De la triangulation p-adique aux algèbres de Heyting, et vice-versa

par L. Darnière

Thèse d'habilitation à diriger des recherches (HDR)

Soutenue le 25/11/2019

Résumé

La recherche présentée ici s'est développée dans un va-et-vient entre deux domaines assez éloignés en apparence : la géométrie p-adique et la théorie des algèbres de Heyting.
Dans le premier, je me suis intéressé d’une part aux variantes p-adiques de la o-minimalité (j’ai par exemple démontré différents résultats de topologie modérées sur les structures P-minimales) et d’autre part à la topologie des ensembles semi-algébriques, avec comme résultat central le fait que tout ensemble semi-algébrique p-adique est semi-algébriquement homéomorphe à un complexe simplicial p-adique.
Dans le second domaine, je me suis d’abord intéressé à des treillis issus de la géométrie, comme le treillis L(Kⁿ) des fermés semi-algébriques sur un corps K algébriquement clos, réel clos ou p-adiquement clos. J’ai par exemple montré que dans le cas p-adiquement clos, contrairement aux cas réels et algébriquement clos, L(Kⁿ) avait une théorie complète décidable. Par ailleurs j’ai étudié avec Markus Junker les algèbres de Heyting libres de type fini, et montré que nombre de propriétés des algèbres de Heyting de présentation finies se généralisaient aux algèbres de Heyting précompactes. Enfin j’ai obtenu une axiomatisation des modèle- complétions de chacune des 8 variétés d’algèbres de Heyting ayant la propriété d’amalgamation.
À mi-chemin entre les deux, je me suis intéressé avec Marcus Tressl à la théorie de l'anneau C(V)des fonctions continues définissables sur un ensemble semi-algébrique V défini sur un corps ordonné ou valué K, muni d'une structure dp-minimale. Nous montrons en particulier que l'on peut déceler dans la théorie de cet anneau si le corps sous-jacent est archimédien (dans le cas ordonné) ou si son groupe des valeurs est archimédien (dans le cas valué).

Mathematics Subject Classification

12J12 Formally p-adic fields
12J10 Valued fields
51H20 Topological geometries on manifolds [See also 57-XX]
57N80 Stratifications
03C10 Quantifier elimination, model completeness and related topics
06D20 Heyting algebras [See also 03G25]
03C64 Model theory of ordered structures; o-minimality
12L05 Decidability [See also 03B25]

Documents

Résumé détaillé (2 pages) pdf

Mémoire de thèse d'habilitation (55 pages) pdf

Notes de la soutenance : beamer | article