Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Soit $(X,0) \subset (\C^n,0)$ un germe d'ensemble analytique complexe. Pour tout $\epsilon>0$ suffisamment petit, l'intersection de $X$ avec la sphère $S^{2n-1}_\epsilon$ de rayon $\epsilon$ autour de $0$ est transverse, et $X$ est localement "topologiquement conique", c'est-à-dire homéomorphe au cône sur son link $L_{\epsilon}=X\cap S^{2n-1}_\epsilon$. Cependant, en général, il n'est pas métriquement conique : il existe des parties du link $L_{\epsilon}$ avec une topologie non triviale qui se contractent plus vite que linéairement lorsque $\epsilon$ tend vers $0$. Un problème naturel est alors la classification des germes à homéomorphisme bi-Lipschitz local près ; la géométrie Lipschitz d'un germe d'espace singulier est sa classe d'équivalence dans cette catégorie. Il existe différentes approches pour ce problème en fonction du choix de la métrique. Un germe $(X,0)$ a en fait deux métriques naturelles induites à partir de n'importe quelle plongement dans $\C^n$ par la métrique euclidienne standard : la métrique dite externe est définie par la restriction de la distance euclidienne, tandis que la métrique interne est définie par l'infimum des longueurs des chemins dans $V$. Je donnerai une présentation introductive au sujet et présenterai une approche récente sur ces classifications Lipschitz en petite dimension (courbes et surfaces complexes) basée sur des outils naturels de géométrie non-archimédienne et logarithmique.

TBA

Une métrique asymptotiquement conique de Calabi–Yau est une métrique kählérienne à courbure de Ricci nulle, dont l’allure à l’infini ressemble à un cône de Calabi–Yau. Un travail récent de Conlon–Hein montre qu’une variété AC de Calabi–Yau à cône asymptotique donné est obtenue soit par déformation algébrique, soit par désingularisation du cône. En fonction de la métrique sur le cône, le comportement de la métrique est dit quasi-régulier ou irrégulier. Les exemples du dernier sont notamment rares dans la littérature : en fait le seul exemple irrégulier connu avant notre travail a été construit par Conlon--Hein via des calculs ad-hoc; et une question qui s'impose est s'il existerait des métriques du même type. Dans mon exposé, je vais présenter une stratégie effective pour construire des variétés non-compactes de Calabi–Yau irrégulières via la théorie d’Altmann sur les déformations des cônes toriques de Calabi–Yau. Il s’agit d’un travail en commun avec Ronan J. Conlon (University of Texas, Dallas).

Soit $(X,\omega)$ une variété hermitienne de dimension $n$, munie d'une forme volume lisse $dV_X$. On s’intéresse à l’équation Hessienne complexe $(\omega + i \partial \bar{\partial})^m \wedge \omega^{n-m} = f dV_X$, pour $1 \le m \le n$, qui généralise l’équation de Monge–Ampère. Dans cet exposé, on présentera des progrès récents concernant l’existence de solutions continues à cette équation hessienne complexe. On expliquera en particulier comment obtenir une l'estimé $L^{\infity}$ des solutions lorsque la densité $f$ appartient à certains espaces d’Orlicz. En conséquence, on montre que toute solution bornée est en fait continue sous les mêmes hypothèses sur la densité $f$.

Let $(M,g,X)$ be a complete gradient Kähler–Ricci expander with quadratic curvature decay (including all derivatives). Its geometry at infinity is modeled by a unique asymptotic cone, which takes the form of a Kähler cone $(C_0,g_0)$. In this talk, we will show that if there exists a solution to the Kähler–Ricci flow on $M$ that desingularizes this cone, then it necessarily coincides with the self-similar solution determined by the soliton metric $g$. Furthermore, if one perturbs the soliton metric in a suitable manner, the resulting initial data generates an immortal solution to the Kähler–Ricci flow which, after appropriate rescaling, converges to an asymptotically conical gradient Kähler–Ricci expander.

Let $(X,0) be the germ of an equidimensional analytic set in $(C^n,0)$ and $F=(f,g_1,..., g_p)$ a map-germ into $C^{p+1}$ defined on $X$. We investigate topological invariants associated to the pair $(F,X)$, among them, the Chern obstruction of families of differential forms associated to $F$. The topological information provided by this invariant is useful, although difficult to calculate. We introduce the relative Bruce-Roberts number as a useful algebraic tool to capture the topological information given by the Chern obstruction. Closed formulas are given when $X$, $X \cap F^{-1}(0)$, $X \cap G^{-1}(0)$ are ICIS, for $G=(g_1,..., g_p)$.

Le degré de la distance euclidienne d'une variété algébrique X est le nombre de points critiques de la fonction de distance à partir d'un point général extérieur à X. Cette définition, conçue pour les variétés algébriques réelles dans le but de mesurer la complexité algébrique des solutions de plusieurs problèmes d'optimisation, a été adaptée et développée pour les variétés affines et projectives complexes. Dans cet exposé, je discuterai des résultats récents impliquant plusieurs constructions topologiques et géométriques classiques de la géométrie algébrique complexe.

Le but de cet exposé est de donner une nouvelle formule cinématique principale pour les fermés définissables, qui est un équivalent global d'une formule similaire pour les germes de fermés définissables démontrée par N. Dutertre. Après avoir introduit les invariants de Lipschitz-Killing asymptotiques et les invariants polaires globaux, qui sont les quantités intervenant dans la formule cinématique principale globale, on esquissera les étapes de démonstration de cette formule.

On donne une nouvelle caractérisation de l'obstruction d'Euler d'un germe analytique complexe en fonction des points critiques sur la partie régulière du link d'une projection sur une droite réelle générique. En corollaire, on obtient une nouvelle preuve de la relation entre l'obstruction d'Euler et la mesure de Gauss-Bonnet, conjecturée par Fu.

For a given smooth manifold $M$ the Teichmüller space $\mathcal{T}(M)$ is a topological space parametrising all complex structures on $M$, up to diffeomorphisms smoothly isotopic to the identity. The Kuranishi space of a complex manifold is an analytic space encoding its small deformations. Catanese posed the question when the Teichmüller space, or at least some of its connected components, can be endowed with a natural complex structure coming from the Kuranishi spaces of the complex manifolds parametrised by $\mathcal{T}(M)$. Unfortunately, there are very few known examples where this occurs. In this talk, I will discuss this question for nilmanifolds, that is, $M= \Gamma \backslash G$ is the compact quotient of a simply connected nilpotent Lie group $G$ by a discrete subgroup $\Gamma$. Such manifolds admit a Kähler structure only if $M$ is a torus, which is one of the few examples where $\mathcal{T}(M)$ is known to admit connected components carrying a natural complex structure. Nevertheless, we will see that similar results still hold for several classes of nilmanifolds.

We give an overview of para-complex geometry and study the Boothby-Wang fibration over para-Hermitian symmetric spaces. We remark that in contrast to the Hermitian setting the center of the isotropy group of a simple para-Hermitian symmetric space G/H can be either one- or two-dimensional, and prove that the associated metric is not necessarily the G-invariant extension of the Killing form of G. Using the Boothby-Wang fibration and the classification of semisimple para-Hermitian symmetric spaces, we explicitly construct semisimple para-Sasakian $\phi$-symmetric spaces fibering over semisimple para-Hermitian symmetric spaces.

Les variétés de Hopf complexes furent les premiers exemples connus de variétés complexes compactes non Kähler. Leur étude est étroitement liée à un résultat classique de dynamique holomorphe : le théorème de Poincaré-Dulac. Ce théorème apporte des informations géométriques sur la structures des variétés de Hopf, notamment l’existence de structures géométriques holomorphes. Le but de cet exposé est de présenter une sorte de réciproque. J’expliquerai comment construire des structures géométriques holomorphes sur les variétés de Hopf, comme des G-structures ou des connexions de Cartan, sans utiliser le théorème de Poincaré-Dulac. Je montrerai aussi comment l’existence de ces structures fournit une nouvelle preuve de ce dernier. Ces résultats étendent les travaux récents de Ornea et Verbitsky, obtenus dans le cas non résonant.

In 1973, Tognoli proved that every compact smooth manifold M is diffeomorphic to a nonsingular real algebraic set M' in R^m, confirming a conjecture by Nash from 1952. This result, known as the Nash-Tognoli Theorem, led to major advances in real algebraic geometry, particularly regarding the algebraicity problem, which seeks to characterize stratified spaces that admit a homeomorphic real algebraic model. More recently, in 2020 Parusinski proposed the so called Q-algebraicity problem focused on characterizing real algebraic sets that admit a homeomorphic real algebraic model over Q. The aim of this talk is to present a relative version of the Nash-Tognoli theorem over Q, highlighting its connections to (co)bordism theory and equivariant resolution of singularities. Then, I will discuss the application of this result to ongoing work on the Q-algebraicity problem in dimension 2;

In this talk we present for a compact pseudomanifold and a given perversity in the sense of Goresky and MacPherson a Morse theoretical cochain complex, which computes the intersection cohomology of the space. The complex generalises the famous Morse-Thom-Smale complex associated to a smooth Morse function on a smooth compact manifold to pseudomanifolds equipped with socalled radial Morse functions.

La théorie physique de la relativité générale suggère que notre univers est modélisé par une variété à quatre dimensions munie d’une métrique de signature (-,+,+,+), c'est-à-dire d'une métrique Lorentzienne, qui satisfait les équations d’Einstein. En 1969, Choquet-Bruhat et Geroch ont établi l’existence d’un développement maximal unique à partir d’une donnée initiale donnée pour les équations d’Einstein. Ces solutions s’inscrivent dans le cadre général des espaces-temps globalement hyperboliques. Il existe une relation d’ordre partiel sur ces espaces-temps. Dans le prolongement des travaux de Choquet-Bruhat et Geroch, les questions de l’existence et de l’unicité d’une extension maximale d’un espace-temps globalement hyperbolique se posent naturellement. Dans cet exposé, je discuterai de ces questions dans le contexte des espaces-temps globalement hyperboliques conformément plats. En 2013, C. Rossi a répondu positivement à ces deux questions dans ce cadre spécifique. Sa démonstration repose sur le lemme de Zorn et ne fournit donc aucune description de l'extension maximale. Je présenterai une démonstration alternative et constructive de ce résultat. Cette approche repose sur le concept d’espace enveloppant, dans lequel l'extension maximale sera réalisée. Après avoir défini l’espace enveloppant, j’illustrerai ce concept par quelques exemples.

A la fin du XIXe siècle, il était connu que la seule surface de Riemann compacte connexe simplement connexe était la droite projective. Plus tard, d'autres caractérisations des espaces projectifs sont démontrées : Siu et Yau démontrent que ce sont les seules variétés kählériennes qui ont une courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive, Mori établit que ce sont les seules variétés qui ont leur fibré tangent ample. Dans une autre direction, on peut établir que ce sont les seules variétés qui disposent d'une métrique de Kähler--Einstein avec constante positive et satisfont l'égalité dans l'inégalité de Miyaoka--Yau. Cet énoncé qui provient de l'uniformisation a été adapté au cas singulier par Greb, Kebekus, Peternell et Druel, Guenancia, Paun. Ainsi, ils caractérisent les variétés singulières obtenues comme quotients d'espaces projectifs complexes, pour des actions de groupes qui agissent sans point fixe en codimension 1. L'objectif de l'exposé est de proposer une caractérisation de quotients d'espaces projectifs complexes par des actions de groupes quelconques.

Nous montrons comment la théorie de la classification locale des systèmes dynamiques analytiques discrets en une variable peut s'étendre au cadre formel des transséries et de certains germes transsériels. Ces résultats s'étendent également à certains corps de "transséries généralisées" contenus dans le corps des nombres surréels, en s'appuyant sur des considérations inspirées des travaux de Rosenlicht sur les corps de Hardy. Travail joint avec V. Mantova, D. Peran et T. Servi.

Les géodésiques fermées et simples sur les sphères riemanniennes ont fait l'objet de nombreuses preuves incomplètes tout au long du XXe siècle, depuis un premier article de Birkhoff en 1908. Un point d'achoppement est notamment la préservation de la simplicité des courbes, par les flots de rétrécissement utilisés. En 1994, Hass et Scott décrivent un nouveau flot de rétrécissement des courbes : le flot par disques, lequel résout la question de la simplicité, tout en amenant d'autres difficultés. Nous présenterons cet outil tel qu'utilisé par Hass et Scott, avant de rendre compte des différentes adaptations que nous avons pu en faire, dans deux preuves utilisant la géométrie discrète : - Existence et constructibilité d'une quasi-géodésique fermée faiblement simple sur toute sphère polyédrale. - Existence d'une géodésique fermée simple sur toute sphère riemannienne (nouvelle preuve). Nous évoquerons enfin nos travaux en cours, où nous cherchons à appliquer un flot par disques sur des graphes plongés dans la sphère.

On sait depuis les travaux de Baily-Borel-Mok que tout quotient de la boule par un réseau (discret, de covolume fini) admet une structure de variété quasi-projective. Les compactifications minimales de ces objets sont des variétés à canonique ample, obtenues en ajoutant un nombre fini de points au bord : ces points donnent alors lieu à des singularités canoniques. On peut naturellement se demander s'il est possible de caractériser algébriquement les variétés ainsi obtenues : étant donnée une variété à fibré canonique ample et singularités log-canoniques, quand peut-on trouver un ouvert de Zariski qui soit uniformisable par la boule ? La question est ainsi de généraliser au cas log-canoniques plusieurs résultats récents, traitant de situations klt ou orbifoldes (Greb-Kebekus-Peternell-Taji, Dang, Claudon-Guenancia-Graf...) Je vais présenter un énoncé d'uniformisation valide dans ce cadre, sous une hypothèse un peu plus forte sur les singularités : comme c'est souvent le cas dans cette théorie, le critère sera formulé en terme du cas d'égalité dans une inégalité de Miyaoka-Yau. On verra que l'hypothèse de log-canonicité est essentielle pour éviter une classe de non-examples constructibles à partir du travail de Deligne-Mostow-Siu, Deraux, Stover-Toledo... Comme je l'expliquerai, cette hypothèse sera en fait utilisée par le biais d'un résultat d'intérêt indépendant, sur le caractère "connexe par chaînes de variétés spéciales" (au sens de Campana) des fibres de résolutions de singularités log-canoniques.