Séminaire de physique mathématique et topologie algébrique

The Joker is a famous very singular example of an endotrivial module over the 8-dimension subHopf algebra of the mod 2 Steenrod algebra generated by Sq^1 and Sq^2. It is known that this can be realised as the cohomology of two distinct Spanier-Whitehead dual spectra. Similarly, the double and iterated double are also realisable, but then the process stops. In the chromatic world, the double versions give rise objects whose Morava K-theory at height 2 involve endotrivial modules over the quaternion group of order 8 which lives inside the corresponding Morava stabilizer group. This gives a somewhat surprising connection between endotriviality in two different contexts. I will explain how all this works and discuss some possible generalisations to higher chromatic heights.

Ce travail en commun avec Jörg Feldvoss (University of South Alabama) est unesuite de nos travaux sur la cohomologie des algèbres de Leibniz semi-simples. La difficulté est l'absence pour les algèbres de Leibniz d'une suite spectrale de type Hochschild-Serre. Nous arrivons tout de même à généraliser les théorèmes classiques (i.e. pour les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles) de Dixmier et Barnes. Pour les algèbres de Leibniz nilpotentes, nous montrons (si l'algèbre et le bimodule sont de dimension finie) un théorème d'évanescence de cohomologie (si le bimodule ne contient pas d'invariants) et un théorème de non-évanescence (si le bimodule contient des invariants). L'ingrédient principal est la décomposition de Fitting du bimodule.

En géométrie non-commutative dérivée, deux notions de structure de Poisson non-commutative homotopique coexistent : les structures pré-Calabi-Yau, définies comme des éléments de Maurer-Cartan d'une généralisation des champs de polyvecteurs non commutatifs ; et les structures double-Poisson infinies, définies comme la version à homotopie près des double-crochets de Poisson de Van den Bergh. Dans un récent travail en collaboration avec B. Vallette, nous démontrons qu'il y a correspondance de ces deux types de structures, généralisant ainsi des résultats de Iyudu-Kontsevich-Vlassopoulos et Hernandez-Herscovich. Cette correspondance nous permet notamment de définir une bonne notion de morphismes entre algèbres pré-Calabi-Yau. Après avoir introduit les deux notions, je présenterai la stratégie de preuve de cette correspondance, ainsi que les conséquences de celle-ci.