Archives du séminaire de physique mathématique et topologie algébrique

The Joker is a famous very singular example of an endotrivial module over the 8-dimension subHopf algebra of the mod 2 Steenrod algebra generated by Sq^1 and Sq^2. It is known that this can be realised as the cohomology of two distinct Spanier-Whitehead dual spectra. Similarly, the double and iterated double are also realisable, but then the process stops. In the chromatic world, the double versions give rise objects whose Morava K-theory at height 2 involve endotrivial modules over the quaternion group of order 8 which lives inside the corresponding Morava stabilizer group. This gives a somewhat surprising connection between endotriviality in two different contexts. I will explain how all this works and discuss some possible generalisations to higher chromatic heights.

Ce travail en commun avec Jörg Feldvoss (University of South Alabama) est unesuite de nos travaux sur la cohomologie des algèbres de Leibniz semi-simples. La difficulté est l'absence pour les algèbres de Leibniz d'une suite spectrale de type Hochschild-Serre. Nous arrivons tout de même à généraliser les théorèmes classiques (i.e. pour les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles) de Dixmier et Barnes. Pour les algèbres de Leibniz nilpotentes, nous montrons (si l'algèbre et le bimodule sont de dimension finie) un théorème d'évanescence de cohomologie (si le bimodule ne contient pas d'invariants) et un théorème de non-évanescence (si le bimodule contient des invariants). L'ingrédient principal est la décomposition de Fitting du bimodule.

En géométrie non-commutative dérivée, deux notions de structure de Poisson non-commutative homotopique coexistent : les structures pré-Calabi-Yau, définies comme des éléments de Maurer-Cartan d'une généralisation des champs de polyvecteurs non commutatifs ; et les structures double-Poisson infinies, définies comme la version à homotopie près des double-crochets de Poisson de Van den Bergh. Dans un récent travail en collaboration avec B. Vallette, nous démontrons qu'il y a correspondance de ces deux types de structures, généralisant ainsi des résultats de Iyudu-Kontsevich-Vlassopoulos et Hernandez-Herscovich. Cette correspondance nous permet notamment de définir une bonne notion de morphismes entre algèbres pré-Calabi-Yau. Après avoir introduit les deux notions, je présenterai la stratégie de preuve de cette correspondance, ainsi que les conséquences de celle-ci.

(Talk by Zoom.) The absolute Galois group of the field of rational numbers and the Grothendieck-Teichmueller (GT) group introduced by V. Drinfeld in 1990 are among the most mysterious objects in mathematics. My talk will be devoted to GT-shadows. These tantalizing objects may be thought of as "approximations" to elements of the mysterious Grothendieck-Teichmueller group. They form a groupoid and act on Grothendieck's child's drawings. If time permits, I will show how to work with the software package GT. Using this package, one can show that Galois orbits of several child's drawings coincide with the corresponding GT-orbits. My talk is based on paper arxiv.org/abs/2008.00066 (joint with Khanh Q. Le and Aidan A. Lorenz) and arxiv.org/abs/2106.06645 The software package can be downloaded from math.temple.edu/~vald/research.html

We present a few natural measures on partitions, plane partitions, and cylindric plane partitions. We show how extremal statistics of such measures (laws of the largest parts) interpolate—via a ’natural’ finite temperature parameter—between the Gumbel distribution of classical statistics of iid random variables and the Tracy–Widom GUE distribution of correlated systems (eigenvalues) from random matrix theory (RMT). Somewhat strikingly, we also obtain RMT hard-edge behavior (Bessel kernel and distribution) in some cases. Connections to models of directed last passage percolation are discussed throughout. The results are based on joint works with Jérémie Bouttier and Alessandra Occelli.

In this talk we will introduce last passage percolation (LPP) models with different geometries (half-space, stationary, infinite) and present a few results concerning their limit distributions (under appropriate scalings). For the half-space LPP we determine the limiting distribution of the stationary last passage time in a critical window close to the origin. The result is a new two-parameter family of distributions: one parameter for the strength of the diagonal bounding the half-space and the other for the distance of the point of observation from the origin. For the infinite-geometry LPP we explore its connections to Muttalib--Borodin plain partitions and we obtain an asymptotic transition between Gumbel and Tracy--Widom GUE fluctuations for the last passage time. Based on joint works with D. Betea and P. Ferrari.

Pour une variété torique, les invariants de Gromov--Witten cohomologiques comptent, dans certains cas, le nombre de courbes satisfaisant des conditions d'incidence dans la variété torique. D'un point de vue de la symétrie miroir, ces invariants sont encodés dans une série génératrice appelée la fonction J de Givental. Cette fonction J a deux candidats pour miroir : la fonction I de Givental et une certaine intégrale oscillante, qui permettent après suffisamment d'effort de calculer la fonction J. Un résultat dû à H. Iritani (publié en 2009) donne une relation entre ces deux miroirs. Dans cet exposé, on s'intéressera à la généralisation de ce résultat dans le cadre des invariants de Gromov--Witten K-théoriques. Les analogues des précédentes fonctions I et J de Givental sont connus, mais il existe plusieurs candidats qui devraient correspondre à l'intégrale oscillante. Pour certaines variétés toriques Fano, on expliquera comment obtenir une formule explicite reliant la fonction I K-théorique de Givental et un certain q-analogue de l'intégrale oscillante en cohomologie. Cette formule fera également apparaître un analogue K-théorique d'une classe caractéristique qui joue un rôle important en cohomologie quantique, appelée la classe gamma. Cet exposé est basé sur une collaboration avec Todor Milanov (arXiv:2108.08620).

Une méthode classique pour investiguer l'intégrabilité d'équations différentielles aux différences consiste à dévoiler leur formulation Hamiltonienne. Par exemple, il est parfois possible d'exprimer une équation différentielle sur un réseau de dimension 1 en terme d'une fonction Hamiltonienne et d'un crochet de Poisson défini par rapport aux sites du réseau. Récemment, il a été observé par De Sole, Kac, Valeri et Wakimoto que de telles algèbres de Poisson (locales) sur un réseau sont équivalentes aux algèbres vertex de Poisson multiplicatives. Ce point de vue a l'avantage de fournir une structure qui est facile à utiliser dans des travaux de classification. Après avoir rappelé cette construction, le but de cet exposé est d'introduire un analogue non-commutatif de cette correspondance, qui relie certaines algèbres de Poisson doubles (au sens de Van den Bergh) avec les algèbres vertex de Poisson multiplicatives doubles. Je compte ensuite décrire comment ces dernières structures peuvent être utilisées dans le contexte de la théorie des systèmes intégrables, où elles avaient déjà été introduites par Casati et Wang pour le cas d'une algèbre de polynômes non-commutatifs. Cette présentation se base sur un travail commun avec Daniele Valeri (arXiv:2110.03418).

Une partition de taille $n$ est une suite (finie) d'entiers positifs de somme $n$. La mesure de Plancherel sur l'ensemble des partitions de taille $n$ provient de la théorie des représentations du groupe symétrique. À chaque partition on peut associer son cœur : c'est une certaine sous-partition, intervenant notamment en théorie des représentations, qui peut être définie à partir de l'ensemble de descente de la partition initiale. Dans un travail récent, nous avons montré que, sous la mesure de Plancherel et après renormalisation, la taille du cœur converge en loi vers une somme de lois Gamma indépendantes avec des paramètres explicites. La preuve repose sur le fait que l'ensemble de descente d'une partition suit un processus déterminantal (Borodin-Okounkov-Olshanski). Nous utilisons ensuite un théorème central limite dû à Costin-Lebowitz et Soshnikov pour les processus déterminantaux.

This talk will be separated into three parts. In the first part, we will be interested in a geometric approach towards a family of second-order partial differential equations, the so-called Monge-Ampère equations, which arise, for example, in the context of Riemannian geometry, CR geometry, hydrodynamics, theoretical meteorology, Einstein gravity, etc. These equations exhibit a particular type of non-linearities, which enables one to describe them via differential forms on the first jet space, and study them with the help of contact and symplectic geometry. The second part of the talk will revolve around the (local) strong inverse variational problem. I will show that the geometric approach towards Monge-Ampère equations naturally leads to a necessary condition for the existence of a solution to the inverse problem. We will see how this can be applied to highly non-trivial PDEs arising in the context of general relativity. At the end of the second part, I will briefly describe a connection between Monge-Ampère equations and multisymplectic forms, and illustrate this on the aforementioned PDEs from relativity. The third part of the talk will be focused on the construction of generalized geometries from geometric structures associated with Monge-Ampère equations. The notion of generalized geometry can be understood as a unifying concept for complex and symplectic geometry. It was first considered by Hitchin in 2002. It is nowadays a very popular notion, particularly in the theoretical physics community, where various applications can be found, e.g. in gravity, supergravity, string field theory (alpha prime corrections of higher order actions), etc. This talk is a summary of my cotutelle research during 2020 - 2021 in Angers, with professor V. Rubtsov, and in Brno, Czechia, with professor J. Slovák. It will be in English and the estimated length is 60 minutes.

La formule de Giambelli est l'égalité entre la fonction de Schur indexée par une partition et le déterminant pris en les fonctions de Schur indexées par les crochets composant la partition. Borodin, Olshanski et Strahov définissent alors un processus ponctuel comme étant Giambelli compatible si la formule de Giambelli est stable par passage à la moyenne. Sous de bonnes conditions de convergence, cette propriété est équivalente à la validité d'une formule explicite permettant de calculer l'espérance d'un produit de rapports de polynômes caractéristiques en fonction du déterminant de l'espérance des rapports. D'après un résultat de Fyodorov et Strahov, cette formule est vérifiée pour les polynômes caractéristiques de matrices aléatoires G.U.E. ou C.U.E. Dans un travail en commun avec A. I. Bufetov (https://arxiv.org/abs/2111.05606), nous montrons que tous les processus déterminantaux sur R avec noyaux intégrables sont Giambelli compatibles et que de manière équivalente, leurs polynômes caractéristiques convenablement normalisés satisfont la formule de Fyodorov-Strahov. Ce résultat s'applique en particulier aux processus infinis tels que le sinus-processus, les processus d'Airy, de Bessel... Je présenterai ce résultat dans mon exposé, en détaillant les notions évoquées ci-dessus et en m'attardant particulièrement sur les aspects algébriques du problème, puis je donnerai des éléments de la preuve.

I will start by reviewing how the theory of random d-index tensors provides a natural framework for random geometry in d dimensions, in direct analogy with the random matrix approach to two-dimensional quantum gravity. However, in the continuum limit, the so-called branched polymer phase -- or continuous random tree -- has been identified as a strong attractor in d>2. With its spectral dimension of 4/3, this geometry is not suitable for quantum gravity. Finding a mechanism allowing to escape the branched polymer phase therefore remains a key challenge of this approach. Inspired by this problem, I will introduce a multi-matrix model which, in a suitable triple-scaling limit, is likewise dominated by branched polymers. I will then show that a simple combinatorial modification of the model (amounting to studying the three-edge-connected partition function instead of the connected one) leads to a completely different universality class: that of Liouville quantum gravity -- or, equivalently, the Brownian sphere. The second part of the talk will be based on arXiv:2003.02100.

L'étude des espaces stratifiés, et de leurs invariants, débute avec le théorème de Whitney, qui garantit que toute variété algébrique, réelle ou complexe, peut être décomposée en variétés lisses, satisfaisant des conditions de recollement. S'en est suivi de nombreuses généralisations d'invariants classiques au cas stratifié : la signature, la cohomologie d'intersection et la catégorie des chemins sortants par exemple. Ces nouveaux invariants n'étant compatible qu'avec les homotopies préservant la stratification, il s'impose alors de définir une théorie homotopique adapatée aux espaces stratifiés. Dans cet exposé, je présenterai deux approches, produisant deux théories de l'homotopie stratifiée a priori distinctes. A travers l'étude des entrelacs - des objets encodant les instructions de recollement entre strates - j'expliquerai pourquoi ces deux théories coïncident. L'exposé sera en parti basé sur des travaux en commun avec Lukas Waas (Université d'Heidelberg).

La récurrence topologique est une procédure permettant de définir des différentielles indexées par des entiers g, n, de manière récursive sur 2g+n, à partir d'une courbe spectrale. Développée par Chekhov, Eynard et Orantin, elle admet désormais des applications dans divers domaines mathématiques : pour certaines courbes spectrales, les différentielles construites ont des interprétations en termes de hiérarchies intégrables, de fonctions génératrices de modèles combinatoires, ou en géométrie énumérative. J'aborderai ces facettes de la procédure par l'entremise du modèle combinatoire des cartes ciliées. Après avoir montré que les fonctions génératrices de ces cartes satisfont la récurrence topologique, je présenterai comment, en spécialisant certains paramètres, nous faisons le lien avec la hiérarchie intégrable r-KdV et les nombres d'intersection de la classe de Witten sur l'espace des modules des courbes stables. Enfin, grâce à une autre spécialisation des paramètres, nous montrons que les cartes complètement simples satisfont la récurrence topologique et en quoi cela permet d'étudier l'invariance symplectique de la procédure. Exposé fondé sur des travaux en collaboration avec G. Borot, R. Belliard, N. Chidambaram, B. Eynard, E. Garcia-Failde et A. Giacchetto. arXiv:2105.08035 ; arXiv:2106.09002.

Le mouvement Brownien réfléchi de manière oblique dans des cônes bidimensionnels, introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 80, est un objet largement analysé dans la littérature probabiliste. L’étude de sa distribution stationnaire peut être effectuée grâce à une méthode analytique puissante développée initialement pour les marches aléatoires dans le quart de plan par Fayolle, Iasnogorodski et Malyshev dans les années 70. Dans le cas d’un cône convexe cette approche est basée sur une équation fonctionnelle qui relie les transformées de Laplace de la distribution stationnaire à l’intérieur du cône et sur les bords. Cette équation permet de déterminer un problème frontière de type Riemann-Hilbert satisfait par la transformée de Laplace. La résolution de ce problème frontière donne une expression explicite de la distribution stationnaire et permet d’étudier sa nature algébrique. Pour des raisons de convergence, dans le cas d’un cône non-convexe la distribution stationnaire est cette fois ci caractérisée par un couple d’équations fonctionnelles. La résolution de ce système d’équations se réduit alors à l’étude d’un problème frontière vectoriel en dimension deux plus complexe à résoudre.

Dans la fin des années 1990, Voevodsky amorça une unification des méthodes algébriques et topologiques. Mélangeant géométrie algébrique et théorie de l'homotopie, Morel et Voevodsky développèrent ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie de l'homotopie motivique dont l'idée maîtresse était d'appliquer les techniques de topologie algébrique classique à l'étude des schémas (la droite affine A1 jouant alors le rôle de l'intervalle unité [0,1]). L'objectif principal de cette nouvelle théorie se concrétisa par la démonstration de la conjecture de Milnor par Voevodsky (notamment grâce aux travaux de Rost sur la théorie des modules de cycles), ce qui lui a valu la médaille Fields en 2002. Dans cet exposé, on commencera par des rappels d'A1-homotopie pour ensuite présenter quelques conséquences de l'étude des faisceaux et des modules de Milnor-Witt : invariance birationnelle, conjecture de Morel sur l'existence de transferts, théorème de suspension de Freudenthal motivique, etc.

Dans un article publié en 1998, il fut observé par Wilson que le système de Calogero-Moser complexe se construit sur une variété carquois. Ce point de vue a été généralisé par plusieurs auteurs, dont Chalykh et Silantyev qui ont introduit de nouvelles variantes de ce système intégrable à partir de carquois cycliques. Dans cet exposé, j'expliquerai ces constructions, ainsi que leurs versions "multiplicatives" qui correspondent au système de Ruijsenaars-Schneider. Mon but sera d'interpréter ces résultats en utilisant la géométrie de Poisson non-commutative (les "crochets doubles") de Van den Bergh. Je tenterai également de présenter une conjecture en rapport avec les carquois colorés au sens de Boalch, et sa possible utilisation dans le domaine des systèmes intégrables. Cette présentation se base en partie sur des travaux passés/en cours avec O. Chalykh, D. Fernández, ou T. Görbe.

L'équation différentielle quantique (qDE) est un objet riche attaché à une variété projective lisse X. C'est une équation différentielle ordinaire dans le domaine complexe qui code informations sur la géométrie énumérative de X, plus précisément sa théorie de Gromov-Witten. De plus, l'asymptotique et la monodromie de ses solutions régissent également, de manière conjecturale, la topologie et la géométrie complexe de X. Ces équations différentielles ont été introduites au milieu de l'élan créatif pour les fondations mathématiquement rigoureuses des théories topologiques des champs, des théories des champs quantiques supersymétriques et des phénomènes de symétrie miroir associés. Une mention spéciale doit être donnée à la relation entre les qDE et les variétés de Dubrovin-Frobenius, ces dernières étant identifiables aux espaces des paramètres de déformation isomonodromique de la première. L'étude des qDE représente un actif domaine de recherche et en géométrie contemporaine et en physique mathématique: elle inspire continuellement l'introduction de nouveaux outils mathématiques, à partir de la géométrie algébrique, le domaine des systèmes intégrables, l'analyse des ODE, jusqu'à la théorie des transformées intégrales et fonctions spéciales. Cet exposé sera une introduction à l’étude analytique des qDE, leur relation avec les catégories dérivées de faisceaux cohérents (dans des contextes non équivariants et équivariants), et une théorie des représentations intégrales pour ses solutions. L’exposé sera un aperçu des résultats de l'orateur dans ce domaine de recherche.

On présente une nouvelle approche au problème de quantisation des systèmes dynamiques, en introduisant le concept d'idéaux de quantisation et en fournissant des exemples clés. Contrairement aux théories classiques qui considèrent des systèmes dynamiques à valeurs dans une algèbre commutative puis étudient leurs déformations noncommutatives, nous proposons de partir de systèmes définis sur une algèbre associative libre. De ce point de vue, le problème de quantisation revient à décrire les idéaux préservant la dynamique des systèmes nonabéliens. Pour illustrer notre approche on considérera le problème de la quantisation des N-chaînes de Bogoyavlensky nonabéliennes entre autres exemples. Comme on le verra pour ces exemples de systèmes intégrables nonabéliens, il suffit de la première (ou des quelques premières) symétrie(s) dans la hiérarchie pour restreindre fortement le choix des idéaux de quantisation. Le défi ensuite est de prouver que la hiérarchie toute entière est préservée par l'idéal choisi. Ce travail est en collaboration avec Alexander Mikhailov (Univ de Leeds) et Jing Ping Wang (Univ of Kent). Il n'a pas été publié mais on peut trouver une introduction ici: arXiv:2009.01838.

La récurrence géométrique est une procédure développée en 2017 par J.E. Andersen, G. Borot et N. Orantin, qui généralise la récurrence topologique. Selon la théorie cible à laquelle elle s'applique, elle permet de construire récursivement des objets susceptibles de capturer des propriétés géométriques des surfaces utilisées en physique mathématique. En collaboration avec J.E. Andersen, G. Borot, A. Giacchetto, D. Lewa?ski et C. Wheeler, nous avons établi une batterie de résultats permettant de promouvoir l'espace de Teichmüller combinatoire au rang de théorie cible pour la récurrence géométrique. Je décrirai dans un premier temps l'espace de Teichmüller combinatoire ; dans un deuxième temps, je donnerai la définition de la récurrence géométrique (RG) sur cet espace. Je détaillerai alors deux instances de cette récurrence, montrant dans la première comment la RG peut se spécialiser en une identité de type Mirzakhani-McShane, et dans la seconde comment elle permet de compter des courbes fermées simples. Dans un troisième temps, je décrirai un système de coordonnées de type Fenchel-Nielsen sur l'espace de Teichmüller, qui s'avère particulièrement adapté à la RG et permet, par une procédure d'intégration, de recouvrer la récurrence topologique. J'exposerai les conséquences de tels résultats sur les deux exemples mentionnés, à savoir une nouvelle preuve du théorème de Kontsevich, ainsi que le calcul des volumes de Masur-Veech.

La récurrence topologique est une procédure omniprésente qui associe à une surface de Riemann avec quelques données supplémentaires, appelée courbe spectrale, une famille doublement indexée de différentiels sur la courbe, qui codent souvent certaines informations géométriques énumératives, telles que volumes d’espaces de modules, nombres d'intersection et invariants de nœuds. La conjecture de la courbe quantique prétend que l'on peut associer à une courbe spectrale une équation différentielle, dont la solution peut être reconstruite par la récurrence topologique appliquée à la courbe spectrale d'origine. J'expliquerai comment, à partir des équations de boucle, on peut construire un système d’EDP qui annulera la fonction d'onde construite à partir de la récurrence topologique, en résolvant la conjecture par l'affirmative pour toutes les courbes algébriques génériques. Certains paramètres de déformation, qui donnent lieu à des familles de courbes spectrales et peuvent être définis comme des périodes sur les courbes, joueront un rôle clé dans la réalisation de notre système d’EDP. En utilisant ce système, nous pouvons prouver que la solution WKB de nombreux systèmes isomonodromiques coïncide avec la fonction d'onde de la récurrence topologique. Ceci est basé sur un travail avec B. Eynard, où nous avons résolu le cas hyperelliptique, et des travaux en cours également avec N. Orantin et O. Marchal, dans lesquels nous traitons la généralisation aux courbes spectrales de degré arbitraire.

Les équations de Knizhnik--Zamolodchikov (KZ) expriment les relations satisfaites par les fonctions de corrélation en théorie conforme des champs en dimension 2, et d'un point de vue mathématique correspondent à une connexion plate sur un fibré vectoriel au-dessus de l'espace de configurations de points dans le plan complexe : la représentation du groupe des tresse donnée par sa monodromie est relié par le théorème de Drinfeld--Kohno à cella de la R-matrice universelle du groupe quantique de Drinfeld--Jimbo. Dans cet exposé on rappellera comment KZ peut s'obtenir par la quantification d'espaces de modules de connexions algébriques à singularités régulières, et on expliquera comment généraliser ça au cas irrégulier. En particulier les déformations de surfaces de Riemann à points marqués se généralisent par les déformations de surfaces de Riemann sauvages.

[Exposé annulé en raison du COVID-19.] Groupes formels dérivés, structures algébriques et applications Je commencerai par une introduction à la théorie des problèmes de modules formels dérivés et au théorème fondamental de correspondance entre groupes formels dérivés et algèbres de Lie différentielles graduées, suivant l'approche de Lurie. On verra ensuite comment paramétrer la théorie des déformations de diverses structures algébriques en termes de préchamps classifiants munies de bonnes propriétés infinitésimales. Ce cadre issu de la géométrie dérivée permet une explication conceptuelle claire de diverses variantes de complexes de déformations apparaissant dans la littérature tout en en proposant une vaste généralisation. En guise d'application, j'expliquerai notamment comment des structures qui apparaissent à l'origine dans l'étude des espaces de lacets itérés (les opérades des petits disques) contrôlent les déformations d'objets de nature a priori différente (les bigèbres, qui apparaissent naturellement en topologie algébrique, en théorie des représentations et en physique mathématique par exemple). J'en tirerai aussi quelques applications à la résolution de conjectures de Kontsevich en quantification par déformation, ainsi que des extensions potentielles à la géométrie symplectique dérivée si le temps le permet. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Gregory Ginot.

I will report on recent joint work with Don Zagier. We extend the definitions of the sequences used by Apéry in his proof of the irrationality of \zeta(3) to non-integral values of the index and relate the value with index -1/2 to the central value of the L-series of the unique normalized cusp form of weight 4 on \Gamma_0(8). We explain the conjectural relationship of the Taylor expansion around 0 of a different interpolation of the Apéry numbers to a generalized version of the Gamma Conjecture in the case of the orthogonal grassmannian OG(5,10).

The classical gamma function can be viewed as the mellin transform of a solution, exp(-t), of a linear differential equation in one variable. If the path of integration is modified to wind around 0 and return to +infinity, the resulting integral, (exp(2pi.is)-1)Gamma(s), is entire and exemplifies an interesting class of functions (first studied by Loeser and Sabbah). In their work on the gamma conjecture in mirror symmetry, Golyshev and Zagier consider solutions of Picard Fuchs equations associated to certain Landau-Ginzburg models. These equations have points of maximal unipotent monodromy at 0, and the classical Frobenius method yields infinite sequences of (eventually inhomogeneous) solutions. Taking ratios of variations of these solutions around a nearby conifold point yields Apéry constants which play a central role in the gamma conjecture. In joint work with M. Vlasenko, we study gamma functions associated to these Picard Fuchs solutions. We show that the universal Frobenius (inhomogeneous) solution yields a potential for the gamma integrand. Using this, we identify the generating series of Apéry constants with the Taylor series of the corresponding gamma function multiplied by an elementary function. In particular, the Apéry constants lie in the ring of constants with 2\pi i inverted. We also relate Apéry constants to the limiting mixed Hodge structure at 0 associated to the given Picard Fuchs equation.

Dans cet exposé, on étudiera les opérations algébriques qui apparaissent naturellement sur certains modules instables classiques sur l'algèbre de Steenrod, tels que les modules de Carlsson, les modules de Brown-Gitler, les modules de Campbell-Selick. On se concentrera sur le cas de la caractéristique 2. On montrera comment la théorie des opérades algébriques s’adapte à l’étude des opérations dans les modules instables. Pour une opérade P fixée, et une opération * d’arité 2 et commutative dans P, on définira la notion de P-algèbre *-instable. On présentera un résultat identifiant la P-algèbre *-instable libre engendrée par un module instable à une P-algèbre libre, sous certaines hypothèses.

Based on a joint work with Marco Bertola and Chaya Norton. I will discuss the Tyurin parametrization of vector bundles of rank n and degree ng over a smooth Riemann surface of genus g. Using Tyurin data and canonical functions on the Riemann surface we introduce a non-abelian (matrix) Cauchy kernel. This object is used to derive variational formulae for sections of a vector bundle, in terms of deformations of the cocycle defining it, and more generally to construct Higgs fields. Moreover, the non-abelian Cauchy kernel provides a natural affine connection, holomorphically depending on the moduli of the bundle; the monodromy representation associated with this affine connection allows to map in a holomorphic fashion the cotangent bundle to the moduli space of vector bundles to the relevant character variety, paving the way to the identification of the Goldman symplectic structure on the character variety with the canonical symplectic structure on the cotangent bundle to the moduli space of vector bundles.

Les espaces stratifiés apparaissent naturellement lorsqu'on tente d'appliquer à des objets singuliers des méthodes propres aux variétés. Par exemple, la cohomologie d'intersection permet d'étendre la dualité de Poincaré aux pseudo-variétés, et passe par la définition de stratifications. Les invariants stratifiés tels que la cohomologie d'intersection ne sont plus, en général, invariants par toutes les homotopies. Cependant, ils restent invariant par homotopies stratifiées. En quête d'un contexte homotopique pour la théorie des espaces stratifiés dans lequel interpréter ces invariants, on cherche une catégorie modèle pour les espaces stratifiés. Pour définir une classe d'équivalences faibles stratifiées, on est amené à considérer à considérer un équivalent stratifié des groupes d'homotopie d'un espace. Dans cet exposé, on présentera ces groupes d'homotopie stratifiés et on verra comment ils permettent de décrire une catégorie modèle pour la théorie homotopique des espaces stratifiés. On verra ensuite comment les calculer sur des espaces stratifiés raisonnables, et comment utiliser les groupes d'homotopie stratifiés pour étudier des problèmes typiquement déconnectés de la théorie des espaces stratifiés, tels que l'étude des plongements.

The higher simplex relation is a straightforward generalisation of the Yang-Baxter equation and Zamolodchikov tetrahedron equation. In my talk I will describe a (co)homology theory, naturally arising from this structure. Although purely algebraic, it appeared rather unexpectedly in the study of 2-dimensional knot invariants and its genetic relations to other homology theories is so far quite mysterious.

We give a survey of various avatars of the trisecant Fay identity which appear in the context of Integrable systems (as forms of the Associative Yang-Baxter Equation) and as conditions on generating functions for period polynomials of (quasi-)modular forms and group cocycle conditions for some multiparametric modular groups.

The quantum curve conjecture claims that one can associate a differential equation to a spectral curve, whose solution can be reconstructed by topological recursion applied to the original spectral curve. I will explain how starting just from loop equations, one can construct a system of PDEs which will annihilate the wave function built from topological recursion, solving the conjecture affirmatively for all hyperelliptic curves. The families of spectral curves can be parametrized with the so-called times, which can be defined as periods on second type cycles on the curves. These deformation parameters giving rise to families of spectral curves will play a key role when producing our system of PDEs. Our system of PDEs can be used to prove that the WKB solution of many isomonodromic systems coincide with the topological recursion wave function.

We give a survey of various avatars of the trisecant Fay identity which appear in the context of Integrable systems (as forms of the Associative Yang-Baxter Equation) and as conditions on generating functions for period polynomials of (quasi-)modular forms and group cocycle conditions for some multiparametric modular groups.

Two different approaches to finding of invariants will be discussed. All ideas, methods and results will be illustrated by the classical problem of GL-classification of binary and n-ary forms. If time allows, the more general case of invariants for irreducible representations will be considered.

This talk is meant as an introduction to, or rather as an overview of, material published in several papers and books, through the last 20 years. The rather bold idea was, to use the emergent non-commutative algebraic geometry and its deformation theory, to look for a purely mathematical model that would make sense of the present theoretical physics, and hopefully help us unifying general relativity and quantum theory. There are, of course, lots of research groups of mathematical physicists, working on theories with the same aim; establishing a ”Theory of Everything”. As for most of them, the starting point is to take a critical new look at some of the basic notions in physics. In my work, these notions include: Objects, Points,States, Moduli Space of such objects, their Dynamical Structures, giving rise to Space, Time and Evolution. The technology I am using for this, is ”Non-commutative Deformation Theory” (see the book with the same title, by Eriksen, Laudal and Siqveland, on Chapman and Hall (2017)), and most of what I know about this, can be found in an accepted paper ”Deformation Theory and Mathematical Models in Science” that should have been published in ”Pure and Applied Mathematics Quarterly”, October this year. Singularities comes in as fundamental ”Bags of Information”, and the theory of deformation, applied to singularities, is taking care of the Creation of the Moduli Spaces we want to study. In western religious thinking, in particular in the Greek creation myths, the ”gap”, created by the original separation of heaven and earth, became the primordial state before the Creation, combining the notions of primordial water and darkness. This has become the Big Bang of modern Cosmology, and the Bag of Information-Energy, responsible for this event had to be found somewhere. It turned out that it had been hidden in the notion of Deformation Theory, in particular in the deformations of Singularities! One such singularity, the affine scheme, consisting of a point with a 3 dimensional tangent space, is the Origin of the Big Bang! Of course, what I mean above is that, starting with this singularity, the mathematical tools we now have can be used to make a very ”convincing” ”Toy Model” for the Start, and subsequent Evolution, of the Universe, as we know it today. This Toy Model is the subject of the talk.

We consider moduli spaces of meromorphic connections on the sphere, with simple poles in the complex plane and an irregular singularity at infinity. Varying the position of the simple poles and the coefficients at infinity in general modifies the extended monodromy/Stokes data of a connection; imposing that they stay fixed yields nonlinear differential equations (isomonodromy equations), which are in this case coded by an integrable Hamiltonian system (isomonodromy system). The classical systems at hand generalise Painlevé VI, V and IV, and have a natural SL(2) group of symmetries which contains the Harnad duality. Then in this talk we consider the quantum analogue of the previous statements. More precisely, we will explain how to deformation-quantise the moduli spaces of meromorphic connections, which is tantamount to quantisation certain symplectic (Nakajima) quiver varieties, as well as the isomonodromy system. Then the SL(2) symmetries may be quantised to include the Howe duality, and the resulting quantum integrable system (which generalise the KZ, Casimir and dynamical connection) will be shown to be generically invariant.

The generalised Hermite polynomials Hm,n, m, n ? N, form a family of polynomials with applications to random matrices, quantum mechanics and nonlinear wave equations. Central in each of these applications is the fact that these polynomials generate rational solutions of the nonlinear ODE which is the fourth of the celebrated six Painlevé equations. About fifteen years ago, Peter Clarkson published numerical investigations of their roots in the complex plane and posed the problem of describing the asymptotic distribution of the roots as the degree deg(Hm,n) = m × n grows large. In this talk, I will discuss a recent treatment of this problem yielding an explicit, uniform, asymptotic description of the bulk of the roots in terms of elliptic functions. The roots, after proper rescaling, densely fill up a bounded quadrilateral region in the complex plane and, within this region, organise themselves along a deformed rectangular lattice. Our method of attack is a combination of the isomonodromic deformation method and a complex WKB approach to the biconfluent Heun equation. The seminar is based on two joint papers with Pieter Roffelsen: Roots of generalised Hermite polynomials when both parameters are large, ArXiv, 2019; Poles of Painlev ?e IV Rationals and their Distribution, SIGMA, 2018.

Dans cet exposé, je présenterai deux façons de "quantifier" une courbe spectrale hyper-elliptique à l'aide de la récurrence topologique et de systèmes intégrables. L'idée générale est d'utiliser les déformations isomonodromiques pour aboutir à une quantification d'une courbe spectrale qui peut être de genre nul ou pas.

Partial flag varieties and generalizations (including infinite-dimensional Grassmannians) provide many natural constructions in theories of characteristic classes, integrable systems, geometric representation theory and so on. If flag varieties are considered as homogeneous spaces of matrix bialgebras, then the local coordinates on coset spaces come from block Gauss decomposition which also provides the local trivialization of the principal bundles G --> G/P. In my work this almost literally extends to noncommutative generalizations including a class of examples universal in suitable sense. This gives clear hint what should be the concept of noncommutative principal and associated vector bundles, beyond this class of examples. If time permits, I shall sketch some applications like coherent states and ?ech cocycles for Hopf algebras, geometric interpretation of identities among quasideterminants and gluing locally defined connections in noncommutative setup; some of these objects appeared independently, mainly related to problems in mathematical physics.

After a short introduction about moduli spaces of Higgs bundles with higher order poles and wild character varieties, I will state the P = W conjecture on the topology of such spaces due to de Cataldo, Hausel and Migliorini and its geometric counterpart due to Simpson. In the second part of the talk I will sketch my proof of the conjectures in the Painlevé 6 case, involving the topology of complex cubic surfaces and abelianization of Higgs bundles.

Est-il possible d’avoir « plus » qu’une structure d’algèbre de Lie sur l’espace tangent d’un groupe de Lie? Est-il possible de reconstruire un groupe à partir de ses représentations? Quel est le lien entre ces deux questions? La réponse est dans cet exposé. Travaux en collaboration avec Gabriel C. Drummond-Cole et Joseph Hirsh.

Abstract : Un exemple d'invariant de Gromov--Witten (cohomologique) est le nombre de courbes rationnelles de degré d>0 dans \mathbb{P}^2 passant par 3d-1 points. En général, ces invariants sont définis comme le degré d'un produit d'intersection sur l'espace de module des applications stables. En 2001, Y.P. Lee et A. Givental définissent de nouveaux invariants, appelés Gromov--Witten $K$-théoriques, en considérant la caractéristique d'Euler de certains faisceaux sur le même espace de module. Notre but est de comprendre comment ces deux théories sont reliées. Dans cet exposé, on montrera que dans le cas des espaces projectifs, les invariants cohomologiques s'obtiennent comme une certaine limite des invariants $K$-théoriques en utilisant la confluence des equations aux $q$-différences.

I will first review the Batalin-Vilkovisky formalism and its mathematical foundations with an emphasis on higher algebraic structures and classical field theories. I will then move on and discuss recent developments in formulating higher gauge theory with Lie quasi-groupoids as gauge structure. Finally, I will explain how all these ideas can be combined with those of twistor theory to formulate maximally superconformal gauge theories in four and six dimensions by means of quasi-isomorphisms.

L'homologie persistante a été développée pendant la dernière décennie afin d'associer des invariants de nature topologique à des jeux de données et ainsi de pouvoir les comparer. Ainsi, on associe à un jeu de données un code barre et on munit l'ensemble des codes barres d'une distance qui tient compte des dimensions des groupes de cohomologie. Après avoir présenté le cadre et les résultats déjà existants, je présenterai un certain nombre de nouvelles distances qui raffinent celle existante en tenant compte de la structure multiplicative de la cohomologie, et qui satisfont un théorème de stabilité par rapport la distance de Gromov-Hausdorff. Ceci est un travail en collaboration avec Grégory Ginot (Paris 13).

Il s'agit de la suite (et quelques précisions sur une partie) de mon exposé du 14.05. Je vais discuter une famille d'algèbres généralisées de Sklyanin-Painlevé. On peut définir un schéma général de la quantification d'Etingof-Ginzburg et d'Etingof-Oblomkov-Rains. Cette famille contient, comme cas particuliers, des limites des algèbres généralisées de Sklyanin, des sous-algébres sphériques de DAHA (Double-Affine Hecke Algebras de Cherednik) associées avec les variétés de monodromie quantiques des systèmes de Painlevé. Finalement, si le temps le permet, je vais expliquer le rôle d'une dégénérescence de familles d'Etingof-Ginzburg et d'Etingof-Oblomkov-Rains, associées aux surfaces quantiques de del Pezzo de petits degré (d=3,2,1), dans une quantification de P. Bousseau des variétés de Poisson affines associée avec la construction de Gross-Hacking-Keel du symétrie miroir torique.

Nous étudions les "surfaces quantiques" de del Pezzo (de degré 3, 2, 1) appartenant à une certaine classe. En particulier, nous introduisons l’algèbre généralisée de Sklyanin-Painlevé et caractérisons ses propriétés Poincaré-Birkhoff-Witt/ de Poincaré-Hilbert Séries (finites) et de Koszulité. Cette algèbre contient comme cas particuliers la limite des algèbres généralisées de Sklyanin, d'Etingof-Ginzburg et d'Etingof-Oblomkov-Rains associées aux surfaces quantiques de del Pezzo et les variétés de monodromie quantiques des systèmes de Painlevé. Cet exposé est basé sur en article en progrès commun avec L. Chekhov (U. Michigan-Steklov) et M. Mazzocco (U. Birmingham.)

We show that the deformation complex of a foliation F is equipped with an L_infty-algebroid structure L(F) which is unique up to isomorphisms. L(F) should be seen as the L_infty-algebroid of vector fields on the leaf space. Time permitting, we will also discuss a possible definition of the universal enveloping A_\infty-algebra of L(F).

Soit U la catégorie des modules instables sur l’algèbre de Steenrod modulo p. On note K(U) le groupe de Grothendieck de la catégorie des modules instables injectifs réduits de type fini. Dans cet exposé on montrera que son complexifié C?K(U) est une algèbre de polynôme en exhibant une famille de générateurs. Ces générateurs sont liés aux caractères de Deligne-Lusztig via la transformée de Fourier des caractères. Ils donnent également une base de diagonalisation pour l’action du foncteur T sur Kn(U).

Recently, the matrix Painlevé-Calogero non-autonomous systems of interacting particles were written as isomonodromic equations given the answer to an old open question by Takasaki and, thus extending the Painlevé correspondence (Bertola-Cafasso-Roubtsov). Using their explicit isomonodromic Lax pair formulations we revise the famous Ruijsenaars duality for Calogero–Painlevé I, II, IV and discuss the self-duality phenomena in these systems and "dual" reductions from (matrix) modified KdV.

Les algèbres double Poisson sont un analogue en géométrie algébrique non-commutative des algèbres de Poisson. Pour un passage à la géométrie non-commutative dérivée, il est naturel de se demander quelle est la bonne notion de structure double Poisson à homotopie près. Afin de déterminer une telle structure, il est nécessaire de travailler au niveau des objets algébriques qui encodent ces structures (opérade, propérade, etc ...). Après avoir rappelé les notions d'algèbre double Poisson, de propérade et expliqué pourquoi la Koszulité d'une propérade permet de répondre à une telle question, je présenterai une stratégie de preuve du théorème-titre : celle-ci est en grande partie basée sur la construction d'un nouveau type d'objet algébrique, appelé protopérade, encodant les structures algébriques ayant le même nombre d'entrées et de sorties.

I'll introduce some braidings (i.e. solutions to the Quantum Yang-Baxter equation) and corresponding quantum algebras. In particular, I plan to introduce so-called Generalized Yangians. In these algebras quantum analogs of some symmetric polynomials (elementary ones, power sums) are well-defined. These quantum symmetric polynomials generate commutative subalgebras called Bethe. Also, I plan to exhibit some quantum analogs of the classical identities (Cayley-Hamilton, Newton) and discuss an analog of the Drinfeld-Sokolov reduction.

Étant donnée une variété algébrique affine sur le corps des complexes, nous étudierons la cohomologie de l'algèbre de Lie de ses champs de vecteurs globaux. Nous montrerons que c'est un invariant topologique de la variété analytique sous-jacente, et qu'elle est de dimension finie en chaque degré. Nous rappellerons le cas d'une variété différentielle, traité dans les années 70 par (entre autre) Gelfand-Fuks, Bott-Segal, Haefliger et Guillemin, puis nous traiterons du cas algébrique. Nous donnerons quelques exemples de calculs explicites et expliquerons la démonstration, qui repose sur l'homologie de factorisation. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Mikhail Kapranov.

On expliquera comment la cohomologie d'intersection de Goresky et MacPherson est représentée dans une catégorie homotopique d'ensembles simpliciaux stratifiés.

The geometric theory of PDE's boils down to the study of diffieties-a differential geometric analog of algebraic varieties. We will discuss some first steps in the development of homotopy theory of diffieties or more generally a derived geometry of PDE's, as we will effectively be studying orbifold diffieties, facorization of PDE's under C-transformation groups and intersection theory of diffieties; which from historical treatments in the algebraic geometric analog, are known to contain some seriously pathological situations (non-transverse intersections, existence of stabilizers..). We will discuss some recent results in this direction and talk about an ongoing work developing the theory of shifted C-symplectic structures which grow naturally on these diffieties.

Star-products (one parameter formal deformations of the usual product on functions) serve as local models for DQ-algebroids. A DQ-algebroid is a formal one-parameter deformation its "classical limit" which in general is a twisted form of the structure sheaf of the the manifold. As is well known, a star-product on functions on a manifold gives rise to a Poisson on the sheaf of functions. I will explain what sort of additional structure arises on the classical limit of a DQ-algebroid generalizing and extending the Poisson structure.

It's a result of Richard Hain that the restriction of the double ramification cycle to the space of compact type curves (i.e. stable curves with no non-separating nodes) is $\Theta^g/g!$, where $\Theta$ is the theta divisor in the universal Jacobian (suitably pulled back to the moduli space itself via the marked points). A natural completion of this class is given by $\exp(\Theta)$, which gives an infinite rank partial cohomological field theory. To such an object one can attach a double ramification hierarchy (thereby putting into play a second DR cycle, hence the "quadratic" in the title). It is possible to compute this hierarchy and trade its infinite rank for an extra space dimension, hence obtaining an integrable hierarchy in 2+1 dimensions which is the natural extension of the usual KdV hierarchy on a non-commutative torus. Its quantization is also provided, obtaining an integrable (2+1) non-relativistic quantum field theory on the non-commutative torus.

We derive the expansion of the partition function of the Hermitian matrix model in the so called two cut regime. We calculate explicitly the first few terms of the expansion confirming the formula obtained by B. Eynard. This is a joint work with K. McLaughlin and T. Claeys

After a brief review of recent progress in the classification of deformations of Poisson structures and pencils, and computation of the associated cohomologies, we report on our recent work on the case of multidimensional scalar Poisson brackets. In particular we explain some general result about the Poisson cohomology computation, which we then apply to the classification of the dispersive Poisson brackets with one dependent variable and two independent variables, with leading order of hydrodynamic type, up to Miura transformations. We show that, in contrast to the case of a single independent variable for which a well known triviality result exists, the Miura equivalence classes are parametrised by an infinite number of constants, which we call numerical invariants of the brackets. We obtain explicit formulas for the first few numerical invariants.

Le but de cet exposé est de présenter la construction d'une certaine théorie topologique des champs (TFT) en dimension 3 à partir de la théorie des représentations du groupe quantique associé à un groupe algébrique réductif G. À une surface, elle attache une déformation canonique de la catégorie de faisceaux sur la variété de G-caractères associée. On calcule ces catégories explicitement grâce au formalisme de l'homologie de factorisation. Pour le tore en particulier, on obtient une certaine catégorie de D-modules quantiques sur G/G, étroitement liée à l'algèbre de Hecke double affine sphérique (sDAHA) de Cherednik. En dimension 3 on retrouve les modules de skein et leurs versions relatives. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec D. Ben-Zvi, D. Jordan et N. Snyder.

I will describe a new approach to studying meromorphic connections on vector bundles called abelianisation. This technique has its origins in the works of Fock-Goncharov (2006) and Gaiotto-Moore-Neitzke (2013), as well as the WKB analysis. Its essence is to put connections on rank-n vector bundles over a curve X in correspondence with much simpler objects: connections on line bundles over an n-fold spectral cover S -> X. The point of view is similar in spirit to abelianisation of Higgs bundles (aka the spectral correspondence); however, unlike Higgs bundles, abelianisation of connections requires the introduction of a new object, which I call the Voros cocycle. The Voros cocycle is a cohomological way to encode objects such as ideal triangulations that appeared in Fock-Goncharov, spectral networks that appeared in Gaiotto-Moore-Neitzke, as well as the connection matrices appearing in the WKB analysis. In this talk, I will describe abelianisation of logarithmic sl(2)-connections as an equivalence of categories. If time permits, I will also explain how this abelianisation equivalence can be generalised to hbar-connections, how it relates to the exact WKB analysis, and how it recovers the spectral correspondence in the limit as hbar goes to 0. This presentation is based on the work completed in my thesis (2018) and recent extensions thereof.

Lors de ce séminaire je présenterai les résultats obtenus durant ma thèse. Nos travaux concernent le calcul et les applications des fonctions tau des hiérarchies de Drinfeld–Sokolov. Ces dernières sont des suites d'EDP intégrables introduites en 1984. Elle sont associées à n'importe quelle algèbre de Lie semisimple. Ces hiérarchies généralisent la hiérarchie KdV que l'on recouvre avec l'algèbre Lie sl(2,C). La fonction tau est une fonction qui contient toute l'information d'une solution donnée. Une fonction tau particulière, dite topologique, permet même de reconstruire toute la hiérarchie. C'est la fonction tau topologique qui connecte les hiérarchies intégrables à la géométrie algébrique. Notre premier résultat est un changement de variable permettant de passer des fonctions tau polynomiales de la hiérarchie KdV à une certaine suite récurrente de polynômes dits d'Adler–Moser. D'autre part, en collaboration avec M. Cafasso et D. Yang, nous avons exprimé les fonctions tau comme somme formelle sur les partitions d'entiers ; il s'en suit un critère simple pour la polynomialité des fonctions tau. Enfin, en collaboration avec P. Rossi, nous avons confirmé la conjecture DR/DZ dans le cas de la hiérarchie associée à l'algèbre de Lie o(8, C). Cette conjecture stipule qu'une autre hiérarchie, dite de double ramification et introduite en 2015 par A. Buryak, est équivalente à la hiérarchie de Drinfeld–Sokolov correspondante (entre autre).

Les cogèbres apparaissent dans plusieurs branches des mathématiques notamment en topologie algébrique ou en géométrie formelle. Cependant, souvent, on les dualise de sorte à travailler avec des algèbres, plus simples à manipuler. Le but de cet exposé est de présenter des outils pour travailler directement avec différents types de cogèbres différentielles graduées : les cogèbres coassociatives, cocommutatives, de Lie, etc. Ce sont là des exemples de cogèbres sur une opérade. Pour comprendre l'infini-catégorie au sein de laquelle s'organisent ces objets, je définirai la catégorie Koszul-duale des algèbres courbées sur une coopérade - ou la notion de quasi-isomorphisme n'a pas de sens - et la munirai d'une structure de modèles, Quillen équivalente à celle des cogèbres. Cet exposé présente un travail effectué en commun avec Damien Lejay.

Dans cet exposé, je décrirai un travail avec A. Blanc, B. Toen et G. Vezzosi, comparant le motif de la catégorie de factorisations matricielles d’un pair LG avec le faisceaux de cycles evanescents associée du potentiel.

L'opérade des petits disques est un objet fondamental de la topologie algébrique et de la théorie de la déformation. Un théorème célèbre dû à Tamarkin et Kontsevich affirme que cette opérade (et ses analogues de dimensions supe?ieures) sont formelles sur Q. C'est à dire que cette opérade est quasi-isomorphe à son homologie. On peut montrer facilement que cette opérade ne peut être formelle sur un corps de caractéristique positive. Cependant, dans un travail en commun avec Joana Cirici et Pedro Boavida de Brito, nous montrons que cette opérade est aussi proche que possible d'être formelle compte tenu des obstructions évidentes.

L'objectif de cet exposé sera d'énoncer les différents théorèmes permettant d'identifier des espaces de plongements à des espaces de lacets itérés (relatif). On s'intéressera tout partuculièrement à l'espace des noeuds, l'espace des entrelacs ainsi que l'espace des k-immersions. On montrera que ces espaces peuvent être identifier à des espaces de lacets explicits via le langage opéradique. Si le temps me le permet, on montrera aussi que les couples (noeuds ; entrelacs) et (noeuds ; k-immersions) peuvent être identifiés à des algébres de type Swiss-Cheese.

We look at various measures on partitions coming from combinatorics, representation theory, and integrable statistical mechanics: the so-called Schur measures and some variants. We are interested in the probabilistic behavior of the largest part(s) of said partitions---discrete versions of largest eigenvalues of random matrices. One gets the Airy 2 (Tracy--Widom) fluctuations in the original Schur measure corresponding to the Baik--Deift--Johansson longest increasing subsequences theorem; Airy 1 (GOE) and GSE fluctuations for random involutions (Baik--Rains; Ferrari; Imamura--Sasamoto; Baik--Barraquand--Corwin--Suidan; Betea--Bouttier--Nejjar--Vuletic; Bisi--Zygouras); Airy 2 to 1 (along with a certain dual) fluctuations for symplectic and orthogonal Schur measures recently studied by the author and for a related model of Bisi--Zygouras; and finally finite temperature Airy2/Tracy--Widom fluctuations (interpolating between Gumbel and regular Tracy--Widom; between Edwards--Wilkinson and Kardar--Parisi--Zhang) for a certain 'cylindric' version of the Baik--Deift--Johansson case (joint work of the author and Jeremie Bouttier). All such measures can be treated uniformly with the aid of fermionic Fock space (equivalently, they are determinantal/pfaffian measures), as was first championed by Okounkov. Most if not all results relate to last passage percolation problems in certain simple geometries. All results are inspired by and have continuous random matrix analogues. It is conjectured though remains unproven that each Airy-type distribution described above is universal for the geometry in question: the so-called KPZ universality.

EXPOSE EXCEPTIONNELLEMENT A 11H Soit M une variété fermée orientée. Chas et Sullivan ont défini un produit sur l'homologie décalée de l'espace des lacets libres H_*(LM), lui donnant une structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky. Cette BV-algèbre est dûre à calculer. Dualement, soit G un groupe de Lie compact connexe.Avec Chataur, j'ai défini un produit sur la cohomologie décalée de l'espace des lacets libres H^*(LBG), lui donnant une structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky. En utilisant le calcul du cup produit sur la cohomologie de l'espace des lacets libres H^*(LBG) du à Kuribayashi pour presque tous les groupes de Lie compacts connexes G et tous les corps F_p, nous calculons l'algèbre de Batalin-Vilkovisky H^*(LBG; F_p). Il s'agit d'un travail en commun avec Katsuhiko Kuribayashi.

Après avoir rappelé brièvement certains aspects classiques des théories de Yang-Mills, leur lien avec les équations de Maxwell, leur quantification, les fixations de jauge et leur formulation discrétisée usuelle, ainsi que leurs applications en économie, nous discuterons le changement de paradigme initié par C. Rovelli et F. Vidotto dans une approche purement discrète dans la lignée des théories de gravité quantique. D'un point de vue classique, ces théories discrétisées convergent bien vers les théories continues, dans un sens que nous préciserons, mais d'un point de vue quantifié, l'intégration sur l'espace ds connexions procède d'une (vraie) mesure obtenue par approximations cylindriques. De plus, cette nouvelle approche de discrétisation devient invariante par transformation de jauge. En particulier, par un rappel sur les théories de Yang-Mills Abéliennes, nous expliquerons en quoi cette approche modifiée semble mieux répondre aux problèmes techniques rencontrés dans le cas non-abélien. Nous ferons le point sur les derniers développements de cette nouvelle approche, en mettant en avant certaines questions restantes et en mentionnant certains travaux en cours. Nous terminerons par une application déjà établie de cette nouvelle méthode de discrétisation en théorie de l'information.

The talk is focused on some particular family of statistical models on 6-valent graphs and their relations with the theory of invariants of 2-knots, i.e. the isotopy classes of S2 embeddings in R4, and integrable 3-d models of statistical physics on regular latices. In both cases the integrability properties are provided by the higher homotopic algebraic structure related with the Zamolodchikov tetrahedron equation.

As one knows, every Poisson manifold M admits a deformation quantization, i.e. an associative *-product on the space of formal power series in a variable \hbar with coefficients in the algebra of smooth functions on M, coherent with the Poisson bracket on M. In my talk I will address the question, whether for a Poisson commutative subalgebra S in C^\infty(M) there exists an extension of S to a commutative subalgebra with respect to the *-product. This question (sometimes referred to as the quantum integrability) is closely related with the problem of finding an extension of a Lie algebra action on M to its action (by derivatives) on the deformed algebra. Both questions are in a great measure still open and depend on the structure of the singularities of the corresponding foliation. In my talk I will try to describe the few known facts about these problems, and give some concrete examples of these constructions.

L'objet de cet exposé sera de donner une caractérisation des algèbres aux puissances divisées sur une opérade. En nous inspirant de la définition classique des puissances divisées, et des travaux de Benoît Fresse et d'Andrea Cesaro, nous exprimons ces structures en terme d'opérations polynomiales et de leur relations.

In this talk we discuss deformations of Laplacian growth problem by concerning Quasi-Laplacian operators restricted by intertwining identities. We consider the notion of quadrature domains for this problem and integrability properties.

Cet exposé est basé sur un travail en cours avec J. Najnudel, où nous souhaitons faire le pont entre deux questions. D'une part, en 1985, J.P Kahane a introduit une mesure aléatoire dénommée le chaos gaussien multiplicatif. Il s'agit moralement d'une mesure dont la dérivée par rapport à la mesure de Lebesgue est l'exponentielle d'une distribution gaussienne (très) singulière. Un joli argument d'approximation martingale permet de donner un sens à cela, mais laisse inaccessible les propriétés de l'objet limite. Cet objet semble être au coeur de travaux récents en lien avec le modèle de gravité quantique dit de Liouville en 2d (Rhodes, Vargas, Duplantier, Sheffield...). Nous nous intéresserons uniquement au cas du cercle, que l'on pourrait qualifier de géométrie intégrable. D'autre part, il est connu depuis Verblunsky (1930s) qu'une mesure sur le cercle est entièrement déterminée par des coefficients dits de réflection ou de Verblunsky. Les polynômes orthogonaux pour cette mesure ainsi que son extension harmonique sur le disque sont bien décrits en terme de ces coefficients de Verblunsky. Je présenterai une conjecture qualifiant précisément la loi des coefficients de Verblunsky du chaos multiplicatif, et les résultats partiels que nous avons obtenu dans cette direction. Nos résultats viennent d'une excursion par les matrices aléatoires, et en particulier le modèle circulaire beta, étroitement lié au système de Calogero-Moser trigonométrique.

Gauge theories of fundamental interactions (except gravitation) are usually written in the geometric framework of principal and associated fibre bundles, and gravitation is usually written in the framework of Riemannian geometry. We present a new way of writting such theories which offers great possibilities : transitive Lie algebroids. In this geometrico-algebraic framework, the symmetry principle is still present in a certain form, encompassing in a same object both infinitesimal gauge (internal) transformations and diffeomorphisms of the base manifold. It is possible to define a notion of connection (ordinary and generalized) which can encompass in a natural way the Higgs field and its potential. It is also possible to define a generalized metric on the Lie algebroid which gives a connection (gauge field) and a metric on the base manifold (gravitation). We finally present a current work which allows to write Cartan geometries in the framework of Lie algebroids. We conclude presenting the possible generalizations to which this framework naturally leads us.

The Kontsevich-Penner matrix integral is a simple variation of the celebrated matrix integral introduced by Kontsevich in his proof of the Witten conjecture. This simple variation is conjectured to be related to open intersection numbers precisely in the same way as the Kontsevich integral is related to closed (standard) intersection numbers on moduli spaces of Riemann surfaces. I will present a joint work with Marco Bertola (SISSA/Concordia University) in which an isomonodromic approach to the Kontsevich-Penner integral is described, generalizing a previous work by M. Bertola and M. Cafasso, and report on ongoing generalizations. In particular the isomonodromic approach allows a derivation of effective explicit formulae for the open intersection numbers, generalizing Bertola-Dubrovin-Yang formulae for the closed case, as well as a simple derivation of the open string and dilaton equations.

In the past 10 years, the topological recursion structure discovered in the framework of random matrix theory surprisingly appeared in many other fields of physics and mathematics allowing to solve apparently unrelated problems. Recently, Kontsevich and Soibelman have defined a new representation of this formalism describing the topological recursion as a WKB expansion of a wave function obtained by quantization of a Lagrangian in some symplectic vector space. In this talk, I will review this formalism, called Quantum Airy Structure, its relation with the original recursion as well as its application to the computation of ancestor potentials of cohomological field theories giving access to the corresponding Gromov-Witten invariants. If time allows, I will present how mirror symmetry allows to make explicit computations of such invariants through the definition of a mirror Landau-Ginzburg model.

We consider a problem of non-abelization for given integrable polynomial ODEs. This problem is completely solved for integrable quadratic homogeneous ODEs with two unknown functions.

Le but de cette série d'exposés est d’expliquer mon résultat récent : le Théorème de Torelli Infinitésimal pour X, une surfaces compacte, complexe, lisse sujet aux conditions suivantes: (i) le fibré canonique O_X (K_X ) est très ample, (ii) l’irrégularité q(X) := h^1 (O_ X ) = 0, (iii) X ne contient pas de courbes rationnelles normales de degré ? (p g ? 2) et courbes planes, (iv) la multiplication m_2 : Sym^2 (H^0 (O_X (K_X )) -> H^0 (O_X (2K_X )) est surjective. Dans cet exposé, je vais expliquer les idées principales de ma démonstration, des applications et généralisations de la démarche de la démonstration.

Il s’agit d’un travail en cours avec Bas Janssens (Université de Delft) sur la cohomologie des algèbres de Lie-Rinehart. Nous calculons la cohomologie d’algèbres de Lie d’algèbres de Lie qui sont proches d’algèbres de Lie de champs de vecteurs, donc il s’agit d’une question proche de la cohomologie de Gelfand-Fuchs. D’une part, nous montrons que les 1-cocycles sont toujours des opérateurs différentiels (donc on a une filtration par l’ordre). D’une autre part, nous introduisons l’algèbre de Lie-Rinehart des jets J^k(L) d’une algèbre de Lie-Rinehart L, et montrons que la cohomologie (en tout degré) de L donnée par des opérateurs différentiels d’ordre k est isomorphe à la cohomologie k-linéaire de J^k(L). Nous avons des classes d’exemples où cet isomorphisme permet un calcul de la 1-cohomologie.

We consider a problem of non-abelization for given integrable polynomial ODEs. This problem is completely solved for integrable quadratic homogeneous ODEs with two unknown functions.

To a moduli space of meromorphic connections on a Riemann surface one can associate differential equations that control isomonodromic deformations of the connections. In this talk we will recall how to encode these isomonodromic equations in the flow of a time-dependent Hamiltonian system, and then deformation-quantise the system (in genus zero, for a particular choice of irregular types). The result is a new family of strongly flat connections generalising the Knizhnik-Zamolodchikov connection. All this material is based on the arXiv pre-print 1704.08616.

Le but de l’exposé est d’expliquer mon résultat récent : le Théorème de Torelli Infinitésimal pour X, une surfaces compacte, complexe, lisse sujet aux conditions suivantes: (i) le fibré canonique O_X (K_X ) est très ample, (ii) l’irrégularité q(X) := h^1 (O_ X ) = 0, (iii) X ne contient pas de courbes rationnelles normales de degré ? (p g ? 2) et courbes planes, (iv) la multiplication m_2 : Sym^2 (H^0 (O_X (K_X )) -> H^0 (O_X (2K_X )) est surjective. Le premier exposé est une introduction: je vais formuler les problèmes de Torelli en discutant : Variation de structures de Hodge, l’application de périodes, formulation cohomologique du différentiel de l’application de périodes. Dans la suite je vais expliquer les idées principales de ma démonstration, des applications et généralisations de la démarche de la démonstration.

Le but de l’exposé est d’expliquer mon résultat récent : le Théorème de Torelli Infinitésimal pour X, une surfaces compacte, complexe, lisse sujet aux conditions suivantes: (i) le fibré canonique O_X (K_X ) est très ample, (ii) l’irrégularité q(X) := h^1 (O_ X ) = 0, (iii) X ne contient pas de courbes rationnelles normales de degré ? (p g ? 2) et courbes planes, (iv) la multiplication m_2 : Sym^2 (H^0 (O_X (K_X )) -> H^0 (O_X (2K_X )) est surjective. Le premier exposé est une introduction: je vais formuler les problèmes de Torelli en discutant : Variation de structures de Hodge, l’application de périodes, formulation cohomologique du différentiel de l’application de périodes. Dans la suite je vais expliquer les idées principales de ma démonstration, des applications et généralisations de la démarche de la démonstration.

For a wide class of Hermitian random matrices, the limit distribution of the eigenvalues close to the largest one is governed by the Airy kernel determinantal point process. In such ensembles, the limit distribution of the k-th largest eigenvalue can be expressed either in terms of a Fredholm determinant or in terms of the Tracy-Widom formulas involving solutions of the Painlevé II equation. Limit distributions for quantities involving two or more near-extreme eigenvalues, such as the gap between the k-th and the l-th largest eigenvalue, are given in terms of Fredholm determinants with several discontinuities. I will show that these Fredholm determinants have simple expressions in terms of solutions of systems of coupled Painlevé II equations, which are traveling wave reductions of the vector non-linear Schrödinger equation. The talk will be based on joint work in progress with Antoine Doeraene.

In 1985, Drinfeld and Sokolov showed how to associate a sequence of integrable PDEs to any semi-simple Lie algebra, now called the Drinfeld--Sokolov hierarchies. One of their important features is the tau-symmetry property that ensures the existence of a single function, called the tau function, such that the components of a solution to the hierarchy are the logarithmic derivatives of the tau function. In this talk, I aim to describe how to compute polynomial tau functions via Sato's Grassmannian approach and Toeplitz determinants and give some examples and applications to the bilinearization of the hierarchies.

I will show that Hurwitz numbers may be generated by certain correlation functions which appear in quantum chaos. .

The topological recursion only rely on the structure of a combinatorial category related to surfaces by remembering the genus g and number of boundaries n and allowing abstract glueing between them, e.g. (g - 1,n +1) > (g,n) or (g_1,1 + n_1) * (g_2,1 + n_2) > (g_1 + g_2,n_1 + n_2). This is somehow frustrating as the geometry (present in most of the case of applications of the topological recursion) is lost. I will present a finer formalism, called geometric recursion, which builds inductively (from a small amount of initial data) functorial assignments from a category of surfaces with their mapping classes. This construction can take value in various topological spaces functorially attached to surfaces, e.g. functions, forms, sections of bundles of conformal blocks etc. over Teichmuller spaces, functions over the universal moduli space of flat connections, etc. If we choose functions from Teichmuller spaces of bordered surfaces valued in a Frobenius algebra, integrating the geometric recursion amplitudes over the moduli space, and taking the Laplace transform with respect to the boundary length, gives back the topological recursion. The prototype of such formulas are Mirzakhani-McShane identities and Mirzakhani recursion for the Weil-Petersson volumes of the moduli space. This is joint work with J.E. Andersen and N. Orantin.

In this talk I will present our recent result by which the conjectural equivalence between the Dubrovin-Zhang and the Double Ramification hierarchies can be translated into an infinite family of tautological relations in the cohomology ring of the moduli space of stable curves, for all genera and number of marked points. Because of their somewhat un-geometric origin, it is hard to make a connection with other known relations, like Pixton's conjecturally complete system. I'll give a down-to-earth introduction to the geometry of the tautological ring and I'll report on the status of our project to prove the relations and the original DR/DZ conjecture and show several side results and applications. This is a joint work with Buryak, Dubrovin and Guéré.

Dans cet exposé on associera à l'action d'un 2-groupe abélien élémentaire V sur un complexe fini X deux complexes de modules instables, l'un algébrique, l'autre topologique. Si la cohomologie équivariante de X est un module libre sur la cohomologie de V, les deux complexes coïncident. Cela montre que la cohomologie des points fixes est, sous cette hypothèse, un foncteur en la cohomologie équivariante de X (décrit en utilisant les travaux de H.-W. Henn et R. Oliver). On donnera une application qui relie cela aux résolutions injectives de Hai, Nam et Schwartz, et qui doit mener à une (nouvelle) construction des spectres de Brown-Gitler.

In my talk I will consider a quantum integrable system with two generic complex parameters q,t whose classical phase space is the moduli space of flat SL(2,C) connections on a genus two surface. This system and its eigenfunctions provide genus two generalizations of the trigonometric Ruijsenaars-Schneider model and Macdonald polynomials, respectively. I will show that the Mapping Class Group of a genus two surface acts by automorphisms of the algebra of operators of this system. Therefore this algebra can be viewed as a genus two generalization of A_1 spherical DAHA. (based on arXiv:1704.02947 joint with Sh. Shakirov)

In perturbative Quantum Field Theory, the renormalization of a scalar theory is encoded by the representative Hopf algebra of the so-called diffeographisms group [Connes-Kreimer 1998--2001], which boils down to the group of formal diffeomorphisms when we evaluate "physical" asymptotic series by summing up all Feynman graphs with a given number of vertices. Feynman graphs, and their partial sums, can then be seen as "global coordinates" for proalgebraic varieties of correlation functions and of renormalization factors. For non-scalar theories and in other QFT contexts, the functorial description of correlation functions and renormalization factors is preserved if we allow functors on non-commutative algebras, in the spirit of Kan 1959, Eckmann-Hilton 1961-1963, Bergman-Hausknecht 1996 and Fresse 1998. I present an application to formal diffeomorphisms, which further requires to replace groups by their non-associative versions called loops [Moufang 1935]. It is a joint work with Ivan P. Shestakov (Sao Paulo).

Une théorie des champs est dite intégrable si elle possède une infinité de quantités conservées en involution. Cette propriété est assurée par l'existence d'une paire de Lax vérifiant une équation de courbure nulle et ayant un crochet de Poisson de type Maillet. Pour de nombreuses théorie des champs, ce crochet de Maillet est décrit par une fonction rationnelle appelée fonction twist. Diverses caractéristiques de ces modèles sont alors liées aux propriétés de cette fonction twist. En particulier, nous expliquerons pendant ce séminaire comment construire, à partir des zéros de la fonction twist, une tour infinie de charges conservées locales en involution. De plus, nous montrerons comment chacune de ces charges engendre une nouvelle équation intégrable sur l'espace des phases du modèle et donc comment cette tour de charges définit une hiérarchie intégrable. Enfin, nous discuterons les similitudes entre ces hierarchies et celles dites de Drinfeld-Sokolov, qui généralisent la célèbre hiérarchie de KdV.

L'objet de cet exposé est le type d'homotopie réel des espaces de configuration de variétés compactes simplement connexes, avec ou sans bord. Sous certaines conditions, nous donnons un modèle réel explicite de ces espaces de configuration et qui ne dépend que du type d'homotopie réel de la variété donnée. De plus, nous étudions l'action des opérades des petits disques sur les espaces de configuration, et nous démontrons que le modèle est compatible avec cet action. Dans le cas des variétés à bord, nous démontrons aussi que le modèle est compatible avec l'action des opérades Swiss-Cheese.

La catégorie homotopique stable des schémas construite par Morel et Voevodsky joue un rôle important en homotopie stable. Dans un travail récent, Isaksen et Wang utilisent la catégorie cellulaire motivique stable pour calculer les groupes d'homotopie stables des sphères jusqu'en dimension 93. Dans ce travail en collaboration avec Bogdan Gheorghe et Achim Krause, on propose un nouveau modèle pour cette catégorie. Ce modèle est élémentaire du point de vue de l'homotopie stable, et met en évidence le lien étroit entre la catégorie d'homotopie stable motivique et les BP-résolutions. Si le temps le permet, nous aborderons également un nouveau calcul de l'algèbre de Steenrod motivique, et les perspectives ouvertes par ce modèle.

L'objectif de cet exposé informel est de présenter une partie des résultats de Turchin et Willwacher (Commutative hairy graphs and representations of Out(F_r), J. Topology 10 (2017) 386-411), notamment la relation entre l'homologie des graphes à cheveux et l'homologie de Hochschild supérieure de à la Pirashvili, restreinte aux graphes.

On étudie la propérade DLie, qui encode la structure d'algèbre double Lie. Après avoir rappelé les définitions nécessaires à la compréhension du titre de l'exposé, on présentera une approche originale pour étudier la Koszulité de cette propérade. On introduira notamment un nouveau produit monoïdal sur la catégorie des S-modules, on présentera les monoïdes associés (appelés protopérades), en présentant la combinatoire sous-jacente, et on montrera qu'il existe une dualité de Koszul pour ces objets. Enfin, on expliquera la difficulté fondamentale à adapter la notion de base PBW des opérades à ces nouveaux objets.

This is a joint work with Zheng Hua. In this work we explain the origin of some well known Poisson structures associated with elliptic curve, including those studied by Feigin-Odesskii and by Nevins-Stafford, from the point of view of derived geometry. Namely, we present a natural construction of a (1-d)-shifted Poisson structure over the moduli stack of complexes of vector bundles over a Calabi-Yau variety of dimension d. In the case of elliptic curves we also calculate symplectic leaves of these Poisson structures.

La description de l'homologie des groupes de congruence du type GL_n(I), où I est un anneau sans unité (c'est-à-dire un idéal d'un anneau unitaire A ; GL_n(I)=Ker(GL_n(A)?GL_n(A/I)), constitue un problème difficile relié à celui de l'excision en K-théorie algébrique. Nous nous proposons d'expliquer comment l'utilisation d'algèbre homologique dans des catégories de foncteurs et l'étude d'une notion appropriée de foncteur polynomial permettent d'obtenir un résultat valable pour tout anneau sans unité (comme celui de Suslin, qu'il généralise) : H_d(GL_n(I);Z) définit toujours un foncteur polynomial de n de degré au plus 2d (en un sens que nous préciserons) - et de degré exactement 2d lorsque I2?I. Ce résultat généralise des travaux de Suslin (1995), Putman (2015) ou Calegari (2015).

We review the theory of associative $\Z_{\ge0}$-graded algebras presented by n generators and n(n-1)/2 quadratic relations and satisfying the so-called Poincare-Birkhoff-Witt condition (PBW-algebras). We consider examples of such algebras depending on two continuous parameters (namely, on an elliptic curve and a point on this curve) which are flat deformations of the polynomial ring in n variables. Diverse properties of these algebras are described, together with their relations to integrable systems, deformation quantization, moduli spaces and other directions of modern investigations.

We will discuss combinatorial properties of the Waldhausen S-construction, which was invented for the purposes of algebraic K-theory and compute homotopical groups of extension categories. These results are used to give a definition of Massey-Yoneda operations without resolutions.

Dans un premier temps, autour de l'exemple du groupe d'automorphismes d'un fibré principal de dimension finie, nous rappellerons brièvement certaines difficultés techniques liées à la géométrie différentielle en dimension infinie et nous motiverons la description de différents cadres de travail, des espaces difféologiques et de Frölicher (pour les plus généraux) aux variétés Hilbertiennes (cadres plus resteints). Dans un deuxième temps, se concentrant sur la notion de groupe de Lie de dimension infinie, d'existence de la fonction exponentielle (c'est à dire de régularité), nous donnerons une version du théorème d'Ambrose-Singer valide dans ce cadre en précisant la notion de groupe d'holonomie. Enfin, en application, nous donnerons une nouvelle preuve de l'intégrabilité non formelle de la hiérarchie KP basée sur la régularité d'un groupe de séries, et discuterons de problèmes ouverts et de développements possibles des résultats exposés.

Let $(N^n,\mathcal{P})$ be a finite\/-\/dimensional affine Poisson manifold and~$A=C^\infty(N^n)$ be the ring of functions on it. Kontsevich proved [\texttt{q-alg/9709040}] that the usual product~$\times$ in~$A$ can always be quantized via $\times\mapsto\star=\times+\hbar\,\{\cdot,\cdot\}_{\mathcal{P}}+\bar{o}(\hbar)$ towards a given Poisson bracket~$\{\cdot,\cdot\}_{\mathcal{P}}$ so that $\star$~stays associative. The higher\/-\/order terms at~$\hbar^k$ in~$\star$ are constructed by using a pictorial language of oriented graphs. We extend the deformation quantisation procedure $\times\mapsto\star$ to a field\/-\/theoretic set\/-\/up of affine bundles~$\pi$ with fibres~$N^n$ over points of an affine base manifold~$M^m$, of local functionals taking $\Gamma(\pi)\to\Bbbk$, and variational Poisson bi\/-\/vectors~$\boldsymbol{\mathcal{P}}$. An extension of the Kontsevich graph technique is done by using the geometry of iterated variations [\texttt{1210.0726}].

In a 1958 paper, Milnor observed that then new work by Bott allowed him to show that the n-sphere admits a vector bundle with non-trivial top Stiefel-Whitney class precisely when n=1,2,4,8. This can be interpreted as a calculation of the mod 2 Hurewicz map for the classifying space BO, which has the structure of an infinite loopspace. I have been studying such Hurewicz maps for generalized homology theories by relating the Adams filtration of the domain to an "augmentation ideal" filtration of the range. When specialized to ordinary mod p homology, my general results have some tidy consequences, with examples including including Milnor's theorem, a variant with ko replaced by tmf, and a new proof of irreducibility results of Steve Wilson.

Une structure de variété complexe sur une variété réelle lisse est donnée par une structure presque complexe intégrable. La description formelle d'une telle structure fait apparaître un grand nombre d'équations algébriques. J’expliquerai dans cet exposé comment la dualité de Koszul avec courbure permet de donner une description des variétés complexes en termes d’algèbres à homotopies près.

Étant donnée une théorie de champ cohomologique (CohFT), Dubrovin et Zhang construisent (sous l'hypothèse de semisimplicité) un système intégrable tel que sa fonction tau correspond à la fonction de partition de la théorie. Dans une série de travaux récents en collaboration avec Buryak, Dubrovin et Guéré on a découvert une transformation naturelle, uniquement déterminée à partir de la CohFT, qui amène le système à une forme standard particulièrement simple (le meilleur des mondes possibles du titre). On conjecture que ce système soit la hiérarchie de double ramification, un autre système intégrable associé à une CohFT et utilisant la géométrie du cycle de double ramification dans l'espace de modules des courbes stables.

En 1983, Mumford a construit une compactification de l'espace qui classifie les courbes complexes lisses de genre g et marquées de n points. En 1991, Witten a établi une conjecture permettant un calcul explicite des nombres d'intersection sur ces espaces. Cette conjecture a été résolue par Kontsevich en 1992. Voilà trois dates marquantes dans l'histoire de ces espaces. Ce sujet s'est depuis développé dans de nombreuses directions au rythme de conjectures venant de la théorie des cordes en physique. Cependant, ces questions s'ancrent profondément dans la géométrie algébrique. Fibrés en droites, théorème de Grothendieck-Riemann-Roch, complexe de Koszul, cohomologie équivariante, K-théorie, factorisations matricielles, je vais montrer comment tous ces outils nous aident à percer les mystères de la géométrie des espaces de modules des courbes complexes.

Une collection exceptionnelle est à peu près une base de générateurs de la catégorie dérivée d'une variété algébrique projective lisse. Une telle catégorie peut être considérée comme un modèle de la variété, contenant cependant des informations géométriques essentielles. D'ailleurs, un faux plan projectif est une surface projective non-isomorphe au plan projectif lui-même, mais dont les nombres de Hodge sont identiques à ceux du plan projectif. Parmi ces faux plans, les surfaces de Keum se caractérisent par leur groupe d?automorphismes, non-commutatif d'ordre 21. Grâce aux résultats de Galkin, Katzarkov, Mellit et Shinder, ces surfaces se comportent, concernant leur collections exceptionnelles, plutôt comme des plans projectifs. Dans cet exposé, nous montrerons également l'existence d'une collection exceptionnelle "non standard" sur une des surfaces de Keum.

Habiro a introduit la catégorie des « enchevêtrements dans les corps en anses », qui englobe à la fois les nœuds usuels dans S^3 et les groupes de difféotopie des corps en anses tridimensionnels. Nous rappellerons cette catégorie, avant d’expliquer comment l’intégrale de Kontsevich (originellement définie comme invariant de nœuds) s’y étend en un foncteur à valeurs dans une catégorie de nature purement combinatoire. Nous énoncerons une propriété d’universalité pour ce foncteur et, en guise de conclusion, nous préciserons son lien avec la TQFT issue de l’invariant de Le-Murakami-Ohtsuki. (Travail en collaboration avec Kazuo Habiro.)

Le dual d'une algèbre de Hopf (de dimension finie) est une algèbre de Hopf. Suivant une idée de Schauenburg, les G-bialgébroïdes de Hopf à gauche sont la bonne généralisation des algèbres de Hopf dans le cas où l'algèbre de base n'est plus nécessairement commutative. Pour un G-bialgébroïde de Hopf à gauche H, l'antipode n'existe pas. En revanche, pour tout élément h de H, on a un élément h_+ \otimes h_? qui correspond à h (1) \otimes S(h(2)). On a un dual à droite H^? et un dual à gauche H_?. Que peut-on dire du couple (H^? , H_? )? Il s'agit d'un travail en commun avec Fabio Gavarini et Niels Kowalzig.

Double Poisson structures have been defined by Van den Bergh as an analogue of Poisson structures on a generic associative algebra. It is then natural to interpret a pair of compatible double Poisson brackets as a non-commutative bihamiltonian structure. In this talk I will show how to obtain such compatible double Poisson structures starting from a Nijenhuis operator on the path algebra of a quiver, generalizing a well-known construction (due to Kosmann-Schwarzbach and Magri) that works in the commutative setting. This formalism can be used to recover a bihamiltonian formulation for various integrable systems of Calogero-Moser type.

In my talk I will show how one can modifiy definition of double Poisson brackets by M. Van den Bergh to take into account non-skew-symmetric double brackets. It appears that major properties of the double Poisson brackets hold in the more general context. In particular, modified double Poisson brackets induce conventional Poisson brackets on the moduli space of representations. I will provide a number of essential examples of modified brackets. And, as an application will consider a noncommutative ODE proposed by M. Kontsevich and will present it in a generalized Hamilton form.

From the seminal papers of Witten and Kontsevich we know that the intersection theory on the moduli spaces of complex curves is described by a tau-function of the KdV integrable hierarchy. Moreover, this tau-function is given by a matrix integral and satisfies the Virasoro constraints. Recently, an open version of this intersection theory was introduced. In my talk I will discuss the matrix models, which (conjecturally) describe different versions of the open intersection numbers.

Les algèbres (de Lie) de Kac-Moody permettent de produire des théories des champs conformes de dimension 2, elles-mêmes modélisant certains phénomènes physiques. Dans cet exposé, nous introduirons des algèbres de Kac-Moody "en dimension supérieure" (avec l'espoir de produire un jour des théories des champs conformes de plus haute dimension). Ces nouvelles algèbres de Kac-Moody seront alors des algèbres de Lie à homotopie près, et nous les étudierons grâce aux outils issus de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique dérivée.

Je vais rappeler brièvement l'existence des produits de Massey en topologie algébrique, puis le théorème de Dwyer qui ramène leur étude à celle, élémentaire, de certaines extensions de groupes. Ensuite je vais énoncer une conjecture de Minac-Tan, qui affirme que pour un groupe de Galois absolu, tous les produits de Massey sont triviaux (en un certain sens). Je vais alors décrire un travail en commun avec Minac, Topaz et Wittenberg, qui montre que la conjecture est vraie pour les produits de 4 classes, en cohomologie modulo 2, pour les corps de nombres. La méthode consiste à trouver une "variété de déploiement", c'est-à-dire à ramener le problème à des équations polynomiales, et à utiliser un principe local-global.

Nous définissons des ensembles avec relations d’indépendances, qui généralisent le principe de localité en physique. Un exemple d'une telle relation est avec les fonctions à plusieurs variables complexes. Les coproduits respectant ces relations d’indépendances permettent alors de définir un schéma de renormalisation à plusieurs variables de régularisation. On montre que la décomposition de Birkhoff se simplifie dans ce cas, ce qui permet de simplifier des preuves de rationalité.

The purpose of this talk is to present the notion of coisotropic morphism in the framework on derived algebraic geometry. We start by some quick reminders on derived algebraic geometry, and we explain how to interpret the classical definitions of coisotropic structures in this context. This involves a slight generalization of the Swiss-Cheese operad of Voronov. We present recent existence results for coisotropic structures, and in the last part of the talk we discuss the relation with deformation quantization and TQFTs. This is a joint work with Pavel Safronov.

I will discuss the Killing operator (K_{ab}[v] = \nabla_a v_b + \nabla_b v_a) as an overdetermined differential operator and its (formal) compatibility complex. It has been recently observed that this compatibility complex and its cohomology play an important role in General Relativity. In more general gauge theories, an analogous role is played by the "gauge generator" operator and its compatibility complex. An important open problem is to explicitly compute the tensorial form of the compatibility complex on (pseudo-)Riemannian spaces of special interest. Surprisingly, despite its importance, the full compatibility complex is known in only very few cases. I have recently reviewed one of these cases, constant curvature spaces, where this complex is known as the Calabi complex, in arXiv:1409.7212. I will also mention a connection with the problem of intrinsic local characterization of isometry classes of (pseudo-)Riemannian geometries. The specific case of cosmological space-time geometries was recently attacked with G. Canepa (MSc, Pavia).

La théorie des localités permet d’associer à tout système de fusion une unique localité propre qui joue le rôle du « meilleur groupe partiel » réalisant le système de fusion. Celle-ci fut développée par Chermak et permet par exemple de construire le classifiant d’un système de fusion. Chermak et Gonzalez ont étendu cette théorie à un cadre plus général : les localités lim-finies. Celle si permet de travailler avec des systèmes fusion au dessus de p-groupes infinis qui et est plus général que la théorie des groupes p-locaux compacts de Broto, Levi et Oliver. Nous donnons une méthode pour construire des localité lim-finies à partir de produits amalgamés. Nous expliquons par exemple comment des familles de systèmes de fusion exotiques découverts par Clelland et Parker ne sont en fait que des point fixes du Frobenius de certaines localités lim-finie. Ceci est un travail en collaboration avec Jason Semeraro et Andy Chermak.

La suite spectrale d'Adams motivique dans la catégorie motivique stable sur C (resp. R) est un outil puissant pour étudier l'homotopie stable classique (resp. la catégorie d'homotopie stable 2-equivariante). La comparaison entre homotopie motivique et homotopie classique se fait à l'aide des foncteurs de réalisation de Betti. Il est donc naturel de vouloir "améliorer" les spectres classiques importants en théorie d'homotopie stable (la K-théorie ko et les formes modulaires topologiques tmf par exemple) en un spectre motivique. Dans cet exposé, je parlerai d'une procédure générale pour construire de tels spectres motiviques. J'expliquerai ensuite comment construire le spectre des formes modulaires motiviques et le spectre de la K-théorie réelle connexe par ce moyen, répondant positivement à une conjecture de Dan Isaksen.

Ceci est un travail en commun avec Bas Janssens (Utrecht). La cohomologie continue des algèbres de Lie de champs de vecteurs sur une variété différentiable est bien étudiée. Pour étudier aussi la cohomologie des algèbres de Lie de champs de vecteurs réguliers sur une variété algébrique, il faut d'autres méthodes que la cohomologie de Gelfand-Fuchs. Dans un papier de 2004, Serge Skryabin définit une catégorie de modules pour des anneaux de Lie W de dérivations d'un anneau R et calcule la cohomologie de degré 1 à valeurs dans un tel module. Skryabin en déduit la cohomologie de degré 2 à coefficients triviaux. Les outils principaux de son travail sont les propriétés de cette catégorie de modules et l'algèbre commutative, comme par exemple le Lemme de Nakayama. Les seules hypothèses sont que W est projectif comme R-module, que 2 et 3 sont inversibles et que les différentielles de Kähler sont engendrés par R. La méthode est de montrer qu'un 1-cocycle est un opérateur différentiel d'un ordre plus petit ou égal à 3, puis d'en déduire une filtration du complexe de cohomologie. Le travail de Skryabin est fascinant par son degré de généralité et par l'interaction des méthodes d'algèbre commutative et théorie des représentations. Dans notre travail avec Janssens, nous transposons les méthodes de Skryabin aux algèbres de Lie-Rinehart, analogues algébriques des algébroïdes de Lie. Pour le moment, nous arrivons à montrer sous une condition de non-évanescence de l'ancre que tout 1-cocycle est un opérateur différentiel d'ordre au plus 3. C'est le point de départ pour décrire toute la cohomologie de degré 1.

Le "string bracket" de Chas-Sullivan est une généralisation du crochet de Goldman. Le but de cet exposé est de montrer que le crochet de Chas-Sullivan est induit par une structure symplectique décalée au niveau des chaînes. C'est un travail en cours avec Zeinalian.

La monodromie d'une équation différentielle mesure le recollement des solutions multivaluées de cette dernière. Un objet analogue a été introduit par Jacques Sauloy dans le cas des équations aux q différences (des équations fonctionnelles faisant intervenir l'opérateur f(x) -> f(qx), avec q complexe fixé). Ici, les solutions sont univaluées : elle n'ont pas de monodromie au sens des équations différentielles. L'analogue de la monodromie ici sera la matrice de connexion de Birkhoff.

Pour décrire les structures algébriques à homotopie près, on utilise souvent le formalisme des opérades. A la même période que May, Segal a introduit son approche et la notion des espaces Gamma. Certaines structures (comme les catégories supérieures ou les espaces de lacets) peuvent être décrites à l’aide de cette approche, ce qui est avantageux dans certaines situations.

Dans cet exposé, je vais essayer de présenter une généralisation du formalisme du Segal à l’aide de catégories d'opérateurs de Barwick et de fibrations de Grothendieck. En présentant comme un exemple la preuve (sans les opérades) de la conjecture de Deligne, j’espère vous convaincre du fait que le formalisme de Segal peut être assez efficace pour produire des exemples intéressants des algèbres de factorisation.

We describe Schur processes and their various incarnations including free boundary, periodic and free-boundary processes. First observed by Okounkov, natural statistical mechanical and combinatorial models can be analyzed asymptotically via Schur processes and their vertex operator representations of the Kyoto school, and we outline the basics of the construction.

Le but de cet exposé est de donner une présentation informelle de la récursion topologique dans son cas le plus simple, celui des nombres de Catalan généralisés, en suivant quelques pages du papier "Lectures on the topological recursion for Higgs bundles and quantum curves" de O. Dumitrescu et M. Mulase (https://arxiv.org/abs/1509.09007).

I will discuss an extension of the Jimbo-Miwa-Ueno differential 1-form to a form closed on the full space of extended monodromy data of systems of linear ordinary differential equations with rational coefficients. This extension is based on the results of M. Bertola generalizing a previous construction by B. Malgrange. I will show how this 1-form can be used to obtain connection formulae for tau functions of Painlevé equations which would include explicit computation of the relevant constant factors.

The ODE/IM correspondence is a conjectural and surprising relation between integrable quantum field theories (Integrable Models, IM) and monodromy data of certain linear analytic ODEs, associated to affine Kac-Moody Lie algebras. In the simplest case of the algebra $sl_2$, the related ODE is a Schroedinger equation and the corresponding integrable model is the quantum KdV equation. In the present talk, I will briefly introduce the physical origin and the main contributions to the ODE/IM correspondence, describing in particular the recent proof of the correspondence for the ground state of the integrable model. The techniques used for the proof include the representation theory of simple Lie algebras and affine Kac-Moody algebras, as well as the asymptotic theory of linear ODEs in the complex plane. The talk is based on the following joint works with D.Masoero and D.Valeri: Bethe Ansatz and the Spectral Theory of affine Lie algebra-valued connections I. The simply-laced case. Bethe Ansatz and the Spectral Theory of affine Lie algebra-valued connections II: The non simply-laced case.

Dans les années 1970, D. Sullivan a posé le problème de la construction d'une classe d'objets géométriques singuliers pour lesquels la signature faisant encore sens. Grâce à la cohomologie d'intersection, une telle classe d'espaces a été déterminée par P. Siegel sous le nom d'espaces de Witt. On motivera l'introduction de ces espaces et comment ils sont liés à des problèmes actuels sur la modélisation algébrique (au sens de l'algèbre homotopique) des variétés topologiques.

The topological recursion, initially developed by Eynard and Orantin in the context of matrix models, has found since then many applications, in enumerative geometry, integrable systems, topological field theories and topological strings, ... After a short presentation of the framework of the topological recursion, this talk will review the results obtained in the last 10 years on formal matrix integrals and asymptotics of convergent matrix integrals. They both satisfy the same Schwinger-Dyson equations -- coming from invariance under diffeomorphism of the integration map -- but their nature differ. In the formal setting, there is by construction an formal series expansion in 1/N (N is the size of the matrix), while in the convergent setting, one can show 1/N or oscillatory all-order asymptotic expansion. Although the techniques to study them differ (analytic combinatorics/probability and functional analysis), the final result is the same, i.e. the coefficients of expansion (formal or asymptotic) are governed by a universal topological recursion. This will be illustrated by several applications among TQFT, topological gravity, Chern-Simons theory on Seifert spaces. I will also indicate the limits of this approach in relation with two examples coming from quantum integrable systems and matrix models with discrete eigenvalues.

Following the approach of Carlet, Dubrovin and Mertens [Math. Ann. 349 (2011), 75--115], we construct two classes of infinite-dimensional Frobenius manifolds underlying the two-component BKP hierarchy and the Toda lattice hierarchy, respectively. These manifolds are defined on the space of pairs of certain functions holomorphic inside or outside the unit circle, and they contain Frobenius submanifolds of finite dimension that coincide with those on the orbit space of (extended) Weyl groups. This talk mainly consists of joint work with Dingdian Xu and Dafeng Zuo.