Groupe de travail sur la L²-cohomologie et l’homologie d’intersection

Introduction aux notions d'homologie singulière et simpliciale et dualité de Poincaré.

Groupe de travail sur la L²-cohomologie et l'homologie d'intersection

Séminaire des doctorant.es
Les écoulements turbulents se distinguent par leur imprédictibilité, leur large gamme d’échelles spatiales et leur forte capacité de mélange. Ce régime est essentiel dans de nombreuses applications industrielles nécessitant une homogénéisation rapide (de température, concentration, etc.). Cepen- dant, la large gamme d’échelles spatiales impliquées en rend la simulation exacte très coûteuse, et leur imprédictibilité implique qu’il est difficile de construire des modèles précis de l’écoulement. Afin d’étudier les mécanismes physiques qui opèrent au sein d’un écoulement turbulent, il est intéressant de s’intéresser aux spectres d’énergie, qui caractérisent les échanges d’énergie entre les différentes échelles de le turbulence. Dans le cas idéalisé d’une turbulence homogène et isotrope, des approches relevant principalement de l’analyse dimensionnelle permettent d’obtenir des lois exactes pour l’évolution des spectres d’énergie [1]. Cependant, pour des écoulements plus complexes soumis à des forçages externes tels que du cisaillement, un gradient de température ou de la rotation, il devient nécessaire d’utiliser des mé- thodes analytiques plus avancées pour obtenir les lois d’évolution pour ces spectres. L’approche la plus courante consiste à décomposer les variables d’intérêt (température, vitesse, pression, masse vo- lumique) en une partie moyenne et une partie fluctuante. Cette dernière est alors considérée comme une variable aléatoire dont l’étude des moments permet d’accéder aux spectres d’énergie [2]. Les lois d’évolution de ces moments sont déduites à partir des équations de Navier-Stokes moyen- nées auxquelles on applique la transformée de Fourier. Travailler dans l’espace spectral implique que toutes les variables dépendent de l’échelle spatiale k, une condition essentielle pour caractériser les transferts d’énergie entre échelles turbulentes.

2PMA
Nous considérerons le laplacien magnétique en dimension deux. Sous l'hypothèse que le champ magnétique possède un double puits générique, nous décrirons les plus petites valeurs propres de cet opérateur dans la limite du champ intense. En établissant une formule asymptotique explicite, nous expliquerons pourquoi l'écart entre les deux plus petites valeurs propres est exponentiellement petit, mais non nul. Nous verrons notamment comment la célèbre dynamique centre-guide permet de franchir quantiquement, par effet tunnel, une barrière magnétique. Il s'agit de la première extension à un cadre purement magnétique des considérations d'Helffer et Sjöstrand remontant aux années 80 dans le cas de potentiels électriques. De façon adventice, nous soulignerons les différences essentielles entre les deux phénomènes - électriques et magnétiques, en évoquant les travaux commencés il y a plus de 10 ans dans cette direction. Il s'agit d'une collaboration avec S. Fournais, Y. Guedes Bonthonneau et L. Morin.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
A la fin du XIXe siècle, il était connu que la seule surface de Riemann compacte connexe simplement connexe était la droite projective. Plus tard, d'autres caractérisations des espaces projectifs sont démontrées : Siu et Yau démontrent que ce sont les seules variétés kählériennes qui ont une courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive, Mori établit que ce sont les seules variétés qui ont leur fibré tangent ample. Dans une autre direction, on peut établir que ce sont les seules variétés qui disposent d'une métrique de Kähler--Einstein avec constante positive et satisfont l'égalité dans l'inégalité de Miyaoka--Yau. Cet énoncé qui provient de l'uniformisation a été adapté au cas singulier par Greb, Kebekus, Peternell et Druel, Guenancia, Paun. Ainsi, ils caractérisent les variétés singulières obtenues comme quotients d'espaces projectifs complexes, pour des actions de groupes qui agissent sans point fixe en codimension 1. L'objectif de l'exposé est de proposer une caractérisation de quotients d'espaces projectifs complexes par des actions de groupes quelconques.

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Van Den Bergh a introduit le concept de résolution noncommutatives crépante A d'une singularité X, et montré comment l'on pouvait, en basse dimension, construires à partir des représentations de A des résolutions (commutatives) crépantes de X. On s'intéresse ici au cas d'une singularité CY3 X, où A peut être représentée par un carquois avec potentiel (Q,W). On étudie alors les invariants de Donaldson-Thomas (DT), qui donnent un comptage virtuel des représentations de (Q,W) pour diverses condition de stabilité. Des techniques de diagramme de scattering permettent alors de calculer ces invariants DT récursivement à partir de données initiales, que l'on espère assez simples pour des carquois avec potentiel 'intéressants'. J'exposerai ici un travail en cours visant à décrire complètement ces données initiales dans le cas des résolutions noncommutatives des singularités CY3, en utilisant des idées de géométrie birationnelle.

Séminaire de probabilités et statistiques
TBA

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
Let $S$ be a degree $d$ surface in $\P^n$ with sectional genus $g$. In this talk I will present results in collaboration with Th. Dedieu and M. mendes Lopes, concerning the classification of these surfaces under the hypothesis that d>3g-3.

2PMA
À tout projecteur orthogonal de rang fini N sur L^2(R^d) est associé un processus ponctuel sur R^d à N points, qui donne la densité de probabilité jointe des fermions qui remplissent l'image du projecteur. L'étude des propriétés statistiques de ces fermions, dans la limite où N tend vers l'infini, est liée à des problèmes de théorie spectrale semiclassique, en partie bien établis (la loi de Weyl se traduit en une loi des grands nombres), en partie nouveaux. En particulier, le comportement de la variance de ces processus est liée aux propriétés de commutateurs impliquant des projecteurs spectraux, encore mal compris.

Séminaire des doctorant.es
Ruelle and Policott's introduction of resonances in the 1980s marked a significant advance in understanding the long-term behaviour of chaotic dynamics. These Ruelle resonances, defined as elements of the discrete spectrum of the transfer operator on some sophisticated anisotropic Banach space, provide a nice framework to describe the convergence towards equilibrium. In this talk, we investigate this notion of resonance in the context of Anosov-type system. Arnold's cat map serves as a central example, offering a clear setting to examine the spectral properties of the transfer operator and their connection to the decay of correlations. By analysing the transfer operator of an Anosov map in some appropriate functional space, we show the existence of resonances and how they encode the statistical properties of the dynamics.