Analyse Probabilités et Statistique

Publié le 12 octobre 2023

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Soit C une courbe algébrique réelle. Un morphisme C -> P^1 est séparant si la préimage des points réels de P^1 est exactement la partie réelle de C. Le degré d'un tel morphisme est nécessairement supérieur au nombre de composantes de la partie réelle de C. Mais existe-t-il des morphismes séparants de degré égal au nombre de composantes ? Dans cet exposé on présentera une obstruction à l'existence de morphismes séparants de petit degré. Il s'agit d'un travail en cours avec A. Demory et A. Toussaint, basé sur des idées de M. Manzaroli.

Séminaire 2PMA
TBA

Séminaire des doctorant.es
L'objectif de cet exposé est de définir les notions d’hyperbolicité et d'orbifoldes (au sens non-classique), afin de comprendre quelques propriétés de finitude pour les applications holomorphes entre variétés hyperboliques. Nous introduirons tout d’abord la distance de Poincaré, puis nous verrons comment la pseudo-distance de Kobayashi peut être vue comme une généralisation de cette première. Cela nous permettra ainsi de parler de variétés hyperboliques. Je donnerai ensuite quelques définitions pour les structures orbifoldes, au sens classique et au sens non classique (sens de Campana). J’utiliserai ces notions pour énoncer le théorème de De Franchis, et quelques généralisations de ce résultat en dimension supérieure ou en utilisant les notions orbifoldes.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques

Séminaire de probabilités et statistiques
The current surge in data has led to a significant increase in the size of networks used to model relationships between different objects represented as nodes. Therefore, summarizing network information is a crucial task that can be conducted using node clustering methods. Additionally, to ensure interpretable results, it is essential to employ relevant visualisation techniques to depict the network. To tackle both issues, we propose a new methodology called the deep latent position block model (Deep LPBM). This simultaneously provides a network visualisation coherent with block modelling, allowing a clustering more general than community detection methods, as well as a continuous representation of nodes in a latent space given by partial membership vectors. Deep LPBM is based on a variational autoencoder strategy, relying on a graph convolutional network, with a specifically designed decoder. The inference involves the construction of an approximation of the marginal likelihood of Deep LPBM through the expected lower bound (ELBO). A gradient-descent algorithm based on Monte-Carlo approximations is used to optimize the ELBO with respect to its parameters. To select the number of clusters, we compare three model selection criteria. A node clustering benchmark comprising positional community detection as well as model methods is conducted. We also compare the quality of Deep LPBM node partial membership estimation with other methodologies. We conclude with an analysis of the French political blogosphere network and a comparison with another methodology to illustrate the novelty provided by Deep LPBM results.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Les variétés d’Inoue-Bombieri généralisées (GIB) ont été introduites au cours d’un travail commun avec Abdelghani Zeghib. Elles proposent un point de vue alternatif pour l’étude d’une autre classe de variétés, appelées variétés LCP (pour localement conformément produit), qui avaient émergé lors de l’analyse des structures de Weyl fermées non-exactes sur les variétés compactes. Une variété GIB est un quotient compact d’un produit Riemannien $\mathbb{R}^q \times (N,g_N)$ par un sous-groupe discret de $Sim(\mathbb{R}^q) \times Isom(N,g_N)$. Ces variétés admettent une fibration en tores canonique, dont la monodromie est un sous-groupe de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$. Nous nous intéresserons dans un premier temps à l’étude de ce groupe de monodromie, puis nous nous attarderons sur le cas où $(N,g_N)$ est un espace symétrique non compact. Dans cette dernière situation, le groupe de monodromie peut être explicité, et ceci conduit à certaines obstructions à l’existence de structures GIB.

Séminaire de probabilités et statistiques
In this talk, we address the stability problem of the famous Brascamp-Lieb inequality for strictly log-concave probability measures on the Euclidean space. More precisely, if a given function almost satisfies the equality in the BL inequality, is it true that it is close in some sense to the underlying extremal functions? Using a spectral interpretation of the BL inequality, we prove that the distance to the extremal functions in quadratic norm is of order square root of the deficit parameter, and involves the second positive eigenvalue of a convenient diffusion operator we wish to estimate. Our results are illustrated by some examples for which the usual uniform convexity assumption on the potential is relaxed. This is a joint work with M. Bonnefont (Institut de Mathématiques de Bordeaux) and J. Serres (Sorbonne Université).

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaire 2PMA
TBA

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Les polynômes de Kazhdan-Lusztig-Stanley des matroïdes sont des invariants numériques récemment introduits, qui encodent des quantités intéressantes associées aux matroïdes. On rappellera leur définition ainsi que le parallèle avec les polynômes de Kazhdan-Lusztig plus classiques associés aux groupes de Coxeter. On verra ensuite comment la théorie des structures de type opéradique peut donner un cadre théorique naturel pour étudier ces polynômes, et en particulier mener à une nouvelle preuve de la positivité de leurs coefficients.

Séminaire des doctorant.es
La notion de fonction harmonique est intimement reliée au mouvement Brownien, objet central de la théorie des probabilités. La recherche de ces fonctions constitue une question majeure, notamment en physique. La théorie de la frontière de Martin, à cheval entre analyse et probabilités, parvient à donner une représentation des fonctions harmoniques positives. Dans cet exposé, nous introduirons le lien entre probabilités et analyse, notamment avec la propriété de la moyenne. Nous développerons également les objets nécessaires à l'énoncé du théorème de représentation (fonctions de Green, noyau de Martin) et donnerons des exemples de frontière de Martin pour des processus simples.

Séminaire de probabilités et statistiques
Conformal Prediction is a principled framework for quantifying uncertainty in blackbox learning models, by constructing prediction sets with finite-sample coverage guarantees. We introduce a novel procedure for multi-output settings, through the lens of optimal transport. Specifically, we replace univariate quantiles by Monge-Kantorovich vector quantiles to construct prediction regions with flexible shapes better suited to multivariate learning tasks. We prove that our approach ensures finite-sample, distribution-free coverage properties, similar to typical methods. We then apply our method for multi-output regression and multiclass classification. In the regression case, we use multivariate quantile regression to generate prediction regions adaptive to the inputs with asymptotic conditional coverage guarantees. Finally, we evaluate our method on practical regression and classification problems, illustrating its advantages in terms of (conditional) coverage or efficiency.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Les W-algèbres affines forment une famille d'algèbres vertex. Elles sont indexées par les orbites nilpotentes des algèbres de Lie simple. En types classiques, elles sont donc indexées par des partitions d'entiers. Ces algèbres vertex quantifient des variétés de Poisson bien connues en théorie de Lie, les tranches de Slodowy. Dans les années 80, Kraft et Procesi ont mis au jour des relations entre différentes tranches de Slodowy. Ces liens se détectent par une règle combinatoire très simple sur les partitions correspondantes. Dans mon exposé, je vais expliquer comment leur travail peut être réinterprété en utilisant des techniques de réduction hamiltonienne. En quantifiant ces réductions, ont peut alors démontrer un analogue de la règle de Kraft et Procesi pour les W-algèbres.

Séminaire des doctorant.es
Matter, and more specifically molecules, are constantly moving... However, a mathematical model can explain this movement, which is both ordered and chaotic: the Langevin equation. So let $\Omega \subset \R^d$ be a bounded smooth domain and $b : \Omega \rightarrow \R^d$ be a smooth vector field. We focus on the associated overdamped Langevin equation: $$ \dot{X_t} = b(X_t) + \sqrt{h} \dot{B_t} $$ in the low temperature regime $h \rightarrow 0$ and in the case where $b$ admits the decomposition $b = - \nabla f - \ell$ with $\nabla f \cdot \ell = 0$ on $\overline{\Omega}$. To study this equation, we analyse the spectrum of the infinitesimal generator of the dynamics: $$ L_h = - \frac{h}{2} \Delta + \nabla f \cdot \nabla + \ell \cdot \nabla $$ with Neumann boundary conditions. In this case, moving particles remain trapped inside the domain. More precisely the process remains trapped, for some time, in a certain region of the domain before going to another area. These regions are called metastable and correspond to neighborhoods of minima of $f$. Finally, thanks to the spectral theory of $L_h$, we can describe the return to equilibrium of this metastable dynamics.

Séminaire 2PMA
The symmetric simple exclusion process (SEP) is a minimal model yet paradigmatic model of transport in narrow channels. The distributions of different quantities, like the integrated current or the displacement of a tagged particle, have been determined explicitly relying on tools from integrable probabilities. In particular, a tagged particle displays a subdiffusive behaviour, due to the hardcore interactions with the other particles. To quantify this effect, in this talk, we study the correlations between the displacement of a particle and the density of surrounding particle. Although this is a many-body system, we show that these correlations obey at large scales a surprisingly simple closed equation, from which all previous results are easily recovered. Additionally, this equation quantifies the coupling and the spatial response of the system to the displacement of a tagged particle. These results can be extended to other systems and other observables.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Marie-Hélène Schwartz est l'une des 72 femmes scientifiques françaises récemment proposées pour que leur nom soit inscrit sur la tour Eiffel. Voir: https://figurespubliques.fr/region/paris-72-noms-de-femmes-scientifiques-bientot-graves-sur-la-tour-eiffel/ L'un de ses travaux phares est la définition de classes caractéristiques pour les variétés analytiques complexes singulières, bien avant que Grothendieck ne conjecture l'existence d'une transformation fonctorielle permettant de définir de telles classes. La construction de Marie-Hélène Schwartz est assez technique, utilisant les stratifications de Whitney de découverte récente à ce moment là (1965). Avec Thuy Nguyen Thi Bich et Tadeusz Mostowski, nous montrons comment cette construction est simplifiée, utilisant les stratifications Lipschitziennes. La conférence sera du style colloquium, accessible à toutes et tous.

Séminaire de probabilités et statistiques
Ce séminaire explore le comportement universel des systèmes de particules en interaction unidimensionnels avec plusieurs quantités conservées, à travers la théorie de l'hydrodynamique fluctuante non linéaire (NLFHT). On commence par le processus d'exclusion simple (SEP) et sa transition d'un comportement diffusif à un comportement non-linéaire KPZ. On développera ensuite la NLFH comme un cadre systématique pour l'étude des systèmes avec nombreuses quantités conservées, en dérivant les équations de couplage de modes et en expliquant leur signification physique. Une classification complète des classes d'universalité pour deux quantités conservées est présentée, suivie d'une application détaillée au modèle ABC.

Séminaire des doctorant.es
Les groupes engendrés par les réflexions d'un espace sont des objets très naturels à étudier. Le cas du plan euclidien est très simple, mais nous aidera à construire une intuition pour la suite. Je présenterais ensuite le modèle "hyperboloïde" de l'espace hyperbolique. Je donnerai la classification des isométries de l'espace hyperbolique: elles peuvent toutes être obtenues comme composition de réflexions. On s'intéressera plus particulièrement aux éléments loxodromiques et à leurs valeurs propres. Suivant le temps restant et le public présent, je dirai en quoi les groupes de réflexions d'espaces hyperbolique sont un outil fondamental pour l'étude du groupe des biholomorphismes d'une surface complexe compact Kähler.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Motivated by the study of nonnegative polynomials, we study effective totally real divisors on a curve X defined over a real closed field, i.e., effective divisors supported on the real locus. Scheiderer proved that, for smooth curves over the real numbers with nonempty real locus, each divisor of sufficiently high degree is linearly equivalent to an effective totally real one. The smallest degree N(X) with this property is called the totally real divisor threshold. When the field is non-Archimedean, we obtain a classification of topological types of smooth curves for which N(X) can be infinite. As a consequence, for curves over the real numbers, we prove that N(X) cannot be bounded from above only in terms of the topological type, unless the real locus has many connected components. We complement this qualitative result with a quantitative lower bound for N(X), depending on metric properties of the Jacobian and the curve in the Bergman metric. Based on the joint work https://www.arxiv.org/abs/2509.07544 with M. Kummer and D. Plaumann.

FERMANIAN Clotilde

AVERSENG Martin

PHAM Thi Da Cam

BALLU Théo

STUPFLER Gilles

OCCELLI Alessandra