Probabilités

Espaces probabilisés Lois de probabilité sur un univers fini ou dénombrable, lois classiques. Axiomatique de Kolmogorov : tribus, mesures de probabilité, propriétés de continuité, premier lemme de Borel-Cantelli.

Mesures de probabilité sur \(\mathbb{R}\), fonction de répartition, mesures à densité

Variables et vecteurs aléatoires ; rappels de mesurabilité, opérations sur les vecteurs aléatoires. Lois des vecteurs aléatoires, fonction de répartition, densité, lois marginales, calcul de la loi d’une transformée déterministe d’un vecteur aléatoire

Probabilité conditionnelle et indépendance Probabilité conditionnelle, formule de Bayes. Événements indépendants, second lemme de Borel-Cantelli. Variables aléatoires indépendantes, critère d’indépendance des coordonnées d’un vecteur à densité

Espérance, variance et autres moments. Rappels d’intégration : propriétés de l’intégrale, principaux théorèmes de passage à la limite.

Espérance, théorème de transfert, espérance d’un produit de v.a. indépendantes

Variance, espace \(L^2\) : inégalité de Cauchy-Schwarz, covariance, variance d’une somme de variables aléatoires

Fonction caractéristique : injectivité, fonctions caractéristiques des lois classiques, application au calcul des moments. Indépendance et fonction caractéristique, application au calcul de lois de sommes de variables aléatoires indépendantes

Loi des grands nombres, inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Chebychev

Loi faible des grands nombres, première approche des intervalles de confiance, convergence en probabilité, convergence presque sûre, critères de convergence presque sûre, lien avec la convergence en probabilité, loi forte des grands nombres