Séminaire Probabilités, Physique Mathématique et Analyse (2PMA)

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The analysis on R^d equipped with a root system, often called "Dunkl analysis", is motivated by mathematical physics. Dunkl operators occur naturally in the study of quantum particle systems of Calogero-Moser type with interactions on a line or a torus. This analysis includes Dyson Brownian motion, where Brownian particles move under the condition not to collide. The harmonic analysis in the Dunkl and Heckman-Opdam setting is far advanced. However, several classical results on R^d are still open in this setting. After a short general introduction to root systems and related Dunkl analysis, we will present our recent results with K. Stempak: Let R be a root system in \mathbb{R}^d. Let $C_+\subset \mathbb{R}^d$ denote a positive Weyl chamber distinguished by a choice of R_+, a set of positive roots. We define and investigate Hardy and BMO spaces on C_+, with boundary conditions given by a homomorphism which attaches the +/- signs to the facets of C_+. Specialized to orthogonal root systems, atomic decompositions in Hardy spaces are obtained and the duality problem is also treated.

We indicate the structure of automaton with multiplicities (taken in a non necessarily commutative semiring R), following the original thought of Eilenberg and Schützenberger. Computation of its behaviour, a generating series, entails that of the star of a matrix (in general with noncommutative coefficients). When one specializes R to R = Sigma x K (K a ring of operators), one gets a powerful notion of Sigma-action which is powerful enough to, for example, generate Hyperlogarithms and, through Lazard elimination, explain the asymptotic initial conditions, and through Radford's theorem, transcendance results. When one specializes R to R= Sigma x K (K a commutative semiring), one gets the classical structure of automaton with multiplicities in K, and if, moreover, K is a field, one can use this rational calculus to compute within every Sweedler's dual of a K Hopf or bi-algebra. If time permits we will describe an unexpectedly simple two-state ‘‘letter-to-letter'' transducer which produces the Collatz function which opens the door to a geometrization of the Collatz conjecture.

L'objectif de cet exposé est de décrire, dans la limite semi-classique, la propagation de fonctions d'onde le long d'une interface entre deux isolants topologiques en deux dimensions. Nous supposerons que cette interface est une courbe lisse connexe sans bords. Nous considérerons un système d'équations d'évolution régi par une modulation adiabatique d'un opérateur de Dirac (non magnétique) de masse variable s'annulant à l'interface. Nous décrirons la propagation des solutions de ce système en termes de mesures semi-classiques, en utilisant une procédure de forme normale et une seconde microlocalisation proche de l'interface.

The objective of this work is to study how wave propagates in the frequency regime in quasi-periodic media. Quasi-periodic media are characterized by quasi-periodic coefficients, i.e. functions that are the value in a certain (irrational) direction of periodic functions in a higher dimension. Quasi-periodic media are somehow between periodic media and random media: they have a structure without being periodic and they exhibit properties well known in random media such as ergodicity or localization. I want to explain in this talk how we can take advantage of their structure to define, when it is possible, the outgoing/physical wave and a notion of group velocity.

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This talk explores the intriguing realm of scattering resonances within two-dimensional transparent cavities, which arose in the modeling of micro-resonators constructed from dielectric materials (with positive permittivity) or metallic nanoparticles (with negative permittivity). Specifically, our investigation is focused on resonances that closely align with the real axis, characterized by highly oscillatory behavior and localization along the interface separating the cavity from its external environment. Notable exemplars of such resonances include whispering-gallery modes observed in dielectric cavities and surface plasmon waves associated with metallic particles.

The asymptotic behaviour of the partition function is one of the central questions of statistical mechanics. The asymptotic expansion of this partition function can be regarded as an infinite dimensional version of the Laplace method, since the number of integrations is also growing with N. By analogy, if the potential is complex one needs an infinite dimensional version of the steepest descent (Saddle point) method. We address this problem in the context of Beta ensembles. This is joint work with A. Guionnet and K. Kozlowski.

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la théorie de la diffusion pour un modèle abstrait d'opérateurs non-auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert. L'opérateur non-auto-adjoint H est donné par une perturbation relativement compacte V d'un opérateur auto-adjoint H_0. Sous des hypothèses de principe d'absorption limite, nous expliquerons comment les opérateurs d'ondes non-unitaires associés à H et H_0 peuvent être définis et présenterons leurs propriétés. Finalement nous définirons la notion de complétude asymptotique pour ces opérateurs d'ondes et la relierons à la notion de singularité spectrale. Nos résultats s'appliquent à des opérateurs de Schrödinger avec des potentiels à valeurs complexes.

Dans cet exposé, je présenterai les propriétés de stabilité des ondes planes pour un système qui décrit des particules quantiques interagissant avec un environnement complexe. D’un point de vue mathématique, cela revient à étudier un système d’EDP couplées de façon non locale (en temps et en espace) ce qui complique considérablement l’analyse par rapport aux équations de Schrödinger non linéaires habituelles. La stratégie utilisée repose sur l'identification de structures hamiltoniennes et de fonctionnelles de Lyapounov appropriées. Travail en collaboration avec T. Goudon.

Dans cet exposé, on s'intéresse au comportement qualitatif des solutions de l'équation de Gross-Pitaevskii, qui décrit les superfluides et les superconducteurs. Il s'agit d'une équation de type Schrödinger non linéaire, mais la dispersion y est plus mauvaise. En particulier, les méthodes usuelles pour démontrer la stabilité de certains solutions ne s'appliquent plus. Après avoir rappelé ces arguments classiques et les obstacles spécifiques à Gross-Pitaevskii, on expliquera deux nouvelles approches pour résoudre ces difficultés.

Considérons une marche discrète dans le quart de plan. Nous pouvons lui associer une série génératrice qui encode un certain nombre de ses propriétés. Une question qui a suscité beaucoup de réflexions est de determiner si cette série satisfait des équations algébriques ou différentielles. Les méthodes sont variées, allant de la combinatoire, à la géométrie algébrique en passant par l'informatique et les probabilités ce qui donne un côté très interdisciplinaire à ce problème.

Nous considérerons le laplacien magnétique en dimension deux. Sous l'hypothèse que le champ magnétique possède un double puits générique, nous décrirons les plus petites valeurs propres de cet opérateur dans la limite du champ intense. En établissant une formule asymptotique explicite, nous expliquerons pourquoi l'écart entre les deux plus petites valeurs propres est exponentiellement petit, mais non nul. Nous verrons notamment comment la célèbre dynamique centre-guide permet de franchir quantiquement, par effet tunnel, une barrière magnétique. Il s'agit de la première extension à un cadre purement magnétique des considérations d'Helffer et Sjöstrand remontant aux années 80 dans le cas de potentiels électriques. De façon adventice, nous soulignerons les différences essentielles entre les deux phénomènes - électriques et magnétiques, en évoquant les travaux commencés il y a plus de 10 ans dans cette direction. Il s'agit d'une collaboration avec S. Fournais, Y. Guedes Bonthonneau et L. Morin.

À tout projecteur orthogonal de rang fini N sur L^2(R^d) est associé un processus ponctuel sur R^d à N points, qui donne la densité de probabilité jointe des fermions qui remplissent l'image du projecteur. L'étude des propriétés statistiques de ces fermions, dans la limite où N tend vers l'infini, est liée à des problèmes de théorie spectrale semiclassique, en partie bien établis (la loi de Weyl se traduit en une loi des grands nombres), en partie nouveaux. En particulier, le comportement de la variance de ces processus est liée aux propriétés de commutateurs impliquant des projecteurs spectraux, encore mal compris.

Les représentations des groupes de Heisenberg peuvent se construire à partir des opérateurs de création et annihilation. Les algèbres de Toeplitz de leur coté sont engendrées par des opérateurs de shift. Ces derniers s'obtiennent naturellement à partir des opérateurs de création et vice-versa. Je montre que cette observation peut-être promue en un isomorphisme entre une algèbre construite à partir de celle de Toeplitz et un certain idéal de la C^*-algèbre du groupe de Heisenberg. Si le temps le permet, j'évoquerai aussi le cadre plus général dans lequel cet isomorphisme s'inscrit, avec les symboles d'un calcul pseudodifférentiel exotique sur les groupes de Lie nilpotents gradués.

Quantum mechanics is well approximated by classical physics when the Planck constant is considered very small, i.e., at the semi-classical limit. Typically, one can study an observable associated with a particle, such as its momentum or its position, and show that its dynamics is given by a development in powers of the Planck constant whose zeroth order corresponds to classical dynamics. In this talk, I will present more precisely the concept of semi-classical limit, the standard mathematical results known for non-relativistic quantum mechanics, and my work that concerns the semi-classical limit in the context of relativistic quantum mechanics. Concretely, I will show how to adapt the modulated energy method developed on the Schrödinger equation to the Klein-Gordon equation and how we recover relativistic mechanics (instead of classical mechanics) at the semi-classical limit.

Le modèle de tas de sable abélien est un modèle issu de la physique qui a émergé dans les années 80 pour illustrer le phénomène de criticité auto-organisée. Il s'agit d'un automate cellulaire qui simule l'empilement instable de grains de sable, suivi d'effondrements aboutissant à un tas stable. On y observe une structure fractale. Dans cet exposé, on s'intéresse à la forme du bord de la configuration finale lorsque le nombre de grains de sable tend vers l'infini. Dans le modèle classique, de nombreuses conjectures restent ouvertes. On traitera une variante, appelée "leaky" ("avec fuite" en français), où une partie du sable disparaît après chaque effondrement. Généralisant les travaux de Alevy et Mkrtchyan, qui traitent un cas particulier dans le plan, nous prouvons un résultat de convergence vers une forme limite en dimension quelconque. Nous étudions ensuite l'influence du paramètre de fuite, qui constitue la spécificité du modèle considéré. Bien que le modèle étudié soit déterministe, la description de la forme limite se fera à l'aide d'outils probabilistes faisant intervenir la fonction de Green d'une chaîne de Markov tuée. Il s'agit d'un travail commun avec Cédric Boutillier, Sevak Mkrtchyan et Kilian Raschel.

Dans cet exposé, nous nous intéressons au spectre d’opérateurs modélisant une jonction entre deux matériaux. Nous montrons que des vecteurs propres localisés à la jonction (=modes de bord) apparaissent pour ces opérateurs. Ces modes sont responsables, entre autre, de pollution spectrale pour la simulation numérique de matériaux. Nous montrerons que l’apparition de ces modes est de nature topologique, et expliquerons pourquoi ils apparaissent dans la majorité des cas. En collaboration avec Clément Tauber.

L'évolution d'un gaz peut être décrite par différents modèles selon l'échelle d'observation. Une question naturelle, soulevée par Hilbert dans son sixième problème, est de savoir si ces modèles fournissent des prédictions cohérentes. Dans le cas des gaz de sphères dures, Lanford a montré en 1974 que l'équation de Boltzmann apparaît comme une loi des grands nombres dans la limite de faible densité, au moins pour des temps très courts. Dans cet exposé nous présenterons le résultat de Lanford, et quelques extensions plus récentes permettant de comprendre les fluctuations et les grandes déviations autour de l'équation de Boltzmann. Il s'agit de travaux en collaboration avec Thierry Bodineau, Laure Saint-Raymond et Sergio Simonella.

The Aztec diamond is a well-studied dimer model which is equivalent to domino tilings of a diamond-shaped domain. Recent results have shown that its determinantal structure is particularly suited for asymptotic analysis using matrix-valued orthogonal polynomials and/or Wiener-Hopf factorizations. This has led to many new results on its large-size asymptotics in the case of periodic weights. The aim of this talk is to explain how the Aztec diamond has in some sense a 'more rigid structure' than similar models like the hexagon, making it thus more suitable for asymptotic analysis, and discuss how this is reflected in some unusual properties of the underlying matrix-valued orthogonal polynomials. This is joint work with Arno Kuijlaars.

This talk starts with a gentle introduction to scattering theory for Maxwell's equations. In specific it will lead into recent achievements in the understanding of geometric scattering theory. Different aspects of evolution operators for topological scatterers will be discussed as well as a fun mathematical history of the topic. Future applications to dispersive estimates will be discussed.

Les équations de Painlevé, qui admettent des solutions transcendantes, possèdent une géométrie riche les plaçant à l'intersection de plusieurs domaines. Leur reformulation hamiltonienne offre un lien avec deux approches de déformations (isospectrale et isomonodromique). En introduisant les notions nécessaires, nous verrons comment ces équations relient des sujets de la géométrie algébrique et de la physique mathématique. Le but de l'exposé est de voir comment les équations de Painlevé apparaissent comme conditions de compatibilités sur une “paire de Lax" en donnant une brève introduction à la géométrie sous-jacente et aux questions modernes du sujet.

On s’intéresse à l'équation de Benjamin-Ono sur la droite avec un petit paramètre de dispersion.On décrira précisément la solution en tout temps lorsque le paramètre de dispersion est suffisamment petit. Cette solution peut présenter localement des oscillations rapides, qui sont une manifestation d'un choc dispersif. La description fait intervenir la solution multivaluée de l'équation de Burgers sans viscosité sous-jacente, obtenue en utilisant la méthode des caractéristiques. Ce travail est en collaboration avec Elliot Blackstone, Patrick Gérard et Peter D Miller.

In this talk we present some recent results and work in progress in the theory of matrix orthogonal polynomials (MVOPs). We are interested in algebraic and differential identities for MVOPs and their connection with integrable systems, as well as in the asymptotic analysis of MVOPs as their degree tends to infinity. In the first part, we present the ideas used by Casper and Yakimov in connection with the matrix Bochner problem, and in the second last part, we use the Riemann-Hilbert formulation and the Deift-Zhou method of steepest descent. In the matrix case, this analysis has some features that are different from the scalar case and of independent interest. Based on joint work with Arno B. J. Kuijlaars (KU Leuven, Belgium) and Pablo Román (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina)

Durant ce séminaire nous étudierons la théorie de la diffusion pour une famille d'opérateurs de Schrödinger. Ces opérateurs possèdent des spectres présentant un changement de multiplicité et donc des seuils plongés. Certains opérateurs possèdent également des résonances aux seuils. Nous construirons alors une C*-algèbre à laquelle appartient les opérateurs d'onde. L'étude du quotient de cette algèbre par l'idéal des opérateurs compacts mène directement à l'existence de théorèmes d'indice en théorie de la diffusion. Ces théorèmes peuvent alors s'interpréter comme des théorèmes de Levinson en présence de seuils plongés et de discontinuités de la matrice de diffusion. La dépendance de ces résultats en fonction de certains paramètres sera également discutée. En particulier, une surface de résonances sera mise en évidence, probablement pour la première fois. Aucun prérequis C*-algébrique n'est nécessaire pour cette présentation.