisonniers des nains?
Compter les coloriages
De combien de façons peut-on colorier un cube (ou un tétraèdre ou un octaèdre) avec $n$ couleurs (en mettant une seule couleur par face, mais sans aucune autre contrainte ?
Dessine moi une arête
On s’intéresse au jeu suivant, qui se joue à deux joueurs avec une feuille de papier.
Au début, il y a n points marqués sur la feuille. Chacun à son tour, les joueurs tracent un arc de courbe reliant deux points existants, et mettent un point au milieu de l’arc qu’ils ont dessiné. Les contraintes sont :
– Les arcs ne se coupent pas
– De chaque point, il sort pas plus de trois traits (autement dit,
– Les sommets sont de degré au plus 3)
Le joueur qui ne peut plus jouer a perdu.
Plusieurs questions se posent :
– Est-ce qu’il y a toujours un vainqueur ?
– Quelle est la durée minimale d’une partie ?
– Peut-on proposer une stratégie ?
Pavage de la place de mairie
Une municipalité souhaite paver la place du village. Pour cela le
cahier des charges dit que :
– Tous les pavés sont des polygones réguliers (on peut utiliser plusieurs types de polygones)
– Le pavage lui même est régulier (en un sens à préciser)
Pouvez-vous aider le maire à faire la liste de tous les motifs envisageables ?
Mesurer en comptant
Sur une feuille quadrillée, on place un certain nombre de points sur les intersections du quadrillage, et on les relie, de manière à obtenir un polygone fermé. Peut-on calculer l’aire de ce polygone en comptant des points ?
Une histoire de poids
On dispose d’une balance de Roberval, et d’un certain nombres de poids étalons. Par exemple, si on a trois poids de respectivement 1 kg, 2 kg et 5 kg, on peut arriver à mesurer tous les poids de 1,2,3,…,8 kg. Peut-on choisir un autre système de trois poids qui nous permettrait de mesurer tous les poids entre 1 et 10, ou bien entre 1 et 13, ou bien entre 1 et 15 ?
Plus généralement comment trouver un système de n poids P_1, P_2,…,P_n de façon à pouvoir peser tous les poids de 1 à m, avec m maximal ? Et si je vous donne une masse x, pouvez dire explicitement comment vous devez procéder pour la peser ?
Un jeu de nim
Dans ce jeu, qui se joue à deux joueurs, on a un tas de $n$ jetons. Le premier joueur retire du tas un certain nombre de jetons, à sa convenance, mais il en laisse au moins un. Ensuite chaque joueur à son tour enlève du tas un nombre de jetons au plus égal au double du nombre de jetons enlevés par le précédent.
Celui qui ne peut plus jouer, faute de jeton, a perdu.
Analyser ce jeu.
Course autour d’un cercle
n chaises sont réparties autour d’un cercle, et numérotées $0,2,…,n-1$. Au début je suis sur la chaise 1. Je me déplace alors d’un rang, et je me trouve sur la chaise 2. Au second tour je me déplace de deux rangs et je me retrouve sur la chaise 4. On continue… Si, à un moment, je suis sur la chaise $k$, j’avance au coup d’après de $k$ chaises.
Est-ce que je retournerai un jour sur la chaise 1 ? Au bout de combien de temps ?
Enfiler des perles
Je veux faire un collier en utilisant n perles bleues et p perles rouges. Combien de types de colliers différents on peut ainsi fabriquer ?
Et si, au lieu de fabriquer un collier, on fabriquait une couronne avec un rang de perles, qu’est-ce que ça changerait ?
Un treillis articulé
Si on forme un quadrilatère articulé avec quatre barres de même longueur, ce quadrilatère peut se déformer. Si on rajoute une barre sur la diagonale du quadrilatère, celui ci devient maintenant rigide. Considérons maintenant un treillis formé de quadrilatères, dont chacun est formé de quatre barres de même longueur. Ce treillis peut se déformer de multiples façons. On rigidifie maintenant certains carrés du treillis.
Peut-on prévoir a priori si le treillis sera encore déformable ?
Combien de carrés doit-on rigidifier pour rendre le treillis indéformable ?
Carrés magiques
On cherche à remplir un tableau à trois lignes et trois colonnes avec les entiers de 1 à 9. On veut que chacun des 9 entiers s’y trouve une fois, et que la somme des nombres de chaque ligne soit égale à la somme des nombres de chaque colonne et aussi égal à la somme des nombres de chacune des deux diagonales. Pouvez-vous trouver tous les carrés magiques de taille 3×3 possibles ?
Et pour des tableaux 4×4, 5×5 et ainsi de suite ?
Prendre des allumettes
Vous connaissez sans doute le jeu qui se joue à deux joueurs, avec un tas d’allumettes. Chaque joueur retire à son tour une, deux ou trois allumettes du tas. Celui qui ne peut plus jouer, faute d’allumette, a perdu. Pouvez-vous me battre à coup sûr à ce jeu ?
Maintenant que vous m’avez battu, on recommence, mais cette fois-ci, on a deux tas d’allumettes, et chaque joueur retire à son tour une, deux ou trois allumettes du tas de son choix. C’est toujours celui qui ne peut plus jouer qui a perdu. Saurez-vous toujours me battre ?
Et enfin, on garde les même règles, mais il y a un plus grand nombre de tas…
Ballon de foot
Regarder un ballon de foot ancien, confectionné avec des hexagones et pentagones réguliers. Combien de polygones forment le ballon ? Peut-on avoir un autre nombre de polygones ?
Organisation de congrès
En 2014, 2015 et 2016, le département de mathématiques a organisé le congrès Math en Jeans pour la région Ouest, en accueillant à chaque fois environ 300 élèves des académies de Nantes, Rennes, Orléans-Tours, Poitiers