Séminaire de probabilités et statistique

Durant cet exposé, nous considérons les espaces symétriques Riemanniens plats et courbés dans le cas complexe et nous étudions leurs noyaux intégraux de base dans l'analyse potentielle et sphérique: les noyaux de Poisson, de Newton et de la chaleur et les fonctions sphériques. Nous utiliserons de « la méthode des sommes alternées » pour exprimer ces noyaux.

On considère le Laplacien de Dunkl $\Delta_k$ associé à un système de racines de $\R^d$, $d\geq2$, et à une fonction de multiplicité positive $k$. Le premier objectif est de résoudre un $\Delta_k$-problème de Dirichlet pour un couronne $A$. Ensuite, on introduit la $\Delta_k$-fonction de Green de $A$ et on montre qu'elle s'exprime à l'aide des $\Delta_k$-harmoniques sphériques. Comme application, on étudie les solutions continues et positives dans $A$ d'un $\Delta_k$-problème semi-linéaire.

L’exposé portera sur la consistance et une vitesse de convergence d’un estimateur de Nadaraya-Watson de la fonction de drift b d’une EDS avec bruit additif fractionnaire. L’intégrale stochastique au numérateur de l’estimateur considéré est prise au sens de Skorokhod. Sous une condition de dissipativité sur b, les résultats présentés sont obtenus via les travaux de M. Hairer sur le comportement en temps long de la solution de l’équation et via les propriétés de l’intégrale de Skorokhod. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Fabienne Comte.

En raison de leur simplicité et de leur flexibilité permettant ainsi de modéliser une large classe de modèles, les processus gaussiens sont devenus très populaires depuis quelques années et largement utilisés en statistique spatiale afin d'interpoler les observations et proposer un métamodèle (de Krigeage par exemple). Ils sont caractérisés par leur fonction moyenne et leur fonction de covariance. A des fins statistiques, il s'agit d'estimer sa fonction de covariance. Dans cet exposé, nous supposons que la fonction de covariance appartient à une famille paramétrique de fonctions de covariance. L'estimation de k se résume donc à celle de ses paramètres. Classiquement, les estimées sont obtenues par maximum de vraisemblance. Les estimateurs par maximum de vraisemblance (MLE) ont de bonnes propriétés et ont été largement étudiés dans la littérature. Cependant, ils souffrent d'un coût computationnel parfois prohibitif lorsque la taille de l'échantillon devient grande. Dans certains cas, il arrive aussi que le MLE diverge. Il semble alors pertinent de proposer des méthodes d'estimation alternatives. Nous introduirons donc les estimateurs par vraisemblance composite, les estimateurs par validation croisée ainsi que les estimateurs par variations dans des contextes spécifiques pour lesquels nous déterminerons le comportement asymptotique.

Nous considérons une marche aléatoire avec branchement, et la mesure de comptage Z_N qui compte le nombre de particules de la génération N situé dans une zone donnée. Il est bien connu qu’avec une bonne normalisation, la mesure de comptage vérifie un théorème central limite. Nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème central limite, en faisant le développement asymptotique de type Edgeworth. Dans l’approche, nous utilisons une décomposition de la mesure de comptage qui ressemble une somme de variables indépendantes, et nous introduisons des nouvelles martingales et étudions leurs vitesses de convergences. Les résultats sont établis dans un cadre plus général d’une marche aléatoire avec branchement dans un environnement aléatoire indexé par le temps. (Travail commun avec Zhiqiang Gao de Beijing Normal University)

Dans cet exposé, je vais faire une étude asymptotique et non-asymptotique des estimateurs des fonctions d'auto-régression dans un modèle bifurcant auto-régressif non-linéaire que nous avons introduit dernièrement. Il s'agit des estimateurs de type Nadaraya-Watson que nous adaptons à la structure d’un arbre binaire régulier. L’étude non-asymptotique comprend le contrôle des bornes supérieures et des bornes minimax de convergence de nos estimateurs. L'étude asymptotique comprend d’une part la normalité asymptotique des nos estimateurs, qui me permettra de construire un test d'asymétrie permettant de différencier les fonctions d'auto- régression; d'autre part un principe de déviation modérées pour nos estimateurs. L'exposé est issu de travaux en collaboration avec Adélaïde Olivier (Université Paris-Sud).

On traite du problème du partitionnement ("clustering") d'un ensemble d'entités en K groupes à l'aide d'un modèle statistique simple et dans un cadre non-asymptotique : peut-on discerner des groupes dans ces entités de façon optimale ? En partant de l'étude de l'estimateur classique des K-moyennes ("K-means"), on introduit une correction importante et on donne des vitesses pour les petites et grandes dimensions grâce à une reformulation puissante par l'optimisation convexe inspirée des travaux de J. Peng et Y. Wei [1], qui éclaire par ailleurs notre compréhension d'autres estimateurs comme les estimateurs spectraux. [1] Approximating K-means-type Clustering via Semidefinite Programming, Jiming Peng, Yu Wei, 2007

Motivée par des applications en sciences sociales, génétiques, écologie, marketing ou informatique, l’analyse de réseaux est un domaine en plein essor. Une approche classique consiste à ajuster le réseau observé à un modèle de graphe aléatoire, ce afin de met- tre en évidence des aspects importants de la structure du réseau. Si les approches paramétriques ont sucité un grand intérêt, la ma- jorité se révèlent peu adaptées pour l’analyse de très grands graphes (réseau social, réseau d’intéraction biologique, réseau de co-citation en recherche académique) pour lesquels des aspects plus fins de la structure du réseau pourraient être analysés. Les recherches d’une meilleure modélisation ont conduit à l’introduction de modèles non- paramétriques tel que le W-graphe aléatoire, aussi appelé modèle de graphon. Les propriétés universelles attachées à ce dernier semblent en faire un outil général et versatile pour l’analyse de réseau. Mal- heureusement, un problème majeur d’identifiabilité rend ce modèle difficilement interprétable pour le praticien. Un objectif général est donc de rendre plus opérationnel l’utilisation du W-graphe aléatoire. Parmi les directions possibles, on s’intéressera à la définition puis l’estimation d’une propriété identifiable du réseau, sa complexité.

Lorsqu'on cherche à décrire le comportement asymptotique de marches aléatoires positives en dimension trois (par exemple pour établir un théorème limite local, aussi pour calculer la probabilité de survie ou encore pour des questions plus combinatoires de comptage de chemins), des triangles sphériques apparaissent naturellement et jouent un rôle crucial (à titre d'exemple, l'exposant critique s'exprime en termes de la valeur propre principale de ces domaines sphériques pour le problème de Dirichlet). L'objectif de l'exposé est de présenter des liens (et leurs conséquences) entre certaines propriétés du triangle sphérique (angles remarquables, propriétés de pavage, existence d'une formule close pour la valeur propre principale) et l'étude combinatoire des marches (structure d'un groupe de réflexions lié à la marche, existence d'une factorisation dite de Hadamard, existence encore d'équations différentielles vérifiées par les fonctions génératrices comptant les marches). Il s'agit d'un travail en commun avec Beniamin Bogosel (Polytechnique), Vincent Perrollaz (Tours) et Amélie Trotignon (Simon Fraser University et Tours).

Nous considérons le système de particules de Fleming-Viot associé à une chaîne de Markov à temps continu et espace d'états fini. En supposant que cette chaîne est irréductible, il est connu que le système de particules possède une unique mesure invariante, sous laquelle sa mesure empirique converge vers la distribution quasi-stationnaire de la chaîne. Le but de cet exposé est de présenter un théorème central limite associé à cette convergence. C'est un travail en collaboration avec Tony Lelièvre et Loucas Pillaud-Vivien.

A level-dependent Lévy process solves the stochastic differential equation $dU(t)=dX(t)-\phi(U(t))\,dt$, where $X$ is a spectrally negative Lévy process. A special case is a multi-refracted Lévy process with $\phi_k(x)=\sum_{j=1}^k\delta_j\ind_{\{x\ge b_j\}}$. A general rate function $\phi$ that is non-decreasing and locally Lipschitz continuous is also considered. We discuss solutions of the above stochastic differential equation and investigate the so-called scale functions, which are counterparts of the scale functions from the theory of Lévy processes. We show how fluctuation identities for $U$ can be expressed via these scale functions. We demonstrate that the derivatives of the scale functions are solutions of Volterra integral equations.

Let us consider a random walk of $n$ steps, starting from the origin, such that the increments of the random walk have a continuous and symmetric distribution. Let us order the positions of the random walk and denote $M_{k,n}$ the $k$-th maximum. The statistics of $M_{k,n}$ have been well studied in probability theory, in the context of « fluctuation theory ». In this talk, I will focus instead on the gaps between two successive maxima $d_{k,n} = M_{k+1,n} - M_{k,n}$. I will show that one can obtain exact results for the statistics of the gaps $d_{k,n}$ in the case of exponentially distributed (symmetric) increments. In particular, I will study interesting scaling limits: (i) $k$ fixed and $n \to \infty$ and (ii) both $k, n \to \infty$ but keeping $k/n$ fixed. I will finally discuss the (conjectured) universality of these results for different increment distributions.

On considère une collection de boules aléatoires dans R^d tirées par différents processus ponctuels comme les processus de Poisson, les processus déterminantaux où les processus de Cox. On introduit ensuite un paramètre sur ces boules afin de faire un changement d’échelle sur le modèle. On remarque alors qu'en fonction de la vitesse à laquelle est effectué ce changement d’échelle on voit apparaître 3 régimes limites: le Gaussien, le Poissonnien et le stable. Je commencerai par donner quelques rappels sur les mesures aléatoires de Poisson et les mesures stables.

Je présenterai les principes basiques de la théorie des modèles graphiques coloriés. Le calcul des constantes de normalisation, effectué en collaboration avec H. Ishi (Nagoya) et B. Kolodziejek (Varsovie) est un outil pour la sélection bayesienne de modèles.

Considérons le modèle linéaire gaussien Y = Xb+e, avec X une matrice non aléatoire de dimension nxp, Y observé, b=(b_1,...,b_p) inconnu, e un vecteur gaussien de loi N(0,s^2 I_n) où s^2 est connu. Notre objectif est d'estimer le vecteur signe(b) = (signe(b_1),...,signe(b_p)) en grande dimension, lorsque le nombre d'observations n est plus petit que le nombre de variables explicatives p. Lorsque n est strictement inférieur à p, le noyau de la matrice X n'est pas réduit au vecteur nul, ainsi le paramètre b décrit précédemment n'est pas unique. Par conséquent, en grande dimension, sans aucune hypothèse sur b il n'est pas possible d'estimer signe(b). Dans le cadre de l'estimation du vecteur signe(b), des hypothèses très fortes sont faites sur le nombre de composantes non nulles de b; une liste détaillée de ces hypothèses est donnée dans l'article de Van De Geer et al. [2009]. Toutes les hypothèses données dans cet article impliquent que b est un paramètre pour lequel la norme 1 est minimale. Nous verrons que l'hypothèse mentionnée précédemment est nécessaire et suffisante pour construire un estimateur convergent de signe(b) à partir du LASSO ou basis pursuit. Enfin, lorsque b est un paramètre pour lequel la norme 1 est minimale nous verrons comment estimer signe(b) à partir du LASSO seuillé et du basis pursuit seuillé.

Cet exposé abordera le problème de l'estimation statistique de la queue d'une distribution univariée, dont seul un échantillon aléatoirement censuré (à droite) est disponible. Après des rappels sur la statistique des valeurs extrêmes et sur les données censurées, des estimateurs de l'indice des valeurs extrêmes seront présentés dans le cadre de lois à queues lourdes. Ces estimateurs ont la forme de sommes pondérées impliquant l'estimateur de Kaplan-Meier évalué dans toute la queue de l'échantillon, l'un d'entre eux s'écrivant comme une intégrale de Kaplan-Meier avec fonctionnelle non-bornée à support glissant. On évoquera leurs performances par rapport à leurs concurrents, en particulier dans des cadres de censure forte (le seuil de 50% de censure dans la queue jouant ici un rôle clé), et on montrera comment et dans quel cadre la normalité asymptotique peut être obtenue. Si le temps le permet, les extensions à d'autres cadres (queues plus légères, censure en présence de risques concurrents, quantiles extrêmes) seront abordées. Travail en collaboration avec Rym Worms (Univ. Paris-Est-Créteil) et aussi Jan Beirlant (KU Leuven).

In the first part of the talk we review classical Kalman Filter. Next we present a newly elaborated robust Kalman Filter (KF). The robustness concept we follow here is determined with respect to a family of probability distributions associated with the stochastic uncertainties. This practically oriented system estimation approach constitutes a natural generalisation of the conventional Gaussian normality hypothesis. We next incorporate a realistic bounded resources approach into the classic KF related optimization problem. This conceptually new approach is mathematically expressed in the form of a norm-restricted convex program. We deal with a rigorous development of the theoretical part of the proposed KF-type as well as with the resulting numerical schemes. The two formal generalizations of the classic KF, namely, the proposed robustification with respect to distributions and the additional restrictions in the optimization problem involve a new form of a resulting estimation and control algorithms. Our talk also includes some initial applied and engineering aspects. We hope to extend the obtained theoretical results to implementable computational schemes for a worst case robust process estimation and also for the corresponding KF based optimal control.

We study random functions from Z^2 to Z that change by exactly 1 between neighboring vertices and show that the variance in the center of a box grows logarithmically with the size of the box, together with various RSW type property for level lines of such function. This model is interesting both as a natural discrete version of taking a continuous function from R^2 to R at random, and also because it is an instance of the 6-vertex model (more precisely the square-ice point) which connects combinatorially (for different values of it's parameters) many well known models such as all FK model, UST or ASEP. The approach does not really on any exact solvability of the model, instead we use a new FKG inequality to adopt the renormalization approach that was developed for the continuity of phase transition for FK. This is joint work with Hugo Duminil-Copin, Matan Harel, Gourab Ray and Aran Raoufi.

Le modèle de dimères sur un graphe G est une mesure de probabilité naturelle sur les couplages parfaits (appelés aussi configurations de dimères) de G. Dans un article fondateur, Kenyon, Okounkov et Sheffield obtiennent le diagramme de phases (solide, liquide, gaz) des modèles de dimères pour tout graphe planaire bipériodique biparti, en utilisant la courbe spectrale du modèle. Kenyon avait étudié le modèle de dimères sur les graphes isoradiaux avec des poids trigonométriques, qui dans le cas périodique donne une courbe spectrale de genre 0, et se trouve toujours dans la phase liquide. Nous étudions ici le modèle de dimères sur les graphes isoradiaux, avec des poids cette fois définis par des fonctions elliptiques, permettant d'obtenir des courbes spectrales de genre 1, d'être dans la phase liquide ou gazeuse. Ces modèles ont, comme dans le cas trigonométrique de Kenyon, des propriétés de localité, impliquant que les marginales ne changent pas après des modifications du graphe isoradial. Il s'agit d'un travail en collaboration avec David Cimasoni (Genève) et Béatrice de Tilière (Univ. Créteil).

Les modèles de mélange avec cure sont des modèles de survie dont une partie des sujets observés sont immunisés et qui, au contraire des susceptibles, n’expérimenterons jamais l’évènement d’intérêt. Récemment, de nombreuses études se concentrent sur l’estimation de la proportion d’immunisés, communément appelée taux de guérison. Cependant, la plupart de ces méthodes ne peuvent s’appliquer dans le cas d’un suivi insuffisant, c’est-à-dire, lorsque le point terminal de la distribution de censure est strictement inférieur à celui du temps de survie des susceptibles. Ce type de cas est aujourd’hui largement inexploré et a pour principal défaut la sur-estimation du taux de guérison. Dans ce projet, nous proposons un nouvel estimateur du taux de guérison pour un suivi insuffisant en se basant sur des techniques d’extrapolations de la théorie des valeurs extrêmes. Nous montrons ses propriétés asymptotiques et soulignons son applicabilité au travers de simulations. Une partie est également consacrée à une étude de survie sur le cancer du sein.

Random walks are a classically studied object with applications across the natural sciences. The convex hull of a random walk is one possible approximation to the shape of the space covered by the path and itself has applications, for example in approximating the home range of wild animals, and by considering functionals of such a hull we can further improve our understanding and intuition of the random walk itself. In this talk I will present a couple of methods which are useful for analysing such functionals, describe the walks to which each method applies and state some of the ensuing results. These results are due to joint work with Andrew Wade and Ostap Hryniv (Durham University, UK)