Séminaires du LAREMA

Séminaire de probabilités et statistiques
We study the asymptotic behavior of the probability of non-extinction of a critical multi-type Galton-Watson process in i.i.d. random environments by using limits theorems for products of positive random matrices. Under suitable assumptions, the survival probability is proportional to $1/\sqrt{n}$. Joint work with Emile Le Page and Marc Peigné.

Séminaire de géométrie algébrique

Séminaire de probabilités et statistiques
Dans cet exposé, je présenterai une recette pour déduire l'asymptotique d'un tableau multidimensionnel infini de nombres à partir de sa fonction génératrice. Dans le cas bivarié, cela revient à déduire l'asymptotique de a_{m,n} quand m,n -> infini et m/n^T -> s (où T>0 est fixé et s>0 est une variable) à partir de la fonction A(x,y)= Sum_{m,n\geq 0} a_{m,n} x^m y^n. J'expliquerai pourquoi de telles asymptotiques sont utiles dans l'étude de modèles probabilistes, en particulier pour établir des théorèmes limites locales avec des lois limites exotiques. Je donnerai quelques exemples issus des modèles de graphes aléatoires décorés. Auparavant, des recettes similaires n'étaient disponibles que dans le cas où ?=1 et où la fonction A est rationnelle. En revanche, notre méthode fonctionne pour tout T>0 et toute fonction algébrique A, mais sous certaines conditions supplémentaires sur la structure de singularité de A. Si le temps le permet, j'expliquerai pourquoi les anciennes et les nouvelles méthodes traitent des cas disjoints, et comment ils pourraient être combinés dans le futur.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaire de géométrie algébrique
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Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Une forme réelle d’une variété algébrique complexe X est une variété algébrique réelle dont la complexification est isomorphe à X. Il n’y a pas longtemps, on savait pour pleines des familles des variétés complexes que le nombre des formes réelles non isomorphes est fini. Lesieutre a construit le premier exemple d’une variété projective de dimension six avec une infinité de formes réelles non isomorphes, et ensuite, Dinh, Oguiso et Yu ont trouvé une telle surface projective rationnelle. Dans cet exposé je vais présenter le premier exemple d’une surface affine rationnelle possédant une infinité non dénombrable de formes réelles non isomorphes. Le premier exemple d’une variété affine rationnelle avec une infinité dénombrable est grâce à Dubouloz, Freudenburg et Moser-Jauslin.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaire de probabilités et statistiques

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
On montre deux formules cinématiques principales pour les germes d'ensembles définissables fermés, qui généralisent la formule de Cauchy-Crofton pour la densité due à Comte et la formule cinématique linéaire infinitésimale due à l'orateur.

Séminaire de probabilités et statistiques
Soit $\theta$ un nombre irrationnel. La translation $T : y \mapsto (y+\theta) \mod 1$ de $[0,1[$ (muni de la loi uniforme) dans lui-même est ergodique. On s'intéresse à la transformation $[T,\mathrm{Id}]$ de $\{0,1\}^{\NN} \times [0,1[$ dans lui-même définie par $$[T,\mathrm{Id}] \left( (x_n)_{n \ge 0},y \right) := \left( (x_{n+1})_{n \geq 0},T^{x_0}(y)\right).$$ Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est isomorphe à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive. Une preuve constructive avait été donnée auparavant par Parry, dans le cas où $\theta$ s'approche extrêmement bien par les nombres rationnels, plus précisément lorsqu'on peut trouver une suite de fractions $p/q$ avec $p$ et $q$ entiers telle que $$4^{q^2}q^4|\theta-p/q| \to 0.$$ En utilisant une autre approche, nous montrons qu'on peut se passer de cette condition diophantienne. Ce résultat peut être retranscrit sous forme probabiliste comme suit : considérons une marche aléatoire $(Y_n)_{n \in \ZZ}$ stationnaire sur $[0,1[$ (qu'on peut identifier au tore $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$), vérifiant la relation de récurrence $Y_n = (Y_{n-1}-\xi_n\theta) \mod 1$, avec $\xi_n$ uniforme sur $\{0,1\}$ est indépendante de $\mathcal{F}^{\xi,Y}_{n-1} = \sigma((\xi_k,Y_k)_{k \le n-1})$. Alors la suite $(\eta_n)_{n \in \ZZ}$ définie par $$\eta_n := \left( \xi_n + \indic{[\theta,1[}(Y_{n-1}) \right) \mod 2$$ est une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, qui engendre la même filtration que la suite $(Y_n)_{n \in \ZZ}$.

Séminaire de géométrie algébrique
Soit Gamma un sous-groupe discret co-compact et sans torsion de SL(2,C). Les travaux d'E. Ghys ont permis de montrer que l'espace de Kuranishi du quotient SL(2,C)/Gamma est donné par le germe de la variété de représentation Hom(Gamma,SL(2,C)) pointée au morphisme trivial. Ce résultat tient au fait que la déformation de l'holonomie d'une certaine (G,X)-structure de ces quotients permet d'obtenir de nouvelles structures complexes. Depuis, les travaux de F. Kassel ont montré que l'ensemble des représentations qui sont l'holonomie d'une telle (G,X)-structure complète (appelées admissibles), forme un ouvert de la variété de représentation. On s'intéresse alors aux déformations des structures complexes des variétés obtenues par la construction d'E. Ghys et on montre que la famille tautologique au-dessus de la variété de représentations est complète en tous ses points admissibles. De plus, modulo conjugaison, cette famille est verselle. Ce résultat nous amène donc à considérer le champ quotient des caractères admissibles et on montre que c'est un ouvert dans le champ de Teichmüller de SL(2,C)/Gamma.