Séminaire de probabilités et statistique

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In this talk we consider a $d$-dimensional stochastic process $X$ which arises from a Lévy process $Y$ by partial resetting, that is the position of the process $X$ at a Poisson moment equals $c$ times its position right before the moment, and it develops as $Y$ between these two consecutive moments, $c \in (0, 1)$. We focus on $Y$ being a strictly $\alpha$-stable process with $\alpha\in (0,2]$ having a transition density. We analyze properties of the transition density $p$ of the process $X$. We establish a series representation of $p$. We prove its convergence as time goes to infinity (ergodicity), and we show that the limit $\rho_{Y}$ (density of the ergodic measure) can be expressed by means of the transition density of the process $Y$ starting from zero, which results in closed concise formulae for its moments. We show that the process $X$ reaches a non-equilibrium stationary state. Furthermore, we check that $p$ satisfies the Fokker-Planck equation, and we confirm the harmonicity of $\rho_{Y}$ with respect to the adjoint generator. In detail, we discuss the following cases: Brownian motion, isotropic and $d$-cylindrical $\alpha$-stable processes for $\alpha \in (0,2)$, and $\alpha$-stable subordinator for $\alpha\in (0,1)$. We find the asymptotic behavior of $p(t;x,y)$ as $t\to +\infty$ while $(t,y)$ stays in a certain space-time region. For Brownian motion, we discover a phase transition, that is a change of the asymptotic behavior of $p(t;0,y)$ with respect to $\rho_{Y}(y)$. In the generated case of $Y_t=t$, our process $X$ becomes an additive-increase and multiplicative-decrease (aka growth-collapse) process that grows linearly in time and that experiences downward jumps at Poisson epochs that are proportional to its present position. For this process, and also for its reflected versions, we solve one- and two-sided exit problems that concern the identification of the laws of exit times from fixed intervals and half-lines.

We study the probability that an autoregressive Markov chain X_{n+1} = a X_n + Y_{n+1}, where 0 < a < 1 is a constant, stays non-negative for a long time. We find the exact asymptotics of this probability and the weak limit of X_n conditioned to stay non-negative, assuming that the i.i.d. innovations Y_n take only two values +1, -1 and a <= 2/3. This limiting distribution is quasi-stationary. The limiting distribution has no atoms and is singular with respect to the Lebesgue measure when 1/2 < a <= 2/3, except for the case a = 2/3 and P(Y_n=1)=1/2, where it is uniform on the interval [0,3]. This is similar to the properties of Bernoulli convolutions. It turns out that for the +1, -1 innovations there is a close connection between X_n killed at exiting [0, \infty) and the classical dynamical system defined by the piecewise linear mapping x -> ( x/a + 1/2) mod 1. Namely, the trajectory of this system started at X_n deterministically recovers the values of the killed chain in reversed time! We use this property to construct a suitable Banach space, where the transition operator of the killed chain has the compactness properties that let us apply a conventional argument of Perron--Frobenius type. The difficulty in finding such space stems from discreteness of the innovations.

To study of a (stochastic) optimal control problem, there are two main technics: the dynamic programming principle which leads to the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) partial differential equation, or the Pontryagin maximum principle, which leads to the adjoint backward (stochastic) differential equation. If a constraint on the terminal value of the state process X is imposed, for example T)=0, there is a terminal blow-up for the HJB equation or the adjoint equation. In this talk, we evoke some known results for backward stochastic differential equations (BSDEs) without or with terminal singularity and the link with stochastic control with terminal constraint. We also define the continuity problem: is the solution continuous at the terminal time, despite the singularity ? In other words is there an extra cost in the related control problem, because of the strong constraint ? We show that continuity holds if the problem is sufficiently non linear (existence of a critical value). Below this value, the result still holds in the Brownian setting, using Malliavin’s calculus. However we show that a jump part propagates the singularity: there is a discontinuity at the terminal time in the Poisson case. Based on joint works with D. Cacitti-Holland (Le Mans), L. Denis (Le Mans), T. Kruse (Wuppertal, Germany).

As systems have become more sophisticated, there has been an increase in the number and nature of their components. Some of them show continuous degradation and others fail suddenly without warning. Another approach to take into account is that the degradation processes affecting the system may appear at different times, triggered by an external process. Some maintenance strategies for systems subject to multiple degradation processes are proposed. Such systems can refer to systems with multiple components or systems subject to different degra- dation processes. Both points are equivalent in the following sense: systems subject to different degradation processes can be seen as a system of multiple components where not all the components start to deteriorate at the same instant of time. Since the introduction of continuous degradation processes, such as the Gamma or the Wiener processes, several extensions of these models have been proposed in order to offer a closer approach to real-life situations. A random effects model in which a parameter of the main degradation process follows a random variable is analysed. This allows the variability between the different degradation processes to be represented. In addition, dependencies that arise between components are addressed by studying the Pearson's correlation coefficient in the case of imperfect repairs in a system subject to a bivariate degradation.

We use the concept of excursions for the prediction of random variables without any moment existence assumptions. To do so, an excursion metric on the space of random variables is defined which appears to be a kind of a weighted L1-distance. Using equivalent forms of this metric and the specific choice of excursion levels, we formulate the prediction problem as a minimization of a certain target functional which involves the excursion metric. Existence of the solution and weak consistency of the predictor are discussed. An application to the extrapolation of stationary heavy-tailed random functions illustrates the use of the aforementioned theory. Numerical experiments with the prediction of Gaussian, alpha- and max-stable random functions show the practical merits of the approach. Joint work with A. Das and V. Makogin

Dans cet exposé, on considère l'enveloppe convexe des points d'un processus ponctuel de Poisson dans la boule unité euclidienne, lorsque la dimension tend vers l'infini, et nous étudions plus précisément la fonction de support de ce polytope poissonnien. Nous en identifierons d'abord les différents régimes asymptotiques, selon l'intensité du nombre de points échantillonnés, et nous les comparerons à ceux obtenus par Bonnet-Kabluchko-Turchi (RSA, 2020) pour le volume moyen occupé. Nous présenterons ensuite des résultats de convergence en loi pour une certaine renormalisation de la fonction de support, en faisant (si le temps le permet) le lien avec un problème de recouvrement résolu par Janson (Acta Math., 1986). Il s'agit d'un travail en cours de finalisation et en collaboration avec Pierre Calka (LMRS, Université de Rouen Normandie).

A quoi ressemble une forêt aléatoire d'un grand graphe complet, vue d'un sommet typique ? Pour l'arbre couvrant uniforme (c'est-à-dire une forêt avec une seule composante), Grimmett a répondu à cette question il y a longtemps : la limite locale est un arbre de Bienaymé-Galton-Watson critique, de loi de reproduction de Poisson, conditionné à survivre éternellement. Depuis, des modèles de forêt aléatoire ont connu un intérêt constant, voir par exemple les travaux de Kenyon et de Avena-Gaudillière et coauteurs (entre autres). Dans cet exposé, j'introduirai un modèle de forêt aléatoire naturellement motivé par l'étude du champ gaussien massique. Pour le graphe complet, on peut décrire la limite locale assez précisément : une transition de phase sépare les masses pour lesquelles la situation est identique aux arbres d'une où un nouvel objet limite apparait. On décrira certaines caractéristiques de cet objet, comme la loi du degré d'un sommet typique. Exposé basé sur un travail en collaboration avec Nathanaël Enriquez (IMO Orsay et ENS Ulm) et Paul Melotti (IMO Orsay).

On considère un arbre enraciné, dont les sommets sont interprétés comme des places de parking pouvant accueillir au plus une voiture. Sur chacun de ses sommets, arrivent des voitures qui cherchent à se garer. Chaque voiture essaie de se garer sur son sommet d’arrivée, et s’il est déjà occupé, elle se déplace en direction de la racine jusqu’à la première place disponible. Si elle ne trouve pas de place sur son chemin vers la racine, elle sort de l’arbre sans se garer et contribue au flux de voitures sortantes. Lorsqu’il y a peu d’arrivées de voitures, elles vont quasiment toutes trouver une place disponible alors que si elles sont trop nombreuses, on peut imaginer qu’une proportion positive d’entre-elles ne parviendront pas à se garer. Dans cet exposé, je présenterai différents outils permettant d’étudier la transition de phase qui apparait entre ces deux régimes en fonction du type d’arbres et d’arrivées de voitures.

Hawkes processes are a family of point processes for which the occurrence of any event increases the probability of further events occurring. Although the linear Hawkes process, for which a representation in the form of a superposition of branching processes exists, is particularly well studied, difficulties remain in estimating the parameters of the process from imperfect data (noisy, missing or aggregated data), since the usual estimation methods based on maximum likelihood or least squares do not necessarily offer theoretical guarantees or are numerically too costly. In this work, we propose a spectral approach well-adapted to this context, for which we prove consistency and asymptotic normality. In order to derive these properties, we show that Hawkes processes can be studied through the scope of mixing, opening the use of central limit theorems that already exist in the literature. I will then present two applications of this approach: to aggregated data (joint work with Gabriel Lang); and to noisy data (joint work with Anna Bonnet, Miguel Martinez and Maxime Sangnier).

On verra comment construire un mouvement brownien plan à partir d'une courbe simple (un SLE(2) , limite d'échelle des marches aléatoires à boucles effacées) et d'une famille de boucles browniennes. Si le temps le permet, on parlera d'applications possibles de ce résultat en analyse stochastique, en particulier pour l'étude du mouvement brownien avec dérive donnée par un environnement aléatoire. Basé sur un travail en cours avec N. Berestycki.

En génétique des populations, les généalogies sont un objet central pour comprendre et étudier les patterns de diversité génétique observés dans les populations. D'un point de vue mathématique, une généalogie peut être vue comme une structure d'arbre ultramétrique, et leur étude a été source de motivation pour de nombreux développement en probabilité, un exemple important étant la théorie des coalescents. Dans cet exposé, je vais présenter des résultats récents de convergence de généalogie dans deux modèles de génétique des populations. Le premier modélise une population neutre soumise à de la recombinaison génétique ; le deuxième est un modèle jouet d'un front de population en expansion, formulé comme un mouvement Brownien branchant avec absorption. Ces résultats illustrent une méthode des moments plus générale pour étudier les généalogies des processus de branchements que je présenterai brièvement. Elle s'appuie sur deux éléments principaux : la théorie des espaces métriques aléatoires munis de la topologie de Gromov faible, et les formules dites de « many-to-few » pour calculer les moments de ces espaces métriques aléatoires.

We will describe forthcoming work in which we prove that branching Brownian motion in dimension four is governed by a nontrivial multifractal geometry and compute the associated exponents. As a part of this, we establish very precise estimates on the probability that a ball is hit by an unusually large number of particles, sharpening earlier works by Angel, Hutchcroft, and Jarai (2020) and Asselah and Schapira (2022) and allowing us to compute the Hausdorff dimension of the set of “a-thick” points for each a > 0. Surprisingly, we find that the exponent for the probability of a unit ball to be “a-thick” has a phase transition where it is differentiable but not twice differentiable at a = 2, while the dimension of the set of thick points is positive until a = 4. If time permits, we will also discuss a new strong coupling theorem for branching random walk that allows us to prove analogues of some of our results in the discrete case. Joint work with Nathanael Berestycki and Tom Hutchcroft.

We consider a system of particles performing a one-dimensional dyadic branching Brownian motion with space-dependent branching rate, negative drift, and killed upon reaching 0. This system can be seen as an analytically tractable model for fluctuating fronts, describing the internal mechanisms driving the invasion of a habitat by a cooperating population. Recent studies by Birzu, Hallatschek and Korolev on the noisy FKPP equation with Allee effect suggest the existence of three classes of fluctuating fronts: pulled, semi-pushed and fully-pushed fronts. In this talk, we will focus on the pushed regime. We will show that the particle system exhibits the same phase transitions as the noisy FKPP equation. We will then use this system to explain how the internal mechanisms driving the invasion shape the genealogy of expanding populations. Joint work with Emmanuel Schertzer and Felix Foutel–Rodier.

Le recuit simulé est une méthode numérique dont le but est de trouver le minimum global d’une fonction U (ici de R^d dans R), et qui consiste à résoudre l’équation différentielle stochastique dX_t = dB_t - \beta_t \nabla U(X_t) dt. C’est donc une descente de gradient, avec du bruit (pour sortir des minima locaux). Pour que l’influence du bruit disparaisse en temps grand, il faut que \beta_t tende vers l’infini. Mais si on fait tendre \beta_t trop vite vers l’infini, on risque de rester coincé dans un minimum local de U. Je parlerai des travaux de Holley-Kusuoka-Stroock, 88-89, qui ont résolu cette question dans le cas où R^d est remplacé par une variété compacte, et de conditions de croissance de U à l’infini pour que leur résultat reste vrai dans R^d.

Modéliser fidèlement des systèmes complexes requiert souvent d'abandonner l'hypothèse de données indépendantes: des outils théoriques doivent être disponibles pour étudier rigoureusement de tels modèles. Si plusieurs résultats de concentration classiques (comme l'inégalité de Bernstein ou de McDiarmid) ont été étendus à un cadre dépendant, les travaux relatifs aux U-statistiques sans hypothèse d'indépendance se limitent quasi-exclusivement à une analyse asymptotique. Dans cet exposé, je présenterai une inégalité de concentration pour des U-statistiques d'ordre 2 en supposant que les données sont issues d'une chaine de Markov uniformément ergodique. Je proposerai une application de ce résultat à l'estimation non-paramétrique dans des graphes aléatoires géométriques dynamiques.

Un résultat bien connu d'Aldous énonce que la limite d'échelle de l'arbre couvrant uniforme du graphe complet est l'arbre brownien. En fait, il est possible de dire plus : nous pouvons comparer directement les deux algorithmes utilisés pour construire les deux arbres, et les coupler à chaque étape. Ces algorithmes sont l'algorithme de Wilson et la construction de "line-breaking" de l'arbre brownien. Ce dernier algorithme a été généralisé par Curien et Haas en 2017 pour donner une construction de "line-breaking" pour une classe plus large d'arbres compacts dans le continu. Dans cet exposé, nous introduisons un nouveau modèle d'arbres couvrants aléatoires que nous appelons "arbres couvrants de choix", et nous montrerons qu'ils convergent après un changement d'échelle vers certains des arbres construits par Curien et Haas. Travail en cours avec Matan Shalev.

We consider a particle with position $(X_t)_{t\geq0}$ living in $\mathbb{R}_+$, whose velocity $(V_t)_{t\geq0}$ is a positive recurrent diffusion with heavy-tailed invariant distribution when the particle lives in $(0,\infty)$. When it hits the boundary $x=0$, the particle restarts with a random strictly positive velocity. We show that the properly rescaled position process converges weakly to a stable process reflected on its infimum. From a P.D.E. point of view, the time-marginals of $(X_t, V_t)_{t\geq0}$ solve a kinetic Fokker-Planck equation on $(0,\infty)\times\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}$ with diffusive boundary conditions. Properly rescaled, the space-marginal converges to the solution of some fractional heat equation on $(0,\infty)\times\mathbb{R}_+$.

Le premier génome de haute qualité du pommier a été séquencé, assemblé et annoté par deux équipes de l’IRHS en 2017 (1). Cette nouvelle séquence a confirmé la copie complète ancestrale du génome décrite précédemment (2). Ainsi 80% des gènes sont présents en 2 copies organisées en synténies (l’ordre des gènes est conservé sur les 2 fragments chromosomiques dupliqués). On parle de WGD pour Whole Genome Duplication. Nous avons daté cet événement à 27 Mya en utilisant un modèle d’évolution des séquences. L’ancêtre (à 9 chromosomes) du poirier, pommier, pêcher a subi une duplication complète de génome (suivi de réarrangements chromosomiques) donnant l’ancêtre du pommier et du poirier (à 17 chromosomes), le pêcher n’ayant quant à lui que 8 chromosomes. En réalisant des analyses sur les données phénotypiques (pour des traits d’intérêt agronomiques i.e. QTL : Quantitative Trait Loci) nous avons pu mettre en évidence un déséquilibre entre les 2 copies des chromosomes dupliqués, une des 2 copies concentrant plus de QTLs que l’autre et ceci quel que soit le caractère phénotypique considéré. Pour tenter d’expliquer cette différence nous avons examiné toutes les données RNAseq disponibles dans les banques de données (144 expériences) et nous avons également mis en évidence un biais. De même avec l’analyse des données épigénomiques (données DNAseq bisulfite) ou encore en examinant la densité en éléments transposables dans l’environnement des gènes sur les 2 copies de chromosomes. Nous avons ainsi proposé un modèle d’évolution pour le génome du pommier après WGD (3). 1 - Daccord, N., Celton, JM., Linsmith, G. et al. High-quality de novo assembly of the apple genome and methylome dynamics of early fruit development. Nat Genet 49, 1099–1106 (2017). https://doi.org/10.1038/ng.3886. 2 - Velasco, R., Zharkikh, A., Affourtit, J. et al. The genome of the domesticated apple (Malus × domestica Borkh.). Nat Genet 42, 833–839 (2010). https://doi.org/10.1038/ng.654 3 – Lallemand T., Leduc M., Desmazières A., Aubourg S., Rizzon C., J-M Celton & C.Landès. Insights into the evolution of ohnologous sequences and their epigenetic marks post WGD in Malus domestica. Soumis.