Séminaires du LAREMA

Séminaire des doctorant.es
Soichi Kakeya proposait, en 1917, le problème suivant : "Quelle est l'aire minimale nécessaire pour faire tourner une aiguille d'un tour complet ?". En parallèle, Abram Besicovitch étudiait le problème d'intégration suivant : "Existe-t-il une fonction $f : \R^2 \to \R$ Riemann-intégrable telle que pour tout choix d'axes orthogonaux, la restriction de $f$ sur ces axes ne soit pas Riemann-intégrable ?". Ces deux problèmes a priori éloignés se résolvent grâce à la construction d'ensembles (du plan ici) de mesure nulle contenant un segment dans toutes les directions (appelés maintenant ensemble de Besicovitch/de Kakeya selon les auteurs). L'étude de ces ensembles n'est pas encore finie puisque le problème de la dimension de Hausdorff de tels ensembles est encore ouvert (mais est conjecturalement la dimension de l'espace ambiant). Dans cet exposé, nous allons, dans un premier temps, voir la construction de ces ensembles et comment ils permettent de résoudre les problèmes originaux de Kakeya et de Besicovitch. Nous allons ensuite voir quelques éléments de réponse à la conjecture sur la dimension des ensembles de Besicovitch : une condition suffisante provenant de l'étude de fonctions maximales et une heuristique sur un analogue sur un corps fini. Enfin, si le temps le permet, on verra les applications de ces ensembles en analyse harmonique.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
In this talk, we talk about a collection of homological conditions for Gutierrez–Sotomayor flows on singular surfaces.

Séminaire de probabilités et statistiques
TBA

2PMA
L'analyse BKW a été introduite pour proposer une analyse asymptotique reliant la mécanique quantique (équation de Schrödinger) et la mécanique classique (équations de Hamilton). Nous présentons la méthode générale, puis son adaptation au cadre non linéaire, qui fait apparaitre des équations de la mécanique des fluides. Nous évoquerons pour finir un phénomène de superposition dans le cadre non linéaire à plusieurs phases.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
In 2020, Parusinski and Rond proved that every algebraic set V of R^n is homeomorphic to a Qr-algebraic set V' of R^n, where Qr denotes the field of real algebraic numbers. The aim of this talk is to introduce a new approach to real algebraic geometry with equations over Q in order to provide some classes of algebraic sets that positively answer the following open problem: Q-algebraicity problem: (Parusinki, 2021) Is every algebraic set V of R^n homeomorphic to some Q-algebraic set V' of R^m, with m >= n ?

2PMA
TBA

2PMA

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
tba

2PMA

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
La théorie des intersections dérivées vise à décrire les contributions homologiques supérieures résultant d'une intersection de deux schémas en position non transverse. En dehors de certains cas bien identifiés, la description explicite de ces intersections dérivées reste un problème complexe qui mêle de manière assez délicate des outils de géométrie algébrique pure et d'autre outils de nature plus homotopique, comme des algébroïdes de Lie. Dans cet exposé, après des rappels sur les résultats connus, je présenterai un modèle permettant de faire des calculs explicites. Il s'agit d'un travail en commun avec Tristan Bozec.

Séminaire de probabilités et statistiques
We will describe forthcoming work in which we prove that branching Brownian motion in dimension four is governed by a nontrivial multifractal geometry and compute the associated exponents. As a part of this, we establish very precise estimates on the probability that a ball is hit by an unusually large number of particles, sharpening earlier works by Angel, Hutchcroft, and Jarai (2020) and Asselah and Schapira (2022) and allowing us to compute the Hausdorff dimension of the set of “a-thick” points for each a > 0. Surprisingly, we find that the exponent for the probability of a unit ball to be “a-thick” has a phase transition where it is differentiable but not twice differentiable at a = 2, while the dimension of the set of thick points is positive until a = 4. If time permits, we will also discuss a new strong coupling theorem for branching random walk that allows us to prove analogues of some of our results in the discrete case. Joint work with Nathanael Berestycki and Tom Hutchcroft.

Séminaire des doctorant.es
Let $(X,\omega)$ be a compact K\"ahler manifold of dimension $n$. A K\"ahler-Einstein metric on $X$ is a K\"ahler form $\omega$ that satisfies the equation \begin{equation}\label{K-E} Ric(\omega) = \lambda \omega, \; \; \lambda \in \mathbb{R}. \end{equation} Here $Ric(\omega)$ is the Ricci curvature of $\omega$. It is defined locally by the formula $$ Ric(\omega) = i \partial \bar{\partial} \log(det(\omega_{\alpha,\beta})), $$ where $(\omega_{\alpha,\beta})$ are the coefficients of $\omega$ in a local chart. As it was shown by E. Calabi, constructing K\"ahler-Einstein metrics boils down to solving a complex Monge-Ampère equation of the form \begin{equation}\label{MA-eqt} (\omega + i\partial \bar{\partial} u)^n = e^{\lambda u + f} \omega^n, \end{equation} where $\lambda$ is the real scalar appearing in \eqref{K-E}, $f$ is a smooth function on $X$ and $(\omega + i \partial \bar{\partial} u)^n$ is defined by the exterior product \begin{equation*} (\omega + i\partial \bar{\partial} u) \wedge ... \wedge (\omega + i\partial \bar{\partial} u) \; \; n \; \textit{times.} \end{equation*} The objective of this talk is to recall the definition of K\"ahler manifolds, give some examples, present the Calabi conjecture and discuss the solvability of the equation \eqref{MA-eqt}.