Responsable : Alessandra Occelli

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Quantum mechanics is well approximated by classical physics when the Planck constant is considered very small, i.e., at the semi-classical limit. Typically, one can study an observable associated with a particle, such as its momentum or its position, and show that its dynamics is given by a development in powers of the Planck constant whose zeroth order corresponds to classical dynamics. In this talk, I will present more precisely the concept of semi-classical limit, the standard mathematical results known for non-relativistic quantum mechanics, and my work that concerns the semi-classical limit in the context of relativistic quantum mechanics. Concretely, I will show how to adapt the modulated energy method developed on the Schrödinger equation to the Klein-Gordon equation and how we recover relativistic mechanics (instead of classical mechanics) at the semi-classical limit.
Le modèle de tas de sable abélien est un modèle issu de la physique qui a émergé dans les années 80 pour illustrer le phénomène de criticité auto-organisée. Il s'agit d'un automate cellulaire qui simule l'empilement instable de grains de sable, suivi d'effondrements aboutissant à un tas stable. On y observe une structure fractale. Dans cet exposé, on s'intéresse à la forme du bord de la configuration finale lorsque le nombre de grains de sable tend vers l'infini. Dans le modèle classique, de nombreuses conjectures restent ouvertes. On traitera une variante, appelée "leaky" ("avec fuite" en français), où une partie du sable disparaît après chaque effondrement. Généralisant les travaux de Alevy et Mkrtchyan, qui traitent un cas particulier dans le plan, nous prouvons un résultat de convergence vers une forme limite en dimension quelconque. Nous étudions ensuite l'influence du paramètre de fuite, qui constitue la spécificité du modèle considéré. Bien que le modèle étudié soit déterministe, la description de la forme limite se fera à l'aide d'outils probabilistes faisant intervenir la fonction de Green d'une chaîne de Markov tuée. Il s'agit d'un travail commun avec Cédric Boutillier, Sevak Mkrtchyan et Kilian Raschel.
Dans cet exposé, nous nous intéressons au spectre d’opérateurs modélisant une jonction entre deux matériaux. Nous montrons que des vecteurs propres localisés à la jonction (=modes de bord) apparaissent pour ces opérateurs. Ces modes sont responsables, entre autre, de pollution spectrale pour la simulation numérique de matériaux. Nous montrerons que l’apparition de ces modes est de nature topologique, et expliquerons pourquoi ils apparaissent dans la majorité des cas. En collaboration avec Clément Tauber.
L'évolution d'un gaz peut être décrite par différents modèles selon l'échelle d'observation. Une question naturelle, soulevée par Hilbert dans son sixième problème, est de savoir si ces modèles fournissent des prédictions cohérentes. Dans le cas des gaz de sphères dures, Lanford a montré en 1974 que l'équation de Boltzmann apparaît comme une loi des grands nombres dans la limite de faible densité, au moins pour des temps très courts. Dans cet exposé nous présenterons le résultat de Lanford, et quelques extensions plus récentes permettant de comprendre les fluctuations et les grandes déviations autour de l'équation de Boltzmann. Il s'agit de travaux en collaboration avec Thierry Bodineau, Laure Saint-Raymond et Sergio Simonella.
The Aztec diamond is a well-studied dimer model which is equivalent to domino tilings of a diamond-shaped domain. Recent results have shown that its determinantal structure is particularly suited for asymptotic analysis using matrix-valued orthogonal polynomials and/or Wiener-Hopf factorizations. This has led to many new results on its large-size asymptotics in the case of periodic weights. The aim of this talk is to explain how the Aztec diamond has in some sense a 'more rigid structure' than similar models like the hexagon, making it thus more suitable for asymptotic analysis, and discuss how this is reflected in some unusual properties of the underlying matrix-valued orthogonal polynomials. This is joint work with Arno Kuijlaars.