Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Les variétés de Hopf complexes furent les premiers exemples connus de variétés complexes compactes non Kähler. Leur étude est étroitement liée à un résultat classique de dynamique holomorphe : le théorème de Poincaré-Dulac. Ce théorème apporte des informations géométriques sur la structures des variétés de Hopf, notamment l’existence de structures géométriques holomorphes. Le but de cet exposé est de présenter une sorte de réciproque. J’expliquerai comment construire des structures géométriques holomorphes sur les variétés de Hopf, comme des G-structures ou des connexions de Cartan, sans utiliser le théorème de Poincaré-Dulac. Je montrerai aussi comment l’existence de ces structures fournit une nouvelle preuve de ce dernier. Ces résultats étendent les travaux récents de Ornea et Verbitsky, obtenus dans le cas non résonant.

In 1973, Tognoli proved that every compact smooth manifold M is diffeomorphic to a nonsingular real algebraic set M' in R^m, confirming a conjecture by Nash from 1952. This result, known as the Nash-Tognoli Theorem, led to major advances in real algebraic geometry, particularly regarding the algebraicity problem, which seeks to characterize stratified spaces that admit a homeomorphic real algebraic model. More recently, in 2020 Parusinski proposed the so called Q-algebraicity problem focused on characterizing real algebraic sets that admit a homeomorphic real algebraic model over Q. The aim of this talk is to present a relative version of the Nash-Tognoli theorem over Q, highlighting its connections to (co)bordism theory and equivariant resolution of singularities. Then, I will discuss the application of this result to ongoing work on the Q-algebraicity problem in dimension 2;

In this talk we present for a compact pseudomanifold and a given perversity in the sense of Goresky and MacPherson a Morse theoretical cochain complex, which computes the intersection cohomology of the space. The complex generalises the famous Morse-Thom-Smale complex associated to a smooth Morse function on a smooth compact manifold to pseudomanifolds equipped with socalled radial Morse functions.

La théorie physique de la relativité générale suggère que notre univers est modélisé par une variété à quatre dimensions munie d’une métrique de signature (-,+,+,+), c'est-à-dire d'une métrique Lorentzienne, qui satisfait les équations d’Einstein. En 1969, Choquet-Bruhat et Geroch ont établi l’existence d’un développement maximal unique à partir d’une donnée initiale donnée pour les équations d’Einstein. Ces solutions s’inscrivent dans le cadre général des espaces-temps globalement hyperboliques. Il existe une relation d’ordre partiel sur ces espaces-temps. Dans le prolongement des travaux de Choquet-Bruhat et Geroch, les questions de l’existence et de l’unicité d’une extension maximale d’un espace-temps globalement hyperbolique se posent naturellement. Dans cet exposé, je discuterai de ces questions dans le contexte des espaces-temps globalement hyperboliques conformément plats. En 2013, C. Rossi a répondu positivement à ces deux questions dans ce cadre spécifique. Sa démonstration repose sur le lemme de Zorn et ne fournit donc aucune description de l'extension maximale. Je présenterai une démonstration alternative et constructive de ce résultat. Cette approche repose sur le concept d’espace enveloppant, dans lequel l'extension maximale sera réalisée. Après avoir défini l’espace enveloppant, j’illustrerai ce concept par quelques exemples.

A la fin du XIXe siècle, il était connu que la seule surface de Riemann compacte connexe simplement connexe était la droite projective. Plus tard, d'autres caractérisations des espaces projectifs sont démontrées : Siu et Yau démontrent que ce sont les seules variétés kählériennes qui ont une courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive, Mori établit que ce sont les seules variétés qui ont leur fibré tangent ample. Dans une autre direction, on peut établir que ce sont les seules variétés qui disposent d'une métrique de Kähler--Einstein avec constante positive et satisfont l'égalité dans l'inégalité de Miyaoka--Yau. Cet énoncé qui provient de l'uniformisation a été adapté au cas singulier par Greb, Kebekus, Peternell et Druel, Guenancia, Paun. Ainsi, ils caractérisent les variétés singulières obtenues comme quotients d'espaces projectifs complexes, pour des actions de groupes qui agissent sans point fixe en codimension 1. L'objectif de l'exposé est de proposer une caractérisation de quotients d'espaces projectifs complexes par des actions de groupes quelconques.

Nous montrons comment la théorie de la classification locale des systèmes dynamiques analytiques discrets en une variable peut s'étendre au cadre formel des transséries et de certains germes transsériels. Ces résultats s'étendent également à certains corps de "transséries généralisées" contenus dans le corps des nombres surréels, en s'appuyant sur des considérations inspirées des travaux de Rosenlicht sur les corps de Hardy. Travail joint avec V. Mantova, D. Peran et T. Servi.

Les géodésiques fermées et simples sur les sphères riemanniennes ont fait l'objet de nombreuses preuves incomplètes tout au long du XXe siècle, depuis un premier article de Birkhoff en 1908. Un point d'achoppement est notamment la préservation de la simplicité des courbes, par les flots de rétrécissement utilisés. En 1994, Hass et Scott décrivent un nouveau flot de rétrécissement des courbes : le flot par disques, lequel résout la question de la simplicité, tout en amenant d'autres difficultés. Nous présenterons cet outil tel qu'utilisé par Hass et Scott, avant de rendre compte des différentes adaptations que nous avons pu en faire, dans deux preuves utilisant la géométrie discrète : - Existence et constructibilité d'une quasi-géodésique fermée faiblement simple sur toute sphère polyédrale. - Existence d'une géodésique fermée simple sur toute sphère riemannienne (nouvelle preuve). Nous évoquerons enfin nos travaux en cours, où nous cherchons à appliquer un flot par disques sur des graphes plongés dans la sphère.

On sait depuis les travaux de Baily-Borel-Mok que tout quotient de la boule par un réseau (discret, de covolume fini) admet une structure de variété quasi-projective. Les compactifications minimales de ces objets sont des variétés à canonique ample, obtenues en ajoutant un nombre fini de points au bord : ces points donnent alors lieu à des singularités canoniques. On peut naturellement se demander s'il est possible de caractériser algébriquement les variétés ainsi obtenues : étant donnée une variété à fibré canonique ample et singularités log-canoniques, quand peut-on trouver un ouvert de Zariski qui soit uniformisable par la boule ? La question est ainsi de généraliser au cas log-canoniques plusieurs résultats récents, traitant de situations klt ou orbifoldes (Greb-Kebekus-Peternell-Taji, Dang, Claudon-Guenancia-Graf...) Je vais présenter un énoncé d'uniformisation valide dans ce cadre, sous une hypothèse un peu plus forte sur les singularités : comme c'est souvent le cas dans cette théorie, le critère sera formulé en terme du cas d'égalité dans une inégalité de Miyaoka-Yau. On verra que l'hypothèse de log-canonicité est essentielle pour éviter une classe de non-examples constructibles à partir du travail de Deligne-Mostow-Siu, Deraux, Stover-Toledo... Comme je l'expliquerai, cette hypothèse sera en fait utilisée par le biais d'un résultat d'intérêt indépendant, sur le caractère "connexe par chaînes de variétés spéciales" (au sens de Campana) des fibres de résolutions de singularités log-canoniques.

Il est d'usage en théorie des déformations de chercher des hypothèses garantissant la lissité de l'espace de Kuranishi d'une structure donnée. Dans le cas d'une variété complexe compacte $X$, Kodaira et Spencer, garantissent la lissité de cet espace en supposant l'annulation du second groupe de cohomologie $ H^2(X,TX)$. Cet espace contient effectivement toutes les obstructions possibles, mais il contient plus. Les travaux de Tian, Todorov et Bogomolov permettent d'affiner cette hypothèse dans le cas des variétés de Calabi-Yau. Les déformations de telles variétés sont non-obstruées sans l'hypothèse brutale d'annulation du $H^2$, et nous permettent de distinguer les obstructions au sein des éléments du $H^2$. Nous présenterons dans cet exposé une notion de feuilletage de Calabi-Yau garantissant la lissité de l'espace de Kuranishi associé à certaines de ses déformations.

En géométrie de Kähler, la conjecture de Yau-Tian-Donaldson relie la géométrie différentielle d'une variété kählerienne compacte à une notion algébro-géométrique appelée K-stabilité. Je commencerai par un bref aperçu du sujet, puis je discuterai d'une approche non archimédienne possible pour résoudre cette conjecture, en généralisant un résultat de Chi Li au cadre transcendant.

Dans les années 1980, William Thurston a montré une célèbre caractérisation des fonctions rationnelles postcritiquement finis. En termes simples, ce théorème donne un critère qui permet de déterminer si une application continue définie sur la 2-sphère est équivalente (au certain sens combinatoire et dynamique) à une fonction rationnelle définie sur la sphère de Riemann. Ce résultat est à la base d'un domaine de la dynamique complexe, appelé théorie de Thurston, qui analyse le comportement dynamique des revêtements ramifiés postcritiquement finis et les utilise pour étudier la dynamique des fonctions rationnelles. En même temps, dans la dynamique complexe, on s'intéresse aussi à des familles de fonctions holomorphes à valeurs dans la sphère de Riemann, mais qui ne sont pas définies partout sur celle-ci. Par exemple, les fonctions méromorphes transcendantes sont des fonctions holomorphes définies partout sauf en un seul point. L'objectif de cet exposé est de montrer comment la théorie de Thurston peut être étendue à ce contexte. En particulier, je vais expliquer comment le théorème de caractérisation de Thurston peut être généralisé à certaines familles larges de fonctions qui ne sont pas définies sur toute la sphère.

L’exposé porte sur les feuilletages admettant des structures géométriques transverses. Nous discutons un résultat de Ghys sur la classification des feuilletages holomorphes de codimension un sur les tores complexes et, en particulier, nous introduisons les feuilletages tourbillonnés. Nous motivons et prouvons le résultat suivant : un feuilletage holomorphe nonsingulier tourbil- lonné générique sur le produit de deux courbes elliptiques n’admet aucune structure projective transverse. Ceci est un travail en collaboration avec Indranil Biswas (Shiv Nadar University).

On applique la théorie des déformations avec contraintes cohomologiques en termes de L_\infty paires, développée par Budur-Rubió au cas des fibrés vectoriels stables sur des courbes lisses projectives génériques. Plus précisément, on prouve que les loci de Brill-Noether associés sont localement des variétés déterminantales génériques. Par conséquent, on obtient des informations importantes concernant leurs singularités. Il s’agit d’un travail en commun avec N. Budur.

In characteristic zero, we construct principalization of ideals on smooth orbifolds endowed with a foliation. We then illustrate how the method can be used in the general study of foliations by providing a resolution of singularities of Darboux totally integrable foliations in arbitrary dimensions. This is a work in collaboration with Dan Abramovich, Michael Temkin and Jaroslaw Wlodarczyk

A toute matrice $A$ à coefficients entiers de taille $d\times n$ et à un paramètre $\beta\in \CC^d$, on associe un système différentiel linéaire sur $\CC^n$. Un tel système est holonome, i.e. à variété caractéristique lagrangienne et les équations sont de deux types: équations d'Euler $\sum_i a_{ij}x_j\p_j$ associées à chaque ligne de $A$ et équations binomiales $\p^u-\p^v$ d'une variété torique liée au système. La fonction hypergéométrique de Gauss et maintes autres fonctions spéciales, les fonctions hypergéométriques sur les Grassmanniennes introduites par Gelfand et son école (fin des '80), les racines d'une équation algébrique, vues comme fonctions des coefficients de l'équation, sont des exemples de solutions de tels systèmes. Nous nous intéressons au cas à singularités irrégulières appelé aussi confluent. Selon Hotta et Schulze-Walther cette irrégularité équivaut à une condition de non homogéneité. Nous examinons deux types de solutions : des solution intégrales de type Laplace (Adolphson et Esterov-Takeuchi) et les solutions séries formelles de type Gevrey, le long des hyperplans d'irrégularité. Notre objectif est d'obtenir les solutions Gevrey à partir de développements asymptotiques de solutions intégrales. Nous avons traité le cas des matrices à une ligne, avec des intégrales de Laplace le long de chemins, puis le cas dit à une seule pente, sous certaines conditions restrictives. Dans un travail en cours nous éliminons ces conditions restrictives. Le prix à payer est d'accepter des dévelopements asymptotiques virtuels mettant en jeu des équations aux différences et des prolongements méromorphes des coefficients par rapport au paramètre. Travaux en commun avec FJ Castro Jimenez et MC Fernandez Fernandez.

Joint with E. Becerra and L. Katzarkov. I will revisit the classical McKay correspondence via homological mirror symmetry. Specifically, I will explain how this corre- spondence can be articulated as a derived equivalence between the category of vanishing cycles associated with a Kleinian surface singularity and the cate- gory of perfect complexes on the corresponding quotient orbifold.

Quand une variété X admet une résolution des singularités, elle en admet une infinité. Nash a, grosso modo, suggéré que l'information commune à toutes les résolutions des singularités de X serait cachée dans l'espace d'arcs de X ; ce dernier est l'espace qui paramétrise les germes des courbes formelles tracées sur X. La suggestion (plus précise) de Nash a attiré beaucoup d'attention les deux dernières décennies et il y a eu de grandes avancées sur le problème (de Nash) qui a découlé de cette question, même si en général, il reste largement ouvert. Je vais parler de la solution de ce problème (et d'une de ses généralisations) pour les variétés de dimension d qui sont munies d'une action d'un tore de dimension d-1 et dont le quotient rationnel est une courbe de genre >0 ; puis de ce que cette solution apporte à la discussion générale de ce problème. Il s'agit d'un travail en collaboration avec David Bourqui et Kevin Langlois.

Je décrirai un travail en collaboration avec Adolfo Guillot, dans lequel on s'intéresse à des structures projectives le long de courbes holomorphes en famille. Nous verrons notamment qu'il n'existe pas de manière de prescrire une structure projective sur une courbe de genre g>=2 de façon holomorphe. Nous nous intéresserons aussi à la famille des courbes intégrales d'une équation différentielle algébrique ou ce qui est équivalent d'un feuilletage algébrique. Nous donnerons un théorème d'indice, et discuterons de problèmes d'uniformisabilité de l'équation différentielle.

Soit ${\mathbb K}$ un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, et soient $f,g$ deux éléments non nuls de ${\mathbb K}[x,y]$. Le problème Jacobien en dimension deux affirme que si $J(f,g)\in{\mathbb K}\setminus\lbrace 0\rbrace$, alors ${\mathbb K}[f,g]={\mathbb K}[x,y]$. En 1977, J. Briançon, dans un papier non publié, a démontré que si $J(f,g)\in{\mathbb K}\setminus\lbrace 0\rbrace$, alors les polygones de Newton de $f$ et $g$ sont similaires. Cette propriété a aussi été démontré par plusieurs auteurs (Oka, Abhyankar,...), mais ne semble pas suffire pour donner une réponse au problème. Dans cet exposé nous considérons la version méromorphe du problème Jacobien ($F(X,y)=f(X^{-1},y)$, $G(X,y)=g(X^{-1},y)$, et $J(F,G)\in{\mathbb K}((X))\setminus\lbrace 0\rbrace$), et nous introduisons la notion de polygones de Newton par rapport à une série de Puiseux $y(x)\in{\mathbb K}((X^{1/n})), n\in {\mathbb N}$. Cette notion a l'avantage de donner des informations au-delà des premières paires de Puiseux déterminées par le polygone de Newton usuel. Nous montrons que sous l'hypothèse Jacobienne, les polygônes de Newton de $F$ et $G$ sont -presque- similaires. Nous introduisons ensuite la notion de ``bonnes'' et ``mauvaises'' composantes irréductibles de $F$ et $G$ et lions, moyennant ces polygones, cette notion aux valeurs atypiques des applications polynomiales $f$, $g$, et $(f,g)$. Enfin, nous donnons, en rajoutant un autre ingrédient qui est l'arithmétique des semi-groupes des branches de $F$ et $G$, une réponse positive au problème Jacobien dans quelques cas particuliers.