Double licence Mathématiques-Informatique

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Séminaire des doctorant.es
La conjecture de Hodge est l’un des 7 problèmes du prix du millénaire. Malheureusement cette conjecture sera seulement énoncée et ne sera pas démontrée, ni infirmée. Le but de cet exposé sera de vous introduire aux différents objets intervenant dans cette dernière pour qu’elle vous soit compréhensible. L’idée de cette conjecture est de calculer des invariants topologiques (des groupes de cohomologies) d'une variété algébrique projective complexe non singulière à partir de ses sous-variétés. Elle s’énonce précisément de la façon suivante : Soit X une variété algébrique projective complexe non singulière. Alors chaque classe de Hodge sur X est une combinaison linéaire à coefficients rationnels des classes de cohomologie des sous-variétés complexes de X. Dans un premier temps, pour la partie géométrique, nous allons parler de variété algébrique projective complexe avec leur topologie et leur faisceaux des fonctions régulières. De plus, nous allons évoquer le caractère non-singulier d’une variété algébrique avec la dimension de l’espace tangent de Zariski et pour terminer cette partie nous allons parler des formes différentielles des variétés algébriques. Puis dans une deuxième partie, pour la partie topologique, nous allons faire une introduction exprès à l’algèbre homologique, suivie de l’homologie singulière, enchaînée par la cohomologie singulière, s’en suit la cohomologie de De Rham, par la suite, le théorème de De Rham, théorème liant ces deux dernière théories cohomologiques, le tout se poursuivant par la cohomologie de Dolbeault, ensuite la décomposition de Hodge et finalement les classes de Hodge. Comme les listes précédentes l’indiquent, cela paraît optimiste à être fait en 45 – 50 minutes et en cela, certaines parties risquent d’être sautées ou bien grossièrement raccourcie.

Séminaire de probabilités et statistiques
We consider a renewal process which models a cumulative shock model that fails when the accumulation of shocks up-crosses a certain threshold. The ratio limit properties of the probabilities of non-failure after n cumulative shocks are studied. We establish that the ratio of survival probabilities converges to the probability that the renewal epoch equals zero. This limit holds for any renewal process, subject only to mild regularity conditions on the individual shock random variable. Precision on the rates of convergence are provided depending on the support structure and the regularity of the distribution. Arguments are provided to highlight the coherence between this new results and the well known Theory of Large Deviation.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Le degré de la distance euclidienne d'une variété algébrique X est le nombre de points critiques de la fonction de distance à partir d'un point général extérieur à X. Cette définition, conçue pour les variétés algébriques réelles dans le but de mesurer la complexité algébrique des solutions de plusieurs problèmes d'optimisation, a été adaptée et développée pour les variétés affines et projectives complexes. Dans cet exposé, je discuterai des résultats récents impliquant plusieurs constructions topologiques et géométriques classiques de la géométrie algébrique complexe.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques

Séminaire de probabilités et statistiques
During an epidemic outbreak, decision makers crucially need accurate and robust tools to monitor the pathogen propagation. The effective reproduction number, defined as the expected number of secondary infections stemming from one contaminated individual, is a state-of-the-art indicator quantifying the epidemic intensity. Numerous estimators have been developed to precisely track the reproduction number temporal evolution. Yet, COVID-19 pandemic surveillance raised unprecedented challenges due to the poor quality of worldwide reported infection counts. When monitoring the epidemic in different territories simultaneously, leveraging the spatial structure of data significantly enhances both the accuracy and robustness of reproduction number estimates. However, this requires a good estimate of the spatial structure. To tackle this major limitation, the present work proposes a joint estimator of the reproduction number and connectivity structure. The procedure is assessed through intensive numerical simulations on carefully designed synthetic data and illustrated on real COVID-19 spatiotemporal infection counts. Joint work with Barbara Pascal.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Le but de cet exposé est de donner une nouvelle formule cinématique principale pour les fermés définissables, qui est un équivalent global d'une formule similaire pour les germes de fermés définissables démontrée par N. Dutertre. Après avoir introduit les invariants de Lipschitz-Killing asymptotiques et les invariants polaires globaux, qui sont les quantités intervenant dans la formule cinématique principale globale, on esquissera les étapes de démonstration de cette formule.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
(Work in progress, joint with Alexey Elagin and Evgeny Shinder.) There is a conjecture by Kontsevich stating that there should exist canonical semi-orthogonal decompositions of varieties, well-defined up to mutations. We propose an answer for G-surfaces, where we interpret "canonical" as "compatible with (birational) geometry". We conjecture that our decompositions correspond to the quantum cohomology decomposition into Hodge atoms, introduced in a recent work by Katzarkov-Kontsevich-Pantev-Yu, which is why we call them atomic decompositions. In this talk, del Pezzo surfaces will play an important role, and no familiarity with derived categories is assumed.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Quand X est une variété complexe projective lisse, de dimension d, l'i-ème itéré du cup-produit avec une section hyperplane induit un isomorphisme entre les espaces de cohomologie singulière H^(d-i)(X) et H^(d+i)(X). La conjecture standard de type Lefschetz pour X, formulée par Grothendieck dans les années 60 et encore largement ouverte, prédit que les inverses de ces isomorphismes devraient être induits par des cycles algébriques sur X \times X. Dans cet exposé, après une introduction à ces idées, je parlerai d'un travail en collaboration avec Ancona, Laterveer et Saccà, dans lesquels nous démontrons la conjecture pour certaines variétés hyperkähleriennes munies d'une fibration lagrangienne.