Résumés des mini-cours

• A. Chambert-Loir : Quelques applications de la cohomologie $p$-adique
  Le mini-cours sera consacré à quelques applications géométriques ou arithmétiques des cohomologies $p$-adiques pour les variétés algébriques en caractéristique~$p$. Je présenterai notamment la démonstration récente par H. Esnault d'une conjecture de Lang et Manin selon laquelle une variété algébrique sur un corps fini, qui est lisse, géométriquement connexe et de Fano, a un point rationnel. Cet énoncé est un analogue d'un résultat à peine moins récent de Graber, Harris et Starr où le corps fini est remplacé par le corps des fonctions d'une courbe définie un corps algébriquement clos. J'essaierai aussi de décrire d'autres résultats plus anciens par exemple, ceux de Nygaard et Ekedahl concernant le groupe fondamental des variétés unirationnelles (en caractéristique positive). Bien entendu, je présenterai au préalable les diverses théories cohomologies $p$-adiques utilisées et leurs propriétés.
  
  
• J.-L. Colliot-Thélène : Variétés rationnellement connexes sur les corps finis et les corps locaux
  J. Kollár a observé que les techniques de déformation utilisées dans l'étude des variétés rationnellement connexes définies sur un corps algébriquement clos donnent des informations sur de telles variétés lorsqu'elles sont définies sur un corps local : répartition des points rationnels en classes pour la R-équivalence, étude des revêtements non ramifiés de ces variétés. Dans un travail récent avec E. Szabó, il étudie ces variétés lorsqu'elles ont bonne réduction; un résultat frappant est qu'alors le groupe de Chow des zéro-cycles de degré zéro est nul. Le mini-cours couvrira l'ensemble de ces résultats.
  
  
• M. Mustata : Multiplier ideals
  This mini-course will give an introduction to the algebraic theory of multiplier ideals. The first part of the course will be devoted to the definition, basic examples and main properties of multiplier ideals. In the second part we will cover some of the recent applications of the theory, both in the local and in the global context.
  Here is a list of possible topics to cover:
  
  • Part 1: Definition, examples and basic properties.
    • Definition of various types of multiplier ideals.
    • Multiplier ideals of monomial ideals.
    • Multiplier ideals and vanishing theorems: the Local Vanishing Theorem and the Nadel vanishing theorem. Here we will give the statements and make the comparison with the classical Kawamata-Viehweg vanishing theorem. If time permits, we will give some applications.
    • The Restriction Theorem of Esnault-Viehweg and the Subadditivity Theorem of Demailly-Ein-Lazarsfeld.
  • Part 2: Applications.
    • Algebraic applications: symbolic powers and Uniform Artin-Rees Theorem (work of Ein-Lazarsfeld-Smith).
    • Geometric applications: study of linear systems.
  All of the material in Part 1, as well as some of the material in Part 2 can be found in the last chapter of ``Positivity in Algebraic Geometry'', a book in preparation by Robert Lazarsfeld, available at www.math.lsa.umich.edu/~rlaz.
  
  
• E. Peyre : Les points de hauteur bornée entre arithmétique et géométrie
  Si $V$ est une variété définie sur un corps de nombres dont les points rationnels sont denses pour la topologie de Zariski, il est naturel de munir $V$ de hauteurs et d'étudier de manière asymptotique les points de hauteur bornée. Manin et ses collaborateurs ont proposé vers 1989 une interpretation géométrique de ce comportement asymptotique dans lequel le faisceau canonique et le cône des diviseurs effectifs jouent un rôle central. Les travaux plus récents de Batyrev et Tschinkel ont mis également en évidence un lien entre les fibrations arithmétiques apparaissant dans cette étude asymptotique et des fibrations géométriques issues du programme du modèle minimal. Le but de ces exposés est de présenter ces liens en les illustrant avec quelques exemples.
  
  
• F.O. Schreyer : Syzygies of Curves
  A famous conjecture of Mark Green relates the range of non-zero syzygies of canonincal curves to the Clifford index of the curve. For example the ideal is generated by quadrics iff the curve is neither trigonal nor isomorphic to a plane quintic (Petri's theorem.) Moreover the first syzygies among the quadrics are generated by linear syzygies iff the curve is neither 4-gonal nor a plane sextic (Voisin, Schreyer). A recent celebrated result of Claire Voisin proves this Conjecture for generic curves of given gonality and genus, except for generic curves of odd genus. The Conjecture is known to be subtle because it fails for curve genus g over a field of positive characteristic p for certain pairs g and p, e.g. (g,p)=(7,2),(9,3) etc. A consequence of the conjecture is that the Clifford index of a curve is constant in a linear series of K3 surfaces, a fact which was proven by Green and Lazarsfeld independently of the Conjecture. Other evidence gives a generalization of the Conjecture by Green and Lazarsfeld, which they prove in special cases. In the minicourse I plan to arrive at the proof of Voisin's Theorem, covering also related material in the process.
  As a first reading I recommend
  Lazarsfeld, Robert A sampling of vector bundle techniques in the study of linear series. Cornalba, M. (ed.) et al., Proceedings of the first college on Riemann surfaces held in Trieste, Italy, November 9-December 18, 1987. Teaneck, NJ: World Scientific Publishing Co. 500-559 (1989)
  Green, Mark L. Koszul cohomology and the geometry of projective varieties. Appendix: The nonvanishing of certain Koszul cohomology groups (by Mark Green and Robert Lazarsfeld). J. Differ. Geom. 19, 125-167; 168-171 (1984)
  Paranjape, Kapil; Ramanan, S. On the canonical ring of a curve. Algebraic geometry and commutative algebra, in Honor of Masayoshi Nagata, Vol. II, 503-516 (1988). More references

Résumés des exposés de l'après-midi

• M. Aprodu : Sur l'annulation de la cohomologie de Koszul des courbes algébriques
  Il s'agit d'un travail autour d'une conjecture de Green et Lazarsfeld. Etant donnée une courbe complexe, lisse et projective $X$, on montre que le plus petit nombre $q$ pour lequel un fibr\'e en droites $L$ sur $X$ ne satisfait pas á la condition $(M_q)$, ne d\'epend plus de $L$, d\`es que le degré de $L$ devient assez grand. Par cons\'equent, cet entier est un invariant de la courbe. L'essentiel dans l'énoncé de la conjecture est alors de montrer qu'il ne s'agit pas d'un invariant nouveau, mais qu'il est toujours égal á la gonalité de $X$. On y arrive en utilisant quelques propriétés de la fl\`eche de projection de syzygies. Ensuite, on vérifie la conjecture pour certaines courbes, dont les courbes génériques de gonalité $k$ et genre $g$, avec $g>(k-1)(k-2)$. En faisant appel au résultat énoncé ci-dessus on peut montrer que la fameuse conjecture de Green est vraie pour les courbes génériques de gonalité $k$ et genre $g$, o\`u $g\geq k(k-1)/2$. Ceci améliore un résultat d\^u á Schreyer, cependant il est bien plus faible que les meilleurs résultats connus jusqu'á présent sur ce sujet. Je finirai par divaguer un peu sur la possibilité d'y avoir une relation générale entre les deux conjectures.
  
  
• H-C. von Bothmer : Geometric Syzygies of Elliptic Curves'' (joint work with Klaus Hulek)
  The linear syzygies of minimal rank in the minimal free resolution of a variety $X \subset \P^n$ often have geometric interpretations. There is for example a close connection between pencils of divisors on $X$, Scrolls that contain $X$ and $p$-th syzygies of rank $p+2$ discovered by Green and Lazarsfeld. In this talk we describe the spaces of geometric syzygies of an elliptic curve and show that they are nondegenerate, i.e. that every syzygy can be written as a sum of geometric ones. This is the so called Geometric Syzygy Conjecture for ellptic curves. As a corrolary we also obtain the geometric syzygy conjecture for bi-elliptic canonical curves.
  
  
• S. Druel :Singularités symplectiques.
  Soit $(V,o)$ une singularité symplectique isolée de dimension au moins 6 et soit $p : X\to V$ l'éclatement normalisé de $o$ dans $V$. On suppose que le diviseur $p^{-1}(o)$ est réduit, globalement á croisements normaux et qu'il a au moins deux composantes irréductibles. Je montre que $(V,o)$ est alors analytiquement isomorphe au quotient de l'espace affine par le groupe cyclique d'ordre $3$ pour une action convenable de celui-ci.
  
  
• B. Fu : Résolutions symplectique pour les orbites nilpotentes.
  Soit ${\bf g}$ une alg\`ebre de Lie complexe semi-simple et $\cal{O}$ une orbite nilpotente dans ${\bf g}$. Rappelons qu'il exists une forme (dite de Kostant-Kirillov) symplectique holomorphe $\omega$ sur $\cal{O}$. Il a ete remarqué par Panyushev que pour toute resolution $f: X \rightarrow \overline{\cal{O}}$, la forme remontée $f^*(\omega)$ s'étend en une 2-forme $\Omega$ sur $X$ tout entier. Quand $\Omega$ est aussi symplectique, on appelera $f$ une resolution symplectique. Dans cet exposé, j'expliquerai pour quelles orbites $\cal{O}$, la variété $\overline{\cal{O}}$ admette une resolution symplectique.
  
  
• B. Kahn : Motifs birationnels.
  
  • Rappels sur les motifs purs et triangulés:
    • Motifs de Chow, homologiques et numériques; théorème de semi-simplicité de Jannsen.
    • Motifs triangulés de Voevodsky: motifs géométriques et complexes motiviques; cohomologie motivique.
  • Motifs birationnels:
    • Motifs de Chow birationnels; application au nombre de points modulo q sur F_q.
    • Motifs birationnels triangulés.
  
  
  
• C. Maclean : Intersections localement et globalement completes.
  Nous demontrons que toute variete localement intersection complete possede un voisinage formal dans lequel c'est globalement une intersection complete.
  
  
• C. Mourougane : Calcul des formes de Bott-Chern sur $\P (E)$.
  La classe de Chern totale est multiplicative dans les suites exactes courtes de fibrés vectoriels. Mais la forme de Chern totale n'est pas multiplicative dans les suites exactes courtes de fibrés vectoriels hermitiens m{\^e}me si on considère les métriques induite et quotient. Ce défaut est mesuré par les formes de Bott-Chern. Mon but est de les calculer dans la situation suivante. Soit $X$ une variété projective lisse sur $\C$ et $E\to X$ un fibré vectoriel holomorphe sur $X$. On considère $\pi :\P(E)\to X$, la variété des hyperplans de $E$. La différentielle de l'application quotient $E^\star-X\times \{0\}\to \P (E)$ sur $X$ donne lieu á la suite exacte d'Euler relative~: $$0\to \cO _E(-1)\to\pi^\star E^\star\to T\to 0$$ o{\`u} $T$ est le fibré tangent relatif $T_{ \P(E)/X}\otimes \cO_E(-1)$. Le choix d'une métrique hermitienne sur $E$ permet de munir tous les autres fibrés de la suite d'une métrique hermitienne naturelle et donc de définir des formes de Chern. Le cas absolu a été traité par Gillet et Soulé dans {\it Characteristic classes for algebraic vector bundles with Hermitian metric. {I} et {II}}, {Ann. of Math. (2)} {131} (1990) {1}, {163--203} et {205--238}. Ces formes de Bott-Chern interviennent dans le calcul de la courbure des métriques de Quillen des fibrés déterminants d'image directe par $\pi$ et dans les relations entre formes de Chern et formes de Segre.
  
  
• A. Tchoujdem : Cohomologie des fibrés en droites sur les compactifications des groupes réductifs.
  Soit G un groupe algébrique réductif connexe sur C. Une << compactification >> de G est une variété algébrique normale qui contient G comme ouvert et où l'action, par multiplication à gauche et à droite, de G x G sur G se prolonge.
  Les fibrés en droites sur une telle variété X sont tous G'xG'-linéarisables, pour un certain groupe G' dont G est une image. On détermine alors tous les groupes de cohomologie des fibrés en droites sur X en tant que représentations de G' x G'.
  
  
• B. Toen : DG-structures en géométrie algébrique.
  Je parlerai de la notion de ``DG-schémas'' de Kontsevich, Kapranov et Ciocan-Fontanine. Je montrerai en particulier en quoi ils sont utiles pour les probl\`emes d'intersection et de plus généralement pour la construction ``d'espace de modules dérivés''. Si le temps le permet, je presenterai une nouvelle approche du sujet qui permet d'adopter un point de vue fonctoriel.
  
  
• Joerg Winkelmann : Sur les courbes entieres dans les varieties abeliennes (math.AG/0207139, en collaboration avec Junjiro NOGUCHI).
  A uniform bound of intersection multiplicities of curves and divisors on abelian varieties is proved by algebraic geometric methods. It extends and improves a result obtained by A. Buium with a different method based on Kolchin's differential algebra. The problem is modeled after the ``$abc$-Conjecture'' of Masser-Oesterlé for abelian varieties over the function field of a curve. As an application a finiteness theorem will be proved for maps from a curve into an abelian variety omitting an ample divisor.