Probabilités, Physique Mathématique et Analyse (2PMA)

On s’intéresse à l'équation de Benjamin-Ono sur la droite avec un petit paramètre de dispersion.On décrira précisément la solution en tout temps lorsque le paramètre de dispersion est suffisamment petit. Cette solution peut présenter localement des oscillations rapides, qui sont une manifestation d'un choc dispersif. La description fait intervenir la solution multivaluée de l'équation de Burgers sans viscosité sous-jacente, obtenue en utilisant la méthode des caractéristiques. Ce travail est en collaboration avec Elliot Blackstone, Patrick Gérard et Peter D Miller.

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In this talk we present some recent results and work in progress in the theory of matrix orthogonal polynomials (MVOPs). We are interested in algebraic and differential identities for MVOPs and their connection with integrable systems, as well as in the asymptotic analysis of MVOPs as their degree tends to infinity. In the first part, we present the ideas used by Casper and Yakimov in connection with the matrix Bochner problem, and in the second last part, we use the Riemann-Hilbert formulation and the Deift-Zhou method of steepest descent. In the matrix case, this analysis has some features that are different from the scalar case and of independent interest. Based on joint work with Arno B. J. Kuijlaars (KU Leuven, Belgium) and Pablo Román (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina)

Durant ce séminaire nous étudierons la théorie de la diffusion pour une famille d'opérateurs de Schrödinger. Ces opérateurs possèdent des spectres présentant un changement de multiplicité et donc des seuils plongés. Certains opérateurs possèdent également des résonances aux seuils. Nous construirons alors une C*-algèbre à laquelle appartient les opérateurs d'onde. L'étude du quotient de cette algèbre par l'idéal des opérateurs compacts mène directement à l'existence de théorèmes d'indice en théorie de la diffusion. Ces théorèmes peuvent alors s'interpréter comme des théorèmes de Levinson en présence de seuils plongés et de discontinuités de la matrice de diffusion. La dépendance de ces résultats en fonction de certains paramètres sera également discutée. En particulier, une surface de résonances sera mise en évidence, probablement pour la première fois. Aucun prérequis C*-algébrique n'est nécessaire pour cette présentation.

In this seminar, I will begin with an introduction to orthogonal polynomials, recalling the basic concepts and establishing the notations as well as the essential properties for the rest of the presentation. I will then discuss the connection between random matrices and orthogonal polynomials, with a particular focus on the example of the Gaussian Unitary Ensemble (GUE). Next, I will present results from several works by P. Bleher and A. Deaño on the perturbation of the GUE and the study of a model of orthogonal polynomials with a cubic potential. The main result I will present shows that the free energy of the system admits a topological expansion, related to the enumeration of graphs on Riemann surfaces of genus $g$, and that the coefficients of this expansion can be expressed in terms of a solution of the Painlevé I equation. Finally, I will present new results from a collaboration with G. Silva (Universidade de São Paulo) and M. Yattselev (Purdue University) on the modification of the measure with a cubic potential for orthogonal polynomials. In this context, we determined an asymptotic expansion in inverse powers of $N^{2/5}$ for the coefficients of the three-term recurrence relation of orthogonal polynomials. We then show that the coefficients of these expansions can be expressed in terms of a solution to a perturbation of the Painlevé I equation.

Four-dimensional Wess-Zumino-Witten (4dWZW) models are analogous to the two dimensional WZW models and possesses aspects of conformal field theory and twistor theory [Losev-Moore-Nekrasov-Shatashvili, Inami-Kanno-Ueno-Xiong,...]. Equation of motion of the 4dWZW model is the Yang equation which is equivalent to the anti-self-dual Yang-Mills (ASDYM) equation. It is well known as the Ward conjecture that the ASDYM equations can be reduced to many classical integrable systems, such as the KdV eq. and Toda eq. [Ward, Mason-Woodhouse,...]. On the other hand, 4d Chern-Simons (CS) theory has connections to many solvable models such as spin chains and principal chiral models [Costello-Witten-Yamazaki, ...]. These two theories (4dCS and 4dWZW) have been derived from a 6dCS theory like a double fibration [Costello, Bittleston-Skinner]. This suggests a nontrivial duality correspondence between the 4dWZW model and the 4dCS theory. We note that the Ward conjecture holds mostly in the split signature (+,+,-,-) and then the 4dWZW model describes the open N=2 string theory in the four-dimensional space-time. Hence a unified theory of integrable systems (6dCS --> 4dCS/4dWZW) can be proposed in the split signature. In this talk, I would like to discuss the soliton/instanton solutions of the 4dWZW model. We calculate the 4dWZW action density of the soliton solutions and found that the solutions behaves as the KP-type solitons, that is, the one-soliton solution has localized action (energy) density on a 3d hyperplane in 4-dimensions (soliton wall) and the N-soliton solution describes N intersecting soliton walls with phase shifts. Our solutions would describe a new-type of physical objects in the N=2 string theory. If time permits, I would mention reduction to lower-dimensions and extension to noncommutative spaces. This talk is based on our works: [arXiv:2212.11800, 2106.01353, 2004.09248, 2004.01718] and forthcoming papers.

Le comptage des cartes planaires est un sujet classique de la combinatoire énumérative et plusieurs méthodes sont disponibles pour prouver des résultats. Dans les années '80, les physiciens avaient compris que les intégrales de matrices et donc les polynômes orthogonaux pouvaient être utilisés pour compter certains type de cartes. Dans cette exposé, nous étudierons une fonction génératrice spécifique pour les quadrangulations planaires qui regarde aussi à leur distance géodésique, appelée fonction à deux points. Nous verrons comme cette quantité est aussi reliée à une famille de polynômes orthogonaux et comment se lien nous permets de mieux comprendre certaines de ses propriétés intégrables et de les étendre à des cas plus généraux (au delà des quadrangulations). Basé sur un travail en cours avec Jérémie Bouttier.