Séminaire de topologie et géométrie algébriques

Quand X est une variété complexe projective lisse, de dimension d, l'i-ème itéré du cup-produit avec une section hyperplane induit un isomorphisme entre les espaces de cohomologie singulière H^(d-i)(X) et H^(d+i)(X). La conjecture standard de type Lefschetz pour X, formulée par Grothendieck dans les années 60 et encore largement ouverte, prédit que les inverses de ces isomorphismes devraient être induits par des cycles algébriques sur X \times X. Dans cet exposé, après une introduction à ces idées, je parlerai d'un travail en collaboration avec Ancona, Laterveer et Saccà, dans lesquels nous démontrons la conjecture pour certaines variétés hyperkähleriennes munies d'une fibration lagrangienne.

Soit B une surface de Riemann compacte. D'après un théorème classique de Royden, toute fonction holomorphe d'un ouvert de B vers P^1 peut être approchée (uniformément sur tout compact) par des applications algébriques. Je démontrerai que cela reste vrai si l'on remplace P^1 par une variété rationnellement simplement connexe arbitraire (par exemple, une hypersurface lisse de degré d dans P^n avec n>=d^2-1). Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Wittenberg.

À côté des variétés toriques, les variétés de drapeaux font partie des rares objets en géométrie algébrique où l’on peut effectuer des calculs précis et tester des conjectures. En caractéristique positive, il existe des versions « tordues » de ces variétés : ce sont des espaces homogènes projectifs et rationnels dont le stabilisateur est un sous-groupe parabolique non réduit. Leur géométrie diffère de celle des variétés de drapeaux classiques ; par exemple, elles ne sont presque jamais de Fano. À travers des exemples, nous verrons comment elles se décomposent en cellules de Bialynicki-Birula et quel est leur groupe de Picard. On décrira ensuite les contractions de courbes de Schubert sur une telle variété $X$, pour arriver à une description du groupe d’automorphismes de $X$ en tant que schéma en groupes.

In this talk, I will discuss various aspects of Hodge polynomials of non-algebraic complex manifolds, especially those polynomials of (quasi-)Hopf, (quasi-)Calabi-Yau and LVMB manifolds. This talk is based on a joint work with Ludmil Katzarkov, Ernesto Lupercio and Laurent Meersseman.

Le Combinatorial Nullstellensatz est un théorème de Noga Alon généralisant aux polynômes à plusieurs variables l'idée qu'un polynôme de degré $d$ ne peut avoir $d+1$ racines. S'il n'a été isolé et publié qu'en 1999, certaines de ses applications l'avaient précédé. C'est la multitude de ses applications combinatoires qui ont mis en valeur ce résultat algébrique subtil mais élémentaire. Dans un premier temps, je préciserai plusieurs énoncés équivalents du Combinatorial Nullstellensatz, qui justifieront son appelation algébrique et donnerai une ébauche de preuve. Ensuite, je développerai autant que possible le vaste éventail combinatoire de ses applications, en géométrie discrète, en théorie des graphes et plus particulièrement en combinatoire additive.

Le résumé : Une des questions importantes concernant une surface lisse complexe de P^4 est le calcul de son irrégularité. Dans cet exposé nous parlerons de ce problème en supposant que la surface est contenue dans une hypersurface de degré plus petit ou égal à 4. On montre que les fibrés elliptiques en droites et, respectivement, en coniques sont les seules surfaces irrégulières contenues dans une hypersurface cubique et, respectivement, quartique (ayant seulement des points doubles ordinaires). L'outil technique principal de ce calcul sera le complexe de Koszul associé à la section globale du fibré conormal (tordu) de la surface, section induite par l’hypersurface.

Les variétés toriques sont habituellement supposées normales afin d'avoir une description combinatoire complète par des éventails de cônes dans $\R^n$. On obtient ainsi un dictionnaire entre les propriétés géométriques de ces variétés toriques et les propriétés combinatoire des éventails. Pedro Daniel Gonzalez Perez et Bernard Teissier ont étendu cette équivalence aux variétés toriques non-normales en considérant des éventails avec la donnée supplémentaire d'une famille de monoïdes compatibles. Dans un travail avec François Bernard, nous étudions une classe intermédiaire de variétés toriques, dites "semi-normales" et montrons, grâce à un résultat de Les Reid et Leslie Roberts sur la semi-normalisation des monoïdes, qu'elles sont équivalentes à la donnée d'un objet combinatoire que nous avons appelé "éventails à groupes". On obtient ainsi une classe de variétés toriques ayant des singularités plus générales que les variétés normales, tout en ayant une structure combinatoire beaucoup plus simple que les variétés toriques générales non-normales.