Séminaire de topologie et géométrie algébriques

Une contraction de Mori élémentaire depuis une variété algébrique lisse X est un morphisme à fibres connexes vers une variété normale qui contracte un unique rayon extrémal de courbes K_X-négatives. Grâce à un résultat de P. Ionescu et J. Wisniewski, on sait que la longueur d'une telle contraction est majorée. Dans un article publié en 2014, A. Höring et C. Novelli on étudié les contractions de Mori de longueur maximale, c'est à dire celles dont la longueur est égale à sa borne supérieure. Leur résultat donne une classification totale de ces contractions à modification birationnelle près, construisant un fibré projectif comme modèle birationnel du lieu contracté. Dans mon exposé, je vais évoquer le cas des contractions divisorielles de longueur sous-maximale.

En 2013, Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi ont introduit la notion de structure symplectique décalée sur un champ algébrique (dérivé), et produit de nombreux exemples de telles structures à l'aide de la construction AKSZ. Dans une première partie, j'introduirai ce résultat, en mentionnant les exemples de structures symplectiques classiques qu'il généralise. Ensuite, j'exposerai une stratégie pour étendre cette construction au cas plus général des structures Poisson décalées. Comme nous le verrons, cette stratégie réduit le problème à une question algébro-homotopique : celui d'établir une procédure d'intégration le long des fibres pour les bigèbres de Lie décalées. En fonction du temps restant, j'esquisserai une preuve de ce résultat dans le cas 1-catégorique. Il s'agit d'un travail en cours en collaboration avec Valerio Melani.

Soit X -> Y une application holomorphe entre variétés compactes Kähleriennes. Si une fibre générale du morphisme est une variété projective il est naturel de se demander si le morphisme est projectif, c'est à dire si X se plonge dans un fibré projectif P(V) -> Y. Dans cet exposé on verra qu'en général la réponse est non (c'est bien connu), mais que dans certaines situations intéressantes pour la géométrie birationelle, la réponse est oui. Ceci est un travail en commun avec Benoit Claudon.

I will talk about a joint project with Chenjing Bu, Ben Davison, Andrés Ibáñez-Núñez, and Tasuki Kinko. For a large class of stacks, we decompose their cohomology in terms of what we call BPS cohomology, which is a structure originating in enumerative geometry of Calabi-Yau 3-folds, but which is of interest beyond this class of examples. The decomposition applies to smooth stacks (such as the moduli of G-bundles on a curve), symplectic stacks (such as the moduli of G-Higgs bundle on a curve), or (-1)-shifted symplectic stacks (such as the moduli of semistable sheaves on a Calabi-Yau threefold). In the first part of the talk, I will explain the heuristic behind the BPS cohomology. Then, I will explain conjectural applications of BPS cohomology in Langlands duality for compact real oriented 3-manifolds (following Ben-Zvi-Gunningham—Jordan—Safronov), and, time permitting, in topological mirror symmetry for G-Higgs bundles (for general reductive groups G).

Van Den Bergh a introduit le concept de résolution noncommutatives crépante A d'une singularité X, et montré comment l'on pouvait, en basse dimension, construires à partir des représentations de A des résolutions (commutatives) crépantes de X. On s'intéresse ici au cas d'une singularité CY3 X, où A peut être représentée par un carquois avec potentiel (Q,W). On étudie alors les invariants de Donaldson-Thomas (DT), qui donnent un comptage virtuel des représentations de (Q,W) pour diverses condition de stabilité. Des techniques de diagramme de scattering permettent alors de calculer ces invariants DT récursivement à partir de données initiales, que l'on espère assez simples pour des carquois avec potentiel 'intéressants'. J'exposerai ici un travail en cours visant à décrire complètement ces données initiales dans le cas des résolutions noncommutatives des singularités CY3, en utilisant des idées de géométrie birationnelle.

Let $S$ be a degree $d$ surface in $\P^n$ with sectional genus $g$. In this talk I will present results in collaboration with Th. Dedieu and M. mendes Lopes, concerning the classification of these surfaces under the hypothesis that d>3g-3.

In this talk I will explain a general mechanism, based on derived symplectic geometry, to glue the local invariants of singularities that appear naturally in Donaldson-Thomas theory. Our mechanism recovers the categorified vanishing cycles sheaves constructed by Brav-Bussi-Dupont-Joyce, and provides a new more evolved gluing of Orlov’s categories of matrix factorisations, answering questions of Kontsevich-Soibelman and Y.Toda. This is a joint work with B. Hennion (Orsay) and J. Holstein (Hamburg).