Responsable : Nicolas Raymond
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Dans cet exposé, nous étudions la théorie spectrale d'une famille d'opérateurs hypoelliptiques, les Laplaciens de contact. Nous établissons une une loi de Weyl, une forme normale avec des paramètres appelés fréquences, et nous étudions les Laplaciens de contact définis à partir de métriques de Sasaki. Puis, nous prouvons un résultat de structure sur les limites quantiques des Laplaciens de contact, et enfin nous expliquons comment ce résultat pourrait être utilisé pour prouver un théorème d'ergodicité quantique.
Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique de Langevin sur-amortie $ d X_t = -U(X_t) dt + \sqrt{2h} d B_t $ dans la limite $ h\to 0 $ lorsque $U: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d $ est un champ vectoriel régulier tel que, pour une certaine fonction régulière $V:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, la dynamique est invariante par rapport à $ e^{-\frac Vh} $. Nous nous intéresserons plus précisément aux propriétés du bas spectre du générateur de la dynamique, c-à-d $ L = -h \Delta + U \cdot \nabla $, et à leurs liens avec le comportement en temps long de la dynamique dans le régime $h\to 0$. En particulier, lorsque la fonction $V$ est une fonction de Morse admettant $n$ minima locaux, nous montrerons que pour un certain $ \epsilon > 0$, le spectre de $L$ inclus dans la bande $0 \leq \{\mathop{Re}(z) < \epsilon\}$ consiste en $n$ valeurs propres exponentiellement petites. Enfin, sous des hypothèses génériques sur les barrières de potentiel de la fonction $V$, nous montrerons que ces petites valeurs propres satisfont des formules de type Eyring-Kramers. Cela généralise des résultats antérieurs obtenus par de nombreux auteurs dans le cas réversible, i.e. lorsque $U$ est de la forme $ U=\nabla V $.
Les relations entre la géométrie et le spectre du Laplacien magnétique ont fait l'objet de nombreux développements dans les vingt dernières années. Depuis les travaux initiaux de Helffer et Morame sur la plus petite valeur propre dans la limite semi-classique, des progrès ont été faits en établissant la simplicité asymptotique des premières valeurs propres dans des conditions génériques. Récemment, une description BKW formelle des fonctions propres magnétiques a même pu être obtenue. L'objet de cet exposé est de produire une formule d'effet tunnel purement magnétique. On se placera en dimension deux et on supposera une symétrie axiale d'un domaine générique dont le bord porte les conditions de Neumann magnétiques. On exhibera une formule asymptotique explicite de la différence des deux premières valeurs propres. Il s'agit de la première formule de cette nature dans le cas du Laplacien magnétique.
On se propose d'étudier le bas du spectre de l'opérateur de Schrodinger magnétique L = (ihd + A)^2 lorsque le paramètre semiclassique h tend vers 0, en dimension paire. Sous des hypothèses de non dégénérescence et de non résonance du champ magnétique, les propriétés de microlocalisation des fonctions propres de L permettent de construire une forme normale. L est alors unitairement conjugué à un opérateur pseudo-différentiel N qui commute avec des oscillateurs harmoniques, ce qui rend son spectre facile à décrire.
