Séminaires du LAREMA

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Le Combinatorial Nullstellensatz est un théorème de Noga Alon généralisant aux polynômes à plusieurs variables l'idée qu'un polynôme de degré $d$ ne peut avoir $d+1$ racines. S'il n'a été isolé et publié qu'en 1999, certaines de ses applications l'avaient précédé. C'est la multitude de ses applications combinatoires qui ont mis en valeur ce résultat algébrique subtil mais élémentaire. Dans un premier temps, je préciserai plusieurs énoncés équivalents du Combinatorial Nullstellensatz, qui justifieront son appelation algébrique et donnerai une ébauche de preuve. Ensuite, je développerai autant que possible le vaste éventail combinatoire de ses applications, en géométrie discrète, en théorie des graphes et plus particulièrement en combinatoire additive.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaire des doctorant.es
A germ of a complex analytic set X at the origin of C^n is, roughly speaking, the zero locus of a finite collection of convergent power series in n complex variables f_1,...,f_k, defined in a neighborhood of the origin in C^n. When the Jacobian matrix at the origin of the map x --> (f_1(x),...,f_k(x)) has maximal rank, the implicit function theorem applies. In this case, X is locally biholomorphic (i.e., complex diffeomorphic) to C^{n-k}. However, if the Jacobian does not have maximal rank at the origin, we say that the origin is a singular point of X. This leads to a natural, though vague, question: What does a germ of a complex analytic set look like near a singular point? Topologically, this question has been answered: we can describe the local homeomorphism type (also called the topological type) of a complex analytic germ using what is known as the conical structure theorem. However, the classification up to biholomorphism—that is, the analytic type—remains completely out of reach, even in the case of complex curves. In this talk, I will introduce the notion of the Lipschitz type of a complex analytic set, which lies between the analytic and topological types. I will give an overview of this area of geometry, present some recent results, and—if time permits—discuss some ideas behind the proofs

Séminaire des doctorant.es

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Le résumé : Une des questions importantes concernant une surface lisse complexe de P^4 est le calcul de son irrégularité. Dans cet exposé nous parlerons de ce problème en supposant que la surface est contenue dans une hypersurface de degré plus petit ou égal à 4. On montre que les fibrés elliptiques en droites et, respectivement, en coniques sont les seules surfaces irrégulières contenues dans une hypersurface cubique et, respectivement, quartique (ayant seulement des points doubles ordinaires). L'outil technique principal de ce calcul sera le complexe de Koszul associé à la section globale du fibré conormal (tordu) de la surface, section induite par l’hypersurface.