Séminaires du LAREMA

Séminaire de probabilités et statistiques
We analyse the spectrum of the (scaled) adjacency matrix A of the Erdos-Rényi graph G(N,d/N) in the critical regime d=blog N with b constant. We establish a one-to-two correspondence between vertices of degree at least 2d and nontrivial eigenvalues outside the asymptotic 2,2]. This correspondence implies a transition at an explicit b. For d>blogN the spectrum is just the [2,2] and the eigenvectors are completely delocalized. For d

Colloquium
Magnetic fields varying on very short scales create an edge separating two uniform but distinct values of the magnetic field's intensity. What will be the energy levels of an electron moving in such a field ? Dependent on the geometry of the edge, we provide an answer to this question. The energy levels will be eigenvalues of a special magnetic Laplace operator involving the semiclassical parameter (a very small parameter compared to the sample’s scale). Based on a joint work with W. Assaad and B. Helffer, accurate eigenvalue asymptotics displaying the splitting between the consecutive eigenvalues can be derived through a variational proof not involving pseudo-differential calculus.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Il y a un peu plus de 30 ans, W. Pawlucki a démontré que l'ensemble des points en lesquels un ensemble sous-analytique réel est semi-analytique, est lui-même un ensemble sous-analytique. Je vais expliquer les différents termes de cet énoncé et présenter une nouvelle stratégie de preuve, plus algébrique, qui permet d'étendre ce résultat au cadre p-adique. C'est un travail en commun avec André Belotto et Octave Curmi.

Séminaire des doctorants
Dans cet exposé, on donne deux preuves (La première par des arguments d'analyse hilbertienne et la seconde par le peigne de Dirac via la théorie des distributions) du théorème de l’échantillonnage de Shannon, qui permet de savoir à quelle fréquence minimale il faut échantillonner un signal pour ne pas perdre l’information qu’il contient. On verra aussi comment se fait la reconstruction d’un signal continu à partir des échantillons, opération qui intervient dans la conversion numérique-analogique. Dans les deux preuves, on n'échappe pas au couteau suisse de la physique: les transformations de Fourier.

Séminaire de géométrie algébrique
Les modèles de dimères sur les graphes planaires, englobant les pavages aléatoires par dominos et par losanges, ont fait leur début en tant qu'objet d'étude mathématique avec les travaux de Kasteleyn dans les années 1960. Au début des années 2000, d'importants résultats théoriques sont démontrés, dont deux résultats dans des directions différentes : - la construction du diagramme de phases pour les modèles de dimères sur graphes planaires bipartis bipériodiques, et les propriétés universelles de ces phases (Kenyon, Okounkov, Sheffield) à l'aide de la "courbe spectrale" - la "localité" de l'"inverse" de la matrice de Kasteleyn qui sert à calculer les corrélations entre dimères pour une famille de graphes planaires particuliers : les graphes "isoradiaux" critiques (Kenyon). Nous généralisons ces deux types de résultats dans un cadre unifié. En travaillant sur une famille de graphes un peu plus générale que les graphes isoradiaux, sans hypothèse de périodicité, et étant donné une surface de Riemann compacte maximale, nous construisons des familles de poids pour le modèle de dimères sur ces graphes et décrivons le diagramme de phase. Toutes les mesures obtenues ont la propriété de localité observées par Kenyon dans le cas critique. Ce travail est une collaboration avec David Cimasoni (Genève) et Béatrice de Tilière (Dauphine).

Séminaire de probabilités et statistiques

Séminaire de physique mathématique et topologie algébrique
La formule de Giambelli est l'égalité entre la fonction de Schur indexée par une partition et le déterminant pris en les fonctions de Schur indexées par les crochets composant la partition. Borodin, Olshanski et Strahov définissent alors un processus ponctuel comme étant Giambelli compatible si la formule de Giambelli est stable par passage à la moyenne. Sous de bonnes conditions de convergence, cette propriété est équivalente à la validité d'une formule explicite permettant de calculer l'espérance d'un produit de rapports de polynômes caractéristiques en fonction du déterminant de l'espérance des rapports. D'après un résultat de Fyodorov et Strahov, cette formule est vérifiée pour les polynômes caractéristiques de matrices aléatoires G.U.E. ou C.U.E. Dans un travail en commun avec A. I. Bufetov (https://arxiv.org/abs/2111.05606), nous montrons que tous les processus déterminantaux sur R avec noyaux intégrables sont Giambelli compatibles et que de manière équivalente, leurs polynômes caractéristiques convenablement normalisés satisfont la formule de Fyodorov-Strahov. Ce résultat s'applique en particulier aux processus infinis tels que le sinus-processus, les processus d'Airy, de Bessel... Je présenterai ce résultat dans mon exposé, en détaillant les notions évoquées ci-dessus et en m'attardant particulièrement sur les aspects algébriques du problème, puis je donnerai des éléments de la preuve.

Théorie Spectrale et Équations aux Dérivées Partielles
Dans cet exposé, je présente la construction de l'opérateur d'Anderson sur une surface compacte. Il s'agit de l'opérateur de Schrödinger avec comme potentiel électrique un bruit blanc gaussien. Il apparaît naturellement comme limite d'échelle continue de modèles discrets. À cause de l'irrégularité du potentiel, l'opérateur est singulier et une procédure de renormalisation est nécessaire. Cette construction s'inscrit dans les récents progrès en EDPS singulières obtenus grâce aux structures de régularité et au calcul paracontrôlé. Il est ensuite possible d'étudier finement le semi-groupe de la chaleur associé pour en déduire des propriétés sur l'opérateur ainsi que sur des modèles de polymère aléatoire continu.

Séminaire de géométrie algébrique
La mesure de Mahler des polynômes en plusieurs variables, introduite d'abord pour la théorie des nombres transcendants, est une quantité qui apparaît dans de nombreux domaines des mathématiques. En particulier, des liens profonds et conjecturaux ont été découverts entre mesures de Mahler et fonctions L de variétés algébriques. Sous certaines hypothèses sur le polynôme, Deninger a donné une explication cohomologique de ces relations. Je présenterai un travail en cours avec Riccardo Pengo, où nous continuons cette approche pour les polynômes dits exacts. J'introduirai la notion de polynôme successivement exact et montrerai que la mesure de Mahler s'interprète dans la cohomologie de variétés de dimension de plus en plus petite dans l'hypersurface définie par le polynôme.

Théorie Spectrale et Équations aux Dérivées Partielles
La localisation d'Anderson est une propriété remarquable des opérateurs aléatoires, qui modélisent des systèmes quantiques désordonnés. Elle se manifeste par physiquement par une absence de diffusion de la particule et mathématiquement par du spectre purement ponctuel dense. Je considérerai ici le cas de l'opérateur de Dirac, utilisé pour modéliser la matière relativiste ou des échantillons de graphène, auquel peuvent être ajoutés différents types de potentiels aléatoires. Je me restreindrai au cas de la dimension 1, en utilisant des méthodes qui y sont spécifiques, impliquant les exposants de Lyapounov. Après avoir prouve la positivité et la régularité de ceux-ci grâce au théorème de Fürstenberg, je montrerai la régularité de la densité d'états intégrée, ce qui conduit à la localisation.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
La topologie de la fibre de Milnor est une source riche d'invariants pour étudier les singularités d'hypersurfaces analytiques complexes. Plusieurs approches ont été proposées afin d'obtenir un pendant purement algébrique de cette dernière, parmi lesquelles se trouve la fibre de Milnor motivique définie par J. Denef et F. Loeser. Celle-ci est considérée comme une incarnation motivique de la fibre de Milnor puisque les réalisations communes connues coïncident. Dans un travail en collaboration avec G. Fichou et A. Parusi?ski, nous comparons les fibrations de Milnor topologique et motivique d'une fonction régulière complexe à croisements normaux en construisant une généralisation commune pour laquelle nous proposons deux constructions équivalentes : la première consiste en une extension de l'espace logarithmique de Kato-Nakayama, la seconde, plus géométrique, repose sur une généralisation de la déformation sur le cône normal. Nous montrons alors comment les fibrations de Milnor topologique et motivique se déterminent l'une l'autre en tant que fibrations d'espaces stratifiés.

Séminaire de physique mathématique et topologie algébrique
I will start by reviewing how the theory of random d-index tensors provides a natural framework for random geometry in d dimensions, in direct analogy with the random matrix approach to two-dimensional quantum gravity. However, in the continuum limit, the so-called branched polymer phase -- or continuous random tree -- has been identified as a strong attractor in d>2. With its spectral dimension of 4/3, this geometry is not suitable for quantum gravity. Finding a mechanism allowing to escape the branched polymer phase therefore remains a key challenge of this approach. Inspired by this problem, I will introduce a multi-matrix model which, in a suitable triple-scaling limit, is likewise dominated by branched polymers. I will then show that a simple combinatorial modification of the model (amounting to studying the three-edge-connected partition function instead of the connected one) leads to a completely different universality class: that of Liouville quantum gravity -- or, equivalently, the Brownian sphere. The second part of the talk will be based on arXiv:2003.02100.

Groupe de travail sur la Géométrie tropicale