Séminaire de probabilités et statistique

De nos jours, les procédures de machine learning sont utilisées dans beaucoup de champs d’applications à l'exception notables des domaines dits sensibles (santé, justice, défense pour n'en citer que quelques-uns) dans lesquels les décisions à prendre sont lourdes de conséquence. Dans ces domaines, il est nécessaire d'obtenir une décision précise mais, pour entrer effectivement en application, ces algorithmes doivent fournir une explication du mécanisme qui conduit à la prise de décision et, en ce sens, être interprétable. Malheureusement les algorithmes les plus précis actuellement sont souvent les plus complexes. Une technique classique pour tenter d'expliquer leurs prédictions consiste à calculer des indicateurs correspondant à la force du lien entre chaque variable d’entrée et la variable de sortie à prédire. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à un indicateur d'importance créé pour les arbres de décision, le Mean Decrease Impurity, et nous verrons en quoi l'étude théorique permet de fournir des explications quant à son utilisation pratique.

We study the problem of the non-parametric estimation for the density $\pi$ of the stationary distribution of a stochastic two-dimensional damping Hamiltonian system $(Z_t)_{t\in[0,T]}=(X_t,Y_t)_{t \in [0,T]}$. From the continuous observation of the sampling path on $[0,T]$, we study the rate of estimation for $\pi(x_0,y_0)$ as $T \to \infty$. We show that kernel based estimators can achieve the rate $T^{-v}$ for some explicit exponent $v \in (0,1/2)$. One finding is that the rate of estimation depends on the smoothness of $\pi$ and is completely different with the rate appearing in the standard i.i.d. setting or in the case of two-dimensional non degenerate diffusion processes. Especially, this rate depends also on $y_0$. Moreover, we obtain a minimax lower bound on the $L^2$-risk for pointwise estimation, with the same rate $T^{-v}$, up to $\log(T)$ terms. (joint work with Sylvain Delattre, Univ. Paris Diderot; and Nakahiro Yoshida, Univ. of Tokyo)

Le laboratoire de Bioinfomique à l’ICO travaille sur le développement d'outils bio-informatiques pour améliorer les traitements dans les cancers du sein. Notamment, nous cherchons à sélectionner des variables prédictives de la tumeur qui permettraient en amont d’évaluer l’efficacité d'un traitement. Nous utilisons pour cela des algorithmes de machine learning en analyse supervisée. Malheureusement, la construction d’un modèle prédictif est particulièrement ardue en santé car le nombre de variables de la tumeur dépasse largement le nombre d’observations, et les modèles pour l’instant générés ont des performances de prédiction trop faible pour être utilisables en clinique. Afin d’augmenter le nombre d’observations, nous avons ici combiné des datasets provenant d’origine différente en comparant différentes méthodes, et nous avons testé les performances de plusieurs algorithmes sur cette combinaison de données.

Let p(t,x,y) be the fundamental solution of the equation \partial_t u(t,x) = \Delta^{\alpha/2} u(t,x). I will consider the integral equation
\tilde{p}(t,x,y) = p(t,x,y) + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} p(t-s,x,z) q(z) \tilde{p}(s,z,y) dz ds,
where q(z) = \frac{\kappa}{|z|^{\alpha}} and \kappa is some constant. The function \tilde{p} solving this equation will be called the Schrödinger perturbations of the function p by q. I will present the results concerning the estimates of the function \tilde{p} in both cases \kappa>0 and \kappa<0.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique de Langevin sur-amortie $ d X_t = -U(X_t) dt + \sqrt{2h} d B_t $ dans la limite $ h\to 0 $ lorsque $U: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d $ est un champ vectoriel régulier tel que, pour une certaine fonction régulière $V:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, la dynamique est invariante par rapport à $ e^{-\frac Vh} $. Nous nous intéresserons plus précisément aux propriétés du bas spectre du générateur de la dynamique, c-à-d $ L = -h \Delta + U \cdot \nabla $, et à leurs liens avec le comportement en temps long de la dynamique dans le régime $h\to 0$. En particulier, lorsque la fonction $V$ est une fonction de Morse admettant $n$ minima locaux, nous montrerons que pour un certain $ \epsilon > 0$, le spectre de $L$ inclus dans la bande $0 \leq \{\mathop{Re}(z) < \epsilon\}$ consiste en $n$ valeurs propres exponentiellement petites. Enfin, sous des hypothèses génériques sur les barrières de potentiel de la fonction $V$, nous montrerons que ces petites valeurs propres satisfont des formules de type Eyring-Kramers. Cela généralise des résultats antérieurs obtenus par de nombreux auteurs dans le cas réversible, i.e. lorsque $U$ est de la forme $ U=\nabla V $.

Le modèle de Derrida-Retaux est un modèle simplifié de renormalisation hiérarchique en mécanique statistique. Il apporte de nombreuses questions mathématiques simples, mais difficiles. Je ferai quelques discussions élémentaires sur le régime critique du modèle. Travail en collaboration avec X. Chen, V. Dagard, B. Derrida, Y. Hu, M. Lifshits.

Nous étudions les processus associés à un temps de défaut (intensité, lois conditionnelles) et nous montrons comment construire des temps de défaut de caractéristiques données. Nous montrons comment généraliser la construction de Cox pour obtenir un cadre général au cas d'immersion.

Consider a continuous-time Galton-Watson (GW) branching process. Conditional on the population surviving until some large time T, take a sample of particles from those alive. What does the ancestral tree drawn out by this sample look like? Some special cases were known, eg. Durrett (1978), O'Connell (1995), Athreya (2012), but we will discuss an approach behind some more recent advances for near-critical GW processes. Our key tool is a change of measure involving k distinguished particles (known as spines) that decouples certain dependencies to permit some explicit computations. This is based on some joint works with M.Roberts, S.Johnston, and also J.C.Pardo-Millan.

This talk is based on a joint work with Elie Aïdékon and Zhan Shi. It is well-known (see Dvoretzky, Erdos and Kakutani (1958) and Le Gall (1987)) that a planar Brownian motion (B_t)_{t\ge 0} has points of infinite multiplicity, and these points form a dense set on the range. Our main result is the construction of a family of random measures, denoted by (M_\alpha)_{0< \alpha<2}, that are supported by the set of the points of infinite multiplicity. We prove that for any \alpha \in (0, 2), almost surely the Hausdorff dimension of M_\alpha equals 2-\alpha, and M_\alpha is supported by the set of thick points defined in Bass, Burdzy and Khoshnevisan (1994) as well as by that defined in Dembo, Peres, Rosen and Zeitouni (2001). Our construction also reveals that with probability one, M_\alpha (d x)-almost everywhere, there exists a continuous nondecreasing additive functional (L_t^x)_{t\ge 0}, called local times at x, such that the support of d L_t^x coincides with the level set \{t: B_t=x\}.

Une carte planaire peut être vue comme une discrétisation de la sphère obtenue en recollant topologiquement un nombre fini de polygones le long de leurs côtés. Dans cet exposé je discuterai de la géométrie de tels recollement choisis uniformément au hasard une fois fixée une liste de polygones, et particulièrement le comportement asymptotique du graphe aléatoire induit lorsque le nombre de polygones tend vers l’infini, du point de vue des limites d’échelle. Nous verrons en particulier qu’une carte brownienne apparaît comme objet limite universel sous des hypothèses naturelles.

Considérons la marche aléatoire simple sur Z, que se passe-t-il si les probabilités de transition sont elles-mêmes aléatoires et iid en temps et espace ? En utilisant un modèle intégrable, nous verrons que le comportement extrême d'un grand nombre de marches aléatoires dans le même environnement n'est pas gouverné par la théorie classique des valeurs extrêmes, mais par la classe d'universalité KPZ. Nous considérerons aussi une limite continue de ces marches aléatoires: N diffusions en milieu aléatoire se comportent alors comme des mouvement Browniens collants (sticky Brownian motions en anglais) et asymptotiquement, la particule extrême a la même loi que la plus grande valeur propre de grandes matrices aléatoires Hermitiennes. Basé sur des travaux en commun avec Ivan Corwin et Mark Rychnosky.