Probabilités, Physique Mathématique et Analyse (2PMA)

We give a light talk on an optimality of a square in geometry and physics. First, we recollect classical geometric results that the square has the largest area (respectively, the smallest perimeter) among all rectangles of a given perimeter (respectively, area). Second, we recall that the square drum has the lowest fundamental tone among all rectangular drums of a given area or perimeter and reinterpret the result in a quantum-mechanical language of nanostructures. As the main body of the talk, we present our recent attempts to prove the same spectral-geometric properties in relativistic quantum mechanics, where the mathematical model is a matrix-differential (Dirac) operator with complex (infinite-mass) boundary conditions. It is frustrating that such an illusively simple and expected result remains unproved and apparently out of the reach of current mathematical tools.

La localisation d'Anderson est une propriété remarquable des opérateurs aléatoires, qui modélisent des systèmes quantiques désordonnés. Elle se manifeste par physiquement par une absence de diffusion de la particule et mathématiquement par du spectre purement ponctuel dense. Je considérerai ici le cas de l'opérateur de Dirac, utilisé pour modéliser la matière relativiste ou des échantillons de graphène, auquel peuvent être ajoutés différents types de potentiels aléatoires. Je me restreindrai au cas de la dimension 1, en utilisant des méthodes qui y sont spécifiques, impliquant les exposants de Lyapounov. Après avoir prouve la positivité et la régularité de ceux-ci grâce au théorème de Fürstenberg, je montrerai la régularité de la densité d'états intégrée, ce qui conduit à la localisation.

Dans cet exposé, je présente la construction de l'opérateur d'Anderson sur une surface compacte. Il s'agit de l'opérateur de Schrödinger avec comme potentiel électrique un bruit blanc gaussien. Il apparaît naturellement comme limite d'échelle continue de modèles discrets. À cause de l'irrégularité du potentiel, l'opérateur est singulier et une procédure de renormalisation est nécessaire. Cette construction s'inscrit dans les récents progrès en EDPS singulières obtenus grâce aux structures de régularité et au calcul paracontrôlé. Il est ensuite possible d'étudier finement le semi-groupe de la chaleur associé pour en déduire des propriétés sur l'opérateur ainsi que sur des modèles de polymère aléatoire continu.

Je présenterai des résultats obtenus récemment avec Thibault Lefeuvre. Selon la conjecture de Burns-Katok, on peut identifier une métrique riemannienne à courbure négative sur une variété compacte à partir des longueurs de ses géodésiques (si on les met dans le bon ordre !). Cette conjecture est un théorème d’Otal de 1990 dans le cas des surfaces. La question reste ouverte en dimension supérieure. Récemment Guillarmou-Lefeuvre ont montré que c’est vrai si les métriques sont proches. Nous avons optimisé dans notre article le sens de «proche», comme je l’expliquerai. Notre méthode repose sur l’obtention d’estimée radiale source dans des espaces Hölder. Ceci permet de revisiter des questions classiques de régularité pour des équations cohomologiques. C’est donc un sujet à l’intersection de systèmes dynamiques, géométrie riemannienne et analyse microlocale des EDP. Je le présenterai en personne à Angers, pour un premier déplacement depuis de nombreux mois !

Dans cet exposé nous nous intéressons aux états stationnaires de l’équation de Pauli. Cette équation est la formulation de l’équation de Schrödinger pour des particules non relativistes de spin-1/2 soumises à un champ magnétique. De récents travaux ont porté sur la limite semi-classique du bas du spectre lorsque le champ magnétique est supposé strictement positif. Nous poursuivons cette étude dans le cas de l’anneau, lorsque le champ magnétique est supposé radial. En combinant une nouvelle stratégie introduite dans le cas des domaines simplement connexes et avec une réinterprétation d'idées développées par B. Helffer et M. Sundqvist, nous verrons dans quelle mesure le type topologique du domaine joue un rôle dans l’étude semi-classique du spectre de cet opérateur.