Groupe de travail sur la L²-cohomologie et l’homologie d’intersection

Introduction aux notions d'homologie singulière et simpliciale et dualité de Poincaré.

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We indicate the structure of automaton with multiplicities (taken in a non necessarily commutative semiring R), following the original thought of Eilenberg and Schützenberger. Computation of its behaviour, a generating series, entails that of the star of a matrix (in general with noncommutative coefficients). When one specializes R to R = Sigma x K (K a ring of operators), one gets a powerful notion of Sigma-action which is powerful enough to, for example, generate Hyperlogarithms and, through Lazard elimination, explain the asymptotic initial conditions, and through Radford's theorem, transcendance results. When one specializes R to R= Sigma x K (K a commutative semiring), one gets the classical structure of automaton with multiplicities in K, and if, moreover, K is a field, one can use this rational calculus to compute within every Sweedler's dual of a K Hopf or bi-algebra. If time permits we will describe an unexpectedly simple two-state ‘‘letter-to-letter'' transducer which produces the Collatz function which opens the door to a geometrization of the Collatz conjecture.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
On donne une nouvelle caractérisation de l'obstruction d'Euler d'un germe analytique complexe en fonction des points critiques sur la partie régulière du link d'une projection sur une droite réelle générique. En corollaire, on obtient une nouvelle preuve de la relation entre l'obstruction d'Euler et la mesure de Gauss-Bonnet, conjecturée par Fu.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Quand X est une variété complexe projective lisse, de dimension d, l'i-ème itéré du cup-produit avec une section hyperplane induit un isomorphisme entre les espaces de cohomologie singulière H^(d-i)(X) et H^(d+i)(X). La conjecture standard de type Lefschetz pour X, formulée par Grothendieck dans les années 60 et encore largement ouverte, prédit que les inverses de ces isomorphismes devraient être induits par des cycles algébriques sur X \times X. Dans cet exposé, après une introduction à ces idées, je parlerai d'un travail en collaboration avec Ancona, Laterveer et Saccà, dans lesquels nous démontrons la conjecture pour certaines variétés hyperkähleriennes munies d'une fibration lagrangienne.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Soit B une surface de Riemann compacte. D'après un théorème classique de Royden, toute fonction holomorphe d'un ouvert de B vers P^1 peut être approchée (uniformément sur tout compact) par des applications algébriques. Je démontrerai que cela reste vrai si l'on remplace P^1 par une variété rationnellement simplement connexe arbitraire (par exemple, une hypersurface lisse de degré d dans P^n avec n>=d^2-1). Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Wittenberg.

2PMA
L'objectif de cet exposé est de décrire, dans la limite semi-classique, la propagation de fonctions d'onde le long d'une interface entre deux isolants topologiques en deux dimensions. Nous supposerons que cette interface est une courbe lisse connexe sans bords. Nous considérerons un système d'équations d'évolution régi par une modulation adiabatique d'un opérateur de Dirac (non magnétique) de masse variable s'annulant à l'interface. Nous décrirons la propagation des solutions de ce système en termes de mesures semi-classiques, en utilisant une procédure de forme normale et une seconde microlocalisation proche de l'interface.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
À côté des variétés toriques, les variétés de drapeaux font partie des rares objets en géométrie algébrique où l’on peut effectuer des calculs précis et tester des conjectures. En caractéristique positive, il existe des versions « tordues » de ces variétés : ce sont des espaces homogènes projectifs et rationnels dont le stabilisateur est un sous-groupe parabolique non réduit. Leur géométrie diffère de celle des variétés de drapeaux classiques ; par exemple, elles ne sont presque jamais de Fano. À travers des exemples, nous verrons comment elles se décomposent en cellules de Bialynicki-Birula et quel est leur groupe de Picard. On décrira ensuite les contractions de courbes de Schubert sur une telle variété $X$, pour arriver à une description du groupe d’automorphismes de $X$ en tant que schéma en groupes.