THEORIE DES VALUATIONS.

D. Schaub

Département de Mathématiques

Université d’Angers

2, bd Lavoisier 49045 Angers Cédex.

Table des matières

1 Anneaux de valuation. 3 2 Valuations 6 3 Valuations et entiers. 8 4 Rang et degré résiduel. 10 5 Composition de valuations. 14 6 Théorème d’approximation. 18 7 Prolongement d’une valuation. 21

7.1 Extension transcendante pure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.2 Extension algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8 Valuations divisorielles. 26 9 Exemples 33 10 Surface de Riemann abstraite d’un corps 33

1 Anneaux de valuation.

Définition 1.1 Soient A, m_{A} et B, m_{B} deux anneaux locaux. On dit que B domine A si A est un sous-anneau de B et m_{B} ∩ A = m_{A}.

Théorème 1.1 Soient K un corps et V un sous-anneau de K. Il y a équivalence des conditions suivantes :

i) V est maximal dans l’ensemble des sous-anneaux locaux de K pour la relation de domination ,

ii) il existe un corps algébriquement clos L et h : V → L un homomorphisme, maximal dans l’ensemble des homomorphismes d’un sous-anneau de K dans L, ordonné par “g est un prolongement de f”,

iii) si x ∈ K, x∈/V, alors x^{−1} ∈ V,

iv) V_{(0)} = K et l’ensemble des idéaux principaux de V est totalement ordonné par inclusion,

v) V_{(0)} = K et l’ensemble des idéaux (fractionnaires) de V est totalement ordonné par inclusion.

Preuve : i) ⇒ ii) V est un anneau local. Soit L une clôture algébrique de k_{v} = V/m_{V} et h : V → L l’application canonique. Soit V ⊂ V′ ⊂ K, h′ : V′ → L prolongeant h et p′ = ker(h′). Alors p′ ∩ V = ker(h) = m_{V}, d’où V′_{p′} domine V et, par conséquent, V′_{p′} = V ⇒ V′ = V (car V ⊂ V′ ⊂ V′_{p′}).

ii) ⇒ iii) Soit L algébriquement clos et h : V → L tel que h soit maximal dans l’ensemble des homomorphismes d’un sous-anneau de K dans L. soit p = ker(h). Les éléments de h(V − p) sont inversibles dans L, d’où h se factorise à travers V_{p} (ie. h se prolonge à V_{p}), d’où V = V_{p} et (V, p) est local.

Soit 0 ≠ x ∈ K, il faut voir que soit x ∈ V, soit x^{−1} ∈ V. Pour cela, il suffit de voir (comme h est maximal) que h se prolonge à V [x] ou à V [x^{−1}].

Si x est entier sur V, c’est le résultat général suivant : si A ⊂ A′, A′ entier sur A et f : A → L, où L est un corps algébriquement clos, alors f se prolonge à A′.

Sinon on applique le lemme suivant à A = V et B = K :

Lemme 1.1 Soit A ⊂ B, x ∈ B entier sur A, alors B_{x} ≠ (0) et il existe des idéaux maximaux de A[x^{−1}] ⊂ B_{x} qui contiennent x^{−1}. De plus, si m est un de ces idéaux maximaux et ϕ : A → A[x^{−1}], ϕ^{−1}(m) est un idéal maximal de A.

Preuve du lemme : Comme x n’est pas entier sur A, il n’est pas nilpotent, d’où B_{x} ≠ (0). De plus, x∈/A[1/x] (sinon on aurait une relation de la forme x/1 = a_{0} + a_{1}/x + ⋯ + a_{n}/x^{n}, a_{i} ∈ A, d’où, en multipliant par x^{n}, une relation de dépendance intégrale de x sur A!).

Comme 1/x n’est pas inversible dans A[1/x], il existe un idéal maximal m de A[1/x] qui contient 1/x. Soient ϕ : A → A[1/x], p : A[1/x] → A[1/x]/m les homomorphismes canoniques. On a p(A[1/x]) = p(ϕ(A))[p(1/x)] = p(ϕ(A)) puisque p(1/x) = 0, d’où p(ϕ(A)) est un corps et ϕ^{−1}(m) est un idéal maximal de A.

Ainsi on peut trouver un idéal maximal m ⊂ V [x^{−1}] contenant x^{−1} et m ∩ V est un idéal maximal de V ; donc m ∩ V = p (puisque V est local).

Alors si f : V [x^{−1}] \underrightarrow{can} V [x^{−1}]/m, on a V/p = f(V [x^{−1}]), donc \overline{h} ∘ f : V [x^{−1}] → L (où \overline{h} : V/p → L factorise h) prolonge h.

iii) ⇒ iv) K est le corps des fractions de V. Soient alors a, b ∈ V tels que V a⊂ /V b, alors V b ⊂ V a. En effet, si b = 0, c’est évident, sinon a∈/V b ⇒ b^{−1}a∈/V, d’où par iii), a^{−1}b ∈ V ⇒ V b ⊂ V a.

iv) ⇒ v) Soient I et J deux idéaux de V tels que I⊂ /J. donc il existe a ∈ I, a∈/J, d’où ∀b ∈ J, a∈/V b ⇒ V a⊂ /V b ⇒ V a ⊂ V b ⊂ I ⇒ b ∈ I. d’où J ⊂ I.

v) ⇒ i) V ne possède ainsi qu’un seul idéal maximal ; c’est donc un anneau local. soit V′ un sous-anneau de K dominant V et 0 ≠ x ∈ V′; on peut écrire x = a/b, a, b, ∈ V. L’un des idéaux V a, V b est inclus dans l’autre. Si V a ⊂ V b, alors x ∈ V, sinon on a x^{−1} ∈ V. Mais 1∈/m_{V} V′, donc x^{−1}∈/m_{V}, d’où x ∈ V puisque V est local. D’où V′ ⊂ V.

Définition 1.2 V est un anneau de valuation pour K si V satisfait l’une des conditions du théorème.

Un anneau est un anneau de valuation s’il est intègre et est un anneau de valuation pour son corps des fractions.

Théorème 1.2 Soit K un corps et h un homomorphisme d’un sous-anneau A de K dans un corps algébriquement clos L, alors il existe un anneau de valuation V pour K et un homomorphisme h′ : V → L tels que A ⊂ V, h′ prolonge h et h′^{−1}(0) = m_{v}.

Preuve : L’ensemble H des homomorphismes de sous-anneaux de K dans L qui prolongent h, ordonné par prolongement, est un ensemble inductif, d’où par le lemme de Zorn, il existe un élément maximal h′ qui prolonge h.

Soit V l’anneau correspondant ; alors A ⊂ V et si p = h′^{−1}(0), h′ se prolonge à V_{p} → L, d’où, par maximalité, V_{p} = V et p = m_{v}.

Corollaire 1.1 Tout sous-anneau local A d’un corps K est dominé par au moins un anneau de valuation pour K.

On applique le théorème au morphisme canonique h : A → \overline{k} où k = A/m_{A} et “barre” désigne la clôture intégrale. Il existe donc V, anneau de valuation, tel que A ⊂ V →^{h′} \overline{k} qui prolonge h. D’où m_{A} ⊂ m_{V} ∩ A ⇒ m_{V} ∩ A = m_{A}.

Exemples.

i) Tout corps est un anneau de valuation. ii) Si V′ est un anneau de valuation pour K′ et K un sous-corps de K′, alors V′ ∩ K est un anneau de valuation pour K. iii)

Proposition 1.1 Soit (A, m) un anneau local tel que m = (p) est principal. Si ⋂_{1}^{∞} Ap^{n} = (0) (par ex. A noethérien), les seuls idéaux de A sont (0) et les Ap^{n}. Alors ou bien p est nilpotent, ou bien A est un anneau de valuation.

Preuve : Pour tout x ∈ A, non nul, il existe n ∈ IN tel que x ∈ Ap^{n}, x∈/Ap^{n+1} ; posons v(x) = n et v(0) = ∞. Soit I un idéal, non réduit à 0, et a ∈ I tel que v(a) = s soit minimal. alors, I ⊂ Ap^{s}, donc il existe u ∈ A tel que a = up^{s}∈/Ap^{s+1}, d’où u∈/Ap ie. u est inversible. Mais alors Ap^{s} ⊂ I et I = Ap^{s}.

Si A n’est pas intègre, alors il existe a, b ∈ A, non nuls, tels que ab = 0. Mais a = up^{v(a)}, b = vp^{v(b)} avec u, v inversibles, d’où ab = uvp^{v(a)+v(b)} = 0 ⇒ p est nilpotent.

Donc p non nilpotent implique A intègre, et, comme les idéaux de A sont totalement ordonnés, A est un anneau de valuation pour son corps des fractions. Application : Soit p ∈ ZZ un nombre premier, alors ZZ_{(p)} est un anneau de valuation.

Proposition 1.2 Soit A un anneau principal et K son corps des fractions. Les anneaux de valuation de K contenant A (et ≠ K) sont précisément les anneaux de la forme A_{(p)} où p est un élément extrémal.

Preuve : Il est clair que si p est irréductible, alors A_{(p)} est un anneau de valuation (A_{(p)} est un anneau local, intègre, d’idéal maximal principal et noethérien).

Inversement, soit V ⊃ A un anneau de valuation pour K. Comme V ≠ K, il existe 0 ≠ x ∈ m_{V} ; celui-ci peut s’écrire x = a/b, a, b, ∈ A. En fait, 0 ≠ a ∈ m_{V} ∩ A (a = bx ∈ m_{V}), donc m_{V} ∩ A ≠ (0) est un idéal premier (p) de A où p est un élément irréductible de A. Alors A_{(p)} ⊂ V et m_{V} ∩ A_{(p)} = pA_{(p)}, ie. V domine A_{(p)}, donc V = A_{(p)}.

Corollaire 1.2 Tout anneau de valuation pour lQ, distinct de lQ, est de la forme ZZ_{(p)} où p est un nombre premier.

Corollaire 1.3 Soit K un corps et K(X) les fonctions rationnelles sur K en une variable, soit V un anneau de valuation pour K(X), contenant K et distinct de K(X). Alors, si x ∈ V, il existe un polynôme irréductible P ∈ K[X] tel que V = (K[X])_{(P)}, sinon V = K[X^{−1}]_{(X^{−1})}.

Preuve : Si x ∈ V, c’est la proposition. Sinon, X^{−1} ∈ V, d’où K[X^{−1}] ⊂ V et V = K[X^{−1}]_{P}, d’après la proposition. Alors X^{−1} ∈ P (car X^{−1} non inversible dans V), d’où P = (X^{−1}).

2 Valuations

Soient K un corps et K^{∗} = K − 0 et Γ un groupe abélien totalement ordonné.

Définition 2.1 Une valuation v sur K est une application v : K^{∗} → Γ telle que, pour tous x, y ∈ K^{∗} :

\begin{aligned}v(xy) & = & v(x) + v(y) \\ v(x + y) & ≥ & min\{v(x), v(y)\} \end{aligned} .

Pour x ∈ K^{∗}, v(x) est appelé valeur de x. L’image v(K^{∗}) est un sous-groupe de Γ, appelé groupe des valeurs de v. On supposera toujours dans la suite que v(K^{∗}) = Γ.

On dit que v est triviale si v(a) = 0, ∀a ∈ K^{∗}.

Conséquences : 1) v(1) = v(−1) = 0. Si a ∈ K est racine n-ième de l’unité, alors v(a) = 0 (car Γ est totalement ordonné).

2) v(x) = v(−x), d’où v(x − y) ≥ min{v(x), v(y)}; v(x/y) = v(x) − v(y).

3) v(x) < v(y) ⇒ v(x+y) = v(x) (en effet : v(x+y) ≥ min{v(x), v(y)} = v(x) et v(x + y − y) = v(x) ≥ min{v(x + y), v(y)} ie. v(x) ≥ v(x + y), et, par conséquent, v(x) = v(x + y)).

Plus généralement, v(∑_{i=1}^{n}) ≥ min_{i}{v(x_{i})}, avec égalité si un seul des v(x_{i} atteint le minimum, d’où le :

Lemme 2.1 Si ∑_{i=1}^{n} x_{i} = 0, alors il existe j ≠ k tels que v(x_{j}) = v(x_{k}) = min_{i}{v(x_{i})}.

Sinon v(∑_{i=1}^{n}) = min_{i}{v(x_{i})} ∈ Γ alors que v(0) n’est pas défini.

Définition 2.2 Soient v et v′ deux valuations de K de groupes de valeurs Γ et Γ′. On dit que v et v′ sont équivalentes s’il existe un isomorphisme de groupes ordonnés ϕ : Γ → Γ′ tel que v′(x) = ϕ(v(x)), ∀x ∈ K^{∗}.

Proposition 2.1 Soit (K, v) un corps valué et Γ le groupe de valeurs de v. Alors

i) A_{v} = {x ∈ K|v(x) ≥ 0} est un sous-anneau de K;

ii) pour tout α ∈ Γ, les ensembles V_{α} = {x ∈ K|v(x) > α} et V′_{α} = {x ∈ K|v(x) ≥ α} sont des idéaux (fractionnaires si α < 0) de A_{v} et tout idéal de A_{v} contient un V′_{α};

iii) m_{v} = {x ∈ K|v(x) > 0} est l’idéal maximal de A_{v}, U_{A_{v}} = A_{v} − m_{v} est l’ensemble des éléments inversibles de A_{v}, k_{v} = A_{v}/m_{v} est un corps ;

iv) pour tout x ∈ K − A_{v}, x^{−1} ∈ m_{v}.

Preuve : Tout est immédiat sauf, peut-être la fin du ii). Soit donc I un idéal et x ≠ 0, x ∈ I. Alors, ∀y ∈ A_{v} tel que v(y) ≥ v(x), y ∈ I, d’où V′_{α} ⊂ I où α = v(x) (en effet : y = zx où z = yx^{−1}, mais v(z) = v(y) − v(x) ≥ 0 ⇒ z ∈ A_{v}). 0 Si x ∈ A_{v} − m_{v}, v(x) = 0, d’où v(x^{−1}) = −v(x) = 0 et x^{−1} ∈ A_{v}.

Définition 2.3 A_{v} est appelé l’anneau de la valuation v, m_{v} l’idéal de v et k_{v} le corps résiduel de v.

Remarque : Γ = v(K^{∗}) ≅ K^{∗}/U_{A_{v}}.

Définissons sur K^{∗} la relation de divisibilité :

x|y ⇔ ∃a ∈ A_{v}|y = ax

. C’est une relation de préordre. Si x|y et y|x, on a x = ay et y = bx, d’où ab = 1 ie. a et b sont inversibles. Par conséquent, x et y coïncident modulo U_{A_{v}}.

La division définit donc une relation d’ordre sur K^{∗}/U_{A_{v}}, c’est un ordre total et x|y ⇒ v(y) ≥ v(x), d’où v : K^{∗}/U_{A_{v}} → Γ(= v(K^{∗})) est un isomorphisme de groupes ordonnés.

Proposition 2.2 Deux valuations v et v′ de K sont équivalentes ssi leurs anneaux sont égaux (ie. A_{v} = A_{v′}).

Preuve : A_{v} = A_{v′} = A ⇒ v(K^{∗}) ≅ K^{∗}/U_{A} ≅ v′(K^{∗}) est un isomorphisme de groupes ordonnés, d’où ϕ : v(K^{∗}) → v′(K^{∗}). La réciproque est claire.

Si k ⊂ K est une extension de corps, on parle de valuation de K audessus de k, ou de valuation de K/k si v(c) = 0, ∀c ∈ k ie. si v est triviale sur k.

Remarque : On a vu qu’une valuation définit un anneau de valuation, mais inversement aussi, un anneau de valuation définit une unique valuation (à équivalence près) dont c’est l’anneau de valuation.

En effet : Si A ⊂ K est un anneau de valuation pour K, alors l’ensemble F des idéaux principaux (fractionnaires) de A est totalement ordonné (par inclusion). Cet ensemble est aussi muni naturellement d’une structure de groupe. Considérons l’application g : F → K^{∗}/U_{A} définie par, pour x ∈ K^{∗}, g(Ax) = \overline{x} où \overline{x} est la classe de x modulo U_{A}.

Cette application est clairement un isomorphisme de groupes. De plus, Ax ⊂ Ay ⇒ x ∈ Ay ⇒ x = αy ⇒ y|x, g respecte donc aussi l’ordre, c’est donc un isomorphisme de groupes ordonnés, d’où K^{∗}/U_{A} est totalement ordonné.

On vérifie immédiatement que l’application canonique v : K^{∗} → K^{∗}/U_{A} est une valuation et A_{v} = {x ∈ K^{∗}|v(x) ≥ 0} = {x ∈ K^{∗}|1 divise x} = {x = α · 1 α ∈ A} = A.

Définition 2.4 Soit A un sous-anneau de K. Une valuation v de K est dite finie sur A (ou encore centrée dans A) si A ⊂ A_{v}.

Dans ce cas, p = m_{v} ∩ A est un idéal premier de A appelé centre de v dans A. On dit aussi que la valuation est centrée en p dans A.

Remarque : Si v est centrée en p dans pA_{p} dans A_{p}. Inversement, si p est un idéal premier de A tel que (1) v est finie sur A_{p}, (2) m_{v} ∩A_{p} = pA_{p}, alors v (est finie sur A et) centrée en p dans A.

3 Valuations et entiers.

Définition 3.1 Soient A ⊂ B un sous-anneau de B. On dit que x ∈ B est entier sur A s’il existe a_{0}, …, a_{n−1} ∈ A tels que x^{n}+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_{0} = 0.

Donnons sans démonstrations une liste de résultats sur la notion d’entier (pour des références [?], [?], [?] par exemple).

Proposition 3.1 Avec les mêmes notations, les assertions suivantes sont équivalentes :

1) x est entier sur A;

2) A[x] est un A-module de type fini ;

3) A[x] est contenu dans un sous-anneau de B qui est un A-module de type fini ;

4) il existe un A-module M de type fini tel que xM ⊂ M et si y ∈ A[x] annule M (ie. yM = 0), alors y = 0.

Proposition 3.2 L’ensemble des éléments de B entiers sur A est un sousanneau \overline{A} de B, contenant A, appelé clôture intégrale de A dans B. Si A = \overline{A}, on dira que A est intégralement clos dans B.

Proposition 3.3 Si B est entier sur A et C entier sur B, alors C est entier sur A.

Remarques : i) La clôture intégrale de A dans B est intégralement close dans B (ie. x ∈ B entier sur A ⇒ x ∈ \overline{A}).

ii) Si A est intègre et K son corps des fractions, la clôture intégrale de A dans K est appelée simplement clôture intégrale de A.

Proposition 3.4 (GOING UP) Soit A un anneau, p, q deux idéaux premiers de A tels que q ⊂ p, A′ entier sur A et p′ un idéal premier de A′ tel que p′ ∩ A = p, alors il existe q′, idéal premier de A′, p′ ⊂ q′ tel que q′ ∩ A′ = p′.

Remarques : a) Si p′ est strictement contenu dans q′, alors p′ ∩ A est strictement contenu dans q′ ∩ A.

b) Soit p′ tel que p′ ∩ A = p, alors p′ ∩ A est maximal ssi p est maximal.

c) Tout localisé d’un intégralement clos est intégralement clos. Mais il n’en est pas de même pour le passage au quotient !

Revenons à présent aux valuations.

Théorème 3.1 Soit K un corps et A un sous-anneau de K. La fermeture intégrale A′ de A dans K est l’intersection des anneaux de valuation pour K contenant A. De plus, si A est local, A′ est l’intersection des anneaux de valuation A_{v} qui dominent A.

Preuve : Soit x ∈ A′ et V un anneau de valuation pour K tel que A ⊂ V. Comme x est entier sur A, il l’est a fortiori sur V. Il existe donc p′, idéal premier de V [x] tel que p′ ∩ V = m_{v}, mais V [x]_{p′} > V (domine), donc, par maximalité des anneaux de valuation, V [x]_{p′} = V, d’où x ∈ V.

Inversement, soit y ∈ K non entier sur A. Alors y∈/A[y^{−1}] (sinon y peut s’écrire y = a_{0} + a_{1}/y + ⋯ + a_{n}/y^{n} ⇒ y^{n+1} = a_{0}y^{n} + a_{1}y^{n−1} + ⋯ + a_{n}, ie. y est entier sur A). D’où y^{−1} est contenu dans un idéal maximal de m de A[y^{−1}]. Si alors V est un anneau de valuation qui domine (A[y^{−1}]_{m}) (comme on l’a vu plus haut, il en existe toujours), y^{−1} ∈ m_{V} ⇒ y∈/V.

De plus, m ∩ A est un idéal maximal de A (car A/m ∩ A = A[y^{−1}]/m), donc, si A est local, m ∩ A = m_{A} ⇒ V > A.

Corollaire 3.1 Tout anneau de valuation est intégralement clos.

Corollaire 3.2 Un anneau est intègre et intégralement clos ssi il est intersection d’une famille d’anneaux de valuation pour son corps des fractions.

Corollaire 3.3 Si A est un sous-anneau d’un corps K et p un idéal premier de A, alors \overline{A_{p}} = ⋂_{\{v|m_{v}∩A_{p}=pA_{p}\}} A_{v}, ie. \overline{A_{p}} est intersection des anneaux de valuation A_{v} tels que A ⊂ A_{v} et p = m_{v} ∩ A.

Soit A un anneau intègre et K son corps des fractions, q un idéal premier de A et v une valuation telle que A ⊂ A_{v} et q = m_{v} ∩ A, alors A/q ⊂ k_{v}, d’où k = (A/q)_{(0)} ⊂ k_{v}.

Définition 3.2 v est du premier type par rapport à A si degtr_{k}(k_{v}) = 0 et du deuxième type sinon.

Théorème 3.2 Etant donnés un anneau intègre intégralement clos A et q un idéal premier, alors A_{q} est un anneau de valuation ssi il n’existe pas de valuation v du corps des fractions K de A tel que q = m_{v} ∩A et du deuxième type par rapport à A.

4 Rang et degré résiduel.

Soit Γ un groupe totalement ordonné et v : K^{∗} → Γ une valuation.

Définition 4.1 Un sous-ensemble non vide Δ de Γ est un segment si α ∈ Δ ⇒ [−α, α] ⊂ Δ (ie. tout β tel que −α ≤ β ≤ α est encore dans Δ).

Si, de plus, Δ est un sous-groupe (propre) de Γ, on dit que Δ est un sous-groupe isolé ou convexe de Γ.

L’ensemble des segments de Γ est ordonné par inclusion.

Définition 4.2 Le rang de v, noté rang(v), est le type ordinal de l’ensemble des sous-groupes isolés de Γ ^{1}. Si cet ensemble est fini, c’est simplement le nombre des sous-groupes isolés.

Si E est un sous-ensemble de l’anneau de valuation A_{v}, on note Γ_{E} = Γ − {±v(x)|0 ≠ x ∈ E}.

1Deux ensembles totalement ordonnés ont même type ordinal s’ils sont isomorphes en tant qu’ensembles ordonnés.

Théorème 4.1 Si I est un idéal propre de A_{v}, alors Γ_{I} est un segment de Γ. L’application I → Γ_{I} est bijective et renverse l’ordre. Γ_{I} est un sous-groupe isolé ssi I est un idéal premier non nul de A_{v}.

Preuve : Γ_{I} est non vide (car 0 ∈ Γ_{I}) et différent de Γ tout entier (car pour x ∈ I, v(x)∈/Γ_{I}). C’est un segment : en effet, si α ∈ v(I) et β > α, alors γ = β − α ∈ Γ_{+} − v(A_{v}), ie. il existe z ∈ A_{v} tel que γ = v(z), d’où β = v(xz) ∈ v(I).

En sens inverse, à un segment Δ de Γ, on associe {x ∈ A_{v}|v(x)∈/Δ} qui est clairement un idéal de A_{v}.

De plus, I ⊂ J ⇒ Γ_{I} ⊃ Γ_{J}, donc l’application renverse l’ordre.

Soit Δ un sous-groupe isolé, alors J = {x ∈ A_{v}|v(x)∈/Δ} est un idéal premier de A_{v} (en effet : xy ∈ J, x∈/J ⇒ v(xy)∈/δ, v(x) ∈ δ, d’où v(x) + v(y)∈/Δ et v(x) ∈ δ, d’où v(y)∈/Δ ⇒ y ∈ J).

Inversement, supposons que I soit premier. Il suffit de voir que si a, b ∈ Γ_{I} ∩ Γ_{+}, alors a − b ∈ Γ_{I}. Or, si, par exemple, a − b ∈ Γ_{+}, alors a − b = v(x) − v(y) = v(xy^{−1}) = v(z), d’où v(xy^{−1}z^{−1}) = 0 ⇒ xy^{−1}z^{−1} = u inversible dans A_{v}, donc x = uyz et a − b ∈ v(I) ⇒ z ∈ v(I) ⇒ x ∈ v(I).

Corollaire 4.1 Le rang de v est le type ordinal de l’ensemble des idéaux premiers de A_{v}.

Théorème 4.2 Soit A un anneau de valuation d’un corps K. Alors :

1) Tout sous-anneau B de K tel que A ⊂ B ⊂ K est un anneau de valuation pour K;

2) m_{B} est un idéal premier de A;

3) l’application de Spec(A) → {B|A ⊂ B ⊂ K} qui à p associe A_{p} est une bijection décroissante qui envoie m_{B} sur B.

Preuve : Si x ∈ K − B, alors a fortiori x ∈ K − A, donc x^{−1} ∈ m_{A} ⊂ B (théorème ??), d’où B est un anneau de valuation et m_{B}, son idéal maximal, est dans A (x ∈ m_{B} implique x^{−1}∈/B, donc ∈/A, donc x ∈ m_{A}).

Clairement A_{m_{B}} ⊂ B et, inversement si x ∈ B −A, x^{−1} ∈ A et x^{−1}∈/m_{B}, d’où x ∈ A_{m_{B}} et, par conséquent, B = A_{m_{B}}.

Si p est un idéal premier de A et B = A_{p}, alors m_{B} ∩ A = p et m_{B} ⊂ A implique m_{B} = p.

Corollaire 4.2 L’ensemble des sous-anneaux de K contenant A est totalement ordonné par inclusion.

C’est une conséquence immédiate du fait que l’ensemble des idéaux premiers de A est totalement ordonné.

Théorème 4.3 Soit A un sous-anneau de K qui ne soit pas un corps. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) A est l’anneau d’une valuation de rang 1 de K;

ii) A est un anneau de valuation et son spectre est réduit à (0) et m_{A}; iii) A est maximal parmi les sous-anneaux de K, distincts de K.

Preuve : On a déjà montré que i) ⇒ ii) ⇒ iii). Il reste à montrer que iii) ⇒ i). Pour cela, soit A maximal parmi les sous-anneaux de K et m un idéal maximal de A. Alors, si V est un anneau de valuation de K qui domine A_{m}, V ≠ K, on a A ⊂ V ⊂ K, d’où A = V et, par maximalité, cela implique que le spectre de A est réduit à (0) et m, d’où le rang est 1.

Théorème 4.4 Pour qu’une valuation soit de rang 1, il faut et il suffit que son groupe Γ soit isomorphe à un sous-groupe ordonné non nul de IR.

Cela résulte de la proposition :

Proposition 4.1 Soit Γ un groupe totalement ordonné non réduit à 0. Il y a équivalence de :

i) rang(Γ) = 1 ;

ii) Γ est archimédien (ie. ∀x > 0, y ∈ G, ∃n ≥ 0 tel que y < nx) ; ii) Γ est isomorphe à un sous-groupe non nul de (IR, +).

Preuve : i) ⇒ ii) Soit x > 0 et H_{x} = {y ∈ G|∃n ≥ 0|y| ≤ nx}. On vérifie immédiatement que H_{x} est un sous-groupe isolé de Γ et que si Δ est un sous-groupe isolé de Γ contenant x, alors H_{x} ⊂ Δ.

De rang(Γ) = 1 on déduit qu’il n’y a que 2 sous-groupes isolés, à savoir (0) et Γ. Or, pour tout x > 0, H_{x} ≠ (0), d’où H_{x} = Γ. On a ainsi montré que i) ⇒ ii).

Inversement, si Γ est archimédien, alors H_{x} = Γ. Soit alors Δ un sousgroupe isolé, non réduit à (0), de Γ, alors si x > 0, x ∈ Δ, H_{x} ⊂ Δ, d’où Δ = Γ.

Clairement iii) ⇒ ii). Reste donc à montrer que ii) ⇒ iii). Pour cela, soit α ∈ Γ_{+}. Alors, ∀β ∈ Γ, notons C_{1} = \{\frac{m}{n}|mα < nβ, n > 0\}, C_{2} = \{\frac{m}{n}|mα ≥ nβ}. C_{1} et C_{2} définissent une coupure de Dedekind de IR, donc un élément b ∈ IR. On pose ϕ(β) = b. On vérifie alors que ϕ est un isomorphisme préservant l’ordre de Γ sur un sous-groupe de IR (ce ϕ dépend bien sûr de α et ϕ(α) = 1).

Théorème 4.5 L’anneau de valuation A_{v} est noethérien ssi le groupe des valeurs Γ de v est ZZ.

Preuve : Montrons d’abord que A_{v} noethérien implique que v est de rang 1. Supposons que rang(v) > 1. Alors, il existe Δ, sous-groupe isolé ≠ (0) et distinct de Γ. Soit α ∈ Δ_{+} et β ∈ Γ − Δ. Comme Δ est un segment et ∀n, nα ∈ Δ, on a ∀n, β > nα. On en déduit donc une chaîne strictement décroissante β, β − α, β − 2α, …, β − nα, … d’éléments positifs, d’où une chaîne strictement décroissante de segments de Γ, et donc une chaîne strictement croissante d’idéaux de A_{v}. Donc A_{v} n’est pas noethérien.

Supposons à présent que rang(v) = 1. Si A_{v} est noethérien, il existe un plus petit élément α ∈ Γ_{+}. Alors {nα|α ∈ ZZ} est un sous-groupe isolé (en effet : c’est clairement un sous-groupe et s’il existe γ ∈ Γ tel que nα < γ < (n + 1)α, alors 0 < γ − nα < α′, c’est donc aussi un segment). D’où {nα|n ∈ ZZ} = Γ, d’où Γ ≅ ZZ.

Inversement, si Γ ≅ ZZ, A_{v} non noethérien implique qu’il existe une chaîne strictement décroissante d’entiers, ce qui est impossible.

Définition 4.3 Une valuation v est discrète si son groupe des valeurs est isomorphe à ZZ^{k} ordonné lexicographiquement.

Par conséquent, A_{v} est noethérien ssi v est une valuation discrète de rang 1.

Corollaire 4.3 Un anneau local intègre, intégralement clos (A, m) dont le spectre est réduit à (0) et m est un anneau de valuation discrète de rang 1.

Preuve : A est donc un anneau local de dimension 1, intégralement clos, donc m = (t) est principal et A est l’anneau de la valuation t-adique.

Avec pour conséquence immédiate :

Corollaire 4.4 Si A est un anneau intègre, intégralement clos, noethérien et p un idéal premier minimal (non nul) de A, alors A_{p} est un anneau de valuation discrète de rang 1.

Un autre corollaire important pour les anneaux A intégralement clos noethériens est le suivant.

Soit S l’ensemble des idéaux premiers minimaux (non nuls) de A. Pour p ∈ S, on note v_{p} la valuation correspondant à l’anneau de valuation A_{p}; c’est l’unique valuation de K = A_{(0)} centrée dans p dans A, elle est discrète de rang 1.

Corollaire 4.5 Soit A un anneau intègre, intégralement clos, noethérien et K son corps des fractions. Si w ∈ K, w ≠ 0, alors :

i) il n’y a qu’un nombre fini de p ∈ S tels que v_{p}(w) ≠ 0 ;

ii) w ∈ A ssi v_{p}(w) ≥ 0 pour tout p ∈ S;

iii) w est inversible dans A ssi v_{p}(w) = 0 pour tout p ∈ S.

Preuve : Si w ∈ A, alors l’idéal Aw = p_{1}^{(n_{1})} ∩ ⋯ ∩ p_{s}^{(n_{s})} avec s ≥ 0, p_{i} ∈ S et n_{i} ≥ 1 et s = 0 ssi w est inversible (voir [?], volume 1). On en déduit immédiatement que v_{p_{i}}(w) = n_{i}, i = 1, …, s (et v_{p_{i}}(w) = n_{i} ⇔ w ∈ p_{i}^{n_{i}}A_{p_{i}} − p_{i+1}^{n_{i+1}}A_{p_{i}}) et v_{p}(w) = 0, ∀p ≠ p_{i}, i = 1, …, s. D’où i) pour w ∈ A et donc pour w ∈ K.

Si 0 ≠ w ∈ K, w = w_{1}/w_{2}, w_{1}, w_{2} ∈ A. Si v_{p}(w) ≥ 0 pour tout p ∈ S, alors v_{p}(w_{1}) ≥ v_{p}(w_{2}), pour tout p ∈ S, d’où Aw_{1} = ⋂_{p∈S} p^{(v_{p}(w_{1}))} ⊂ Aw_{2} = ⋂_{p∈S} p^{(v_{p}(w_{2}))} ⇒ w_{1}/w_{2} ∈ A.

5 Composition de valuations.

L’ensemble des valuations d’un corps K est pré-ordonné par : v ≤ v′ ⇔ A_{v′} ⊂ A_{v}. On dit que v est moins fine que v′.

Si ni v ≤ v′, ni v′ ≤ v, on dit que v etv′ sont incomparables. La moins fine de toutes les valuations est la valuation triviale. Le quotient de l’ensemble des valuations par la relation “équivalence” est alors ordonné.

Proposition 5.1 Soit A l’anneau d’une valuation v de K et p′ ⊂ p des idéaux premiers de A. Alors p′ = p′A_{p} est un idéal premier de A_{p}, p = pA_{p} est l’unique idéal maximal de A_{p}, A_{p′} = (A_{p})_{p′} et A_{p}/p ≅ (A/p′)_{p/p′}.

Preuve : seul le premier point nécessite une démonstration. Soit Δ ⊂ Δ′ les sous-groupes isolés correspondants à p, p′. Soit alors x ∈ p′A_{p}, il peut s’écrire x = a/b où a ∈ p′, b ∈ A, b∈/p, d’où v(b) ∈ Δ et 0 < v(a)∈/Δ′ et, par conséquent, v(b) < v(a) et 0 < v(a/b)∈/Δ′ (sinon v(a) = v(a/b)+v(b) ∈ Δ′). D’où a/b ∈ p′ et p′ = p′A_{p}. C’est bien sûr un idéal premier de A_{p}.

Les valuations (non triviales) les moins fines sont celles de rang 1 et, comme le montre le théorème suivant, lorsqu’une valuation est de rang > 1, il existe toujours des valuations moins fines. Plus précisément :

Théorème 5.1 Les valuations de K moins fines qu’une valuation donnée v correspondent biunivoquement aux idéaux premiers de l’anneau R_{v} de v. On a :

a) à p, idéal premier de R_{v}, on associe v_{p} définie par : v_{p}(x) = θ ∘ v(x), ∀x ≠ 0 où θ : Γ → Γ/Δ est l’homomorphisme (d’ordre) canonique, Γ = v(K), Δ le sous-groupe isolé correspondant à p; de plus : R_{v_{p}} = (R_{v})_{p}, m_{v_{p}} = p(R_{v})_{p}, v_{p}(K) = Γ/Δ, k_{v_{p}} = (R_{v})_{p}/p(R_{v})_{p};

b) réciproquement, si v′ ≤ v, il existe p′, idéal premier de R_{v} tel que (R_{v})_{p′} est l’anneau de v′ (donc v′ équivaut à v_{p′}).

Preuve : a) On vérifie immédiatement que v_{p} = θ ∘v est une valuation de K, il suffit donc de vérifier que son anneau R_{v_{p}} = {x ∈ K|v_{p}(x) ≥ 0} = (R_{v})_{p}.

Remarquons d’abord que Γ/Δ est un groupe ordonné (car Δ est un sous-groupe isolé) par \overline{a} ≤ \overline{b} ⇔ ∃d ∈ Δ|a ≤ b + d.

Soit alors x ∈ K, x = a/b, a, b ∈ R_{v}, b ≠ 0. Alors v_{p}(x) = θ(v(a)) − θ(v(b)) ≥ 0 ⇔ ∃d ∈ Δ|v(a) + d ≥ v(b). Or, d ∈ Δ peut s’écrire d = v(y), y ∈ K, y∈/p et y^{−1}∈/p.

Dès lors, v(a) + v(y) ≥ v(b) ⇒ v(ay/b) ≥ 0 ⇒ a/b ∈ y^{−1}R_{v}. Or, soit y ∈ R_{v} et y∈/p et alors a/b ∈ y^{−1}(R_{v})_{p} ⊂ (R_{v})_{p}, soit y^{−1} ∈ R_{v} et a/b ∈ R_{v} ⊂ (R_{v})_{p}.

Inversement, soit a/b ∈ (R_{v})_{p}, alors b∈/p ⇒ v(b) ∈ Δ ⇒ θ(v(b)) = 0 et, par conséquent, θ(v(a/b)) = θ(v(a)) ≥ 0 ie. a/b ∈ R_{v_{p}}.

b) Soit v′ ≤ v ie. R_{v′} ⊃ R_{v} et soit p′ = m_{v′}. On a p′ ⊂ R_{v} (en effet : x ∈ p′ ⇒ v′(x) > 0 ⇒ v′(x^{−1}) < 0 ⇒ x^{−1}∈/R_{v′} ⇒ x^{−1}∈/R_{v} ⇒ x ∈ R_{v}), donc p′ est un idéal premier de R_{v}.

Clairement, (R_{v})_{p′} ⊂ R_{v′} (car si a, b ∈ R_{v}, b∈/p′ ⇒ v′(b) ≤ 0, d’où v′(a/b) = v′(a) − v′(b) ≥ 0, càd. a/b ∈ R_{v′}). Mais, d’autre part, si x ∈ R_{v′}, x∈/R_{v}, alors x^{−1} ∈ R_{v} ⊂ R_{v′} et x^{−1}∈/p′ (car x ∈ R_{v′} est inversible), d’où x = (x^{−1})^{−1} ∈ (R_{v})_{p′}.

Corollaire 5.1 a) Si B ⊂ K contient un anneau de valuation A de K, alors il existe un idéal premier p de A tel que B = A_{p} et B est un anneau de valuation.

b) L’ensemble des valuations moins fines que v est totalement ordonné.

Preuve : a) Il est clair que B est un anneau de valuation et donc cela résulte du b) précédent.

b) résulte de ce que les idéaux premiers d’un anneau de valuation sont totalement ordonnés.

Corollaire 5.2 a) Etant données deux valuations v et v′, il existe toujours une borne inférieure inf(v, v′) ;

b) Deux valuations v et v′ admettent une borne supérieure ssi elles sont comparables.

Preuve : a) soient R_{v} et R_{v′} les 2 anneaux de v et v′, alors R_{v}Ṙ_{v′} = {∑_{i=1}^{n} a_{i}a′_{i}|a_{i} ∈ R_{v}, a′_{i} ∈ R_{v′}} est le plus petit anneau contenant R_{v} et R_{v′}. c’est un anneau de valuation, de valuation w et w = inf(v, v′).

b) si v et v′ sont incomparables et s’il existait w = sup(v, v′), alors l’ensemble des valuations moins fines que w ne serait pas totalement ordonné. Remarque : Si w = inf(v, v′), alors m_{w} est le plus grand idéal de R_{v} contenu dans R_{v′} (et réciproquement).

Définition 5.1 On dit que v et v′ sont indépendantes si inf(v, v′) est la valuation triviale.

Si {v_{1}, …, v_{n}} est un ensemble de valuations (2 à 2 non équivalentes) de K, l’ensemble U de toutes les valuations de K moins fines qu’au moins une des v_{i} s’appelle arbre défini par {v_{1}, …, v_{n}}. C’est un ensemble ordonné possédant un premier élément (la valuation triviale) et tel que, pour tout w ∈ U, {v ∈ U|v ≤ w} est totalement ordonné.

Soit v une valuation (non triviale) de K, d’anneau A, p ⊂ p′ deux idéaux premiers de A, Δ et Δ′ les sous-groupes isolés de Γ correspondants, θ : Δ → Δ/Δ′ et ϕ_{p} : A_{p} → A_{p}/pA_{p} les homomorphismes canoniques. On définit une valuation v_{p′}/p sur k_{v_{p}} = A_{p}/pA_{p} de la manière suivante :

Proposition 5.2 L’application v_{p′}/p définie par :

∀x ∈ A_{p}, x∈/p, v_{p′}/p(ϕ_{p}(x)) = θ ∘ v(x)

est bien définie et définit une valuation sur k_{v_{p}}, d’anneau A_{p′}/pA_{p′}, d’idéal p′/p, de groupe Δ/Δ′.

Preuve : ϕ_{p}(x) ≠ 0 ⇒ x ∈ A_{p}, x∈/p, d’où x = a/b, a, b ∈ A_{p}, a, b∈/p, d’où v(x) = v(a) − v(b) ∈ Δ. Soit donc x, x′ ∈ A_{p} tels que ϕ_{p}() = ϕ_{p}(x′)(≠ 0), alors x, x′ ∈ A_{p}, ∈/p, d’où v(x), v(x′) ∈ Δ et x − x′ ∈ p ⇒ v(x − x′)∈/Δ. D’où v(x − x′) > v(x) et v(x − x′) > v(x′), donc v(x) = v(x′) et l’application est bien définie.

Reste à montrer que l’anneau de v_{p′}/p est bien A_{p′}/pA_{p′}. Supposons v_{p′}/p(ϕ_{p}(x)) ≥ 0, alors x = a/b, a ∈ A, b∈/p′, d’où il existe y∈/p, y^{−1}∈/p tel que v(a) + v(y) ≥ v(b) ie. v(ay/b) ≥ 0 ⇒ ay/b ∈ A ⇒ a/b ∈ y^{−1}A ⊂ A_{p′}.

Inversement, si x ∈ A_{p′}, x∈/p, alors x = a/b, a ∈ A, b∈/p′ ⇒ v(b) ∈ Δ′ ⇒ v(a/b) = v(a) ≥ 0 ⇒ θ(v(x)) ≥ 0.

Le reste est immédiat.

Cas particuliers : si p = (0), alors v_{p′}/0 = v_{p′} et v_{m}/p est noté v/p.

Remarque : v_{p′}/p est de rang 1 ssi p ⊂ p′ sont des idéaux premiers successifs.

Théorème 5.2 Soit v une valuation de K, de groupe de valeurs Γ. Il existe une correspondance bijective, préservant l’ordre, entre les valuations de K plus fines que v et les valuations de k_{v}. Explicitement :

a) Si v′ ≥ v alors A_{v′}/m_{v} (m_{v} est un idéal premier de A_{v′}) est l’anneau d’une valuation \overline{v′} de k_{v}, d’idéal m_{v′}/m_{v}, de corps résiduel A_{v′}/m_{v′}, de groupe de valeurs Δ′, sous-groupe isolé de Γ′ correspondant à m_{v}, idéal premier de A_{v′}.

b) Réciproquement, si w′ est une valuation de k_{v}, d’anneau A_{w′}, alors ϕ^{−1}(A_{w′}) (où ϕ : A_{v} → k_{v} est le morphisme canonique) est l’anneau d’une valuation v′ de K, v′ ≥ v et \overline{v′} = w′ (à équivalence près).

Preuve : a) De A_{v′} ⊂ A_{v}, on déduit que A_{v} est de la forme (A_{v′})_{p′} où p′ est un idéal premier de A_{v′}. Mais p′ = p′(A_{v′})_{p′} est l’idéal maximal de A_{v}, d’où p′ = m_{v}.

Vérifions que A_{v′}/p′ est un anneau de valuation de k_{v} = A_{v}/m_{v}. En effet, ϕ(x) ∈ k_{v}, ϕ(x)∈/A_{v′}/p′ implique que x ∈ A_{v}, x∈/A_{v′}, donc x^{−1} ∈ A_{v′} ie. ϕ(x)^{−1} ∈ A_{v′}/p′.

La formule

\overline{v′}(ϕ(x)) = v′(x), ∀x ∈ A_{v}, x∈/m_{v}

permet de définir \overline{v′} (on montre immédiatement -cf. la preuve ci-dessus - que ϕ(x) = ϕ(x′) ⇒ v′(x) = v′(x′)). Et, v′(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ A_{v′} montre que \overline{v′}(ϕ(x)) ≥ 0 ⇔ ϕ(x) ∈ A_{v′}/m_{v}, d’où l’anneau de \overline{v′} est A_{v′}/m_{v}.

b) Réciproquement : si B′ est un anneau de valuation de k_{v} = A_{v}/m_{v}, alors A′ = ϕ^{−1}(B′) est aussi un anneau de valuation (soit x ∈ A_{v}, x∈/A′ ⇒ ϕ(x)∈/B′ ⇒ ϕ(x)^{−1} ∈ B′ ⇒ x^{−1} ∈ A′; soit x∈/A_{v} ⇒ x^{−1} ∈ A_{v}. Supposons x^{−1}∈/A′ ⇒ ϕ(x)^{−1}∈/B′ ⇒ ϕ(x) ∈ B′ ⇒ x ∈ A′ ⊂ A_{v}, ce qui est contradictoire, donc x^{−1} ∈ A′), d’une valuation v′ ie. A′ = A_{v′} ⊂ A_{v} ⇒ v ≤ v′.

On s’aperçoit qu’en fait, si v est une valuation de rang > 1, alors il existe v′ ≤ v. Mais on a vu qu’alors il existe p, idéal premier de A_{v} tel que v′ = v_{p}.

Du fait que v est plus fine que v_{p}, on déduit par le théorème précédent l’existence d’une valuation \overline{v}, définie sur k_{v_{p}} par \overline{v}(ϕ_{p}(x)) = v(x) (où ϕ_{p} : A_{v_{p}} → k_{v_{p}} est l’application canonique). Mais v/p = v_{m_{v}}/p est aussi définie sur k_{v_{p}} par v/p(ϕ_{p}(x)) = θ(v(x)), θ : Δ → Δ/Δ′, où Δ, Δ′ sont les sousgroupes isolés de Γ correspondant aux idéaux premiers p et m_{v} respectivement, d’où, en fait, Δ′ = 0 et θ = id. Par conséquent, \overline{v} n’est autre que v/p.

Rappelons que les groupes de valeurs de v, v_{p}, v/p sont respectivement Γ, Γ/Δ, Δ/Δ′ = Δ, d’où la suite exacte 0 → Δ → Γ → Γ/Δ → 0.

Définition 5.2 Dans la situation ci-dessus, on dira que v est composée des valuations v_{p} et v/p; on note v = v_{p} ∘ v/p.

Remarque : On a donc rang(v) = rang(v_{p}) + rang(v/p). Dans le cas particulier où p est l’idéal premier minimal (non nul) de A_{v}, rang(v_{p})=1 et rang(v/p)= r − 1. On a ainsi une façon de faire des récurrences sur le rang d’une valuation.

Exemple : Considérons la valuation naturelle de rang 2 sur k(x, y) définie par v(x) = (1, 0), v(y) = (0, 1) et, pour f = ∑_{i,j≥0} a_{ij}x^{i}y^{j} ∈ k[x, y], v(f) = inf{(i, j)|a_{ij} ≠ 0}, le groupe des valeurs ZZ×ZZ étant muni de l’ordre lexicographique. L’anneau de v,

A_{v} = {f/g|f = a_{i}(y)x^{i} + ⋯ a_{n}(y)x^{n}, g = b_{0}(y) + ⋯ + b_{m}(y)x^{m},
a_{i}b_{0} ≠ 0, i > 0 ou v(a_{i}(y) ≥ v(b_{0}(y))}.

C’est clairement un sous-anneau (non-noethérien) de k[x, y]_{(x)}, dont le seul idéal premier non-trivial est (x), celui-ci correspondant au sous-groupe isolé {0} × ZZ de ZZ × ZZ.

Alors v_{(x)} est la valuation sur k(x, y) définie par v_{(x)}(f) = θ(v(f)) où θ : ZZ × ZZ → ZZ est la première projection. Ce n’est donc rien d’autre que la valuation par rapport à la seule variable x. L’anneau de v_{(x)}, A_{v_{(x)}} = (A_{v})_{(x)} est alors précisément k[x, y]_{(x)} ( noethérien !), comme on le vérifie aisément.

Sur le corps résiduel de v_{(x)} (qui n’est autre que k(y)), on peut alors considérer la valuation v/(x) définie par v/(x)(ϕ(f)) = v(f), où ϕ : A_{v_{(x)}} → k_{v_{(x)}} est la surjection naturelle et f ∈ k[x, y]_{(x)}, f∈/(x). Cette valuation représente la valuation par rapport à y du polynôme f, dont la valuation par rapport à x est 0. Son groupe des valeurs est {0} × ZZ, son anneau k[y]_{(y)} et bien sûr A_{v} = ϕ^{−1}(k[y]_{(y)}).

En fait, pour tout f ∈ k[x, y], on peut écrire f = gh où v(h) = (0, j) = v/(x)(h) et v_{(x)}(g) = i, v(f) = (i, j) = v_{(x)} ∘ v/(x)(f).

Remarque 1 : Etant donnés v = v_{p}∘v/p, on peut remarquer que les groupes des valeurs respectifs sont K^{∗}/U_{A_{v}}, K^{∗}/U_{A_{vp}} , k_{v_{p}}^{∗}/U_{B} où U_{A_{v}}, U_{A_{vp}} , U_{B} sont les éléments inversibles des anneaux respectifs.

Comme A_{v_{p}} = (A_{v})_{p}, on a U_{A_{v}} ⊂ U_{A_{vp}}, d’où la suite exacte :

0 → \frac{U_{A_{vp}}}{U_{A_{v}}} → \frac{K^{∗}}{U_{A_{v}}} → \frac{K^{∗}}{U_{A_{vp}}} → 0.

Mais, d’autre part, on a un homomorphisme ψ de groupes multiplicatifs :

U_{A_{vp}} ⊂ A_{v_{p}}^{∗} → k_{v_{p}}^{∗}

et ψ(x) ∈ U_{B} ⇔ v/p(ψ(x)) = 0 ⇔ v(x) = 0 ⇔ x ∈ U_{A_{v}}, d’où l’isomorphisme de groupes (ordonnés) :

\frac{U_{A_{vp}}}{U_{A_{v}}} ≅ \frac{k_{v_{p}}}{U_{B}} .

Remarque 2 : Lorsque le rang de v_{p} est 1 ie. p est l’idéal premier minimal (non nul) de A_{v}, alors A_{v_{p}} est un anneau de valuation discrète de rang 1, donc noethérien, par conséquent, ∩p^{k} = (0). D’où, pour tout f ∈ A_{v_{p}}, f ∈ p^{k} − p^{k+1}, donc f peut s’écrire f = gh, avec h∈/p, donc v/p(h) = v(h) ∈ Δ, le sous-groupe isolé correspondant à p et v_{p}(f) = v_{p}(g) = π(v(f) où π : Γ → Γ/Δ est la surjection canonique.

6 Théorème d’approximation.

Proposition 6.1 Soient K un corps, (A_{i})_{i=1,...,n} des anneaux de valuation pour K et B = ⋂_{i=1}^{n} A_{i}. Posons p_{i} = B ∩ m_{i} (m_{i} idéal maximal de A_{i}). Alors A_{i} = B_{p_{i}} pour tout i et le corps des fractions de B est K.

Clairement B_{p_{i}} ⊂ A_{i}.

Lemme 6.1 Soient v_{1}, …, v_{n} des valuations de K et x ∈ K^{∗}. Alors il existe un polynôme f(X) = 1+n_{1}X +⋯+n_{k−1}X^{k−1}+X^{k} (1), k ≥ 2, n_{j} ∈ ZZ, j = 1, …, k − 1 tel que f(x) ≠ 0 et z = f(x)^{−1} vérifie ∀i, v_{i}(z) = 0, si v_{i}(x) ≥ 0 et v_{i}(z) + v_{i}(x) > 0, si v_{i}(x) < 0.

Preuve : Soit I = \{i|v_{i}(x) ≥ 0\} et ϕ_{i} : A_{i} → A_{i}/m_{i} = k_{i}; notons \overline{x_{i}} = ϕ_{i}(x).

Pour tout i ∈ I, construisons f_{i} :

- s’il existe g(X) de la forme (1) tel que g(\overline{x_{i}}) = 0 dans k_{i}, on prend pour f_{i} un tel g;

- sinon, on prend f_{i} = 1.

Posons alors : f(X) = 1 + ∏_{i∈I} f_{i}[X).

Il est de la forme (1) et, pour i ∈ I, on a f(x) ∈ A_{i} (car v_{i}(f(x)) ≥ inf\{0, v_{i}(n_{1}x), …, kv_{i}(x)\} ≥ 0 -en effet : v_{i}(mx) ≥ v_{i}(x) ≥ 0) et f(\overline{x_{i}}) ≠ 0 par construction (soit il existe g tel que g(\overline{x_{i}}) = 0 et alors f(\overline{x_{i}}) = 1, soit il n’en existe pas et alors f(\overline{x_{i}}) = 1 + \overline{x_{i}}^{2} qui n’est pas nul non plus, sinon 1 + X^{2} serait un tel g).

D’où f(x)∈/m_{i}, ∀i ⇒ f(x) est inversible et, par conséquent, v_{i}(f(x)) = 0, càd v_{i}(z) = v_{i}(f(x)^{−1}) = 0.

Si i∈/I, on a v_{(}x) < 0, d’où v_{i}(f(x)) = kv_{i}(x) (en effet, v_{i}(nx^{k}) ≥ kv_{i}(x) et kv_{i}(x) < (k+1)v_{i}(x) ⇒ v_{i}(f(x)) = kv_{i}(x)) et v_{i}(z)+v_{i}(x) = v_{i}(f(x)^{−1})+ v_{i}(x) = v_{i}(x) − kv_{i}(x) = (1 − k)v_{i}(x). Comme k ≥ 2, (1 − k)v_{i}(x) > 0.

Preuve de la proposition :

Montrons, par exemple, que A_{1} ⊂ B_{p_{1}}. Soit x ≠ 0 dans A_{1}. Appliquons le lemme à x et aux A_{i}.

Il existe donc z tel que v_{(}z) ≥ 0, v_{i}(zx) ≥ 0, ∀i, donc z_{i}nB et zx ∈ B. Mais v_{1}(x) ≥ 0, d’où v_{1}(z) = 0, d’où z∈/p_{1}, par conséquent, x = xz/z ∈ B_{p_{1}}.

Alors le corps des fractions de B contient A_{1}, donc est K.

Proposition 6.2 Si, de plus, A_{i}⊂ /A_{j} pour i ≠ j, alors les p_{i} sont précisément les idéaux maximaux (distincts) de B.

Preuve : p_{i} ⊂ p_{j} ⇒ A_{j} = B_{p_{j}} ⊂ B_{p_{i}} = A_{i}. De plus, B = ⋂ A_{i} = ⋂ B_{p_{i}} ≅ S^{−1}B où S = B − ⋃ p_{i} (injectif, car B est intègre, surjectif car, x ∈ ⋂ B_{p_{i}} implique que ∃t_{i}∈/p_{i} tel que t_{i}x ∈ B. Mais - lemme d’évitement - p_{j}⊂ / ⋃_{i≠j} p_{i}, donc, pour tout k = 1, …, n, ∃s_{k} ∈ p_{k} − ⋃_{i≠k} p_{i}; alors (s_{2} … s_{n}t_{1} + ⋯ + s_{1} ⋯ s_{n−1}t_{n})x ∈ B et le coefficient de x n’est pas dans ⋃ p_{i}. Sinon, il existe k tel que s_{1} ⋯ s_{k}^{∨} ⋯ s_{n}t_{k} ∈ p_{k}, d’où, puisque t_{k}∈/p_{k}, l’un des s_{i}, i ≠ k est dans p_{k}, ce qui contredit leur choix). Donc x ∈ S^{−1}B.

Or, clairement, les idéaux maximaux de S^{−1}B sont les p_{i}.

Corollaire 6.1 Si A_{i}⊂ /A_{j}, pour i ≠ j, alors quels que soient a_{1} ∈ A_{1}, …, a_{n} ∈ A_{n}, il existe x ∈ B tel que x ≡ a_{i}mod m_{i} quel que soit i.

Preuve : Comme les p_{i} sont les idéaux maximaux de B, ils sont 2 à 2 étrangers, d’où, par le théorème Chinois, B →^{π} ∏ B/p_{i} est surjective. Donc, étant donnés \overline{a_{i}} ∈ B/p_{i}, ∀i, il existe x_{i}nB tel que π(x) = a_{i}, ∀i.

Mais A_{i}/m_{i} = B_{p_{i}}/p_{i}B_{p_{i}} = B/p_{i}, d’où le résultat.

Corollaire 6.2 Si A_{i}⊂ /A_{j}, pour i ≠ j, il existe x_{1}, …, x_{n} ∈ K tel que v_{i}(x) = 0 et v_{j}(x) > 0 pour i ≠ j.

Preuve : pour chaque i, on applique le corollaire précédent à a_{1} = 0, a_{2} = 0, …, a_{i} = 1, …, a_{n} = 0. Donc, il existe x_{i} ∈ B ⊂ K tel que x_{i} ≡ 1mod m_{i} et x_{i} ≡ 0mod m_{j}, j ≠ i, autrement dit x_{i} inversible dans A_{i} et x_{j} ∈ m_{j} pour j ≠ i, ie. v_{i}(x_{i}) = 0 et v_{j}(x_{i}) > 0.

Corollaire 6.3 Tout anneau de valuation de K contenant B contient l’un des A_{i}.

Preuve : on peut se ramener à A_{i}⊂ /A_{j} pour i ≠ j. Soit V anneau de valuation contenant B et posons p = m_{V} ∩ B, alors il existe i tel que p ⊂ p_{i} (puisque p_{1}, …, p_{n} sont les idéaux maximaux de B), d’où A_{i} = B_{p_{i}} ⊂ B_{p} ⊂ V.

Définition 6.1 Deux valuations de K sont indépendantes si leurs anneaux engendrent K.

Théorème 6.1 d’approximation : Soient v_{1}, …, v_{n} des valuations (non triviales) 2 à 2 indépendantes de K, de groupes de valeurs Γ_{1}, …, Γ_{n}, pour i = 1, …, n, a_{i} ∈ K et α_{i} ∈ Γ_{i}. Alors, il existe x ∈ K tel que v_{i}(x−a_{i}) ≥ α_{i}, ∀i.

Preuve : on reprend les notations précédentes : A_{i} est l’anneau de v_{i}, B = ⋂ A_{i} et p_{i} = m_{i} ∩ B.

Montrons qu’on peut supposer a_{i} ∈ B, α_{i} > 0 et y ∈ B. En effet, écrivons a_{i} = b_{i}/s, b_{i}, s ∈ B, s ≠ 0. Posons y = sx et α′_{i} = α_{i} +v_{i}(s). S’il existe y ∈ B tel que v_{i}(y − b_{i}) ≥ α′_{i}, ∀i, alors v_{i}(sx − sa_{i}) = v_{i}(s) + v_{i}(x − a_{i}) ≥ α_{i} + v_{i}(s), d’où v_{i}(x − a_{i}) ≥ α_{i}, ∀i (on peut supposer α_{i} > 0 puisque x, a_{i} ∈ B ⇒ v_{i}(x − a_{i}) ≥ 0).

Soit alors A_{i} = {z ∈ K|v_{i}(z) ≥ α_{i}} (idéal de A_{i}) et q_{i} = A_{i} ∩ B. On a, pour tout x ∈ B, v_{i}(x − a_{i}) ≥ α_{i} ⇔ x − a_{i} ∈ q_{i} ⇔ x ≡ a_{i}mod q_{i}.

Il suffit donc de montrer que le morphisme canonique B → ∏_{i=1}^{n} B/q_{i} est surjectif. Or, d’après le théorème Chinois, ceci est vrai lorsque les q_{i} sont 2 à 2 étrangers ie. q_{i} + q_{j} = B pour i ≠ j.

Pour cela, il suffit de montrer que q_{i}⊂ /p_{j}, pour i ≠ j (en effet : q_{i}⊂ /q_{j} ⇒ ∃x ∈ q_{i}, x∈/p_{j}, alors q_{j} +xB⊂ /p_{j} car x∈/p_{j} et q_{j} +xB⊂ /p_{k}, k ≠ j sinon q_{j} ⊂ p_{k}, d’où q_{j} + xB = B ⊂ q_{i} + q_{j}).

Prouvons donc (utilisant le lemme qui suit) que q_{i}⊂ /q_{j} pour i ≠ j. Supposons le contraire : q_{i} ⊂ p_{j}, alors p = \sqrt{q_{i}} ⊂ p_{j}, mais bien sûr p ⊂ p_{i} (puisque α_{i} > 0 ⇒ q_{i} ⊂ p_{i}). D’où A_{i} ⊂ B_{p} et A_{j} ⊂ B_{p} et B_{p} ≠ K (A_{i} ≠ (0) car α_{i} ∈ Γ_{i} = v_{i}(K). Comme A_{i} = B_{p_{i}}q_{i} - en effet : l’une des inclusions est claire et, d’autre part, x ∈ A_{i} peut s’écrire x = y/s, s∈/p_{i} ⇒ y = sx ∈ A_{i} ∩ B ⇒ y ∈ q_{i} ⇒ x ∈ q_{i}B_{p_{i}} -, or q_{i} ≠ (0) ⇒ p = \sqrt{q_{i}} ≠ (0), d’où B_{p} ≠ K).

Par conséquent, A_{i} et A_{j} ne sont pas indépendants, d’où contradiction.

Lemme 6.2 La racine d’un idéal (propre) d’un anneau de valuation est un idéal premier.

xy ∈ \sqrt{I} ⇒ ∃n|(xy)^{n} ∈ I. Supposons v(x) ≥ v(y). alors v(I) est un segment, donc v(x^{2n}) ≥ v(x^{n}y^{n}) ⇒ x^{2n} ∈ I ⇒ x ∈ \sqrt{I}.

Corollaire 6.4 Pour tout γ_{i} ∈ Γ_{i}, i = 1, …, n, il existe x ∈ K tel que v_{i}(x) = γ_{i}, ∀i.

Preuve : A_{i} ≠ K, ∀i, donc ∀i, ∃a_{i} ∈ K tel que α_{i} > γ_{i}. On sait que ∃x ∈ K tel que v_{i}(x − a_{i}) ≥ α_{i} > γ_{i} = v_{i}(a_{i}), d’où v_{i}(x) = v_{i}(x − a_{i} + a_{i}) ≥ (ici =) inf{v_{i}(x − a_{i}), v_{i}(a_{i})} = v_{i}(a_{i}) = γ_{i}.

7 Prolongement d’une valuation.

Soit K ⊂ L une extension de corps, A′ ⊂ L, un anneau de valuation pour une valuation v′, alors A′ ∩ K = A est un anneau de valuation pour K (de valuation v = v′_{|K}) et m_{A} = m_{A′} ∩K. On dit que v′ est un prolongement de v à L.

Théorème 7.1 Soit K ⊂ L une extension de corps. Toute valuation v de K admet au moins un prolongement en une valuation v′ de L.

Preuve : Soit A l’anneau de v, alors A ⊂ L est un sous-anneau et donc il existe B, anneau de valuation de L, de la valuation w, tel que B ⊃ A et m_{A} = m_{B} ∩ A.

Alors B ∩K = A. En effet, clairement, B ∩K ⊃ A. Supposons alors qu’il existe x ∈ B ∩ K, x∈/A, donc x^{−1} ∈ m_{A} ⊂ m_{B}, d’où w(x) = −w(x^{−1}) < 0 : contradiction !

Donc w_{|K} est équivalent à v et, par conséquent, il existe un isomorphisme

θ : Δ′ = w_{|K}(K) → Γ = v(K).

Notons encore Δ = w(K) (Δ′ ⊂ Δ).

Soit E le groupe extension de Δ/Δ′ par Γ correspondant à l’extension de Δ/Δ′ par Δ′. Alors θ se prolonge en un isomorphisme θ̄: Δ → E. Posons v′(x) = θ̄(w(x)), ∀x ∈ L. Alors v′ est une valuation de L telle que v′_{|K} = v (en effet : x ∈ K ⇒ θ̄(w(x)) = θ(w_{|K}(x)) = v(x), par définition de θ).

7.1 Extension transcendante pure.

Proposition 7.1 Soit (K, v) un corps valué, Δ un groupe abélien totalement ordonné contenant Γ = v(K) comme sous-groupe et μ ∈ Δ. Soit v_{μ} : K(X) → Δ ∪ ∞ définie par :

v_{μ}(∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i}) = inf_{0≤i≤n}{v(a_{i}) + iμ}, (a_{i} ∈ K)

v_{μ}(\frac{f}{g}) = v_{μ}(f) − v_{μ}(g), f, g ∈ K[X], g ≠ 0.

Alors v_{μ} est une valuation de K[X] qui prolonge v, de groupe le sous-groupe de Δ engendré par Γ et μ.

Si, de plus, nμ = 0, mod Γ, n ∈ ZZ ⇒ n = 0, v_{μ} est uniquement déterminée.

Preuve : Il suffit pour la première affirmation de vérifier que v_{μ} a bien les propriétés d’une valuation.

Pour l’unicité, v_{μ}(a_{j}X^{j}) = v_{μ}(a_{k}X^{k}) ⇒ v_{μ}(a_{j}) − v_{μ}(a_{k}) = (k − j)μ, d’où k = j puisque le premier membre est dans Γ. Donc, k ≠ j ⇒ v_{μ}(a_{j}X^{j}) ≠ v_{μ}(a_{k}X^{k}). Et, par conséquent, v_{μ}(∑_{i=0}^{n} a_{j}X^{j}) = inf_{i}(v(a_{i})+iμ). D’où l’unicité.

Proposition 7.2 Soit (K, v) un corps valué, Γ_{v} le groupe des valeurs et k_{v} le corps résiduel. Alors il existe une unique valuation w de K(X) prolongeant v telle que w(X) = 0 et l’image t de X dans k_{w} soit transcendante sur k_{v}. On a : Γ_{w} = Γ_{v} et k_{w} = k_{v}(t).

Preuve : On a vu que w(P) = inf_{j}(v(a_{j})) définit bien une valuation sur K(X) telle que Γ_{w} = Γ_{v} et t transcendant sur k_{v} (en effet : sinon, on a une relation ∑_{j} \overline{a_{j}}t^{j} = 0, où \overline{a_{j}} ∈ k_{v}, d’où w(∑_{j} a_{j}X^{j}) > 0 ⇒ v(a_{j}) > 0, ∀j ⇒ \overline{a_{j}} = 0, ∀j).

Reste à montrer l’unicité : il suffit de le faire pour P ≠ 0 dans K[X]. Soit donc w′ et P = ∑_{j} a_{j}X^{j} ≠ 0 (on peut supposer v(a_{j}) ≥ 0, ∀j et l’un des v(a_{i}) = 0, quitte à diviser P par un élément de K^{∗}). Alors w′(X) = 0 ⇒ w′(P) ≥ inf_{j}(v(a_{j})) ≥ 0, d’où P ∈ A_{w′}. Alors \overline{P}, image de P dans k_{w′}, s’écrit \overline{P} = ∑_{j} \overline{a_{j}}t^{j}, où \overline{a_{j}} désigne l’image de a_{j} dans k_{v}. Mais v(a_{i}) = 0 ⇒ \overline{a_{i}} ≠ 0, d’où, puisque t est transcendant sur k_{v}, \overline{P} ≠ 0 ie. P est inversible dans A_{w′} ou encore w′(P) = 0 = inf_{j}(v(a_{j})) = w(P).

Remarque : Il n’y a pas que les 2 types de prolongement ci-dessus, il peut exister un troisième type où Γ_{w}/Γ_{v} est un groupe de torsion et k_{w} une extension algébrique de k_{v}.

7.2 Extension algébrique.

Lemme 7.1 Soient K ⊂ K′ une extension algébrique, v′ un prolongement à K′ de la valuation v sur K, et Γ′, Γ leurs groupes des valeurs respectifs. Alors le groupe Γ′/Γ est un groupe de torsion (et donc rgrat(v′) = rgrat(v)). De plus, si k ⊂ K ⊂ K′ et v_{|k} est triviale, on a degtr_{k}(k_{v}) = degtr_{k}(k_{v′}).

Preuve : Soit α′ ∈ Γ′ et soit z ∈ K′ tel que v′(z) = α′. On a une relation de dépendance algébrique a_{0}z^{n} + a_{1}z^{n−1} + ⋯ + a_{n} = 0, a_{0} = 1. Comme on a déjà vu, il en résulte que il existe i ≠ j tel que v′(a_{i}z^{n−i}) = v′(a_{j}z^{n−j}), d’où (j − i)v′(z) = v(a_{j}) − v(a_{i}) ∈ Γ ie. (j − i)α′ ∈ Γ. En ce qui concerne les degrés résiduels, on a A_{v} = A_{v′} ∩ K et m_{v} = m_{v′} ∩ A_{v}, d’où, bien sûr, k_{v} ⊂ k_{v′}. Il suffit donc de montrer que k_{v′} est algébrique sur k_{v}. Soit donc x ∈ A_{v′}, x∈/m_{v′}, il est algébrique sur K, donc il existe une relation non triviale x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} = 0, a_{i} ∈ K. Si tous les a_{i} sont dans A_{v}, par passage à k_{v}, on obtient une relation de dépendance algébrique de \overline{x} sur k_{v}. Sinon, soit i tel que v(a_{i}) = inf_{j}(v(a_{j})) < 0, alors a_{i}^{−1}(x^{n} + ⋯ + a_{0}) = 0, mais tous les coefficients sont à présent de valuation ≥ 0, et encore une fois, par passage au quotient, on en déduit une relation de dépendance de \overline{x} sur k_{v} (en remarquant que le coefficient de x^{i} est 1 !).

Corollaire 7.1 Sous les mêmes hypothèses, alors rg(v′) = rg(v).

Cela résulte du lemme suivant :

Lemme 7.2 Soit G′ un groupe totalement ordonné et G un sous-groupe isolé de G′. Notons S′ et S l’ensemble des sous-groupes isolés de G′ et G respectivement. Alors l’application S′ → S qui à H′ ∈ S′ associe H′ ∩ G ∈ S est surjective. Si, de plus, G′/G est de torsion, alors elle est aussi injective.

Preuve : Il est clair que, si H′ est un sous-groupe isolé de G′, alors H′ ∩ G est un sous-groupe isolé de G.

Soit H ∈ S et considérons H′ = {x′ ∈ G′| ∃h ∈ H, −h ≤ x′ ≤ h}. H′ est bien un sous-groupe isolé de G′ et, comme H est isolé, H′ ∩ G = H, d’où la surjectivité.

Si de plus, G′/G est de torsion, soient H′_{1}, H′_{2} ∈ S′ tels que H′_{1} ∩ G = H′_{2} ∩ G. Mais, S′ est totalement ordonné, donc, H′_{1} ⊃ H′_{2}, par exemple, et H′_{1}/H′_{2} est donc totalement ordonné. Or ce groupe est isomorphe à un quotient de H′_{1}/(H′_{1} ∩ G), lui-même sous-groupe de G′/G. Donc H′_{1}/H′_{2} est aussi de torsion, d’où H′_{1}/H′_{2} = 0.

Corollaire 7.2 Si K ⊂ K′ est une extension algébrique et v′ un prolongement de v à K′, alors v′ est discrète si v est discrète.

La preuve repose sur le fait (induit par les lemmes précédents) que Δ′_{i+1}/Δ′_{i} s’injecte (en préservant l’ordre) dans Δ_{i+1}/Δ_{i} ≅ ZZ.

Lemme 7.3 Soient x′_{1}, …, x′_{m} des éléments de K′ tels que, pour i ≠ j, v′(x_{i}) ≠ v′(x_{j}) mod Γ, alors x′_{1}, …, x′_{m} sont linéairement indépendants sur K.

Preuve : Supposons qu’on ait une relation non triviale ∑_{i=1}^{m} α_{i}x′_{i} = 0, alors il existe i ≠ j tels que v′(α_{i}x′_{i}) = v′(α_{j}x′_{j}), d’où v′(x_{i}) − v′(x_{j}) = v(α_{j}) − v(α_{j}) ∈ Γ ; ce qui contredit l’hypothèse.

Corollaire 7.3 Si [K′ : K] = n est finie, alors l’indice (Γ′ : Γ) ≤ n.

Définition 7.1 Soit K′ une extension algébrique finie de K, v une valuation de K et v′ un prolongement de v à K′. Alors :

l’indice (Γ′ : Γ) est appelé l’indice (réduit ?) de ramification de v′ par rapport à v;

le degré [k_{v′} : k_{v}] (qui est fini et ≤ [K′ : K]) est appelé degré résiduel de v′ par rapport à v.

Lemme 7.4 Soient v une valuation de K, de groupe Γ, telle que v = v_{1} ∘ \overline{v} et Δ le sous-groupe isolé correspondant. Soit K′ une extension de K et v′ un prolongement de v à K′, de groupe Γ′. Alors, il existe des sous-groupes isolés Δ′ de Γ′ tels que Δ = Δ′ ∩Γ et si v′ = v′_{1} ∘\overline{v′} est la décomposition correspondant à Δ′, alors v′_{1} est un prolongement de v_{1}, \overline{v′} est un prolongement de \overline{v}.

Réciproquement : si v′_{1} est un prolongement de v_{1} à K′, \overline{v′} de \overline{v} à k_{v′_{1}}, alors v′ = v′_{1} ∘ \overline{v′} et si Δ′ correspond à v′_{1}, Δ′ ∩ Γ = Δ.

Preuve : On vérifie immédiatement que l’ensemble Δ′ = {±α′|∃α ∈ Δ, 0 ≤ α′ ≤ α} est le plus petit sous-groupe isolé de Γ′ tel que Δ′ ∩Γ = Δ, prouvant ainsi l’existence de tels sous-groupes isolés.

Soit alors H′ un sous-groupe isolé de Γ′ tel que H′ ∩Γ = Δ et v′ = v′_{1} ∘\overline{v′} la décomposition correspondante, ie. v′_{1} est une valuation de K′ de groupe Γ′/H′, \overline{v′} est une valuation de k_{v′_{1}} de groupe H′. On a bien sûr la suite exacte :

0 → H′ → Γ′ →^{π′} Γ′/H′ → 0.

Alors {γ′ ∈ Γ′|π′(γ′) ≥ 0} = Γ′_{+} ∪ H′. En effet, π′(γ′) ≥ 0 ⇒ ∃h′ ∈ H′ tel que γ′ + h′ ≥ 0. Si γ′∈/Γ′_{+}, alors γ′ < 0, d’où 0 < −γ′ ≤ h′, d’où, puisque H′ est un sous-groupe isolé, −γ′ ∈ H′ ⇒ γ′ ∈ H′. L’inclusion dans l’autre sens est, elle, triviale. On a bien sûr de même, avec des notations évidentes {γ ∈ Γ|π(γ) ≥ 0} = Γ_{+} ∪ Δ.

On en déduit que A_{v′_{1}} ∩ K = A_{v_{1}} ie. v′_{1} est un prolongement de v_{1}. En effet, x ∈ A_{v′_{1}} ∩ K ⇒ v(x) = v′(x) ∈ (Γ′_{+} ∪ H′) ∩ Γ = Γ_{+} ∪ Δ ⇒ x ∈ A_{v_{1}}.

Inversement, x ∈ A_{v_{1}} ⊂ K ⇒ v(x) = v′(x) ∈ Γ_{+} ∪ Δ ⊂ Γ′_{+} ∪ H′ ⇒ x ∈ A_{v′_{1}} ∩ K.

Soit ϕ : A_{v_{1}} → k_{v_{1}} et ϕ′ : A_{v′_{1}} → k_{v′_{1}} les surjections canoniques ; on a ϕ = ϕ′_{|A_{v_{1}}} . Alors, pour x ∈ A_{v′_{1}}, x∈/m_{v′_{1}}, \overline{v′}(ϕ′(x) = v′(x). Si ϕ′(x) ∈ k_{v_{1}}, alors x ∈ K et \overline{v′}(ϕ′(x)) = v′(x) = v(x) = surv(ϕ(x)). Ce qui prouve que \overline{v′} est un prolongement de \overline{v}.

La réciproque est à peu près évidente.

Corollaire 7.4 Soit K ⊂ K′ une extension algébrique et v′ un prolongement d’une valuation composée v = v_{1} ∘ \overline{v} de K. alors il n’existe qu’une décomposition v′_{1} ∘ \overline{v′} de v′ telle que v′_{1} et \overline{v′} soient des prolongements de v_{1} et \overline{v} respectivement.

On a vu que dans le cas d’une extension algébrique, il n’existe qu’un sousgroupe isolé H′ tel que H′ ∩ Γ = Δ.

Corollaire 7.5 Si, de plus, l’extension est finie, alors l’indice de ramification de v′ par rapport à v est le produit des indices de ramification de v′_{1} et \overline{v′} par rapport à v_{1} et \overline{v} respectivement.

Preuve : Cela résulte simplement de l’isomorphisme de groupes suivant :

\frac{Γ′}{Γ} /\frac{Δ′}{Δ} ≅ \frac{Γ′}{Δ′} /\frac{Γ}{Δ},

d’où (Γ′ : Γ) = (Δ′ : Δ)(Γ′/Δ′ : Γ/Δ).

Théorème 7.2 Soit K ⊂ K′ une extension algébrique finie de degré n, v une valuation de K de rang fini^{2} et soient v′_{1}, …, v′_{g} les prolongements de v à K′. Si n_{i} et e_{i} sont les degrés résiduels et les indices de ramification de v′_{i} par rapport à v, alors

e_{1}n_{1} + ⋯ + e_{g}n_{g} ≤ n.

Preuve : La démonstration se fait d’abord pour une valuation v de rang 1 (d’où toutes les v_{i} sont de rang 1 aussi !), puis on fait, par décomposition une récurrence sur le rang.

8 Valuations divisorielles.

Définition 8.1 Une extension k ⊂ K est un corps de fonctions (algébriques) si K est finiment engendré sur k.

Un diviseur premier (ou valuation divisorielle) est une valuation v sur K/k de degré de transcendance (ou degré résiduel en considérant v comme un prolongement de la valuation triviale de k à K) degtr_{k}(k_{v}) = r − 1 où r = degtr_{k}(K).

2Il existe une preuve en rang infini.

Exemple : Soit X = Spec(A) un schéma affine normal ie. A une k-algèbre de type fini, intègre et intégralement close, degtr_{k}A = r, K = K(X) = A_{(0)} son corps de fonctions. Soit encore D une sous-variété irréductible réduite de codimension 1 ie. un un diviseur sur X. Alors D correspond à un idéal premier minimal (non nul) p de A.

O_{X,D} := A_{p} est un anneau de valuation discrète (car intègre, intégralement clos, donc régulier, de dimension 1), son idéal maximal m = m_{X,D} = pA_{p} = (t) est principal.

Pour f ∈ K, soit v_{D}(f) := max{n ∈ ZZ| f ∈ m^{n}} (du fait que A_{p} est noethérien, ∩_{k}m^{n} = (0), donc il existe bien un tel n). On a aussi v_{D}(f) = n ⇔ f = ut^{n}, u inversible dans A_{p}. On remarque que v_{D}(f) n’est autre que l’ordre d’annulation -zéro ou pôle - de f le long de D.

On a bien sûr rg(v_{D}) = dim A_{p} = 1 et degtr_{k}(k_{v_{p}}) = degtr_{k}((A/p)_{(0)}) = degtr_{k}(A/p) = r − 1.

Théorème 8.1 Tout diviseur premier de K/k (corps de fonctions) est une valuation discrète de rang 1 et son corps résiduel k_{v} est aussi un corps de fonctions sur k (de degré de transcendance r − 1).

De plus, l’anneau R_{v} de v est égal à A_{p} où A est un anneau intègre de corps des fractions K et p un idéal premier minimal (non nul) de A.

On peut remarquer de différentes façons que rg(v) = 1. Ainsi on peut utiliser une forme faible de l’inégalité d’Abhyankar ([?])

rgrat(v) + degtr_{k}(k_{v}) ≤ degtr_{k}(K)

à savoir :

rg(v) + degtr_{k}(k_{v}) ≤ degtr_{k}(K)

(car rgrat(v) ≤ rg(v)) cf. [?]. Si donc degtr_{k}(k_{v}) = r − 1, on a rg(v) ≤ 1 et, puisque v n’est pas triviale, rg(v) = 1.

Mais on peut aussi remarquer :

Lemme 8.1 Pour toute valuation v de K/k, on a degtr_{k}(k_{v}) ≤ degtr_{k}(K) et, pour toute v′ ≤ v, ie. A_{v} ⊂ A_{v′}, on a degtr_{k}(k_{v}) ≤ degtr_{k}(k_{v′}). De plus, degtr_{k}(k_{v}) = degtr_{k}(k_{v′}) implique v est équivalente à v′. En particulier, degtr_{k}(k_{v}) = degtr_{k}(K) implique que v est triviale.

Preuve : Soient x_{1}, …, x_{r} ∈ A_{v} tels que leurs images \overline{x_{1}}, …, \overline{x_{r}} dans k_{v} soient algébriquement indépendantes sur k. Alors, x_{1}, …, x_{r} ∈ A_{v} sont algébriquement indépendants sur k (sinon, il existe une relation non triviale f(x_{1}, …, x_{r}) = 0, f polynôme à coefficients dans k, mais alors f(\overline{x_{1}}, …, \overline{x_{r}}) = 0, ce qui est contradictoire).

De la même façon, lorsque v′ ≤ v, comme m_{v′} est un idéal premier de A_{v}, donc m_{v′} ⊂ m_{v}, si x_{1}, …, x_{r} ∈ A_{v} sont tels que leurs images dans k_{v} soient algébriquement indépendantes sur k, leurs images dans k_{v′} sont algébriquement indépendantes, donc degtr_{k}(k_{v}) ≤ degtr_{k}(k_{v′}).

Supposons à présent degtr_{k}(k_{v}) = degtr_{k}(k_{v′}). Prenons x_{1}, …, x_{r} ∈ A_{v} tels que leurs images dans k_{v} soient indépendantes sur k. Supposons m_{v′} ≠ m_{v} et soit y ∈ m_{v} − m_{v′}, alors le système \overline{x_{1}}, …, \overline{x_{r}}, \overline{y} est algébriquement dépendant sur k dans k_{v′}, d’où une relation non triviale f(\overline{x_{1}}, …, \overline{x_{r}}, \overline{y}) = 0. D’où f(x_{1}, …, x_{r}, y) = a_{0}(x_{1}, …, x_{r})+a_{1}(x_{1}, …, x_{r})y+⋯+a_{d}(x_{1}, …, x_{r})y^{d} ∈ m_{v′} ⊂ m_{v} et, par conséquent, modulo m_{v}, a_{0}(x_{1}, …, x_{r}) = 0, d’où a_{0} = 0 et a_{1}(x_{1}, …, x_{r})y + ⋯ + a_{d}(x_{1}, …, x_{r})y^{d} = 0, d’où a_{1} = 0 etc, d’où f ≡ 0, ce qui est une contradiction.

On déduit alors immédiatement de ce lemme que degtr_{k}(k_{v}) = r − 1 implique que rg(v) = 1.

Preuve du théorème : Soient x_{1}, …, x_{r−1} tels que leurs images dans k_{v} soient algébriquement indépendantes, ils sont donc eux-mêmes algébriquement indépendants sur k. Prolongeons-les en une base de transcendance x_{1}, …, x_{r} de K/k et notons v′ la restriction à k(\underline{x}) = k(x_{1}, …, x_{r}) de v. Comme K est une extension algébrique de k(\underline{x}), les valuations v et v′ ont mêmes degrés résiduels et, par conséquent, v′ est une valuation divisorielle sur k(\underline{x}).

Prouvons le théorème pour v′. Soit R′ = k[\underline{x}]. Quitte à remplacer x_{r} par 1/x_{r}, on peut supposer v′(x_{r}) ≥ 0. Dès lors, v′ est positive sur R′ ie. R′ ⊂ A_{v′}. Posons encore p′ = m_{v′} ∩ R′. Comme les images résiduelles de x_{1}, …, x_{r−1} dans k_{v′} sont algébriquement indépendantes et que k[\underline{x}]/p′ ⊂ k_{v′}, on a degtr_{k}(k[\underline{x}]/p′) = r − 1.

Soit maintenant p ⊂ p′, un idéal premier strictement contenu dans p′, alors r − 1 = degtr(R′/p′) < degtr(R′/p) ≤ r (pour une k-algèbre intègre A, on a degtr(A) = dim A), d’où degtr(R′/p′) = r = degtr(R′) et donc p = (0), autrement dit p′ est minimal.

De plus, R′ est noethérien et intégralement clos, donc R′_{p′} est un anneau de valuation discrète (de rang 1), dominé par A_{v′}, donc, par maximalité, R′_{p′} = A_{v′}. La valuation v′ est donc discrète, de rang 1, de corps résiduel le corps des fractions de k[\underline{x}]/p′, d’anneau A_{v′} = k[\underline{x}]_{p′} (en fait, k[\underline{x}] est un anneau factoriel, d’où p′ = (f) est principal et v′ n’est autre que la valuation f-adique).

L’extension k(\underline{x}) ⊂ K étant algébrique, v′ discrète de rang 1 implique que v est discrète de rang 1. Par ailleurs, k_{v′} ⊂ k_{v} étant une extension algébrique finie et k_{v′} de type fini sur k, on en déduit que k_{v} est une extension algébrique de type fini sur k. Enfin, si R est la clôture intégrale de k[\underline{x}] ⊂ K, alors v est non négative sur R. De plus, le centre p = m_{v} ∩ R de v est un idéal premier minimal de R (car p′ = p ∩ R′ et R est entier sur R′). Donc R est noethérien et intégralement clos, d’où encore une fois R_{p} est un anneau de valuation discrète dominé par A_{v}, donc R_{p} = A_{v}.

Corollaire 8.1 Si v est une valuation de K/k, degtr_{k}(K) = r, telle que degtr_{k}(k_{v}) = s et rg(v) = r − s, alors v est discrète et k_{v} est un corps de fonctions sur k. En particulier, toute valuation de K/k de rang maximum est discrète.

La preuve se fait par récurrence sur le rang.

Il y a une réciproque au théorème précédent :

Proposition 8.1 Soit R une k-algèbre de type fini, p un idéal premier de R tel que R_{p} soit un anneau de valuation, alors la valuation correspondante v est une valuation divisorielle et p un idéal premier minimal de R.

Preuve : Comme R est noethérien, R_{p} est un anneau de valuation noethérien, donc la valuation associée est discrète de rang 1, d’où pR_{p} est minimal dans R_{p}, et, par conséquent, p est minimal dans R et dim R/p = degtr_{k}(R/p) = degtr_{k}((R/p)_{(0)}) = dim R − 1 = degtr_{k}(R_{(0)}) − 1.

Soit V une variété affine sur un corps k, d’anneau k[V], K = k(V) son corps des fonctions et v une valuation finie sur k[V], ie. k[V] ⊂ A_{v}. Alors v est centrée dans k[V] et le centre est l’idéal premier p = m_{v} ∩ k[V] de k[V]. Celui-ci correspond à une sous-variété W de V. On dit alors que v est centrée dans W.

Si v est une valuation divisorielle, ie. degtr_{k}(k_{v}) = r−1, où r = dim(V) = degtr_{k}(k(V)), alors k ⊂ k[W] = k[V]/p ⊂ A_{v}/m_{v} = k_{v}, d’où degtr_{k}(k[W]) ≤ r − 1.

Théorème 8.2 Soit W une sous-variété de dimension r − 1 d’une variété de dimension r, V, sur k. Il n’y a qu’un nombre fini (≥ 1) de valuations divisorielles de k(V)/k, centrées dans W et si v est une telle valuation, alors k_{v} est une extension algébrique finie de k(W)

Preuve : Soit p l’idéal premier minimal de k[V] qui définit W. Il existe toujours une valuation non triviale v de k(V) qui domine k[V]_{p}, alors k[V] ⊂ A_{v} et m_{v}∩k[V] = p. La valuation étant non triviale, on a degtr_{k}(k_{v}) ≤ r−1 et d’autre part, comme k[W] = k[V]/q ⊂ k_{v} et degtr_{k}(k[W]) = dim W = r − 1, on en déduit que degtr_{k}(k_{v}) ≥ r − 1, d’où degtr_{k}(k_{v}) = r − 1 et v est une valuation divisorielle.

Soit K = k(V) = k(x_{1}, …, x_{n}) et q l’idéal premier de k[V] = k[x_{1}, …, x_{n}] définissant W ie. W = V (q). Comme dim W = degtr_{k}(W) = r − 1, on peut supposer que les images \overline{x_{1}}, …, \overline{x_{r−1}} des x_{i} dans k[V]/q sont algébriquement indépendantes sur k, d’où aussi les x_{1}, …, x_{r−1} eux-mêmes. Et, comme dim(V) = r, on peut de plus supposer que x_{1}, …, x_{r} sont algébriquement indépendants sur k. L’anneau k[V] est donc algébrique (entier) sur l’anneau de polynômes k[\underline{x}] = k[x_{1}, …, x_{r}].

Soit q_{0} = q ∩ k[\underline{x}]. C’est un idéal premier minimal de k[\underline{x}] (en effet, l’inclusion k[\underline{x}] ⊂ k[V] vérifie la propriété de “going-down”, donc si q_{0} n’était pas minimal, donc de hauteur ≥ 2, on aurait (0) ⊂ p_{0} ⊂ q_{0}, d’où l’existence d’un idéal premier p de k[V] tel que p_{0} = p ∩ k[\underline{x}] et (0) ⊂ p ⊂ q, les inclusions étant toutes strictes ; d’où q est de hauteur ≥ 2 ; mais ht(q) = dim V − dim W = 1.)

Or la seule valuation sur k(\underline{x}) centrée sur q_{0} dans k[\underline{x}] est la valuation q_{0}- adique. En effet, dire que v_{0} est centrée sur q_{0} dans k[\underline{x}] signifie précisément que k[\underline{x}] ⊂ A_{v_{0}} et q_{0} = m_{v_{0}} ∩ k[\underline{x}], et, par conséquent, A_{v_{0}} domine k[\underline{x}]_{q_{0}}.

Or, k[\underline{x}]_{q_{0}} est un anneau de valuation discrète (local régulier de dimension 1), donc k[\underline{x}]_{q_{0}} = A_{v_{0}} et v_{0} est la valuation q_{0}-adique.

Ainsi toute valuation divisorielle de K/k centrée sur W dans V a pour centre q dans k[x_{1}, …, x_{n}], donc pour centre q_{0} dans k[x_{1}, …, x_{r}], donc est un prolongement de la valuation q_{0}-adique (à une extension algébrique !) et on a vu qu’il n’y a qu’un nombre fini de tels prolongements.

De plus, si v est une telle valuation, k[V]/q = k[W] ⊂ k_{v} (puisque q = m_{v} ∩k[V]). Or dim W = degtr_{k}(k(W)) = r −1 = degtr_{k}(k_{v}), d’où k_{v} est une extension algébrique finie (car k(W) et k_{v} sont des corps de fonctions sur k ie. extensions de type fini) de k(W). Cas particulier

Si W ⊂ V est une variété irréductible définie par p dans R = k[x_{1}, …, x_{n}], on appelle anneau local de W (sur V) l’anneau o(W; V) := R_{p}.

Définition 8.2 On dit que V/k est normale en W si o(W; V) est intégrale1ment clos. Si Q est le point générique de W, on dit que V est normale en Q si V est normale en W ie. o(Q; W) est intégralement clos.

Si C = R : \overline{R} = \{x ∈ R|x\overline{R} ⊂ R\} est le conducteur de \overline{R} dans R - c’est un idéal de R et de \overline{R}, c’est même le plus grand idéal à la fois de R et de \overline{R} - et si C = Spec(R/C), alors les sous-variétés irréductibles W de V/k telles que V/k n’est pas normale en W sont précisément les sous-variétés de C. (provient du fait que : C = Ann(\overline{R}/R) et C⊂ /p ⇔ C_{p} = R ⇔ \overline{R}/R = 0).

Comme dim C ≤ r − 1, il n’y a qu’un nombre fini de sous-variétés irréductibles W de V de dimension r − 1 telles que V/k n’est pas normale en W.

Théorème 8.3 Si W est une sous-variété irréductible de dimension r − 1 de V/k telle que V/k est normale en W, alors il n’y a qu’une valuation divisorielle v de K/k, de centre W dans V, A_{v} = o(W; V) et k_{v} = k(W).

Preuve : Soit p l’idéal premier de A = k[V] qui définit W, alors p est de hauteur 1. Soit v une valuation divisorielle centrée sur W dans V, d’où A ⊂ A_{v} et p = m_{v} ∩ A. Par conséquent, A_{p} ⊂ A_{v} et pA_{p} = m_{v} ∩ A_{p}, autrement dit A_{v} domine A_{p}. Mais A_{p} est intégralement clos et de dimension 1, donc A_{p} est un anneau de valuation discrète de rang 1, d’où A_{p} = A_{v}.

Définition 8.3 Une variété V/k est normale si elle est normale en chacun de ses points (on admet que cela équivaut au fait que l’anneau de V, k[V], est intégralement clos).

Une valuation divisorielle v de K/k, finie sur k[V] (ie. k[V] ⊂ A_{v}) est du premier type si la dimension du centre de v dans V est égale à r − 1 et du deuxième type si cette dimension est < r − 1.

Théorème 8.4 Si W est une sous-variété irréductible propre de V/k, alors il existe une valuation divisorielle v de K/k de centre W dans V. On a :

\overline{o(W; V)} = ⋂_{v∈D_{W}} A_{v}

où D_{W} est l’ensemble des valuations divisorielles de centre W dans V.

Preuve : Si dim W = r − 1, le travail est déjà fait. Si dim W < r − 1, le théorème ne dit pas seulement que D_{W} ≠ ∅, mais que D_{W} est suffisamment gros pour que ⋂_{\{v∈D_{w}\}} A_{v} = ⋂_{\{v de centre W \}} A_{v} (= \overline{o(W; V)}).

Soit p l’idéal premier définissant W, R = k[V] et p = (w_{1}, …, w_{n}). On considère les n anneaux R′_{i} = R[w_{1}/w_{i}, …, w_{n}/w_{i}] (rappelons que les spectres des R′_{i} recouvrent l’éclaté de V le long de W). On a R′_{i}p = R′_{i} · (w_{1}, …, w_{n}) = R′_{i} · w_{i} (“éclater W revient à rendre l’idéal p inversible”).

Montrons qu’il existe un i tel que R′_{i}w_{i} ∩ R = p. Pour cela, prenons une valuation v de k(V)/k de centre p dans R (dont l’existence a été montrée plus haut) et soit i tel que v(w_{i}) = min{v(w_{1}), …, v(w_{n})}. Alors R′_{i} ⊂ A_{v} (car v(R′_{i}) ≥ 0 par choix de i).

Comme v(w_{i}) > 0, R′_{i}w_{i} ⊂ p; de plus, p_{1} ∩ R = (m_{v} ∩ R′_{i}) ∩ R = p, d’où R′_{i}w_{i} ∩ R ⊂ p_{1} ∩ R = p et R′_{i}w_{i} ∩ r ⊃ p et donc R′_{i}w_{i} ∩ R = p.

Supposons i = 1 (pour simplifier), donc R′_{1}w_{1} ∩ R = p, et alors

⋂_{\{p′⊃R′_{1}w_{1}, minimal \}} p′ ∩ R = \sqrt{R′_{1}w_{1}} ∩ R = \sqrt{R′_{1}w_{1} ∩ R} = \sqrt{p} = p,

donc il existe p′_{1} minimal ⊃ R′_{1}w_{1} tel que p′_{1} ∩ R = p. Donc p′_{1} est un idéal premier isolé de R′_{1}w_{1}. En application du théorème (dans un anneau noethérien, tout idéal premier isolé d’un idéal principal est un idéal premier minimal), on en déduit que p′_{1} est un idéal premier minimal de R′_{1} ie. de hauteur 1.

Soit alors v une valuation de k(V)/k telle que v(R′_{1}) ≥ 0, de centre p′_{1}. Comme degtr(v) + rg(v) ≤ dim R′_{1} = r, que degtr(v) ≥ r − 1) et rg(v) ≥ 1, on a degtr(v) = r − 1, donc v est divisorielle et R ⊂ R′_{1} ⇒ v(R) ≥ 0 et p′_{1} ∩ R = p, son centre dans R (ie. dans V) est p (ie. W).

Soit à présent z ∈ k(V) tel que z∈/\overline{R_{p}} = ⋂_{\{v centrée dans p\}} R_{v}. Posons

y = 1/z et R′ = R[y]. Comme z∈/\overline{R_{p}}, il existe une valuation v de k(V)/k de centre p dans R telle que v(z) < 0 ⇒ v(y) > 0, v(R′) ≥ 0 et soit p′ le centre de v dans R′. Alors y ∈ p′ et p′ ∩ R = p.

En appliquant la première partie du théorème à (R′, p′) au lieu de (R, p), on sait donc qu’il existe une valuation divisorielle v^{∗} de k(V)/k, v^{∗}(R′) ≥ 0 de centre p′. Alors v^{∗}(R) ≥ 0, de centre p (car p′ ∩ R = p) et v^{∗}(z) < 0 car y ∈ p′ ⇒ v^{∗}(y) > 0.

D’où il existe une valuation divisorielle de centre W telle que son anneau de valuation ne contient pas z. Ce qui est contradictoire.

Soit S l’ensemble des valuations divisorielles du premier type pour V de K/k, A = k[V] l’anneau de V et \overline{A} sa clôture intégrale. Alors S est l’ensemble des idéaux premiers minimaux de \overline{A}. En effet : toute valuation divisorielle v de S est aussi centrée dans \overline{A} et son centre dans \overline{A} est un idéal premier minimal \overline{p} de \overline{A} (puisque dim V = dim A/p = r − 1 implique que p = m_{v} ∩ A est premier minimal dans A, mais, par “going-up”, cela montre que \overline{p} = m_{v} ∩ \overline{A} est minimal).

Inversement, si \overline{p} est un idéal premier minimal de \overline{A}, alors \overline{A}\overline{p} est un anneau de valuation discrète (\overline{A} est noethérien !) et la valuation associée v\overline{p} a pour centre dans A un idéal premier minimal, p = \overline{p} ∩ A, donc a pour centre dans V une sous-variété W (celle définie par p) de dimension r − 1. Autrement dit, v\overline{p} est une valuation divisorielle du premier type pour V.

Conséquences :

1) \overline{A} = ⋂_{v∈S} A_{v};

2) Si w ∈ K, w ≠ 0, alors, pour toute v ∈ S, v(w) ∈ ZZ et v(w) = 0 sauf pour un nombre fini de v (cf ??).

On appelle v(w) l’ordre de w en v. Si v(w) > 0 on dit que v est un diviseur des zéros, si v(w) < 0, v est un diviseur des pôles.

Toute fonction w ≠ 0, w ∈ K admet un nombre fini de diviseurs des zéros et de diviseurs des pôles. Les fonctions qui n’admettent pas de pôle (du premier type pour V) sont celles qui appartiennent à la clôture intégrale de k[V].

Si V/k est normale, tout élément de S correspond de manière unique à une sous-variété irréductible W de V, on le notera v_{W}. Considérons alors le groupe libre G engendré par les sous-variétés irréductibles de dimension r −1 de V/k. Les éléments de G sont appelés diviseurs. Un diviseur est donc une somme formelle finie D = ∑ m_{i}W_{i}, m_{i} ∈ ZZ. Si tous les m_{i} ≥ 0, on dira que D est un diviseur positif.

Si w ≠ 0, w ∈ K, on lui associe le diviseur (w) = ∑ v_{W} (w) · W, la sommation (finie, car seul un nombre fini de v_{W} (w) ≠ 0) étant étendue à toutes les sous-variétés irréductibles W de dimension r −1 de V. Ce diviseur est le diviseur de la fonction w. Alors (w) est positif ssi w ∈ \overline{A} et (w) = 0 ssi w est inversible dans \overline{A} où A = k[V].

Le fait qu’une fonction w ∈ K puisse ne pas avoir de pôles sur V sans être “constante” (qui signifie en fait algébrique sur k) tient au fait que les pôles peuvent être à l’infini. Sans encore parler de variétés projectives, on peut alors raisonner plus généralement de la manière suivante.

Considérons V/k plongée dans l’espace affine Spec(k[X_{1}, …, X_{n}], alors k[V] = k[x_{1}, …, x_{n}]. Posons x_{1}^{i} = x_{1}/x_{i}, …, x_{i−1}^{i} = x_{i−1}/x_{i}, x_{i}^{i} = 1/x_{i}, …, x_{n}^{i} = x_{n}/x_{i}, V_{i} = Spec(k[x_{1}^{i}, …, x_{n}^{i}]) = Spec(A_{i}) et V = Spec(A_{0}) = Spec(k[x_{1}, …, x_{n}]).

Tous les A_{i} ont même corps des fractions K (les V_{i} sont donc birationnellement équivalents). Soit S_{i} l’ensemble des idéaux premiers minimaux de \overline{A_{i}}, clôture intégrale de A_{i} et S^{∗} = ⋃ S_{i}. Alors pour v ∈ S_{i}, i ≠ 0, v∈/S_{0} ⇔ v(x_{i}) < 0. En effet : v(x_{i}) ≥ 0 ⇒ v(x_{j}) ≥ 0∀j ≠ i - car x_{j} = x_{i} · x_{j}^{i} - ⇒ v(A_{0}) ≥ 0. De plus, le centre de v dans V_{0}, m_{v} ∩ A_{0}, est minimal (les chaînes d’idéaux ne rencontrant pas S sont conservées par localisation et k[x_{1}^{i}, …, x_{n}^{i}] ⊂ k[x_{1}, …, x_{n}, x_{i}^{−1}], de même que k[x_{1}, …, x_{n}] ⊂ k[x_{1}, …, x_{n}, x_{i}^{−1}] sont des localisations - en 1/x_{i} et en x_{i} respectivement -, d’où l’on déduit que la hauteur de m_{v} ∩A_{0} est 1 et donc v ∈ S_{0}. Inversement, v ∈ S_{0} ⇒ v(x_{i}) ≥ 0 pour tout i).

Conclusion : les seuls diviseurs premiers v ∈ S_{i} tels que v∈/S_{0} sont tels que v(x_{i}^{i}) ≥ 0 (ie. v(x_{i}) < 0). Or il n’y en a qu’un nombre fini pour chaque i, donc il n’y a qu’un nombre fini de v ∈ S^{∗} n’appartenant pas à S_{0}, ce sont ceux de “l’infini” par rapport à V.

Proposition 8.2 Si 0 ≠ w ∈ K est une fonction telle que v(w) ≥ 0 pour tout v ∈ S^{∗} ie. sans pôle, alors w est algébrique sur k.

Preuve : Si v(w) ≥ 0, ∀v ∈ S^{∗}, alors w ∈ \overline{A_{i}} pour tout i (car \overline{A_{i}} = ⋂_{v∈S_{i}} A_{v}). Mais, pour toute valuation v de K/k, il existe i tel que A_{v} ⊃ A_{i} (en effet : soit v(x_{i}) ≥ 0, ∀i ⇒ A_{v} ⊃ A_{0}, soit v(x_{i}) = min{v(x_{1}), …, v(x_{n})} et alors v(x_{j}^{i}) ≥ O ⇒ A_{v} ⊃ A_{i}).

D’où A_{v} ⊃ \overline{A_{i}} et w ∈ ⋂ \overline{A_{i}} ⊂ ⋂_{\{v valuation de K/k\}} A_{v} = \overline{k}.

9 Exemples

On admettra le théorème suivant (pour une démonstration voir [?]) :

Théorème 9.1 Soient V/k une variété irréductible de dimension r, m un entier 1 ≤ m ≤ r, une suite d’entiers 0 ≤ s < s_{1} < ⋯ < s_{m−1} ≤ r − 1 et q ⊂ q_{1} ⊂ ⋯ q_{m−1} une chaîne de m idéaux premiers de k[V] tels que dim k[V]/q_{j} ≤ s_{j}. Alors il existe une chaîne de m valuations v, v_{1}, …, v_{m−1} de K/k telle que v_{m−1} ≤ v_{m−2} ≤ ⋯ ≤ v_{1} ≤ v (ie. A_{v} ⊂ A_{v_{1}} ⊂ ⋯ ⊂ A_{v_{m−1}}), rg(v_{j}) = m − j, [k_{v_{j}} : k] = s_{j} et v_{j} est centrée en q_{j} dans V.

10 Surface de Riemann abstraite d’un corps

Soit k ⊂ K une extension de corps (on pourrait en fait supposer que k est seulement un sous-anneau de K cf. [?]). Considérons l’ensemble S des valuations de K/k non triviales et munissons-le de la topologie suivante.

Etant donné un sous-anneau A de K contenant k, on note E(A) = {v ∈ S|v(A) ≥ 0}. La famille des E(A) telle que A est une k-algèbre de type fini constitue une base d’ouverts d’une topologie sur S. En particulier, on a E(k) = S et E(A) ∩ E(A′) = E([A, A′]) où [A, A′] désigne le sousanneau de K engendré par A et A′ (ie. [A, A′] = {∑ a_{i}a′_{j}|a_{i} ∈ A, a_{j} ∈ A′}). Remarquons aussi que A ⊂ A′ ⇒ E(A′) ⊂ E(A).

L’ensemble S, muni de cette topologie est appelé surface de Riemann abstraite de K/k.

Remarquons que si k′ désigne la clôture algébrique de k dans K, alors la surface de Riemann de K/k coïncide avec la surface de Riemann de K/k′.

Théorème 10.1 La clôture d’un élément v de S est l’ensemble des valuations v′ ∈ S qui sont obtenues par composition avec v ie. \overline{\{v\}} = \{v′ ≤ v\}.

Preuve : Si v′ est la composée de v avec \overline{v} ie. v′ = v ∘ \overline{v}, on a A_{v′} ⊂ A_{v}. Si E(A) est un ouvert de base tel que v appartient au fermé S − E(A), alors A⊂ /A_{v}, et a fortiori A⊂ /A_{v′}, d’où v′ ∈ S − E(A). Donc tout fermé de base qui contient v contient v′, autrement dit v′ est dans la clôture de {v}.

Inversement, supposons que v′ n’est pas un composé de v. Il existe alors x ∈ K tel que v′(x) ≥ 0 et v(x) < 0. D’où si A = k[x], v ∈ S − E(A), v′∈/S − E(A) et, par conséquent, v′∈/\overline{\{v\}}.

Corollaire 10.1 Si k est algébriquement clos dans K, alors tout point de S est fermé ssi degtr_{k}K = 1.

Preuve : Dans la situation précédente, toute valuation non triviale est de rang 1 (c’est une conséquence, par exemple, de l’inégalité d’Abhyankar), par conséquent {v′ ≤ v} est réduit à {v}. Inversement, si tout point est fermé, tout v ∈ S doit être de rang 1. Si degtr_{k}K > 1, on peut construire une valuation v′ tel que degtr_{k}k_{v′} > 0 et, en composant v′ avec une valuation non triviale de k_{v′}, on obtient une valuation de rang > 1.

Remarquons que S n’est jamais séparé.

Théorème 10.2 La surface de Riemann abstraite S de K/k est quasicompacte.

Preuve : Remarquons d’abord que S peut-être réalisée comme sous-espace topologique de l’ensemble Z^{K} des applications de K dans Z = {−, 0, +}, où l’on a muni Z de la topologie dont les ouverts sont ∅, Z, {0, +} et Z^{K} de la topologie produit.

Ajoutons alors provisoirement à S la valuation triviale v_{0}, S^{∗} = S ∪{v_{0}}, et munissons S^{∗} d’une topologie définie comme celle de S. Alors tout ouvert de base contient v_{0}. On a bien sûr S quasi-compact ssi S^{∗} est compact.

Munissons Z de la topologie discrète. C’est une topologie plus fine que la topologie définie précédemment et qui est séparée. On vérifie, en traduisant l’appartenance d’un f ∈ Z^{K} à S^{∗}, que S^{∗} est un sous-ensemble fermé deZ^{K} pour cette topologie. D’où, puisque Z^{K} est compact par le théorème de Tychonov (forme forte : tout produit de compacts est compact), S^{∗} est compact pour cette topologie, donc a fortiori pour la topologie moins fine.

On va à présent réaliser cette surface de Riemann comme une limite projective d’espaces topologiques associés à des sous-ensembles finis de K.

On dit qu’un anneau A est quasi-local si A n’admet qu’un unique idéal maximal (A pouvant être noethérien ou non). Ainsi tout anneau de valuation est quasi-local.

Soit L l’ensemble des sous-anneaux de K quasi-locaux et contenant k. Un sous-ensemble M de L est dit irrédondant (resp. complet) si, pour toute valuation v de K, il existe au plus (resp. au moins) un élément P de M tel que A_{v} > P.

On dira qu’un sous-ensemble M′ de L domine un sous-ensemble M, on note M′ ≥ M, si, pour tout P′ ∈ M′, il existe P ∈ M tel que P′ > P.

Si M ≤ M′ et M irrédondant, alors il n’existe qu’un unique P ∈ M tel que P < P′ (en effet, si v est une valuation telle que A_{v} > P′ > P, d’où s’il y avait un autre P′′ > P, on aurait une autre valuation v′ telle que A_{v′} > P ce qui est impossible). On peut dans cette situation définir une application d_{M′,M} : M′ → M par d_{M′,M}(P′) = P, on l’appelle application de domination. La relation de domination est une relation d’ordre partiel sur les sous-ensembles irrédondants de L. Remarquons encore que si M ≤ M′ et M′ complet, alors d_{M′,M}(M′) est complet.

On munit L d’une topologie de la façon suivante. Pour un sous-anneau quelconque A tel que k ⊂ A ⊂ K, on définit L(A) = {P ∈ L| A ⊂ P quasi-local }. La famille des L(A) où A est de type fini sur k constitue une base d’ouverts de L. Ainsi S est un sous-ensemble de L et il est clair que la topologie de S n’est autre que la topologie induite par celle de L.

On a le résultat analogue à la proposition ??, à savoir : la fermeture de {P } dans L est constituée par l’ensemble des P′ ∈ L tels que k ⊂ P′ ⊂ P.

Soit toujours A quelconque tel que k ⊂ A ⊂ K, on note P (A) l’ensemble des idéaux premiers non-nuls de A, muni de la topologie pour laquelle les fermés sont les V (I) = {p ∈ P (A)|p ⊃ I} où I désigne un idéal de A, et on note encore V (A) = {A_{p}|p ∈ P (A)} ⊂ L.

Une série de lemmes va nous conduire au résultat :

Lemme 10.1 L’application f : L(A) → P (A) définie par f(P) = m_{P} ∩ A est continue et f_{|V (A)} est un homéomorphisme de V (A) sur P (A).

Pour tout a, V (A) est irrédondant (en effet, pour toute valuation v, il existe au plus un A_{p} tel que A_{v} > A_{p}, en fait p = m_{v} ∩ A) et si A est de type fini sur k, on dit que V (A) est un modèle affine pour k. A est bien sûr uniquement déterminé par V (A) (car A = ∩_{p∈V (A)}A_{p}) et est appelé anneau de définition du modèle affine V (A).

Un modèle M sur k est par définition un sous-ensemble irrédondant de L, réunion finie de modèles affines sur k ie. M = ⋃_{i=1}^{n} V (A_{i}) (on peut remarquer aisément que les A_{i} ont tous même corps des fractions).

Lemme 10.2 Pour tout modèle M = ⋃_{i=1}^{n} V (A_{i}), on a M ∩L(A_{i}) = V (A_{i}), d’où V (A_{i}) est ouvert dans M.

H ⊂ M est ouvert (resp. fermé) ssi H ∩ V (A_{i}) est ouvert (resp. fermé) dans V (A_{i}) pour tout i.

Lemme 10.3 Soit M un modèle et M′ ⊂ L tel que M ≤ M′, alors d_{M′,M} est continue.

Lemme 10.4 Soit M un modèle complet et f = d_{S,M} : S → M, alors f est continue et fermée.

Lemme 10.5 Si M, M′ sont des modèles complets tels que M ≤ M′, alors d_{M′,M} est continue et fermée.

Soient {x_{0}, x_{1}, …, x_{n}} un ensemble de points, non nuls, de K, A_{i} = k[x_{0}/x_{i}, …, x_{n}/x_{i}] et M = ⋃_{i=1}^{n} V (A_{i}). alors M est un modèle complet. On dit que M est le modèle projectif sur k déterminé par {x_{0}, …, x_{n}}.

Soit C l’ensemble des modèles complets sur k et C′ l’ensemble des modèles projectifs sur k. On a C′ ⊂ C et tous deux sont ordonnés par la relation de domination.

Lemme 10.6 Soit M = ⋃_{i=1}^{n} V (A_{i}) et M′ = ⋃_{j=1}^{m} V (A′_{j}) deux modèles sur k et soit A_{ij} = k[A_{i}, A′_{j}], alors M′′ = ⋃_{i,j} V (A_{ij}) est un modèle qui domine M et M′ et est tel que tout N qui domine M et M′ domine M′′.

De plus, si M et M′ sont affines (resp. complets, projectifs), alors M′′ aussi.

M′′ est appelé joint de M et M′ et noté J(M, M′). On peut définir récursivement J(M_{1}, …, M_{k}) et on a évidemment M ≤ M′ ⇒ J(m, M′) = M′ et J(M, M) = M.

Lemme 10.7 (lemme de Chow) Tout modèle complet est dominé par un modèle projectif.

Les ensembles C et C′ sont inductifs et C′ est un sous-ensemble cofinal de C. L’ensemble {d_{S,M}(A_{v})}_{M∈C} est un système projectif d’espaces topologiques (de même {d_{S,M}}_{M∈C′}) et on définit S(C) = lim_{M∈C^{⟵}}M et S(C′) =

lim_{M∈C′^{⟵}}M.

Théorème 10.3 L’application g : S → S(C) définie par

g(v) = {d_{S,M}(A_{v})}_{M∈C}

est un homéomorphisme. De même pour g′ : S → S(C′).

Références

[1] Abhyankar, On the valuation centered in a local domain, Amer. J. Math., 78 (1956), 321-348.

[2] N. Bourbaki, Algèbre commutative, Chap.5 et 6, Paris, Hermann.

[3] H. Matsumura, Commutative Algebra, W.A. Benjamin Inc., NY 1970.

[4] P. Ribenboim, Théorie des valuations, Les Presses de l’Université de Montréal, Montréal 19 ? ?.

[5] P. Samuel, O. Zariski, Commutative Algebra, Vol.1, Van Nostrand, New York, 1958-60.

[6] P. Samuel, O. Zariski, Commutative Algebra, Vol.2, Van Nostrand, New York, 1958-60.

[7] M. Spivakovky, Valuations in function fields of surfaces, Amer. J. Math, 112, (1990), 107-156.