Séminaire des doctorant·es

Dans ce séminaire, je vous propose une introduction aux fibrés vectoriels. Je ferai en introduction quelques « rappels » sur les espaces projectifs et les Grassmanniennes. Suite à cela, nous définirons les fibrés vectoriels et mettrons en avant les fibrés en droites avec l’application canonique associée à de tels fibrés qui part de notre variété vers un espace projectif. La notion d’amplitude sera alors abordée et sa généralisation de Hartshorne aux fibrés de rang supérieur. Dans un second temps, j’introduirai les applications de Kodaira et de « co-Kodaira » associées à un fibré vectoriel de rang supérieur à 1 qui généralisent le cas des fibrés en droites. Finalement, je vous présenterai une inégalité numérique entre les nombres de Chern d’une surface du type général issue de l’application de « co-Kodaira » de son fibré cotangent (de rang 2).

Collective self-organized motions can be observed in nature as bird flocks or fish schools for example. In order to model them, we can, in a first place, adopt a microscopic approach: for each individual, its position and velocity is studied. But this type of phenomema can be up to a huge number of individuals. In this case, the motion can be studied at the macroscopic scale: we consider the density of individuals and their mean velocity. The obtained system of equations, called Self-Organized Hydrodynamics (SOH) model, is hyperbolic and non-conservative. The non-conservation causes issues for the study and the numerical approximation of discontinuous solutions, called shock waves. The objective of this talk is to understand the issues related to non-conservative hyperbolic systems, and to provide some solutions, at the analytical and numerical scales. First of all, we introduce hyperbolic models and some tools useful for their analysis, in the scalar and conservative system cases. Afterwards, we focus on the SOH model, and define its shock wave solutions. We then derive a Godunov-type numerical scheme for the SOH model. Since the non-conservative scheme does not converge to the right shock waves, we add a viscous numerical correction in order to recover this type of solutions. Finally, numerical results are presented to show the relevance of the viscous scheme.

En chimie quantique, il est intéressant de comprendre la dynamique d’un système lorsqu’il se trouve au voisinage d’une intersection entre différents niveaux d’énergie. Une question importante est notamment de décrire les transitions qui peuvent se produire entre ces différents niveaux. Pour étudier ces phénomènes, on s’intéresse à l’équation de Schrödinger semiclassique, une équation fondamentale de la mécanique quantique qui décrit l’évolution d’un système quantique au cours du temps. Les solutions exactes de cette équation étant rarement explicites et les méthodes numériques classiques étant souvent difficiles à mettre en œuvre, mon objectif est de construire des solutions approchées, suffisamment précises pour étudier les phénomènes de transition évoqués précédemment. Pour cela, on va s’intéresser à des fonctions particulières, appelées paquets d’ondes, qui permettent de décrire des états quantiques localisés. Dans cet exposé, je présenterai comment cette approche peut être mise en œuvre dans le cas d’un système de deux équations de Schrödinger semiclassiques présentant une intersection conique de codimension 2. Le résultat principal fournit une description explicite d’un paquet d’ondes qui approche la solution de l’équation, en particulier lorsqu’il passe au voisinage de l’intersection. Cette description permet de faire apparaître les phénomènes de transition entre les différents états d’énergie considérés, dont nous étudierons les mécanismes au cours de l’exposé.

La médecine personnalisée a révolutionné la prise en charge du cancer en adaptant les traitements aux caractéristiques du patient et de la tumeur. Cette adaptation peut intervenir dès le diagnostic ou au cours du traitement. Ces deux modalités présentent cependant des défis pour lesquels les approches de machine learning et de modélisation statistique peuvent s’avérer précieuses. Après l’introduction de quelques notions de biologie, ce séminaire abordera ces défis à travers deux applications distinctes. La première partie sera consacrée à la classification de variants génétiques. Dans certaines pathologies, l'orientation thérapeutique dépend de mutations spécifiques, mais la présence fréquente de variants de signification inconnue complexifie la décision clinique. Je présenterai les différents modèles prédictifs développés pour évaluer la fonctionnalité de ces variants, ainsi que les résultats obtenus. La deuxième partie traitera de l’adaptation précoce des traitements via le suivi de la fraction tumorale. J’introduirai les concepts biologiques sous-jacents avant d’exposer l’optimisation d’ichorCNA, un modèle statistique conçu pour estimer cette fraction à partir de séquençage génomique.

L'un des principaux objectifs de la théorie du contrôle est de comprendre comment agir sur un système gouverné par des équations aux dérivées partielles au moyen d'actions localisées en espace et en temps. Dans certaines situations, ces actions permettent également de stabiliser le système, c'est-à-dire de ramener un état initialement perturbé vers un état d'équilibre. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la stabilisation des ondes. Pour fixer les idées, on pourra penser à l'atténuation d'un son par la disposition de mousse acoustique ou à l'absorption de la lumière par un gaz. Nous verrons que cette question est intimement liée à la géométrie des trajectoires des rayons, à travers une condition géométrique (la condition de contrôle géométrique de Bardos--Lebeau--Rauch--Taylor), qui met en évidence un lien entre analyse des équations aux dérivées partielles et géométrie.

The usage of PDEs in complex geometry is currently a staple in the field. In particular, complex Monge-Ampère equations on complex manifolds are related to the existence and behaviour of canonical metrics, moreover they construct Ricci-flat metrics on Calabi-Yau manifolds by Yau's celebrated solution of the Calabi Conjecture in 1978. When one allows singularities to happen there is still a link between the geometry of the singular space and PDEs, now these are degenerate and need to be understood in a sense of distributions/currents. With sharper and more delicate estimates of these PDEs one can obtain again canonical metrics but now constructed on singular spaces. In this talk I'll briefly introduce the geometric and analytical context around the complex Monge-Ampère equation and show one of the quantitative estimates for it highlighting where the geometry shows up in the analysis. After that I'll convey an intuition of why these estimates allow us to understand canonical metrics on the limit of a family of smooth spaces degenerating to a singular one.

Le théorème de Seidel fournit un lien entre un invariant associé à un nœud legendrien (son homologie linéarisée) et la topologie d'un remplissage lagrangien de ce nœud. Dans cet exposé, nous introduirons ces notions et discuterons de quelques conséquences de ce théorème.

Les coefficients dans le développement en série entière de 1/(1-t)^n correspondent aux dimensions des espaces de polynômes homogènes en n variables. Ce phénomène combinatoire reflète la dualité de Koszul entre l'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure \Lambda(V) engendrées par un espace vectoriel V de dimension n. Cette dualité, est à la base d'un complexe de chaînes nommé résolution de Koszul par Priddy à la fin des années 60'. Le cas de l'algèbre symétrique permet de calculer la résolution de Koszul de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie, correspondant alors au complexe de Chevalley-Eilenberg calculant la cohomologie d'une algèbre de Lie.

Le séminaire des doctorants se propose de fournir aux doctorants une occasion de s'ouvrir aux autres domaines des mathématiques que le leur. A chaque séance, un intervenant réalise un exposé sur un fait standard de leur domaine d'étude, de niveau adapté à l'ensemble des doctorants. Un anneau de polynômes est-il l'ensemble des suites à support fini ou l'ensemble des fonctions polynomiales ? Mon lemme de topologie est vrai dans les espaces métriques, les espaces compacts ou même les groupes topologiques, mais je ne souhaite pas le démontrer plusieurs fois. Je souhaite travailler avec des fonctions méromorphes, et pourtant, j'ai encore du mal à écrire rigoureusement toutes les conditions de la définition. Derrière ces exemples se cache une dure réalité : - Nos preuves sont très vulnérables à une légère modification anodine des pages précédentes. - Nous devons souvent refaire des preuves très similaires en raison d'hypothèses légèrement différentes. - Nos preuves doivent tenir compte de la manière dont nous avons démontré certains lemmes (et pas seulement des lemmes). Ce sont précisément les problèmes que certains paradigmes de programmation nous permettent d'éviter. Cela est particulièrement utile pour expliquer les mathématiques à un assistant de preuve, mais nous verrons que la mise en œuvre de ces paradigmes sur nos trois exemples peut changer la façon dont nous faisons des mathématiques « sur papier ».

Le point de départ de cet exposé sera le théorème de Pick qui permet de lier l'aire d'un polygone et les points entiers de celui-ci. Je vous proposerais ensuite de découvrir ensemble ce qui se passe en plus grandes dimensions: comment compter les points entiers des polytopes et que peuvent-ils nous dire? La réponse à ces questions initiée par Erhrart est riche et intersecte de nombreux domaines des mathématiques. On verra notamment la définition du vecteur h-étoile qui est un invariant numérique puissant des polytopes entiers. Selon le temps, on fera des applications aux carrés magiques et au nombre de McNuggets™.

Optimal Transport (OT) equips the space of probability measures with the 2-Wasserstein distance, allowing us to interpret many PDEs as gradient flows of energy functionals. I will first recall the Monge-Kantorovich formulation of OT and the definition of the 2-Wasserstein distance. Then, I will introduce Wasserstein gradient flows, viewing probability measures as densities of point clouds. If time allows, in the second part, I will present recent work using this framework to drive an unknown initial measure towards a Gaussian reference measure, while learning the associated vector field (the score) along the way. This connects Wasserstein gradient flows with score-based methods, a central objective in many modern generative modelling approaches.

Mon exposé sera une introduction générale à la topologie algébrique, en prenant comme fil rouge la question fondamentale du domaine : comment classifier les espaces à déformation près ? J'introduirai d'abord la notion de (co)homologie, qui fournit les invariants topologiques les plus fondamentaux, et la théorie "d'algèbre linéaire" associé, appelée algèbre homologique, dont les objets de base sont les complexes de (co)chaînes. On verra que pour s'approcher d'une classification des espaces (à déformation près), il est nécessaire de raffiner ces complexes en les munissant de structures algébriques plus riches. On illustrera cette idée avec l'exemple de la structure d'anneau sur la cohomologie. Je terminerai avec quelques mots sur le théorème de Mandell, qui pousse ce principe beaucoup plus loin et fournit une réponse complète au problème de classification, pour une large classe d'espaces. Ainsi, on rencontrera des "structures algébriques à homotopie près" sur les complexes de chaînes, qui sont au cœur de la théorie de l'homotopie moderne. J'essaierai autant que possible d'illustrer les différents concepts par des exemples élémentaires.

In this talk, I will give an introductory overview of several ideas arising from the study of random coverings of the circle. I will begin with the classical Dvoretzky covering problem, which asks when a sequence of randomly placed intervals covers the circle infinitely often. I will then introduce a few basic notions from harmonic analysis, especially Fourier coefficients of measures and the concept of Rajchman measures. The main object of the talk will be the Dvoretzky measure, a natural random measure supported on the non-covered set. I will explain why one is interested in proving that this measure has the Rajchman property, and I will present the main intuition behind the proof: instead of estimating Fourier coefficients directly, one studies suitable convolutions of the measure and shows that they become absolutely continuous. Finally, I will briefly introduce the broader framework of multiplicative chaos measures, which provides a useful perspective on the Dvoretzky measure and connects the problem to recent developments in random geometry and harmonic analysis. The talk will be expository and aimed at presenting the main ideas rather than technical details.

For the first part, let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field of characteristic zero. Given a nonzero polynomial \[ f = y^n + a_1(\underline{x}) y^{n-1} + \cdots + a_n(\underline{x}) \in \mathbb{K}[x_1, \dots, x_e][y], \] we show how to associate with $f$ an affine semigroup of ${\mathbb N}^e$. The main idea is to associate with $f$, after a preparation result, a quasi-ordinary polynomial. Our results generalize to a global situation, local results obtained by A.Abbas and A. Assi. For the second part, we classify curves with one place at infinity according to the difference between the total Milnor invariant and the total Tjurina invariant. We note that the local classification for the cases where this difference is zero was carried out by Zariski, while the cases corresponding to differences 1 and 2 were studied by Bayer and Hafez, and the case 3 by Watari. Our result provides a global classification in this setting.

La théorie de Yang--Mills quantique décrit les interactions élémentaires à l’aide d'intégrales sur des espaces de dimension infinie, courbés et peu structurés. La construction rigoureuse de la mesure permettant de donner sens à ces intégrales demeure un défi mathématique majeur. Si aucune construction n’est connue à ce jour dans le cas d’un espace-temps de dimension 3 ou 4, le cas de la dimension 2 a été étudié avec succès par plusieurs auteurs. Dans cet exposé, je présenterai les objets mathématiques impliqués dans l'étude de la mesure de Yang–Mills en deux dimensions, ainsi qu'une contribution récente avec Nguyen Viet Dang.

After giving a definition of what is a category, I will show that the notion can actually be formulated in categorical terms. Even though this does not help us to define classical categories, we can iterate the construction of categories inside categories themselves. I will present why this is something mathematicians are interested in and classify such internal categories in the category of groups and in the category of abelian groups , which will naturally lead to the notion of crossed modules of groups. References : Internal Crossed Modules. G. Janelidze Combinatorial homotopy II. J.C. Whitehead

Khovanskii a donné une borne au nombre de racines réelles positives d'un système, qui dépend uniquement du nombre de monômes de ce système. Par la suite, Gabrielov a apporté sa contribution en donnant une borne pour la multiplicité d'un système en un point du tore complexe, qui dépend également du nombre de monômes. Nous présenterons ces résultats, de même que quelques avancées plus récentes. Nous mettrons en lumière la recherche actuelle sur ce sujet, ainsi que quelques outils pour lesquels nous fournirons des illustrations visuelles dans le but de mettre en évidence ce lien entre multiplicité et nombre de monômes.

I will introduce Graph Lie Dynamics (GLD) which unifies Lie group symmetries, non-archimedean geometry, and graph-theoretic structures to model emergent phenomena in complex particle systems. In this model, the graph vertices represent particles which are embedded by nodal singular points on a non-archimedean analytic variety immersed in high-dimensional Lie manifold, while edges, given by arcs on our variety, encode interactions and constraints. By defining Brownian motion on these dynamic graphs, we capture stochastic fluctuations within a geometrically constrained symmetry landscape, allowing the system to explore both local and global configurations naturally. The curvature of the underlying varieties interacts with the stochastic graph dynamics, producing a deterministic-stochastic feedback that governs collective motion, phase transitions, and emergent quasi-particles. Computational experiments suggest that GLD not only reproduces classical diffusion limits but also predicts novel topological correlations and symmetry-breaking patterns in synthetic particle ensembles. This framework points toward a unified theory bridging discrete graph-based dynamics, continuous Lie flows, and stochastic processes, offering a fresh perspective on many-body systems and emergent complexity.

L'objectif de cet exposé est de définir les notions d’hyperbolicité et d'orbifoldes (au sens non-classique), afin de comprendre quelques propriétés de finitude pour les applications holomorphes entre variétés hyperboliques. Nous introduirons tout d’abord la distance de Poincaré, puis nous verrons comment la pseudo-distance de Kobayashi peut être vue comme une généralisation de cette première. Cela nous permettra ainsi de parler de variétés hyperboliques. Je donnerai ensuite quelques définitions pour les structures orbifoldes, au sens classique et au sens non classique (sens de Campana). J’utiliserai ces notions pour énoncer le théorème de De Franchis, et quelques généralisations de ce résultat en dimension supérieure ou en utilisant les notions orbifoldes.

La notion de fonction harmonique est intimement reliée au mouvement Brownien, objet central de la théorie des probabilités. La recherche de ces fonctions constitue une question majeure, notamment en physique. La théorie de la frontière de Martin, à cheval entre analyse et probabilités, parvient à donner une représentation des fonctions harmoniques positives. Dans cet exposé, nous introduirons le lien entre probabilités et analyse, notamment avec la propriété de la moyenne. Nous développerons également les objets nécessaires à l'énoncé du théorème de représentation (fonctions de Green, noyau de Martin) et donnerons des exemples de frontière de Martin pour des processus simples.

Matter, and more specifically molecules, are constantly moving... However, a mathematical model can explain this movement, which is both ordered and chaotic: the Langevin equation. So let $\Omega \subset \R^d$ be a bounded smooth domain and $b : \Omega \rightarrow \R^d$ be a smooth vector field. We focus on the associated overdamped Langevin equation: $$ \dot{X_t} = b(X_t) + \sqrt{h} \dot{B_t} $$ in the low temperature regime $h \rightarrow 0$ and in the case where $b$ admits the decomposition $b = - \nabla f - \ell$ with $\nabla f \cdot \ell = 0$ on $\overline{\Omega}$. To study this equation, we analyse the spectrum of the infinitesimal generator of the dynamics: $$ L_h = - \frac{h}{2} \Delta + \nabla f \cdot \nabla + \ell \cdot \nabla $$ with Neumann boundary conditions. In this case, moving particles remain trapped inside the domain. More precisely the process remains trapped, for some time, in a certain region of the domain before going to another area. These regions are called metastable and correspond to neighborhoods of minima of $f$. Finally, thanks to the spectral theory of $L_h$, we can describe the return to equilibrium of this metastable dynamics.

Les groupes engendrés par les réflexions d'un espace sont des objets très naturels à étudier. Le cas du plan euclidien est très simple, mais nous aidera à construire une intuition pour la suite. Je présenterais ensuite le modèle "hyperboloïde" de l'espace hyperbolique. Je donnerai la classification des isométries de l'espace hyperbolique: elles peuvent toutes être obtenues comme composition de réflexions. On s'intéressera plus particulièrement aux éléments loxodromiques et à leurs valeurs propres. Suivant le temps restant et le public présent, je dirai en quoi les groupes de réflexions d'espaces hyperbolique sont un outil fondamental pour l'étude du groupe des biholomorphismes d'une surface complexe compact Kähler.

L’objectif de cette présentation est d’introduire les aspects variationnels de l’analyse géométrique à travers l’étude des applications harmoniques. Je rappellerai des propriétés classiques des fonctions harmoniques dans l’espace euclidien afin de motiver, d’un point de vue variationnel, l’étude des applications harmoniques entre variétés riemanniennes. L’exposé se concentrera sur trois aspects principaux : l’existence, la régularité et les phénomènes de bubbling associés à la concentration d’énergie le long de suites d’applications harmoniques définies sur des surfaces.

After a brief presentation of the hyperbolic plane and its group of orientation-preserving isometries I will define what is a hyperbolic surface and especially what is a hyperbolic surface of the first kind. At the end of the talk I will explain how to know if a flute surface is of the first kind through the notion of ends.

In this talk we will study a particular class of SDEs driven by a fractional Brownian motion (fBm for short) with small Hurst parameter. On the one hand, the roughness of the fBm will have a regularization effect that will help us deal with very pathological drifts, which could even be distributions. Nevertheless, the regularization effect of the noise occurs only on small time horizons, hence, to be able to regularize on the long time as well, we will add a confining potential to prevent the solution to the SDE to explode when the time variable goes to infinity. On this talk, we will focus on deriving some a priori estimates, which will hint on whether the system under consideration may approach an equilibrium estate or not. We will also discuss ways of approaching this equilibrium estate by suitable numerical methods.