Séminaire de probabilités et statistique

We analyse the spectrum of the (scaled) adjacency matrix A of the Erdos-Rényi graph G(N,d/N) in the critical regime d=blog N with b constant. We establish a one-to-two correspondence between vertices of degree at least 2d and nontrivial eigenvalues outside the asymptotic 2,2]. This correspondence implies a transition at an explicit b. For d>blogN the spectrum is just the [2,2] and the eigenvectors are completely delocalized. For d

Je présenterai dans cet exposé des résultats nouveaux sur l'existence et l'unicité de solution pour des EDSRs réfléchies dans des domaines non convexes supposés "faiblement étoilés". Notons que le cas particulier des EDSRs de générateur nul, à savoir l'espérance conditionnelle pour la filtration brownienne, est déjà un cas d'étude intéressant et permet de définir une notion de moyenne contrainte à prendre ses valeurs dans un ensemble non convexe. En particulier, on établit des résultats d'existence et d'unicité dans un cadre markovien avec une condition terminale et un générateur réguliers, mais également dans un cadre général sous une hypothèse de petitesse sur les paramètres de l'EDSR. C'est un travail en commun avec Jean-François Chassagneux (Université de Paris) et Sergey Nadtochiy (Illinois Institute of Technology)

Dans le cadre des big-data, nous sommes très souvent amenés à traiter un ensemble volumineux des données. Dans la première partie, nous utilisons des algorithmes stochastiques, afin de construire des estimateurs récursifs. L'intérêt majeur de ces approches récursives est qu'elles permettent une mise à jour rapide des estimateurs lorsque les données sont observées de manière séquentielle sans être obligé de stoker en mémoire toutes les observations passées. Dans la deuxième partie, nous nous focalisons sur le problème de l'estimation récursive d'une fonction de régression sur des données fonctionnelles, nous présentons quelques résultats concernant le comportement asymptotique de l'estimateur non-paramétrique proposé, nous automatisons par la suite le paramètre de lissage et nous comparons la méthode proposée à des méthodes existantes en utilisant des données simulées et ensuite des données réelles. Dans la troisième partie, nous abordons le problème de la classification supervisée de courbes, nous soulignons le gain de l’utilisation des approches récursives en utilisant des données simulées et ensuite des données réelles. Dans la quatrième partie, nous considérons le problème de la classification non supervisée en utilisant un exemple d’application issu du domaine de la Psychologie plus précisément en électroencéphalographie (EEG) qui souligne l’intérêt pratique de la méthode.

Une factorisation du n-cycle est une façon d'écrire la permutation (1, 2, ..., n) comme un produit de transpositions. Il est connu que le nombre minimal de transpositions dans une factorisation est n-1. Plus généralement, une factorisation en n-1+2g transpositions est appelée factorisation de genre g. Bien qu'il existe des formules explicites pour compter ces factorisations, aucune preuve combinatoire n'est connue. J'exposerai une bijection entre les factorisations du n-cycle et un ensemble de graphes à n sommets, qui permet d'obtenir combinatoirement le terme dominant dans ces formules, puis un algorithme inspiré de cette bijection et générant une factorisation asymptotiquement uniforme de genre fixé. Je montrerai également comment cet algorithme permet de décrire la limite d'échelle d'une factorisation uniforme de genre donné. Travail en collaboration avec Valentin Féray et Baptiste Louf.

L’étude du nombre de séries de t “pile” obtenus lors d’une suite de lancers indépendants d’une pièce de monnaie comme celle du nombre d’apparitions d’un mot rare dans une séquence d’ADN nécessite de prendre en compte le phénomène d’agglutination que l’apparition des différents événements exhibe. La méthode de Chen-Stein s’avère un outil particulièrement efficace pour borner l’erreur d’approximation lorsque la loi du nombre d’agglomérats peut être approchée par une loi de Poisson (éventuellement composé). Dans un travail sur lequel est basé cet exposé, on propose de revisiter cette méthode en ramenant les deux problèmes évoqués à celui d’approximation poissonienne pour des fonctionnelles de processus binomiaux marqués (MBP), i.e. les analogues discrets de processus de Poisson composés. Sont développés dans ce cadre des outils d’analyse stochastique pour les MBP regroupés autour d’une “théorie L^1” basée sur l’analogue de la formule de Mecke et d’une “théorie L^2” supportée par l’existence d’une décomposition en chaos des fonctionnelles. De MBP et à partir de laquelle on peut définir des opérateur de Malliavin (gradient, divergence etc.). Sous ce nouveau formalisme, on obtient un critère général - pour la distance en variation totale- d’approximation poissonienne pour des fonctionnelles de MBP et qui s’exprime en termes d’opérateurs de Malliavin. Dans cet exposé, on donnera des éléments du calcul de Malliavin développé pour les MBP, avant d’énoncer le résultat général d’approximation et de l’illustrer par l’application aux deux situations évoquées plus haut.

A natural and well-known way to discover the topology of random structures (such as a random graph G), is to have them explored by random walks. The usual random walk jumps from a vertex of G to a neighboring vertex, providing information on the connected components of the graph G. The number of these connected components is the Betti number beta0. To gather further information on the higher Betti numbers that describe the topology of the graph, we can consider the simplicial complex C associated to the graph G: a k-simplex (edge for k=1, triangle for k=2, tetrahedron for k=3 etc.) belongs to C if all the lower (k-1)-simplices that constitute it also belong to the C. For example, a triangle belongs to C if its three edges are in the graph G. Several random walks have already been propose recently to explore these structures, mostly in Informatics Theory. We propose a new random walk, whose generator is related to a Laplacian of higher order of the graph, and to the Betti number betak. A rescaling of the walk for k=2 (cycle-valued random walk) is also detailed when the random walk visits a regular triangulation of the torus. We embed the space of chains into spaces of currents to establish the limiting theorem. An application to statistical topology is proposed. Joint work with T. Bonis, L. Decreusefond and Z. Zhang.

Dans cet exposé, nous allons nous intéresser à l'estimation des primes de réassurance en présence de covariables aléatoires. En utilisant des arguments de théorie des valeurs extrêmes, nous proposerons un estimateur de la prime de risque conditionnel à une valeur pour la covariable, et nous établirons ses propriétés asymptotiques. Le comportement à distance finie de l'estimateur sera illustré sur la base de simulations, et la méthodologie développée sera appliquée à un jeu de données réelles en assurance automobile.

La marche aléatoire de l’éléphant est un processus introduit au début des années 2000 en physique statistique. Il s'agit d'une marche aléatoire avec un paramètre de mémoire, a priori non-markovienne, et telle que la loi de chaque nouveau pas dépend de tous les pas précédents. On explicitera une approche martingale qui permet d’obtenir de nombreux résultats en dimension 1 ainsi qu'en dimension supérieure. On présentera ensuite une généralisation de la marche de l’éléphant avec un renforcement de la mémoire qu’on étudiera toujours à l’aide de martingales. Enfin on expliquera le lien entre un modèle généralisé d'urnes de Pólya et la marche de l’éléphant qui permet de retrouver certains des résultats présentés.

Motivated by a problem arising in the analysis of convex hulls of high-dimensional random walks, we introduce a new class of discrete probability distributions, which we call Lah distributions, and which involve Stirling numbers of both kinds. We provide a combinatorial interpretation of the Lah distributions in terms of random compositions and records and prove various limit theorems for them. This talk is based on a recent joint work with Zakhar Kabluchko (Münster, Germany).

Let $(p_k)_{k\in\mathbb{N}}$ be a discrete probability distribution. Consider a deterministic weighted branching process generated by $(p_k)_{k\in\mathbb{N}}$. A nested Karlin's occupancy scheme is the sequence of Karlin's balls-in-boxes schemes in which boxes of the $j$th level, $j=1,2,\ldots$ are identified with the $j$th generation individuals and the hitting probabilities of boxes are identified with the corresponding weights. The collection of balls is the same for all generations, and each ball starts at the root and moves along the tree of the deterministic weighted branching process according to the following rule: transition from a mother box to a daughter box occurs with probability given by the ratio of the daughter and mother weights. Denote by $\mathcal{K}_n(j)$ the number of occupied (ever hit) boxes in the $j$th level provided that there are $n$ balls. Assume that the counting function $x\mapsto \#\{k\in\mathbb{N}: p_k\geq 1/x\}$ belongs to the de Haan class $\Pi$. I shall discuss a functional limit theorem for the vector-valued process $(\mathcal{K}^{(1)}_{\lfloor e^{T+u}\rfloor},\ldots, \mathcal{K}^{(j)}_{\lfloor e^{T+u}\rfloor})_{u\in\mathbb{R}}$, for each $j\in\mathbb{N}$, properly normalized and centered, as $T\to\infty$. The limit is a vector-valued process whose components are independent stationary Gaussian processes. I shall provide an integral representation of the limit process. The talk is based on a joint work with Z. Kabluchko (Münster) and V. Kotelnikova (Kyiv).

Dans cette présentation nous traiterons de la question du clustering lorsque plusieurs variables latentes de classes sont considérées (clustering par partitions multiples). En effet, supposer que toute l'hétérogénéité des données peut être expliquée par une seule variable latente est une hypothèse très forte, et il peut être utile de considérer que plusieurs blocs (ou combinaisons linéaires) de variables peuvent fournir différentes partitions des individus. Cela peut révéler de nouvelles lignes d'analyse des données. Dans ce cadre, nous présentons deux approches. La première approche suppose l'existence de plusieurs groupes de variables, chacun conduisant à une partition particulière des individus [1]. Le modèle suppose l'indépendance entre les blocs de variables, et dans chaque bloc l'indépendance des variables conditionnellement à la classe. Nous proposons une recherche simultanée des blocs de variables et des partitions associées des individus en classes, ce qui permet d’explorer efficacement l’espace des modèles. La seconde approche suppose l'existence de plusieurs projections classifiantes dans les données [2]. Le modèle suppose que les données sont obtenues à partir de combinaisons linéaires de variables classifiantes et non classifiantes, où chaque variable classifiante est supposée suivre une distribution de mélange spécifique. Les paramètres des modèles sont estimés par un algorithme EM généralisé. Nous illustrerons le comportement de ces modèles sur données simulées et réelles, et nous discuterons les perspectives associées. [1] Marbac, M. and Vandewalle, V. (2019). A tractable multi-partitions clustering. In: Computational Statistics & Data Analysis 132, pp. 167–179. [2] Vandewalle, V. (2020). Multi-Partitions Subspace Clustering. In: Mathematics 8.4, p. 597.

The reverse characteristic polynomial of a matrix A is q(z)=det(I - z A). I will show that when A is a (non-Hermitian) n x n random matrix with iid Bernoulli(d/n) entries, with d fixed, then when n goes to infinity, the polynomial q converges towards a random infinite holomorphic function F, which is the exponential of a random series with Poisson coefficients. This entails a short proof of previous results on the asymptotics of the eigenvalues of A, a strategy inspired by a recent paper by Bordenave, Chafai and Garcia-Zelada. The function F is itself a Poisson analog of the Gaussian Holomorphic Chaos, and I will list some questions regarding its coefficients and its boundary behaviour

Dans cet exposé, je présenterai une recette pour déduire l'asymptotique d'un tableau multidimensionnel infini de nombres à partir de sa fonction génératrice. Dans le cas bivarié, cela revient à déduire l'asymptotique de a_{m,n} quand m,n -> infini et m/n^T -> s (où T>0 est fixé et s>0 est une variable) à partir de la fonction A(x,y)= Sum_{m,n\geq 0} a_{m,n} x^m y^n. J'expliquerai pourquoi de telles asymptotiques sont utiles dans l'étude de modèles probabilistes, en particulier pour établir des théorèmes limites locales avec des lois limites exotiques. Je donnerai quelques exemples issus des modèles de graphes aléatoires décorés. Auparavant, des recettes similaires n'étaient disponibles que dans le cas où ?=1 et où la fonction A est rationnelle. En revanche, notre méthode fonctionne pour tout T>0 et toute fonction algébrique A, mais sous certaines conditions supplémentaires sur la structure de singularité de A. Si le temps le permet, j'expliquerai pourquoi les anciennes et les nouvelles méthodes traitent des cas disjoints, et comment ils pourraient être combinés dans le futur.

We study the asymptotic behavior of the probability of non-extinction of a critical multi-type Galton-Watson process in i.i.d. random environments by using limits theorems for products of positive random matrices. Under suitable assumptions, the survival probability is proportional to $1/\sqrt{n}$. Joint work with Emile Le Page and Marc Peigné.

Soit $\theta$ un nombre irrationnel. La translation $T : y \mapsto (y+\theta) \mod 1$ de $[0,1[$ (muni de la loi uniforme) dans lui-même est ergodique. On s'intéresse à la transformation $[T,\mathrm{Id}]$ de $\{0,1\}^{\NN} \times [0,1[$ dans lui-même définie par $$[T,\mathrm{Id}] \left( (x_n)_{n \ge 0},y \right) := \left( (x_{n+1})_{n \geq 0},T^{x_0}(y)\right).$$ Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est isomorphe à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive. Une preuve constructive avait été donnée auparavant par Parry, dans le cas où $\theta$ s'approche extrêmement bien par les nombres rationnels, plus précisément lorsqu'on peut trouver une suite de fractions $p/q$ avec $p$ et $q$ entiers telle que $$4^{q^2}q^4|\theta-p/q| \to 0.$$ En utilisant une autre approche, nous montrons qu'on peut se passer de cette condition diophantienne. Ce résultat peut être retranscrit sous forme probabiliste comme suit : considérons une marche aléatoire $(Y_n)_{n \in \ZZ}$ stationnaire sur $[0,1[$ (qu'on peut identifier au tore $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$), vérifiant la relation de récurrence $Y_n = (Y_{n-1}-\xi_n\theta) \mod 1$, avec $\xi_n$ uniforme sur $\{0,1\}$ est indépendante de $\mathcal{F}^{\xi,Y}_{n-1} = \sigma((\xi_k,Y_k)_{k \le n-1})$. Alors la suite $(\eta_n)_{n \in \ZZ}$ définie par $$\eta_n := \left( \xi_n + \indic{[\theta,1[}(Y_{n-1}) \right) \mod 2$$ est une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, qui engendre la même filtration que la suite $(Y_n)_{n \in \ZZ}$.

This talk studies the recovery of graphons when they are convolution kernels on compact (symmetric) metric spaces. This case is of particular interest since it covers the situation where the probability of an edge depends only on some unknown nonparametric function of the distance between latent (non observed) points, referred to as Nonparametric Geometric Graphs (NGG). In this setting, adaptive estimation of NGG is possible using a spectral procedure combined with a Goldenshluger-Lepski adaptation method. The latent spaces covered by our framework encompass (among others) compact symmetric spaces of rank one, namely real spheres and projective spaces.

Consider the SDE dX_t=b(X_t)dt+dW_t driven by a standard Wiener process W. It is very well known that, if b is contractive outside of a compact set, this equation has a unique invariant measure and the law converges exponentially fast in both Wasserstein and total variation distances. In this talk I will present an analogous result for W replaced by a fractional Brownian motion. This improves subgeometric rates obtained obtained in previous works. As an application of the result, I will present an averaging principle for slow-fast systems with fractional noise both in the system and the environment.

Dans cet exposé, je présenterai une méthode d'estimation de courbe dans un modèle avec un bruit additif. Nous nous intéresserons aux propriétés de convergence d'estimateurs basés sur une formule liée à la définition de courbe principale introduite par Kégl et al. (2000). Il s'agit d'un travail en en collaboration avec Sylvain Delattre.

We investigate a general class of stochastic gradient descent (SGD) algorithms, called conditioned SGD, based on a preconditioning of the gradient direction. Under some mild assumptions, we establish the almost sure convergence and the asymptotic normality for a broad class of conditioning matrices. In particular, when the conditioning matrix is an estimate of the inverse Hessian at the optimal point, the algorithm is proved to be asymptotically optimal. The benefits of this approach are validated on simulated and real datasets.

La gestion de risque en finance et assurance se base souvent sur le calcul d’un seul quantile (ou Value-at-Risk). Un inconvénient des quantiles est qu’ils ne mesurent que la fréquence d’un évènement extrême et ne donnent pas d’information sur l’impact d’un tel événement. En assurance, un autre inconvénient est que les quantiles ne définissent pas une mesure de risque cohérente. Dans cet exposé, j’expliquerai comment, en partant de la formulation du quantile comme la solution d’un problème d’optimisation, on peut construire deux familles alternatives de mesures de risque, appelées expectiles et extremiles. Je donnerai un aperçu de leurs propriétés, ainsi que quelques résultats sur leur estimation à des niveaux extrêmes pour des distributions à queue lourde, et j’expliquerai également, au moyen de quelques applications sur données réelles, pourquoi ces mesures constituent des compléments raisonnables aux quantiles en gestion de risque. Cet exposé se base sur des résultats obtenus en collaboration avec Abdelaati Daouia, Irène Gijbels, Stéphane Girard et Antoine Usseglio-Carleve.

Nous obtenons des estimées de concentration gaussienne non asymptotiques pour la différence entre la mesure invariante ? d’une diffusion brownienne ergodique et la mesure empirique d’un schéma d’approximation à pas décroissants évaluée le long d’une classe admissible de fonctions tests f telles que f-v(f) soit un co-bord du générateur infinitésimal. Nous montrons que ces bornes peuvent être améliorées lorsque le carré de certaines normes du coefficient de diffusion appartient également à cette classe. Nous déduisons de ces estimées des intervalles de confiance non asymptotiques explicitement calculables pour le schéma d’approximation. Nous obtenons également, en terme d’application théorique, des estimées de déviations non asymptotiques pour le théorème de la limite centrale presque sûr. (travail commun avec I. Honoré et G.Pagès)

In this talk I present a L0 penalization method called the adaptive-ridge (first introduced by Frommlet and Nuel, 2016), in a survival analysis context. This method is shown to be of interest for the estimation of the piecewise constant hazard model. Starting from a large grid, the number and locations of the cuts of the hazard function can be determined using this L0 penalization method by forcing two similar adjacent hazard values to be equal. Two extensions of this method to survival data are presented. Firstly, in the age-cohort-period setting, the hazard function is considered as a bi-dimensional function. Since the number of parameters can be quite large compared to the sample size, the L0 penalization method is used to avoid overfitting issues. The method is illustrated on the SEER data for survival after breast cancer. The adaptive ridge technique is implemented to produce a parsimonious representation of the risk of death after breast cancer as a bi-dimensional function of the date of diagnostic and the time elapsed since cancer onset. Secondly, when dealing with interval censored data, a Cox model with piecewise constant hazard baseline is also introduced. The adaptive ridge procedure is used for the baseline function, resulting in a flexible regression model. The method is illustrated on a dental dataset.

Considering a Poisson process observed on a bounded, fixed interval, we are interested in the problem of detecting an abrupt change in its distribution, characterized by a jump in its intensity. Formulated as an off-line change-point problem, we address two distinct questions : the one of detecting a change-point and the one of estimating the jump location of such change-point once detected. This study aims at proposing a non-asymptotic minimax testing set-up, first to construct a minimax and adaptive detection procedure and then to give a minimax study of a multiple testing procedure designed for change-point localisation.

Markov Chain Monte Carlo (MCMC) is a class of algorithms to sample complex and high-dimensional probability distributions. The Metropolis-Hastings (MH) algorithm, the workhorse of MCMC, provides a simple recipe to construct reversible Markov kernels. Reversibility is a tractable property which implies a less tractable but essential property here, invariance. Reversibility is however not necessarily desirable when considering performance. This has prompted recent interest in designing kernels breaking this property. At the same time, an active stream of research has focused on the design of novel versions of the MH kernel, some nonreversible, relying on the use of complex invertible deterministic transforms. While standard implementations of the MH kernel are well understood, aforementioned developments have not received the same systematic treatment to ensure their validity. In this talk, we will introduce develop general tools to ensure that a class of nonreversible Markov kernels, possibly relying on complex transforms, has the desired invariance property and lead to convergent algorithms. This leads to a set of simple and practically verifiable conditions.