Séminaire de probabilités et statistique

Nous étudions les processus associés à un temps de défaut (intensité, lois conditionnelles) et nous montrons comment construire des temps de défaut de caractéristiques données. Nous montrons comment généraliser la construction de Cox pour obtenir un cadre général au cas d'immersion.

Le modèle de Derrida-Retaux est un modèle simplifié de renormalisation hiérarchique en mécanique statistique. Il apporte de nombreuses questions mathématiques simples, mais difficiles. Je ferai quelques discussions élémentaires sur le régime critique du modèle. Travail en collaboration avec X. Chen, V. Dagard, B. Derrida, Y. Hu, M. Lifshits.

Consider a continuous-time Galton-Watson (GW) branching process. Conditional on the population surviving until some large time T, take a sample of particles from those alive. What does the ancestral tree drawn out by this sample look like? Some special cases were known, eg. Durrett (1978), O'Connell (1995), Athreya (2012), but we will discuss an approach behind some more recent advances for near-critical GW processes. Our key tool is a change of measure involving k distinguished particles (known as spines) that decouples certain dependencies to permit some explicit computations. This is based on some joint works with M.Roberts, S.Johnston, and also J.C.Pardo-Millan.

This talk is based on a joint work with Elie Aïdékon and Zhan Shi. It is well-known (see Dvoretzky, Erdos and Kakutani (1958) and Le Gall (1987)) that a planar Brownian motion (B_t)_{t\ge 0} has points of infinite multiplicity, and these points form a dense set on the range. Our main result is the construction of a family of random measures, denoted by (M_\alpha)_{0< \alpha<2}, that are supported by the set of the points of infinite multiplicity. We prove that for any \alpha \in (0, 2), almost surely the Hausdorff dimension of M_\alpha equals 2-\alpha, and M_\alpha is supported by the set of thick points defined in Bass, Burdzy and Khoshnevisan (1994) as well as by that defined in Dembo, Peres, Rosen and Zeitouni (2001). Our construction also reveals that with probability one, M_\alpha (d x)-almost everywhere, there exists a continuous nondecreasing additive functional (L_t^x)_{t\ge 0}, called local times at x, such that the support of d L_t^x coincides with the level set \{t: B_t=x\}.

Une carte planaire peut être vue comme une discrétisation de la sphère obtenue en recollant topologiquement un nombre fini de polygones le long de leurs côtés. Dans cet exposé je discuterai de la géométrie de tels recollement choisis uniformément au hasard une fois fixée une liste de polygones, et particulièrement le comportement asymptotique du graphe aléatoire induit lorsque le nombre de polygones tend vers l’infini, du point de vue des limites d’échelle. Nous verrons en particulier qu’une carte brownienne apparaît comme objet limite universel sous des hypothèses naturelles.

Considérons la marche aléatoire simple sur Z, que se passe-t-il si les probabilités de transition sont elles-mêmes aléatoires et iid en temps et espace ? En utilisant un modèle intégrable, nous verrons que le comportement extrême d'un grand nombre de marches aléatoires dans le même environnement n'est pas gouverné par la théorie classique des valeurs extrêmes, mais par la classe d'universalité KPZ. Nous considérerons aussi une limite continue de ces marches aléatoires: N diffusions en milieu aléatoire se comportent alors comme des mouvement Browniens collants (sticky Brownian motions en anglais) et asymptotiquement, la particule extrême a la même loi que la plus grande valeur propre de grandes matrices aléatoires Hermitiennes. Basé sur des travaux en commun avec Ivan Corwin et Mark Rychnosky.

In this talk, we will detail the proof of the central limit theorem (CLT) for general Fleming-Viot particle systems. The latter is based on CLT for martingale, and a careful stochastic analysis of the classical martingales arising from Fleming-Viot systems. The result includes the case of particles killed by hard obstacles, and can be applied to various splitting Monte Carlo algorithms such as Adaptive Multilevel Splitting that can be recast as a Fleming-Viot system.

Je vous propose de nous intéresser à une marche aléatoire sur un arbre de Galton-Watson surcritique. Sur chaque arête de l'arbre sera posée de manière iid une variable aléatoire positive (un poids). Les probabilités de transition de notre marche se feront proportionnellement à ces poids. Nous verrons que l'étude de certaines fonctionnelles de la marche peut se ramener à celle d'un arbre de Galton-Watson multitype. Je montrerai que selon la loi des poids, la marche peut présenter un comportement de type soit gaussien, soit stable. Nous illustrerons ceci en donnant un résultat de convergence en loi du temps local maximal de la marche.

Cet exposé développera le lien entre les algorithmes stochastiques et les modèles d'urnes aléatoires non linéaires, le cas linéaire avec application aux essais cliniques ayant déjà été traité dans l'article avec G. Pagès, Randomized Urn Models revisited using Stochastic Approximation, Annals of Applied Probability, Volume 23, Issue 4, pp.1409-1436, 2013. On ne suppose plus que la loi de tirage des boules (de d couleurs différentes) est uniforme, mais on la renforce à l'aide d'une fonction f modélisant l'aversion au risque. En considérant que f est concave ou convexe et en réécrivant la dynamique de la composition de l'urne sous forme d'un algorithme stochastique avec reste, on en déduit la convergence presque sûre et la vitesse de convergence à l'aide de la méthode de l'EDO et de l'EDS respectivement. Une analyse détaillée du cas d=2 (2 couleurs) met en évidence deux types de comportements : quand f est concave, il n'y a qu'un seul équilibre attractif ; quand f est convexe, on observe une transition de phase d'un seul équilibre attractif à deux équilibres attractifs et un répulsif. Le dernier cas est traité en utilisant des résultats de non-convergence vers des pièges pour déduire la convergence p.s. de l'algorithme vers l'un des équilibres attractifs. On conclura avec une exemple d'application en Finance sur l'allocation optimale d'actifs.

Durant cet exposé, nous considérons les espaces symétriques Riemanniens plats et courbés dans le cas complexe et nous étudions leurs noyaux intégraux de base dans l'analyse potentielle et sphérique: les noyaux de Poisson, de Newton et de la chaleur et les fonctions sphériques. Nous utiliserons de « la méthode des sommes alternées » pour exprimer ces noyaux.

On considère le Laplacien de Dunkl $\Delta_k$ associé à un système de racines de $\R^d$, $d\geq2$, et à une fonction de multiplicité positive $k$. Le premier objectif est de résoudre un $\Delta_k$-problème de Dirichlet pour un couronne $A$. Ensuite, on introduit la $\Delta_k$-fonction de Green de $A$ et on montre qu'elle s'exprime à l'aide des $\Delta_k$-harmoniques sphériques. Comme application, on étudie les solutions continues et positives dans $A$ d'un $\Delta_k$-problème semi-linéaire.

L’exposé portera sur la consistance et une vitesse de convergence d’un estimateur de Nadaraya-Watson de la fonction de drift b d’une EDS avec bruit additif fractionnaire. L’intégrale stochastique au numérateur de l’estimateur considéré est prise au sens de Skorokhod. Sous une condition de dissipativité sur b, les résultats présentés sont obtenus via les travaux de M. Hairer sur le comportement en temps long de la solution de l’équation et via les propriétés de l’intégrale de Skorokhod. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Fabienne Comte.

En raison de leur simplicité et de leur flexibilité permettant ainsi de modéliser une large classe de modèles, les processus gaussiens sont devenus très populaires depuis quelques années et largement utilisés en statistique spatiale afin d'interpoler les observations et proposer un métamodèle (de Krigeage par exemple). Ils sont caractérisés par leur fonction moyenne et leur fonction de covariance. A des fins statistiques, il s'agit d'estimer sa fonction de covariance. Dans cet exposé, nous supposons que la fonction de covariance appartient à une famille paramétrique de fonctions de covariance. L'estimation de k se résume donc à celle de ses paramètres. Classiquement, les estimées sont obtenues par maximum de vraisemblance. Les estimateurs par maximum de vraisemblance (MLE) ont de bonnes propriétés et ont été largement étudiés dans la littérature. Cependant, ils souffrent d'un coût computationnel parfois prohibitif lorsque la taille de l'échantillon devient grande. Dans certains cas, il arrive aussi que le MLE diverge. Il semble alors pertinent de proposer des méthodes d'estimation alternatives. Nous introduirons donc les estimateurs par vraisemblance composite, les estimateurs par validation croisée ainsi que les estimateurs par variations dans des contextes spécifiques pour lesquels nous déterminerons le comportement asymptotique.

Nous considérons une marche aléatoire avec branchement, et la mesure de comptage Z_N qui compte le nombre de particules de la génération N situé dans une zone donnée. Il est bien connu qu’avec une bonne normalisation, la mesure de comptage vérifie un théorème central limite. Nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème central limite, en faisant le développement asymptotique de type Edgeworth. Dans l’approche, nous utilisons une décomposition de la mesure de comptage qui ressemble une somme de variables indépendantes, et nous introduisons des nouvelles martingales et étudions leurs vitesses de convergences. Les résultats sont établis dans un cadre plus général d’une marche aléatoire avec branchement dans un environnement aléatoire indexé par le temps. (Travail commun avec Zhiqiang Gao de Beijing Normal University)

Dans cet exposé, je vais faire une étude asymptotique et non-asymptotique des estimateurs des fonctions d'auto-régression dans un modèle bifurcant auto-régressif non-linéaire que nous avons introduit dernièrement. Il s'agit des estimateurs de type Nadaraya-Watson que nous adaptons à la structure d’un arbre binaire régulier. L’étude non-asymptotique comprend le contrôle des bornes supérieures et des bornes minimax de convergence de nos estimateurs. L'étude asymptotique comprend d’une part la normalité asymptotique des nos estimateurs, qui me permettra de construire un test d'asymétrie permettant de différencier les fonctions d'auto- régression; d'autre part un principe de déviation modérées pour nos estimateurs. L'exposé est issu de travaux en collaboration avec Adélaïde Olivier (Université Paris-Sud).

On traite du problème du partitionnement ("clustering") d'un ensemble d'entités en K groupes à l'aide d'un modèle statistique simple et dans un cadre non-asymptotique : peut-on discerner des groupes dans ces entités de façon optimale ? En partant de l'étude de l'estimateur classique des K-moyennes ("K-means"), on introduit une correction importante et on donne des vitesses pour les petites et grandes dimensions grâce à une reformulation puissante par l'optimisation convexe inspirée des travaux de J. Peng et Y. Wei [1], qui éclaire par ailleurs notre compréhension d'autres estimateurs comme les estimateurs spectraux. [1] Approximating K-means-type Clustering via Semidefinite Programming, Jiming Peng, Yu Wei, 2007

Motivée par des applications en sciences sociales, génétiques, écologie, marketing ou informatique, l’analyse de réseaux est un domaine en plein essor. Une approche classique consiste à ajuster le réseau observé à un modèle de graphe aléatoire, ce afin de met- tre en évidence des aspects importants de la structure du réseau. Si les approches paramétriques ont sucité un grand intérêt, la ma- jorité se révèlent peu adaptées pour l’analyse de très grands graphes (réseau social, réseau d’intéraction biologique, réseau de co-citation en recherche académique) pour lesquels des aspects plus fins de la structure du réseau pourraient être analysés. Les recherches d’une meilleure modélisation ont conduit à l’introduction de modèles non- paramétriques tel que le W-graphe aléatoire, aussi appelé modèle de graphon. Les propriétés universelles attachées à ce dernier semblent en faire un outil général et versatile pour l’analyse de réseau. Mal- heureusement, un problème majeur d’identifiabilité rend ce modèle difficilement interprétable pour le praticien. Un objectif général est donc de rendre plus opérationnel l’utilisation du W-graphe aléatoire. Parmi les directions possibles, on s’intéressera à la définition puis l’estimation d’une propriété identifiable du réseau, sa complexité.

Lorsqu'on cherche à décrire le comportement asymptotique de marches aléatoires positives en dimension trois (par exemple pour établir un théorème limite local, aussi pour calculer la probabilité de survie ou encore pour des questions plus combinatoires de comptage de chemins), des triangles sphériques apparaissent naturellement et jouent un rôle crucial (à titre d'exemple, l'exposant critique s'exprime en termes de la valeur propre principale de ces domaines sphériques pour le problème de Dirichlet). L'objectif de l'exposé est de présenter des liens (et leurs conséquences) entre certaines propriétés du triangle sphérique (angles remarquables, propriétés de pavage, existence d'une formule close pour la valeur propre principale) et l'étude combinatoire des marches (structure d'un groupe de réflexions lié à la marche, existence d'une factorisation dite de Hadamard, existence encore d'équations différentielles vérifiées par les fonctions génératrices comptant les marches). Il s'agit d'un travail en commun avec Beniamin Bogosel (Polytechnique), Vincent Perrollaz (Tours) et Amélie Trotignon (Simon Fraser University et Tours).

Nous considérons le système de particules de Fleming-Viot associé à une chaîne de Markov à temps continu et espace d'états fini. En supposant que cette chaîne est irréductible, il est connu que le système de particules possède une unique mesure invariante, sous laquelle sa mesure empirique converge vers la distribution quasi-stationnaire de la chaîne. Le but de cet exposé est de présenter un théorème central limite associé à cette convergence. C'est un travail en collaboration avec Tony Lelièvre et Loucas Pillaud-Vivien.

A level-dependent Lévy process solves the stochastic differential equation $dU(t)=dX(t)-\phi(U(t))\,dt$, where $X$ is a spectrally negative Lévy process. A special case is a multi-refracted Lévy process with $\phi_k(x)=\sum_{j=1}^k\delta_j\ind_{\{x\ge b_j\}}$. A general rate function $\phi$ that is non-decreasing and locally Lipschitz continuous is also considered. We discuss solutions of the above stochastic differential equation and investigate the so-called scale functions, which are counterparts of the scale functions from the theory of Lévy processes. We show how fluctuation identities for $U$ can be expressed via these scale functions. We demonstrate that the derivatives of the scale functions are solutions of Volterra integral equations.

Let us consider a random walk of $n$ steps, starting from the origin, such that the increments of the random walk have a continuous and symmetric distribution. Let us order the positions of the random walk and denote $M_{k,n}$ the $k$-th maximum. The statistics of $M_{k,n}$ have been well studied in probability theory, in the context of « fluctuation theory ». In this talk, I will focus instead on the gaps between two successive maxima $d_{k,n} = M_{k+1,n} - M_{k,n}$. I will show that one can obtain exact results for the statistics of the gaps $d_{k,n}$ in the case of exponentially distributed (symmetric) increments. In particular, I will study interesting scaling limits: (i) $k$ fixed and $n \to \infty$ and (ii) both $k, n \to \infty$ but keeping $k/n$ fixed. I will finally discuss the (conjectured) universality of these results for different increment distributions.

On considère une collection de boules aléatoires dans R^d tirées par différents processus ponctuels comme les processus de Poisson, les processus déterminantaux où les processus de Cox. On introduit ensuite un paramètre sur ces boules afin de faire un changement d’échelle sur le modèle. On remarque alors qu'en fonction de la vitesse à laquelle est effectué ce changement d’échelle on voit apparaître 3 régimes limites: le Gaussien, le Poissonnien et le stable. Je commencerai par donner quelques rappels sur les mesures aléatoires de Poisson et les mesures stables.