Séminaire de topologie et géométrie algébriques

Les algèbres vertex d'opérateurs différentiels chiraux sur un groupe algébrique réductif G sont des versions "Kac-Moody" de l'algèbre des opérateurs différentiels sur G. Leur catégories de modules sont importantes car elles incarnent la théorie des D-modules algébrique sur le groupe de lacets de G. Cela nous permet de reformuler des conjectures provenant du programme de Langlands géométrique quantique dans le langage des algèbres vertex. Par exemple, compte tenu de l'équivalence de Satake géométrique, on s'attend à l'apparition de la catégorie des représentations du groupe dual de Langlands de G. Je vais expliquer concrètement comment, pour des valeurs génériques du paramètre de déformation, la dualité de Langlands apparaît.

Même en cherchant à classifier les variétés lisses, il est naturel de rencontrer des variétés singulières. Récemment, des progrès significatifs ont été faits dans la classification des variétés définies sur des corps de caractéristique positive et sur des DVRs de caractéristique mixte comme Z_p. Ces avancées ont été possibles en partie grâce à l'introduction de nouvelles notions de singularités liées respectivement aux Frobenius-scindages et aux méthodes perfectoïdes. Étant donné une hypersurface dans un espace projectif complexe, on peut mesurer son degré de singularité grâce à un invariant appelé le « seuil log-canonique ». De même, en caractéristique positive, on définit le « seuil F-pur » et, en caractéristique mixte, le « seuil plus-pur ». Dans cet exposé, nous explorerons quelques exemples de calcul du seuil plus-pur, et nous verrons son lien avec les invariants en caractéristique positive et en caractéristique 0. Ce travail est en collaboration avec V. Jagathese, V. Pandey, P. Ramírez-Moreno, K. Schwede et P. Sridhar.

Dans cet exposé, on présentera la filtration par le poids sur l'homologie des points réels d'une variété réelle à coefficients dans F_2. Celle-ci a été construite par Totaro-McCrory-Parusinski comme suit : on munit l'homologie d'une variété projective lisse de la filtration triviale, puis on étend formellement la filtration à toutes les variétés lisses en utilisant le triangle de localisation, puis à toutes les variétés en utilisant la résolution des singularités. Cette méthode rappelle fortement les propriétés du motif d'un k-schéma sur un corps construit par Voevodsky. J'expliquerai comment re-construire la filtration par le poids par des méthodes motiviques en utilisant la théorie des poids de Bondarko.

It is well known that integral lattices in de Rham or rigid cohomology cannot satisfy étale descent. In this talk, I will show some positive results in this direction when considering the tame topology of Hübner--Schmidt. This is a joint work in progress with Kay Rülling and Shuji Saito.

Using valuation theory, we construct a stratification of the punctual Hilbert scheme of points on a non-reduced and nodal singular curve, x^ay^b=0. Each stratum is indexed by some combinatorial data, and isomorphic to an algebraic torus times an affine space, (C*)^m \times C^k. We consequently compute its Hilbert zeta function by recursive formulas. As an application, we prove a variation of the colored Oblomkov-Rasmussen-Shende conjecture for the Hopf link, showing that the virtual Poincare polynomial is the row-colored link homology up to some change of variables.

Quels espaces lenticulaires admettent un plongement lisse et injectif dans le plan projectif complexe ? Combien peut-on en plonger, tels qu'il soient deux à deux disjoints ? La question vient de la géométrie algébrique complexe, où Hacking et Prokhorov donnent une réponse complète en termes de triplets de Markov. Le même résultat est valable en géométrie symplectique, comme montré par Evans et Smith. Topologiquement, la situation est plus riche, et des exemples non-symplectiques ont été donnés par Lisca et Parma. Dans cet exposé, je parlerai de nouvelles obstructions et constructions. Il s'agit d'un travail commun avec Brendan Owens.

Dans un travail en collaboration avec Georgios Dimitroglou Rizell et Paolo Ghiggini nous associons à une sous-variété lagrangienne compact L d'une variété Weinstein W une représentation d'une algèbre différentielle graduée associée à W. Cette représentation a deux propriétés : son degré est caractérisé par l'intersection de la lagrangienne avec les co-âmes lagrangiennes de W et son espace de morphismes (dérivé) calcule l'homologie singulière de L. L'outil principal pour effectuer ce calcul est un triangle exact en homologie de Cthulhu que nous détaillerons dans cet exposé. Les définitions de base ainsi que le contexte dans lequel cette construction peut-être intéressante seront rappelés au préalable. Si le temps le permet, nous verrons comment dans un travail en cours nous plaçons cette construction dans un contexte plus catégorique.

La géométrie de Poisson décalée est une généralisation en géométrie algébrique dérivée de la géométrie de Poisson classique. Localement, si A est une cdga connective, une structure de Poisson n-décalée sur A est la donnée d'un relèvement (à homotopie près) de sa structure d'algèbre commutative en une structure d'algèbre Pn+1, c'est-à-dire qu'on se donne un crochet de Poisson de degré -n. En géométrie différentielle, il est connu que la donnée d'une structure de Poisson sur une variété est équivalente à la donnée d'un feuilletage symplectique. Dans cet exposé, je présenterai l'énoncé analogue pour les structures de Poisson décalées, je donnerai l'idée de la preuve et quelques conséquences.

(Work in progress, joint with Alexey Elagin and Evgeny Shinder.) There is a conjecture by Kontsevich stating that there should exist canonical semi-orthogonal decompositions of varieties, well-defined up to mutations. We propose an answer for G-surfaces, where we interpret "canonical" as "compatible with (birational) geometry". We conjecture that our decompositions correspond to the quantum cohomology decomposition into Hodge atoms, introduced in a recent work by Katzarkov-Kontsevich-Pantev-Yu, which is why we call them atomic decompositions. In this talk, del Pezzo surfaces will play an important role, and no familiarity with derived categories is assumed.

Quand X est une variété complexe projective lisse, de dimension d, l'i-ème itéré du cup-produit avec une section hyperplane induit un isomorphisme entre les espaces de cohomologie singulière H^(d-i)(X) et H^(d+i)(X). La conjecture standard de type Lefschetz pour X, formulée par Grothendieck dans les années 60 et encore largement ouverte, prédit que les inverses de ces isomorphismes devraient être induits par des cycles algébriques sur X \times X. Dans cet exposé, après une introduction à ces idées, je parlerai d'un travail en collaboration avec Ancona, Laterveer et Saccà, dans lesquels nous démontrons la conjecture pour certaines variétés hyperkähleriennes munies d'une fibration lagrangienne.

Soit B une surface de Riemann compacte. D'après un théorème classique de Royden, toute fonction holomorphe d'un ouvert de B vers P^1 peut être approchée (uniformément sur tout compact) par des applications algébriques. Je démontrerai que cela reste vrai si l'on remplace P^1 par une variété rationnellement simplement connexe arbitraire (par exemple, une hypersurface lisse de degré d dans P^n avec n>=d^2-1). Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Wittenberg.

À côté des variétés toriques, les variétés de drapeaux font partie des rares objets en géométrie algébrique où l’on peut effectuer des calculs précis et tester des conjectures. En caractéristique positive, il existe des versions « tordues » de ces variétés : ce sont des espaces homogènes projectifs et rationnels dont le stabilisateur est un sous-groupe parabolique non réduit. Leur géométrie diffère de celle des variétés de drapeaux classiques ; par exemple, elles ne sont presque jamais de Fano. À travers des exemples, nous verrons comment elles se décomposent en cellules de Bialynicki-Birula et quel est leur groupe de Picard. On décrira ensuite les contractions de courbes de Schubert sur une telle variété $X$, pour arriver à une description du groupe d’automorphismes de $X$ en tant que schéma en groupes.

In this talk, I will discuss various aspects of Hodge polynomials of non-algebraic complex manifolds, especially those polynomials of (quasi-)Hopf, (quasi-)Calabi-Yau and LVMB manifolds. This talk is based on a joint work with Ludmil Katzarkov, Ernesto Lupercio and Laurent Meersseman.

Le Combinatorial Nullstellensatz est un théorème de Noga Alon généralisant aux polynômes à plusieurs variables l'idée qu'un polynôme de degré $d$ ne peut avoir $d+1$ racines. S'il n'a été isolé et publié qu'en 1999, certaines de ses applications l'avaient précédé. C'est la multitude de ses applications combinatoires qui ont mis en valeur ce résultat algébrique subtil mais élémentaire. Dans un premier temps, je préciserai plusieurs énoncés équivalents du Combinatorial Nullstellensatz, qui justifieront son appelation algébrique et donnerai une ébauche de preuve. Ensuite, je développerai autant que possible le vaste éventail combinatoire de ses applications, en géométrie discrète, en théorie des graphes et plus particulièrement en combinatoire additive.

Le résumé : Une des questions importantes concernant une surface lisse complexe de P^4 est le calcul de son irrégularité. Dans cet exposé nous parlerons de ce problème en supposant que la surface est contenue dans une hypersurface de degré plus petit ou égal à 4. On montre que les fibrés elliptiques en droites et, respectivement, en coniques sont les seules surfaces irrégulières contenues dans une hypersurface cubique et, respectivement, quartique (ayant seulement des points doubles ordinaires). L'outil technique principal de ce calcul sera le complexe de Koszul associé à la section globale du fibré conormal (tordu) de la surface, section induite par l’hypersurface.

Les variétés toriques sont habituellement supposées normales afin d'avoir une description combinatoire complète par des éventails de cônes dans $\R^n$. On obtient ainsi un dictionnaire entre les propriétés géométriques de ces variétés toriques et les propriétés combinatoire des éventails. Pedro Daniel Gonzalez Perez et Bernard Teissier ont étendu cette équivalence aux variétés toriques non-normales en considérant des éventails avec la donnée supplémentaire d'une famille de monoïdes compatibles. Dans un travail avec François Bernard, nous étudions une classe intermédiaire de variétés toriques, dites "semi-normales" et montrons, grâce à un résultat de Les Reid et Leslie Roberts sur la semi-normalisation des monoïdes, qu'elles sont équivalentes à la donnée d'un objet combinatoire que nous avons appelé "éventails à groupes". On obtient ainsi une classe de variétés toriques ayant des singularités plus générales que les variétés normales, tout en ayant une structure combinatoire beaucoup plus simple que les variétés toriques générales non-normales.

Une contraction de Mori élémentaire depuis une variété algébrique lisse X est un morphisme à fibres connexes vers une variété normale qui contracte un unique rayon extrémal de courbes K_X-négatives. Grâce à un résultat de P. Ionescu et J. Wisniewski, on sait que la longueur d'une telle contraction est majorée. Dans un article publié en 2014, A. Höring et C. Novelli on étudié les contractions de Mori de longueur maximale, c'est à dire celles dont la longueur est égale à sa borne supérieure. Leur résultat donne une classification totale de ces contractions à modification birationnelle près, construisant un fibré projectif comme modèle birationnel du lieu contracté. Dans mon exposé, je vais évoquer le cas des contractions divisorielles de longueur sous-maximale.

En 2013, Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi ont introduit la notion de structure symplectique décalée sur un champ algébrique (dérivé), et produit de nombreux exemples de telles structures à l'aide de la construction AKSZ. Dans une première partie, j'introduirai ce résultat, en mentionnant les exemples de structures symplectiques classiques qu'il généralise. Ensuite, j'exposerai une stratégie pour étendre cette construction au cas plus général des structures Poisson décalées. Comme nous le verrons, cette stratégie réduit le problème à une question algébro-homotopique : celui d'établir une procédure d'intégration le long des fibres pour les bigèbres de Lie décalées. En fonction du temps restant, j'esquisserai une preuve de ce résultat dans le cas 1-catégorique. Il s'agit d'un travail en cours en collaboration avec Valerio Melani.

Soit X -> Y une application holomorphe entre variétés compactes Kähleriennes. Si une fibre générale du morphisme est une variété projective il est naturel de se demander si le morphisme est projectif, c'est à dire si X se plonge dans un fibré projectif P(V) -> Y. Dans cet exposé on verra qu'en général la réponse est non (c'est bien connu), mais que dans certaines situations intéressantes pour la géométrie birationelle, la réponse est oui. Ceci est un travail en commun avec Benoit Claudon.

I will talk about a joint project with Chenjing Bu, Ben Davison, Andrés Ibáñez-Núñez, and Tasuki Kinko. For a large class of stacks, we decompose their cohomology in terms of what we call BPS cohomology, which is a structure originating in enumerative geometry of Calabi-Yau 3-folds, but which is of interest beyond this class of examples. The decomposition applies to smooth stacks (such as the moduli of G-bundles on a curve), symplectic stacks (such as the moduli of G-Higgs bundle on a curve), or (-1)-shifted symplectic stacks (such as the moduli of semistable sheaves on a Calabi-Yau threefold). In the first part of the talk, I will explain the heuristic behind the BPS cohomology. Then, I will explain conjectural applications of BPS cohomology in Langlands duality for compact real oriented 3-manifolds (following Ben-Zvi-Gunningham—Jordan—Safronov), and, time permitting, in topological mirror symmetry for G-Higgs bundles (for general reductive groups G).

Van Den Bergh a introduit le concept de résolution noncommutatives crépante A d'une singularité X, et montré comment l'on pouvait, en basse dimension, construires à partir des représentations de A des résolutions (commutatives) crépantes de X. On s'intéresse ici au cas d'une singularité CY3 X, où A peut être représentée par un carquois avec potentiel (Q,W). On étudie alors les invariants de Donaldson-Thomas (DT), qui donnent un comptage virtuel des représentations de (Q,W) pour diverses condition de stabilité. Des techniques de diagramme de scattering permettent alors de calculer ces invariants DT récursivement à partir de données initiales, que l'on espère assez simples pour des carquois avec potentiel 'intéressants'. J'exposerai ici un travail en cours visant à décrire complètement ces données initiales dans le cas des résolutions noncommutatives des singularités CY3, en utilisant des idées de géométrie birationnelle.

Let $S$ be a degree $d$ surface in $\P^n$ with sectional genus $g$. In this talk I will present results in collaboration with Th. Dedieu and M. mendes Lopes, concerning the classification of these surfaces under the hypothesis that d>3g-3.

In this talk I will explain a general mechanism, based on derived symplectic geometry, to glue the local invariants of singularities that appear naturally in Donaldson-Thomas theory. Our mechanism recovers the categorified vanishing cycles sheaves constructed by Brav-Bussi-Dupont-Joyce, and provides a new more evolved gluing of Orlov’s categories of matrix factorisations, answering questions of Kontsevich-Soibelman and Y.Toda. This is a joint work with B. Hennion (Orsay) and J. Holstein (Hamburg).

Par facteur analytique non trivial, on entend le quotient du voisinage formel d'un point singulier par son facteur lisse. Nous expliquerons le lien entre cet invariant, la notion de lieu isosingulier introduite dans le cadre des variétés algébriques par C. Chiu et H. Hauser et la notion d'idéal différentiel. Nous évoquerons ensuite la situation pour les singularités des espaces d'arcs.

La notion d’une algèbre Y-infini est une extension de la notion d'algèbre A-infini qui encode un certain type de structure de dualité de Poincaré. En particulier, l'algèbre des chaînes sur l'espace de lacets basés de toute variété orientée possède cette structure. Une structure Y-infini est gouverné par une propérade, donc on peut utiliser le formalisme des classes de Kaledin propéradiques pour comprendre les obstructions à la formalité de ces structures. Dans cet exposé, j'expliquerai la relation entre ces structures d'algèbre Y-infini et les opérations en topologie des cordes, et comment calculer explicitement les classes d'obstruction dans des exemples simples, tels que l’espace de lacets des sphères. Cette présentation concerne des travaux conjoints avec C. Emprin.