Produits de Massey et déformations d’après O.A. Laudal

D. Schaub Département de Mathématiques Université d’Angers 49045 ANGERS Cedex.

Ces notes sont le résumé de quelques exposés que j’ai faits en 1994 au séminaire de géométrie algébrique d’Angers dont le sujet est l’article de O.A. Laudal, Matric Massey products and formal moduli I (voir [1]). Le but initial était de parler d’espaces de modules de fibrés sur une courbe, d’où l’idée, suivant une suggestion de Laudal, de regarder les déformations de certains faisceaux de modules particuliers.

En réalité, ce qui est relaté ici, c’est le calcul du module formel d’un Amodule E où A est une k-algèbre sur un corps k. Dans le cas d’une courbe projective, il est possible aussi de faire une théorie analogue et de relier ”local” et ”global” (voir à ce sujet [5]).

Ce qui n’apparait pas immédiatement dans l’article de Laudal, c’est que les produits de Massey peuvent être définis sur une algèbre différentielle graduée et donc indépendemment (a priori) de questions de déformations. En fait, pour justifier l’existence de tels produits, il faut utiliser des résultats de [2] et du paragraphe 2 : ce sont les différents lemmes de la dernière partie.

1 Introduction.

On considère un A-module E où A est une k-algèbre et on se propose de calculer une enveloppe du foncteur de déformation à savoir :

Soit \underline{l} = \{k-algèbre locale artinienne \} et soit

Def_{E} : \underline{l} → \underline{Ens}

le foncteur qui à (S → k) associe

{E_{S} A ⊗_{k} Smodule, plat sur S et tq. E_{S} ⊗_{S} k = E}/ ≅ .

Une enveloppe H^{∧} pour Def_{E} c’est une k-algèbre complète tq. il existe une surjection : ρ : Mor_{∗}(H^{∧}, ·) → Def_{E} vérifiant :

1. ρ est lisse;

2. ρ(k[ϵ]) : Mor_{∗}(H^{∧}, k[ϵ]) (= m_{H}/m_{H}^{2}) ≃ Def_{E}(k[ϵ]).

Bien entendu, m_{H}/m_{H}^{2} est l’espace tangent de Zariski T_{\underline{H}^{∧},∗}.

Remarque : Un morphisme de foncteur ρ : F → G est lisse si, pour toute surjection R → S dans \underline{l}, le morphisme

F (R) ⟶ F (S) ×_{G(S)} G(R)

est surjectif.

Ici cela se traduit par :

Mor(H^{∧}, R) ⟶ Def_{E}(R)
↓  ↓
Mor(H^{∧}, S) ⟶ Def_{E}(S)

pour chaque ϕ ∈ Mor(H^{∧}, S), ξ ∈ Def_{E}(R) tels que phi et ξ s’envoient sur le même élément dans Def_{E}(S), il existe un ϕ′ ∈ Mor(H^{∧}, R) tel que ϕ′ ↦ ξ et ϕ′ ↦ ϕ.

Remarque : En fait, une enveloppe est un pro-(couple) (H^{∧}, ξ) où H^{∧} ∈ \underline{l̂} et ξ ∈ Def_{E}(H^{∧}). ξ est la famille verselle formelle et H^{∧} est la base de la déformation verselle formelle de E.

Un problème important consiste à trouver (s’il existe!) un algébrisé H de H^{∧} (base de la déformation miniverselle).

L’existence de cette enveloppe pour Def_{E} est assurée par le théorème de Schlessinger. Par ailleurs, Laudal a montré le théroème suivant: (on ”oublie” le ^{∧} dans les notations) H est déterminé par un morphisme de k-algèbres locales complètes

o : T^{2} = Sym_{k}(Ext^{2∗})^{∧} ⟶ T^{1} = Sym_{k}(Ext^{1∗})^{∧}

et H = T^{1} ⊗_{T^{2}} k lorsque par exemple dim_{k} A^{i} < +∞ pour i = 1, 2.

Autrement dit, H se présente sous la forme k[[u_{1}, …, u_{d}]]/(f_{1}, …, f_{r}) où u_{1}, …, u_{d} correspond à une base de Ext^{1}(E, E), y_{1}, …, y_{r} est une base de Ext^{2}(E, E) et f_{j} = o(y_{j}). Il s’agit donc de calculer les f_{j}.

2 Relèvements de modules et relèvements de résolutions.

Considérons L_{.} → E → 0 une résolution libre de E et on note d : L_{i+1} → L_{i} la différentielle. A cette résolution correspond un complexe simple associé: (Hom_{A}^{.}(L_{.}, L_{.}), d) défini par :

Hom_{A}^{p}(L_{.}, L_{.}) = ∏_{m≥p} Hom(L_{m}, L_{m−p})

et de différentielle:

d^{p} : Hom_{A}^{p}(L_{.}, L_{.}) → Hom_{A}^{p+1}(L_{.}, L_{.})
d^{p}({α_{i}^{p}}_{i≥0}) = α_{i−1}^{p} ∘ d_{i} − (−1)^{p}d_{i−p} ∘ α_{i}^{p}.

On peut dès à présent remarquer que Hom_{A}^{.}(L_{.}, L_{.}) est une algèbre différentielle graduée. Nous reviendrons plus loin sur le définition générale et le produit à mettre dans le cas présent.

Tout d’abord un lemme bien connu:

Lemme 2.1 On a un isomorphisme naturel :

Ext_{A}^{i}(E, E) ≃ H^{i}(Hom_{A}^{.}(L_{.}, L_{.})).

Soit maintenant R, S ∈ \underline{l} et π : R → S un épimorphisme tel que I = ker(π) vérifie m_{R} · I = 0.

Définition 2.1 On appelle relèvement du complexe (L_{.}, d_{i}) à S un couple (L_{.} ⊗_{k} S, d_{i}(S)) tel que:

⋯ → L_{2} ⊗_{k} S →^{d_{2}(S)} L_{1} ⊗_{k} S →^{d_{1}(S)} L_{0} ⊗_{k} S → H_{O}(L_{.} ⊗_{k} S) → 0
↓  ↓  ↓  ↓
⋯ → L_{2}  →^{d_{2}}  L_{1}  →^{d_{1}}  L_{0}  →  H_{0}(L_{.})  → 0

où tous les diagrammes commutent et d_{i+1}(S) ∘ d_{i}(S) = 0.

Remarquons qu’on peut sans difficulté relever les L_{i} à S en L_{i} ⊗_{k} S, libres sur A ⊗_{k} S, ainsi que les d_{i} en d_{i}(S) : L_{i} ⊗_{k} S → L_{i−1} ⊗_{k} S. Le problème est que ces d_{i}(S) relevés n’ont, en général, aucune chance de vérifier d_{i+1}(S) ∘ d_{i}(S) = 0.

Remarque : On a bien: (L_{i} ⊗_{k} S) ⊗_{S} k = L_{i} et L_{i} ⊗_{k} S libre sur A ⊗_{k} S implique (car k → A plat ⇒ A ⊗_{k} S plat sur S) implique que A ⊗_{k} S est plat sur S.

Théorème 2.1 1) Tout tel relèvement est en fait une résolution libre de H_{0}(L_{.} ⊗_{k} S) = E_{S}.

2) E_{S} est un relèvement de H_{0}(L_{.}) = E à S.

Preuve: La preuve se fait par récurrence sur la longueur de S.

Si ℓ(S) = 1 , ie. S = k, le résultat est trivial.

Hypothèse de récurrence: on suppose le résultat vrai pour S, à savoir, d_{i}(S) ∘ d_{i+1}(S) = 0 et commutativité du diagramme ⇒ la suite est exacte et H_{0}(L_{.} ⊗_{k} S) = E_{S} est un relèvement de E à S.

Remarque: la platitude de E_{S} sur S est claire sous ces conditions. En effet, k = S/m_{S}, il suffit donc de montrer que T or_{1}^{S}(H_{0}(L_{.} ⊗_{k} S), k) = 0. Or, ce groupe est le H_{1} du complexe suivant:

L_{2} ⊗_{k} S ⊗_{S} k → L_{1} ⊗_{k} S ⊗_{S} k → L_{0} ⊗_{k} S ⊗_{S} k
||  ||  ||
L_{2}  →^{d_{2}}  L_{1}  →^{d_{1}}  L_{0}

donc est zéro.

Soit donc 0 → I → R → S → 0 tel que m_{R}I = 0 et considérons un relèvement de L_{.} ⊗_{k} S à R ie. un diagramme commutatif

⋯ → L_{i+1} ⊗_{k} R → →^{d_{i+1}(R)} L_{i} ⊗_{k} R →^{d_{i}(R)} L_{i−1} ⊗_{k} R → ⋯
↓  ↓  ↓
⋯ → L_{i+1} ⊗_{k} S → →^{d_{i+1}(S)} L_{i} ⊗_{k} S →^{d_{i}(S)} L_{i−1} ⊗_{k} S → ⋯

tel que d_{i}(R) ∘ d_{i+1}(R) = 0.

Commençons par montrer que dans la situation:

0  0
↓  ↓
L_{i} ⊗_{k} I →^{d_{i}(R)_{|L_{i}⊗I}} L_{i−1} ⊗_{k} I
↓  ↓
L_{i} ⊗_{k} R →^{d_{i}(R)} L_{i−1} ⊗_{k} R
↓  ↓
L_{i} ⊗_{k} S →^{d_{i}(S)} L_{i−1} ⊗_{k} S
↓  ↓
0  0

où d_{i}(R)|_{L_{i}⊗_{k}I} = d_{i} ⊗ 1_{I}.

Or I = I/mI est engendré comme k-espace vectoriel par un nombre fini d’éléments x_{1}, …, x_{s} ie. un éleément x de I peut s’écrire ∑ a_{i}x_{i}.

Calculons d_{i}(R)(y ⊗ ∑_{i=1}^{s} a_{i}x_{i}) = ∑_{i=1}^{s} a_{i}d_{i}(R)(y ⊗ x_{i}). Or, d_{i}(R) est A⊗_{k}R-linéaire et : y⊗x_{i} = (1⊗x_{i})(y⊗1) ∈ (A⊗_{k}R)(L_{i}⊗R),

donc d_{i}(R)(y ⊗ x_{i}) = d_{i}(R)[(1 ⊗ x_{i})(y ⊗ 1)] = (1 ⊗ x_{i})d_{i}(R)(y ⊗ 1).

Or \begin{matrix}L_{i} ⊗ 1 & →^{d_{i}(R)} & L_{i−1} ⊗ 1 \\ ≅↓ & & ↓↑ \\ L_{i} & →^{d_{i}} & L_{i−1} \end{matrix} , d’où d_{i}(R)(y ⊗ 1) = d_{i}(y) ⊗ 1.

Conclusion : d_{i}(R)(y ⊗ ∑ a_{i}x_{i}) = ∑ a_{i}(1 ⊗ x_{i})d_{i}(y) ⊗ 1 = ∑ a_{i}d_{i}(y) ⊗ x_{i} = d_{i}(y) ⊗ ∑ a_{i}x_{i} = d_{i}(y) ⊗ x.

On se retrouve donc avec 3 complexes et des morphismes de complexes

0 → L_{.} ⊗ I → L_{.} ⊗ R → L_{.} ⊗ S → 0

où les différentielles sont respectivement d_{i} ⊗ 1_{I}, d_{i}(R), d_{i}(S).

Le premier est exact car résulte d’une suite exacte tensorisée sur un corps par un espace vectoriel.

Le troisième l’est par hypothèse. D’où de la suite exacte longue:

⋯ → H_{n}(L_{.} ⊗_{k} I) → H_{n}(L_{.} ⊗_{k} R) → H_{n}(L_{.} ⊗_{k} S) → H_{n−1}(L_{.} ⊗_{k} I) → ⋯ → H_{1}(L_{.} ⊗_{k} S) → H_{0}(L_{.} ⊗_{k} I) → H_{0}(L_{.} ⊗_{k} R) → H_{0}(L_{.} ⊗_{k} S) → 0,

on déduit que H_{n}(L_{.} ⊗_{k} R) = 0, ∀n ≥ 0 et

0 → E ⊗_{k} I → H_{0}(L_{.} ⊗_{k} R) → E_{S} → 0.

|| E_{R}

Il est clair que E_{R} ⊗_{R} S ≅ E_{S} (en tensorisant \begin{aligned}L_{1} ⊗_{k} R & → & L_{1} ⊗_{k} S \\ ↓ & & ↓ \\ L_{0} ⊗_{k} R & → & L_{0} ⊗_{k} S \end{aligned}

par ⊗_{R}S, les flèches horizontales deviennent des isomorphismes, d’où : E_{S} = H_{0}(L_{.} ⊗_{k} S) = H_{O}(L_{.} ⊗_{k} R ⊗_{R} S) = H_{0}(L_{.} ⊗_{k} R) ⊗_{R} S = E_{R} ⊗_{R} S).

Donc: (la platitude de E_{R} sur R étant assurée cf. ci-dessus), E_{R} est un relèvement de E_{S} à R.

Conclusion : s’il existe d_{i}(R) tels que d_{i}(R) ∘ d_{i+1}(R) = 0, alors E_{S} se rlève à R.

Reste le problème de l’existence de tels morphismes d_{i}(R):

Calculons l’obstruction pour relever (L_{.} ⊗_{k} S, d_{i}(S)) à R. Pour chaque i, on choisit un relèvement d′_{i}(R) : L_{i} ⊗_{k} R → L_{i−1} ⊗_{k} R de d_{i}(S). Cela est possible car les L_{i} sont libres :

L_{i} ⊗_{k} R ⋯ > L_{i−1} ⊗_{k} R
↓ ↘ ↓
L_{i} ⊗_{k} S → L_{i−1} ⊗_{k} S
↓
O.

La composée d′_{i−1}(R) ∘ d′_{i}(R) : L_{i} ⊗_{k} R → L_{i−2} ⊗_{k} R qui s’inscrit dans le diagramme commutatif suivant :

L_{i−2} ⊗_{k} I

↓

L_{i} ⊗_{k} R → L_{i−2} ⊗_{k} R
↓  ↓
L_{i} ⊗_{k} S →^{O} L_{i−2} ⊗_{k} S

0^{↓}

donne donc lieu à un morphisme A ⊗_{k} R-linéaire :

L_{i} ⊗_{k} R → L_{i−2} ⊗_{k} I.

Or, L_{i} ⊗_{k} R est engendré sur A ⊗_{k} R par L_{i} ⊗ 1 qui s’identifie à L_{i}.

D’où le morphisme ci-dessus est induit par une unique application Alinéaire

o_{i} : L_{i} → L_{i−2} ⊗_{k} I ∀i.

La famille {o_{i}}_{i≥0} définit donc un élément o ∈ Hom_{A}^{2}(L_{.}, L_{.} ⊗_{k} I) = Hom_{A}^{2}(L_{.}, L_{.})⊗_{k} I (cette égalité provenant du fait que I est un k-espace vectoriel de dimension finie : I ≅ k^{n} ⇒ Hom_{A}(M, N ⊗_{k} I) = Hom_{A}(M, N^{n}) = Hom_{A}(M, N)^{n} = Hom_{A}(M, N) ⊗_{k} I).

On vérifie immédiatement que d^{2}({o_{i}}) = {o_{i−1} ∘ d_{i} − d_{i−2} ∘ o_{i}} = 0. En effet

L_{i}  →^{d_{i}} L_{i−1}  L_{i−2}  →^{d_{i−2}⊗1} L_{i−3} ⊗ I
↓  ∘  ↓  ↓  ∘  ↓
L_{i} ⊗ R → L_{i−1} ⊗ R → L_{i−2} ⊗ R → L_{i−3} ⊗ R

par conséquent, o est un 2-cocycle de Hom_{A}^{.}(L_{.}, L_{.}) ⊗_{k} I qui définit donc un élément o(E_{S}, π) ∈ Ext_{A}^{2}(E, E) ⊗_{k} I.

Bien entendu, on montre que o(E_{S}, π) est indépendant du choix des d′_{i}(R) relevant les d_{i}(S).

Supposons que o(E_{S}, π) = 0. Alors, il existe un élément ξ ∈ Hom_{A}^{1}(L_{.}, L_{.}) ⊗_{k} I tel que dξ = −o. On pose alors, d_{i}(R) = d′_{i}(R) + ξ_{i}.

On a d_{i−1}(R)∘d_{i}(R) = d′_{i−1}(R)∘d′_{i}(R)+ξ_{i−1}∘d′_{i}(R)+d′_{i−1}(R)∘ξ_{i}+ξ_{i−1}∘ξ_{i} où d′_{i−1}(R) ∘ d′_{i}(R) = o et ξ_{i−1} ∘ d′_{i}(R) + d′_{i−1}(R) ∘ ξ_{i} = dξ = −o.

D’un autre côté, ξ_{i} est A ⊗ R-linéaire, d’où, si b ∈ I, ξ_{i}(x ⊗ b) = ξ_{i}(1 ⊗ b)(x ⊗ 1) = (1 ⊗ b)ξ_{i}(x ⊗ 1). Mais, ξ_{i}(x ⊗ 1) ∈ L_{i−1} ⊗ I et par conséquent, (1 ⊗ b)ξ_{i}(x ⊗ b) ∈ L_{i−1} ⊗ I^{2} = 0, ou encore ξ_{i|L_{i}⊗I} = 0 d’où ξ_{i−1} ∘ ξ_{i} = 0. Conclusion, d_{i−1}(R) ∘ d_{i}(R) = 0, ce qui conclut le problème d’existence.

De plus, donnons-nous 2 relèvements (L_{.} ⊗_{k} R, d_{i}(R)_{j}), j = 1, 2 (correspondant à 2 relèvements E_{R}^{1}, E_{R}^{2}).

Les différences d_{i}(R)_{1} − d_{i}(R)_{2} : L_{i} ⊗ R → L_{i−1} ⊗ R vérifiant (1 ⊗ π) ∘ (d_{i}(R)_{1} − d_{i}(R)_{2}) = 0, on en déduit cf. ci-dessus, que d_{i}(R)_{1} − d_{i}(R)_{2} induit une application η_{i} : L_{i} → L_{i−1} ⊗_{k} I.

Ce qui donne lieu à un élément {ξ_{i}}_{i≥0} ∈ Hom^{1}(L_{.}, L_{.}) ⊗ I et on vérifie (ce qui permet donc de ramener l’étude de relèvement de modules à celle de relèvement de résolution de ce module) que d({ξ_{i}}) = 0, autrement dit {ξ_{i}} définit un cocycle, donc un élément η̄ ∈ Ext_{A}^{1}(E, E) ⊗_{k} I.

Conclusion : 2 relèvements ”diffèrent” d’un élément de Ext_{A}^{1}(E, E) ⊗_{k} I, ie. l’ensemble des relèvements est un espace principal homogène sous Ext_{A}^{1}(E, E) ⊗_{k} I.

3 Définition des produits de Massey.

3.1 Une définition ”provisoire” .

(cf [3])

Définition 3.1 Une algèbre différentielle graduée A = ⊕_{k≥0}A^{k} est une algèbre munie d’une différentielle d de degré +1 telle que:

1) A est commutativement graduée ie. xy = (−1)^{k}yx, ∀x ∈ A^{k}, y ∈ A^{l}.

2) d est une dérivation ie. d(xy) = dx · y + (−1)^{k}x · dy, x ∈ A^{k}.

3) d^{2} = 0.

Si A est une ADG, alors H^{∗}(A) est une algèbre (il suffit de le vérifier). Il y a bien sûr quelques sorites sur les ADG tels que: définition de mor-

phismes d’ADG, etc...

Exemples : (i) Le complexe de de Rham des formes C^{∞} sur une variété. (ii) La cohomologie d’un CW-complexe X, {H^{∗}(X; k); d = 0} où k est un corps. (c’est non commutativement gradué !).

L’idée essentielle est que ce type de structure avec ce qu’on va définir immédiatement, les produits de Massey, détermine entièrement le type d’homotopie de l’objet considéré, et, en tout cas, fournit de nouveaux invariants de ce type d’homotopie.

Soit u_{1} ∈ H^{p_{1}}, u_{2} ∈ H^{p_{2}}, u_{3} ∈ H^{p_{3}} tels que u_{1} · u_{2} = 0 = u_{2} · u_{3}. Alors, on définit < u_{1}, u_{2}, u_{3} >∈ H^{p_{1}+p_{2}+p_{3}−1}/[u_{1} · H^{p_{2}+p_{3}−1} + H^{p_{1}+p_{2}−1} · u_{3}] par : soient a_{1}, a_{2}, a_{3} des cocycles représentant u_{1}, u_{2}, u_{3}. Soit encore b_{12}, b_{23} tels que db_{12} = a_{1}·a_{2} et db_{23} = a_{2}·a_{3}, on montre alors que: b_{12}·a_{3}+(−1)^{p_{1}+1}a_{1}·b_{23} est une (p_{1} + p_{2} + p_{3} − 1)-forme et d(b_{12} · a_{3} + (−1)^{p_{1}+1}a_{1} · b_{23}) = db_{12} · a_{3} + (−1)^{p_{1}+p_{2}−1}b_{12} · da_{3} + (−1)^{p_{1}+1}(da_{1} · b_{23} + (−1)^{p_{1}}a_{1} · db_{23}) = 0.

Cet élément est donc un cycle de degré p_{1} + p_{2} + p_{3} − 1. Par définition, le produit de Massey < u_{1}, u_{2}, u_{3} > est un représentant dans H^{p_{1}+p_{2}+p_{3}−1} de ce cycle. Mais, bien sûr, cette définition dépend des choix faits; lorsque l’on change ces choix, on obtient une autre classe de cohomologie, dont on vérifie qu’elle est équivalente à la première modulo [u_{1}H^{b+c−1} + H^{a+b−1}u_{3}].

Pour des opérations cohomologiques d’ordre supérieur, on pourrait penser qu’il en va de même. Ainsi, soit u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} quatre classes de cohomologie de degrés respectifs p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} telles que (1) u_{1}u_{2} = u_{2}u_{3} = u_{3}u_{4} = 0.

Soient alors, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} des représentants des u_{i} et b_{ij} tels que db_{12} = a_{1}a_{2}, db_{23} = a_{2}a_{3}, db_{34} = a_{3}a_{4}. Considérons encore le sous-ensemble du produit direct H^{p_{1}+p_{2}+p_{3}−1} × H^{p_{2}+p_{3}+p_{4}−1} constitué par :

(< u_{1}, u_{2}, u_{3} >, < u_{2}, u_{3}, u_{4} >) = {(y, z) | y = classe(b_{12}a_{3} − (−1)^{p_{1}}a_{1}b_{23}) z = classe(b_{23}a_{4} − (−1)^{p_{2}}a_{2}b_{34})}

pour tous les choix possibles des a_{i} et b_{ij}. Imposons alors la condition (2) (0, 0) ∈ (< u_{1}, u_{2}, u_{3} >, < u_{2}, u_{3}, u_{4} >).

Cette condition ( qui implique, en particulier, que (< u_{1}, u_{2}, u_{3} >= < u_{2}, u_{3}, u_{4} >= 0 ) signifie qu’il existe des choix tels que 0 = classe(b_{12}a_{3} − (−1)^{p_{1}}a_{1}b_{23}) et 0 = classe(b_{23}a_{4} − (−1)^{p_{2}}a_{2}b_{34}). Autrement dit, il existe c_{123} et c_{234} tels que dc_{123} = b_{12}a_{3}−(−1)^{p_{1}}a_{1}b_{23} et dc_{234} = b_{23}a_{4}−(−1)^{p_{2}}a_{2}b_{34}. Soit alors z′ = c_{123}a_{4} − (−1)^{p_{1}+p_{2}−1}b_{12}b_{34} + a_{1}c_{234}. On vérifie aisément que z′ est un cocycle et désignons par z sa classe de cohomologie dans H^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}−2}.

On dira, par définition, que le produit < u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} > est l’ensemble de toutes les classes pouvant être obtenues de cette manière et que z représente < u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} >.

Cette définition peut bien sûr s’étendre aux ordres supérieurs. Remarques : 1) Contrairement au cas de trois classes, ici le sous-ensemble < u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} > de H^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}−2} n’est pas en général une classe modulo quelque sous-groupe que ce soit.

2) En réalité, W.S. Massey considère que cette définition, qu’il qualifie d’ailleurs de ”provisoire” est bien trop compliquée à utiliser, que les opérations ainsi définies n’ont pas de bonnes propriétés algébriques, ...et a par conséquent caractérisé les produits ci-dessus d’autre façon (par exemple, en termes de suites spectrales).

Dans un article postérieur, J.P. May ([4] ) définit des produits dans une situation plus générale. Contentons-nous ici d’un exemple : prenons U une ADG et considérons un n-uplet (V_{1}, …, V_{n}) où V_{i} est une matrice p × q à coefficients dans la cohomologie H(U) et telles qu’elles forment un système multipliable (à savoir : lorsque l’on fait le produit de deux matrices successives, les dimensions étant adéquates, le coefficient du produit est une somme de termes tous de même degré).

Le produit de Massey matriciel < V_{1}, …, V_{n} > est alors défini s’il existe un sytème \{A_{ij}\}_{{0≤i<j≤n \atop (i,j≠(0,n)}} de matrices à coefficients dans U tel que :

(1) A_{i−1,i} représente V_{i} pour tout i;

dA_{ij} = ∑_{k=i+1}^{j−1} \overline{A}_{ik}A_{kj} , 1 < j − i < n

où l’on note pour une matrice A = (a_{ij}), \overline{A} la matrice dont le ij-ième coefficient est (−1)^{deg(a_{ij})}a_{ij}.

L’ensemble {A_{ij}} est appelé système de définition pour le produit < V_{1}, …, V_{n} > et ∑_{k=1}^{n−1} \overline{A}_{0k}A_{kn} est un cycle dont la classe dans Mat(H(U)) appartient à < V_{1}, …, V_{n} >. Le produit < V_{1}, …, V_{n} > est alors l’ensemble des classes d’homologie pouvant être obtenues de cette manière. Cas particulier : < V_{1}, V_{2} > est toujours défini et réduit à \overline{V}_{1}V_{2}.

On dit encore que < V_{1}, …, V_{n} > est strictement défini si, pour tous 1 ≤ j − i ≤ n − 2, < V_{i}, …, V_{j} > est défini (dans Mat(H(U))) et ne contient que la matrice nulle. Ainsi tout triple produit est strictement défini.

Remarque : Si on considère des matrices 1 × 1, l’existence d’un système de définition équivaut exactement aux conditions (1) et (2) de Massey.

3.2 L’algèbre Hom^{.}(L., L.).

Hom^{.}(L., L.), muni de sa différentielle naturelle, notée D, et du produit défini par :

α · β := α ∘ β + (−1)^{ab+1}β ∘ α

est une algèbre de Lie différentielle graduée.

On vérifie alors facilement que :

α · β = (−1)^{k}β · α

et que :

D(α · β) = α · Dβ + (−1)^{b}Dα · β

.

En effet, D(α ∘ β) = α ∘ β ∘ d + (−1)^{a+b+1}d ∘ α ∘ β et α ∘ Dβ = α ∘ (β ∘ d + (−1)^{b+1}d ∘ β) = α ∘ β ∘ d + (−1)^{b+1}α ∘ d ∘ β et Dα ∘ β = (α ∘ d + (−1)^{a+1}d∘α)∘β = α∘d∘β +(−1)^{a+1}d∘α∘β, d’où : α∘Dβ +(−1)^{b}Dα∘β = α ∘ β ∘ d + (−1)^{b+1}α ∘ d ∘ β + (−1)^{b}α ∘ d ∘ β + (−1)^{a+b+1}d ∘ α ∘ β = D(α ∘ β). Donc, D(α∘β) = α∘Dβ+(−1)^{b}Dα∘β, d’où l’on déduit facilement la formule ci-dessus.

Remarque: lorsque a = b = 1, on voit que α · β = α ∘ β + β ∘ α et ainsi au niveau cohomologique α · β est le cup-produit symétrique.

On se contentera ici des produits de Massey (ou faudrait-il dire ”du type Massey”?) de classes de degré 1, c’est-à-dire d’éléments de H^{1}(Hom_{A}^{.}(L., L.) = Ext_{A}^{1}(L., L.). Par exemple, le triple produit < a, b, c >, pour a, b, c ∈ H^{1}(Hom_{A}^{.}(L., L.) = Ext_{A}^{1}(L., L.). D’après ce qui précède, si ab = bc = 0, on peut définir un produit qui vit dans H^{2}(Hom_{A}^{.}(L., L.)) = Ext_{A}^{2}(L., L.), modulo l’idéal (a, c). Mais, nous allons imposer la condition supplémentaire ac = 0, renforçant la symétrie. Alors le produit < a, b, c > est défini dans Ext_{A}^{2}(L., L.) comme la classe du 2-cocycle :

α · ρ + β · τ + γ · η

où dη = α · β, dρ = β · γ, dτ = α · γ. Remarque : Bien sûr, comme on l’a vu plus haut, cette classe dépend des choix faits.

Plus généralement, on posera la définition suivante, imposant par rapport à la définition dans le cas de Massey ou de May, des conditions plus restrictives (et plus symétriques) :

Définition 3.2 Etant donnés p éléments α_{1}, …, α_{p} de Ext_{A}^{1}(E, E), un système de définition pour le produit de Massey < α_{1}, …, α_{p}; \underline{n} >, où \underline{n} = (n_{1}, …, n_{d}) est un d-uplet d’entiers, est une famille \{α\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B\underline{n}}}, où \overline{B\underline{n}} = \{(m_{1}, …, m_{d}) | 0 ≤ m_{i} ≤ n_{i}, \underline{m} ≠ \underline{n}\}, de 1-cochaînes de Hom_{A}^{1}(L., L.) telle que:

∀\underline{m} ∈ \overline{B\underline{n}}, ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B\underline{n}}}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}} = 0

et α_{i,\underline{0}} = d_{i} pour i ≥ 0 et α_{\underline{ϵ}_{ℓ}} = α_{(0,...,0,1,0,...,0)} représente α_{ℓ} ∈ Ext_{A}^{1}(E, E), pour ℓ = 1, …, p.

Etant donné un tel système de définition, le produit de Massey

< α_{1}, …, α_{p}; \underline{n} >

est alors la classe dans Ext_{A}^{2}(E, E) du 2-cocycle (on vérifie que c’en est un!)

∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B\underline{n}}}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}.

Encore une fois, insistons sur le fait que ce produit est uniquement défini par le système de définition, mais changeant de système de définition, on change de produit. Notations: On notera < α_{1}, …, α_{p}; (n, \underline{0}) >=< α_{1}, …, α_{1} >, < α_{1}, …, α_{p}; (n − 1, 1, \underline{0}) >=< α_{1}, …, α_{1}, α_{2} > et < α_{1}, …, α_{p}; (1, …, 1, \underline{0}) >=< α_{1}, …, α_{p} >.

Exemple 1 : Prenons par exemple |\underline{n}| = 2, d = 2. Il y a alors trois cas possibles : \underline{n} = (2, 0) ou \underline{n} = (1, 1) ou \underline{n} = (0, 2).

\underline{n} = (2, 0) : Calculons alors < α_{1}, α_{2}; \underline{n} > avec \underline{n} = (2, \underline{0}) ie. \overline{B}\underline{n} = \{(0, 0), (1, 0)\}. On a, avec les notations ci-dessus, < α_{1}, α_{2}; (2, \underline{0}) >=< α_{1}, α_{1} >. La famille \{α\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} est un système de définition si d^{2} = 0, ce qui correspond à \underline{m} = (0, 0) –toujours vérifié – et α_{(1,0)} ∘ d + d ∘ α_{(1,0)} = 0, ce qui correspond à \underline{m} = (1, 0) d’où \underline{m}_{1} = (0, 0) et \underline{m}_{2} = (1, 0). Cette condition équivalant à Dα_{ϵ_{1}} = 0 toujours vérifiée aussi.

On peut donc définir : < α_{1}, α_{1} >:= classe(2α_{(1,0)} ∘ α_{(1,0)}) = 2 · cup-produit symétrique de α_{1} par α_{1} = α_{1} · α_{1}.

\underline{n} = (1, 1) : De même, pour \underline{n} = (1, 1, \underline{0}), on a \overline{B}\underline{n} = \{(0, 0), (1, 0), (0, 1)\}. On vérifie là-encore qu’il n’y a pas de condition pour qu’on puisse poser :

< α_{1}, α_{2} >= classe(α_{(1,0)} ∘ α_{(0,1)} + α_{(0,1)} ∘ α_{(1,0)}) = classe(α_{1} · α_{2})

cup-produit symétrique de α_{1} et α_{2}.

\underline{n} = (0, 2) : Et pareillement pour \underline{n} = (0, 2).

Exemple 2 : Cherchons à calculer < α_{1}, α_{2}, α_{3}; \underline{n} > où \underline{n} = (3, \underline{0}), (2, 1, \underline{0}), (1, 1, 1, \underline{0}) et les symétriques de ceux-ci. 1er Cas: \underline{n} = (3, \underline{0}). \overline{B}\underline{n} = \{(\underline{0}), (1, \underline{0}), (2, \underline{0})\}.

Les conditions : pour \underline{m} = (\underline{0}) et \underline{m} = (1, \underline{0}), il n’y a pas de conditions. Reste \underline{m} = (2, \underline{0}) : il s’agit de vérifier que

∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=(2,\underline{0}) \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}} = 0.

Or, cette expression est égale à

α_{(2,0)} ∘ d + d ∘ α_{(2,0)} + 2α_{(1,0)} ∘ α_{(1,0)} = Dα_{(2,0)} + α_{1} · α_{1}

dire qu’elle est nulle équivaut donc à:

Dα_{(2,0)} = −α_{1} · α_{1}.

Autrement dit, pour qu’il existe un α_{(2,0)}, il faut (et il suffit bien sûr) que α_{1} · α_{1} = 0 dans Ext_{A}^{2}(E, E).

Et alors,

< α_{1}, α_{2}, α_{3}; \underline{n} >=< α_{1}, α_{1}, α_{1} >= classe ( ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=(3,\underline{0}) \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}} )

= α_{(1,0)} ∘ α_{(2,0)} + α_{(2,0)} ∘ α_{(1,0)} = α_{(1,0)} · α_{(2,0)}.

Et, α_{(2,0)} est un représentant de −α_{1} · α_{1}.

2ème Cas: Etudions encore le cas \underline{n} = (1, 1, 1, \underline{0}). Alors \overline{B}\underline{n} = \{(\underline{0}), (1, \underline{0}), (0, 1, \underline{0}), (0, 0, 1, \underline{0}), (1, 1, \underline{0}), (1, 0, 1, \underline{0}), (0, 1, 1, \underline{0})\}. Conditions : Pas de conditions pour \underline{m} = (\underline{0}), (1, \underline{0}), (0, 1, 0, \underline{0}), (0, 0, 1, \underline{0}).

Pour \underline{m} = (1, 1, \underline{0}), on a \underline{m}_{i} = (\underline{0}), \underline{m}_{j} = (1, 1, \underline{0}) ou \underline{m}_{i} = (1, \underline{0}), \underline{m}_{j} = (0, 1, \underline{0}), d’où la condition:

0 = α_{(1,1,\underline{0})} ∘ d + d ∘ α_{(1,1,\underline{0})} + α_{(1,\underline{0})} ∘ α_{(0,1,\underline{0})} + α_{(0,1,\underline{0})} ∘ α_{(1,\underline{0})}

ie. Dα_{(1,1,\underline{0})} = −α_{(1,\underline{0})} · α_{(0,1,\underline{0})} c’est-à-dire α_{(1,\underline{0})} · α_{(0,1,\underline{0})} = 0 dans Ext^{2}(E, E) ou encore α_{1} · α_{2} = 0.

De même, pour \underline{m} = (1, 0, 1, \underline{0}), on obtient α_{(1,\underline{0})} · α_{(0,0,1,\underline{0})} = 0 ie. α_{1} · α_{3} = 0

pour \underline{m} = (0, 1, 1, \underline{0}), on obtient α_{(0,1,\underline{0})} · α_{(0,0,1,\underline{0})} = 0 ie. α_{2} · α_{3} = 0. Alors,

< α_{1}, α_{2}, α_{3}; (1, 1, 1, \underline{0}) >=< α_{1}, α_{2}, α_{3} >= classe ( ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=(1,1,1,\underline{0}) \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}} )

= classe(α_{(1,\underline{0})} · α_{(0,1,1,\underline{0})} + α_{(0,1,\underline{0})} · α_{(1,0,1,\underline{0})} + α_{(0,0,1,\underline{0})} · α_{(1,1,\underline{0})}).

Et, α_{(0,1,1,\underline{0})} est un représentant de −α_{2} · α_{3} α_{(1,0,1,\underline{0})} est un représentant de −α_{1} · α_{3}

α_{(1,1,0,\underline{0})} est un représentant de −α_{1} · α_{2}.

4 Produits de Massey et module formel.

Nous allons utiliser la théorie de déformation pour montrer que, dans le cas de Hom^{.}(L., L.), il est bien possible de construire pas à pas des produits de Massey.

Soient {x_{1}, …, x_{d}} une base de Ext^{1}(E, E)^{∗}, {y_{1}, …, y_{r}} une base de Ext^{2}(E, E)^{∗} et x_{i}^{∗}, y_{j}^{∗} leurs bases duales. Soit encore \underline{n} = (n_{1}, …, n_{d}) un multi-indice et |\underline{n}| = ∑ n_{i}.

4.1 Retour aux déformations.

Rappelons quelques notations : T^{2} = Sym_{k}(Ext^{2∗})^{∧}, T^{1} = Sym_{k}(Ext^{1∗})^{∧} et le module formel est de la forme H = T^{1} ⊗_{T^{2}} k.

Considérons encore π : R → S un morphisme surjectif de k-algèbres tel que m_{R} · ker π = 0.

On se trouve donc dans la situation suivante :

{0 \atop ↓} ; ker π ; ↓ ; Ext^{2^{∗}} ⊂ T^{2} →^{o} T^{1} →^{\overline{ϕ}} R ; ↓ ↘^{ϕ′} ↓ π ; H →^{ϕ} S .

On peut bien sûr (puisque T^{1} est une k-algèbre libre) relever ϕ en \overline{ϕ} : T^{1} → R.

Pour relever un module E_{S} sur S (ou plutôt S ⊗_{k} A) à R (R ⊗_{k} A), il faut et suffit de pouvoir relever ϕ en une application de H vers R. Il suffit pour s’en convaincre de regarder le diagramme suivant, où les flèches horizontales sont des surjections :

\begin{aligned}Mor(H, R) & → & Def_{E}(R) \\ ↓ & & ↓ \\ Mor(H, S) & → & Def_{E}(S) \end{aligned} .

Comme H = T^{1}/Im(o), il existe une factorisation de \overline{ϕ} à travers H si et seulement si \overline{ϕ} ∘ o = 0. L’obstruction est donc donnée par \overline{ϕ} ∘ o qui induit une application linéaire Ext^{2^{∗}} → ker π (car ϕ′(o(y_{j})) = 0 ∀j), autrement dit, par un élément o(π) = ∑_{j} y_{j}^{∗} ⊗ \overline{ϕ}(f_{j}) ∈ Ext^{2} ⊗ ker π.

4.2 Cas particulier.

Soit \underline{n} un multi-indice et considérons J\underline{n} = \{u_{1}^{t_{1}} ⋯ u_{d}^{t_{d}} | ∃i, t_{i} {> \atop ≠}n_{i}\} et posons

R\underline{n} = k[u_{1}, …, u_{d}]/J\underline{n} et S\underline{n} = R\underline{n}/(u_{1}^{n_{1}} ⋯ u_{d}^{n_{d}}).

On suppose encore que i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{p} sont les indices i tels que n_{i} ≠ 0 et on note : v_{ℓ} = \overline{u}_{i_{ℓ}} l’image de u_{i} dans R\underline{n} ou S\underline{n}. Ces v_{i} engendrent R\underline{n} (ou S\underline{n}) comme k-algèbre et forment une base \{v_{1}, …, v_{p}\} de m\underline{n}/m2 ; \underline{n} (on a donc u_{i} = 0 si i n’appartient pas à {i_{1}, …, i_{p}}).

Considérons encore une base monomiale B\underline{n} de S\underline{n} de la forme \{u\underline{m}\} = \{u_{1}^{m_{1}} ⋯ u_{d}^{m_{d}} | 0 ≤ m_{i} < n_{i}, \underline{m} ≠ \underline{n}\}.

Digression : Il y a une correspondance bijective entre les morphismes ϕ : H → S/m^{2} et les suites {α_{1}, …, α_{p}}, α_{i} ∈ A^{1}.

A ϕ_{1} : H → S/m^{2}, on associe (bijectivement) l’application k-linéaire t_{ϕ} : A^{1∗} = m_{H}/m_{H}^{2} → m/m^{2} : un élément t_{ϕ} ∈ A^{1} ⊗ m/m^{2} ≅ Def_{X}(S/m^{2}) (car : Def_{X}(k[V]) ≅ Def(k[ϵ] ⊗_{k} V) = A^{1}).

Si on a fixé une base \{\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{p}\} de m/m^{2}, alors t_{ϕ} s’écrit, de manière unique, dans cette base:

t_{ϕ} = ∑ α_{ℓ} ⊗ \overline{v}_{ℓ}, α_{ℓ} ∈ A^{1}.

Considérons donc \underline{n} = \{n_{1}, …, n_{d}\}, \{α_{1}, …, α_{p}\} une suite d’éléments de

Ext_{A}^{1}(E, E) et l’élément ∑_{j=1}^{p} α_{j} ⊗ \overline{v}_{j} ∈ Ext_{A}^{1}(E, E) ⊗ m\underline{n}/m2 ; \underline{n}.

Ce dernier correspond alors à une application ϕ_{1} : H → S/m2 ; \underline{n} ou encore à un élément E_{ϕ_{1}} de Def_{E}(S/m2 ; \underline{n}) ie. un relèvement de E à S/m2 ; \underline{n}.

Un relèvement E_{ϕ\underline{n}} (respt. E_{ϕ_{1}}) est représenté par \{L. ⊗ S\underline{n}; d_{i}(S\underline{n})\} (respt. \{L. ⊗ S\underline{n}/m2 ; \underline{n}; d_{i}(S\underline{n}/m2 ; \underline{n})\} un relèvement de L..

La famille d’applications A ⊗_{k} S\underline{n}-linéaire :

d_{i}(S\underline{n}) : L_{i} ⊗_{k} S\underline{n} → L_{i−1} ⊗_{k} S\underline{n}

est déterminée uniquement par sa restriction à L_{i} ⊗ 1.

Pour x ∈ L_{i}, d_{i}(S\underline{n})(x ⊗ 1) ∈ L_{i−1} ⊗_{k} S\underline{n}. Or, la famille \{1 ⊗ \underline{u}\underline{m}\}\underline{m} ∈ \overline{B}\underline{n} constitue une base de L_{i−1} ⊗_{k} S\underline{n} sur A ⊗_{k} S\underline{n}, ie. tout élément de L_{i−1} ⊗_{k} S\underline{n} peut s’écrire de manière unique ∑_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} β\underline{m}⊗\underline{u}\underline{m}, par conséquent, d_{i}(S\underline{n})(x⊗1) peut s’écrire ∑_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} β_{i,\underline{m}} ⊗ \underline{u}\underline{m}.

Ainsi, d_{i}(S\underline{n}) détermine des applications (qu’on vérifie aisément être Alinéaires) :

\begin{aligned}α_{i,\underline{m}} : & L_{i} & → & L_{i−1} \\ & x & ↦ & α_{i,\underline{m}}(x) = β_{i,\underline{m}}. \end{aligned}

Conséquence : d_{i}(S\underline{n}) détermine (et est déterminé) de manière unique une collection d’applications \{α_{i,\underline{m}}\}_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{m}}, A-linéaires de L_{i} → L_{i−1}, donc une cochaîne α\underline{m} ∈ Hom^{1}(L., L.), pour tout \underline{m} ∈ \overline{B}\underline{n}.

De même :

d_{i}(S\underline{n}/m2 ; \underline{n})_{|L_{i}⊗1} = ∑_{k=1}^{p} α_{i,\underline{ϵ}_{k}} ⊗ \underline{u}^{\underline{ϵ}^{k}} = ∑_{k=1}^{p} α_{i,\underline{ϵ}_{k}} ⊗ \overline{v}_{k} où \underline{ϵ}_{k} = (\underbrace{0, …, 0, 1}_{k}, 0, …, 0).

Notons provisoirement par commodité, d_{i}(S\underline{n}) = d̃_{i} et calculons :

d̃_{i−1} ∘ d̃_{i}(x ⊗ 1) = d̃_{i−1}( ∑_{\underline{m}_{1}∈\overline{B}\underline{n}} α_{i,\underline{m}_{1}}(x) ⊗ \underline{u}^{\underline{m}^{1}})
= ∑_{\underline{m}_{1}∈\overline{B}\underline{n}} d̃_{i−1}(α_{i,\underline{m}_{1}}(x) ⊗ \underline{u}^{\underline{m}^{1}})
= ∑_{\underline{m}_{1}∈\overline{B}\underline{n}}(1 ⊗ \underline{u}^{\underline{m}^{1}})d̃_{i−1}(α_{i,\underline{m}_{1}}(x) ⊗ 1)

= ∑_{\underline{m}_{1}∈\overline{B}\underline{n}}(1 ⊗ \underline{u}^{\underline{m}^{1}}) ( ∑_{\underline{m}_{2}∈\overline{B}\underline{n}} α_{i−1,\underline{m}_{2}}(α_{i,\underline{m}_{1}}(x)) ⊗ \underline{u}^{\underline{m}^{2}} )
= ∑_{\underline{m}_{1},\underline{m}_{2}∈\overline{B}\underline{n}} α_{i−1,\underline{m}_{2}} ∘ α_{i,\underline{m}_{1}}(x) ⊗ \underline{u}^{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}}

= ∑_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} ( ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{i−1,\underline{m}_{2}} ∘ α_{i,\underline{m}_{1}}(x)) ⊗ \underline{u}\underline{m}

car dire que \underline{m} = \underline{m}_{1} + \underline{m}_{2} n’est pas dans \overline{B}\underline{n} implique \underline{u}\underline{m} = 0.

Conclusion :

d_{i−1} ∘ d_{i}(S\underline{n}) = ∑_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} ( ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{i−1,\underline{m}_{2}} ∘ α_{i,\underline{m}_{1}}(x)) ⊗ \underline{u}\underline{m}

et de même :

d_{i−1}(S\underline{n}/m2 ; \underline{n}) ∘ d_{i}(S\underline{n}/m2 ; \underline{n}) = ∑_{{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n} \atop |\underline{m}|≤1}} ( ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{i−1,\underline{m}_{2}} ∘ α_{i,\underline{m}_{1}}(x)) ⊗ \underline{u}\underline{m}.

Mais E_{ϕ\underline{n}} (resp. E_{ϕ_{1}}) constitue un relèvement de E à S\underline{n} (resp. S\underline{n}/m2 ; \underline{n} ),

d’où d_{i−1}(S\underline{n}) ∘ d_{i}(S\underline{n}) = 0 (resp. d_{i−1}(S\underline{n}/m2 ; \underline{n}) ∘ d_{i}(S\underline{n}/m2 ; \underline{n}) = 0).

Et, puisque \{1 ⊗ \underline{u}\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} est une base, on en déduit que, pour tout \underline{m} ∈ \overline{B}\underline{n},

∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{i−1,\underline{m}_{2}} ∘ α_{i,\underline{m}_{1}}(x) = 0

et dans le cas de S\underline{n}/m2 ; \underline{n}, pour tout \underline{ϵ}_{k} ∈ \overline{B}\underline{n}, α_{i−1,\underline{ϵ}_{k}} ∘ α_{i,\underline{0}} + α_{i−1,\underline{0}} ∘ α_{i,\underline{ϵ}_{k}} = 0.

Or, α_{i,\underline{0}} = d_{i} pour tout i; en d’autres termes, α_{\underline{ϵ}_{k}} est un cocycle dans Hom^{1}(L., L.) et, puisque, le relèvement de E à S\underline{n}/m2 ; \underline{n} est représenté par ∑_{k=1}^{p} α_{k} ⊗\overline{v}_{k} et aussi par ∑_{k=1}^{p} \overline{α}_{\underline{ϵ}_{k}} ⊗\overline{v}_{k}, on en déduit que les α_{\underline{ϵ}_{k}} représentent les classes α_{k} ∈ Ext_{A}^{1}(E, E).

Conséquence : \{α\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} est un système de définition pour le produit de Massey < α_{1}, …, α_{p}; \underline{n} >.

Inversement, la donnée de ces \{α\underline{m}\} détermine un relèvement de E à S\underline{n}. (les α\underline{m} définissent des d_{i}(S\underline{n}) tels que d_{i−1}(S\underline{n}) ∘ d_{i}(S\underline{n}) = 0!) ie. un système de définition \{α\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} correspond à un relèvement de E à S\underline{n}.

De plus, l’obstruction à relever E_{ϕ\underline{n}} à R\underline{n}, ie. obstruction à relever \{L_{i} ⊗ S\underline{n}, d_{i}(S\underline{n})\} à R\underline{n} est donnée par d_{i−1}(R\underline{n})∘d_{i}(R\underline{n}) qui, cf. ci-dessus, est donnée par : d_{i−1}(R\underline{n}) ∘ d_{i}(R\underline{n}) qui, comme ci-dessus, est donnée par :

∑_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}∪\{\underline{n}\}} ( ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}∪\{\underline{n}\}}} α′_{i−1,\underline{m}_{2}} ∘ α′_{i,\underline{m}_{1}} ) ⊗ \underline{u}\underline{m}

où α′_{i,\underline{m}} : L_{i} → L_{i−1} est A-linéaire.

En remarquant que : d_{i}(R\underline{n}) commute avec d_{i}(S\underline{n} (c’est un relèvement !), càd.

\begin{aligned}& x ⊗ 1 & ↦ & ∑ α′_{i,\underline{m}} ⊗ \underline{u}\underline{m} \\ x ⊗ 1 & L_{i} ⊗ R\underline{n} & →^{d_{i}(R\underline{n})} & L_{i−1} ⊗ R\underline{n} & \underline{u}\underline{n} \\ ↓ & ↓ & & ↓ & ↓ \\ x ⊗ 1 & L_{i} ⊗ S\underline{n} & →^{d_{i}(S\underline{n})} & L_{i−1} ⊗ S\underline{n} & 0 \\ & x ⊗ 1 & ↦ & ∑_{\underline{m}∈\overline{B}\underline{n}} α_{i,\underline{m}} ⊗ \underline{u}\underline{m} \end{aligned} ,

on constate que, pour tout \underline{m} ∈ \overline{B}\underline{n}, α′_{i,\underline{m}} = α_{i,\underline{m}}.

Tenant alors compte de d_{i−1}(S\underline{n}) ∘ d_{i}(S\underline{n}) = 0, d_{i−1}(R\underline{n}) ∘ d_{i}(R\underline{n}) se réduit à :

∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}∪\underline{n}}} α_{i−1,\underline{m}_{2}} ∘ α_{i,\underline{m}_{1}}.

L’image dans Ext^{2}(L., L.) de cette expression, qui est précisément l’obstruction, (et la somme précédente étant un cocycle ) doit être nulle, ie. puisque α_{i−1,\underline{n}}∘α_{i,\underline{0}}+α_{i−1,\underline{0}}∘α_{i,\underline{n}} = α_{i−1,\underline{n}}∘d_{i}+d_{i−1}∘α_{i,\underline{n}} ∈ Im(D), ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{\underline{m}_{2}}∘α_{\underline{m}_{1}}

doit être un cobord.

Et cette expression représente le produit de Massey, < α_{1}, …, α_{p}; \underline{n} >. Autrement dit : l’obstruction au relèvement à R\underline{n} est précisément

le produit de Massey < α_{1}, …, α_{p}; \underline{n} >.

On définit alors α\underline{n} par :

D(α\underline{n}) = − ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}\underline{n}}} α_{\underline{m}_{2}} ∘ α_{\underline{m}_{1}}.

4.3 Cas général.

Notations : Dans la suite, on confondra dans une même notation ensembles de multi-indices \{\underline{m}\} et ensembles de monômes correspondants \{\underline{u}\underline{m}\}.

Posons \overline{B}_{1} = \{\underline{m} | |\underline{m}| ≤ 1\} et B′_{2} = \{\underline{m} | |\underline{m}| = 2\}. Notons encore α\underline{0} = d ∈ Hom^{1}(L., L.) et choisissons, pour chaque ℓ = 1, …, d, un représentant α_{\underline{ϵ}_{ℓ}} ∈ Hom^{1}(L., L.) de x_{ℓ}. Alors, pour tout \underline{n} ∈ B′_{2}, le produit de Massey < \underline{x}^{∗}; \underline{n} > est bien défini par le 2-cocycle:

Y (\underline{n}) = ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{1}}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}.

En effet, on a D(Y (\underline{n})) = ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{1}}} (Dα_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}} − α_{\underline{m}_{1}} ∘ Dα_{\underline{m}_{2}}). Or,

∀\underline{t} ∈ \overline{B}_{1} , Dα\underline{t} = 0 puisqu’alors \underline{t} = d ou α_{\underline{ϵ}_{ℓ}}.

Ces produits de Massey sont uniquement déterminés indépendemmant des représentants choisis. En effet : soit α′_{\underline{m}_{i}} tels que α′_{\underline{m}_{i}} − α_{\underline{m}_{i}} = Dβ_{\underline{m}_{i}} pour tous les \underline{m}_{i} qui interviennent. Alors, avec des notations évidentes, Y′(\underline{n}) − Y (\underline{n}) = ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{1}}} (α′_{\underline{m}_{1}} ∘ α′_{\underline{m}_{2}} − α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}})

= ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{1}}} [(α_{\underline{m}_{1}} + Dβ_{\underline{m}_{1}}) ∘ (α_{\underline{m}_{2}} + Dβ_{\underline{m}_{2}}) − α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}]

= ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{1}}} (α_{\underline{m}_{1}} ∘ Dβ_{\underline{m}_{2}} + Dβ_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}} + Dβ_{\underline{m}_{1}} ∘ Dβ_{\underline{m}_{2}})

= ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{n} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{1}}} D(α_{\underline{m}_{1}} ∘ β_{\underline{m}_{2}} + β_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}} + β_{\underline{m}_{1}} ∘ Dβ_{\underline{m}_{2}}),

d’où Y′(\underline{n}) et Y (\underline{n}) appartiennent à la même classe d’équivalence.

Posons alors, pour j = 1, …, r,

f_{j}^{2} = ∑_{|\underline{n}|=2} y_{j}(< \underline{x}^{∗}; \underline{n} >)\underline{u}\underline{n}.

Calculons alors une base monomiale B_{2} de m^{2}/m^{3}+(f_{1}^{2}, …, f_{r}^{2}) et posons \overline{B}_{2} = \overline{B}_{1} ∪ B_{2}.

Alors, ∀\underline{n} ≤ 2, il y a une unique relation dans S_{2} = k[\underline{u}]/m^{3} +(f_{1}^{2}, …, f_{r}^{2}) (dont bien sûr, \overline{B}_{2} constitue une base) :

\underline{u}\underline{n} = ∑_{\underline{n}∈\overline{B}_{2}} β_{\underline{n},\underline{m}}\underline{u}\underline{m}.

Lemme 4.1 ∀\underline{m} ∈ B_{2}, ∑_{|\underline{n}|=2} β_{\underline{n},\underline{m}} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} >= 0.

Preuve : Puisque S_{2} est obtenu de k[\underline{u}]/m^{3} précisément en divisant par les obstructions f_{i}^{2}, on peut relever E (ou une résolution de E) à S_{2}. Autrement dit, o(π_{2}) = 0 où π_{2} : S_{2} → S_{1} = k[\underline{u}]/m^{2} est la surjection naturelle. Mais

o(π_{2}) = ∑ y_{j}^{∗} ⊗ \overline{ϕ}_{1}(f_{j}) = ∑ y_{j}^{∗} ⊗ f_{j}^{2}(\underline{u}) = ∑ y_{j}^{∗} ⊗ ( ∑_{|\underline{n}|=2} y_{j}(< \underline{x}^{∗}; \underline{n} >) ⊗ \underline{u}\underline{n}

= ∑_{|\underline{n}|=2} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} > ⊗\underline{u}\underline{n} = ∑_{|\underline{n}|=2} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} > ⊗( ∑_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}} β_{\underline{n},\underline{m}}\underline{u}\underline{m})

= ∑_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}}(∑ β_{\underline{n},\underline{m}} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} >) ⊗ \underline{u}\underline{m}.

Or, \{\underline{u}\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}} est une base de ker(π_{2}), d’où Ext^{2} ⊗ ker(π_{2}) = Ext^{2} ⊗_{k} ⊕_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}}k · \underline{u}\underline{m} = ⊕_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}}Ext^{2} ⊗ \underline{u}\underline{m} et par conséquent :

o(π_{2}) = 0 ⇒ ∀\underline{m} ∈ B_{2}, ∑_{|\underline{n}|=2} β_{\underline{n},\underline{m}} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} >= 0.

En conséquence, ∑_{|\underline{n}|=2} β_{\underline{n},\underline{m}}Y (\underline{n}) est un cobord. On choisit alors, pour tout \underline{m} ∈ B_{2}, α\underline{m} ∈ Hom^{1}(L., L.) tel que

Dα\underline{m} = − ∑_{\underline{n}∈B′_{2}} β_{\underline{n},\underline{m}}Y (\underline{n}).

Considérons alors une base monomiale B′_{3} de

I_{3} = m^{3}/m^{4} + m^{3} ∩ m(f_{1}^{2}, …, f_{r}^{2})

(on peut supposer que tous les éléments de B′_{3} sont de la forme u_{k} · \underline{u}\underline{m} pour un \underline{m} ∈ B_{2}).

On pose \overline{B}′_{3} = \overline{B}_{2} ∪ B′_{3}. Alors, dans R_{3} = k[\underline{u}]/m^{4} + m(f_{1}^{2}, …, f_{r}^{2}), on a, pour tout |\underline{n}| ≤ 3, une unique relation :

\underline{u}\underline{n} = ∑_{\underline{m}∈\overline{B}′_{3}} β′_{\underline{n},\underline{m}}\underline{u}\underline{m} + ∑_{j=1}^{r} β′_{\underline{n},j}f_{j}^{2}.

Définition 4.1 Sous les conditions précédentes, à savoir α\underline{0} = d, \overline{α_{\underline{ϵ}_{ℓ}}} = x_{ℓ}, ∀\underline{m} ∈ B_{2}, Dα\underline{m} = − ∑_{\underline{n}∈B′_{2}} β_{\underline{n},\underline{m}}Y (\underline{n}), on dit que \{α\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}} est un système de définition pour les produits de Massey < \underline{x}^{∗}; \underline{n} >, \underline{n} ∈ B′_{3}.

Dans ces conditions les produits de Massey < \underline{x}^{∗}; \underline{n} > pour \underline{n} ∈ B′_{3} sont représentés par les 2-cocycles (voir lemme ci-dessous):

Y (\underline{n}) = ∑_{|\underline{m}|≤3} ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{2}}} β′_{\underline{m},\underline{n}}α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}.

Lemme 4.2 Pour tout \underline{n} ∈ B′_{3}, Y (\underline{n}) est un cocycle.

Preuve : Considérons la situation 0 → ker(π′_{3}) → R_{3} → S_{2} → 0. On sait alors que l’obstruction o(π′_{3}) à relever E de S_{2} à R_{3} est représentée par le cocycle (O_{i}) avec O_{i} = d′_{i−1}(R_{3}) ∘ d′_{i}(R_{3}) où d′_{i}(R_{3}) : L_{i} ⊗ R_{3} → L_{i−1} ⊗ R_{3} est un relèvement quelconque de d_{i}(S_{2}). Prenons donc le relèvement trivial d′_{i}R_{3} défini par : d′_{i}(R_{3}) = ∑_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}} α_{i,\underline{m}} ⊗ \underline{u}\underline{m}.

Alors, des calculs analogues à ceux déjà effectués plus haut montrent que

O_{i} = ∑_{\underline{m}_{1},\underline{m}_{2}∈\overline{B}_{2}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}} ⊗ \underline{u}^{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}} = ∑_{|\underline{m}|≤3}( ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{2}}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}) ⊗ \underline{u}\underline{m}.

Mais, pour tout |\underline{m}| ≤ 3, on a \underline{u}\underline{m} = ∑_{\underline{s}∈\overline{B}′_{3}} β′_{\underline{m},\underline{s}}\underline{u}\underline{s} + ∑_{j} β′_{\underline{m},j}f_{j}^{2}, d’où :

O_{i} = ∑_{|\underline{m}|≤3}( ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{2}}} α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}) ⊗ ( ∑_{\underline{s}∈\overline{B}′_{3}} β′_{\underline{m},\underline{s}}\underline{u}\underline{s} + ∑_{j} β′_{\underline{m},j}f_{j}^{2}(\underline{u}))

= ∑_{\underline{s}∈\overline{B}′_{3}}(∑ |\underline{m}| ≤ 3 ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{2}}} β′_{\underline{m},\underline{s}}α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}) ⊗ \underline{u}\underline{s}

+ ∑_{j,|\underline{m}|≤3} ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{2}}} β′_{\underline{m},j}α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}f_{j}^{2}(\underline{u}) = ∑_{\underline{s}∈\overline{B}′_{3}} Y (\underline{s}) ⊗ \underline{u}\underline{s} + etc ….

Cette dernière expression appartenant à (⨁_{\underline{s}∈\overline{B}′_{3}} Hom^{2} ⊗ k · \underline{u}\underline{s}) ⨁(Hom^{2} ⊗ (f_{1}^{2}, …, f_{r}^{2})/m(f_{1}^{2}, …, f_{r}^{2})).

Or, D(O_{i}) = 0 et D respecte la décomposition en somme directe, d’où DY (\underline{s}) = 0 , ∀\underline{s} ∈ \overline{B}′_{3}.

Remarque : Le relèvement de E à S_{2}, ou plutôt du complexe, est donné par d_{i}(S_{2})_{|L_{i}⊗1} = ∑_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}} α_{i,\underline{m}} ⊗ \underline{u}\underline{m} et on a d_{i}(S_{2}) ∘ d_{i−1}(S_{2}) = 0 (ce qui d’ailleurs induit DY (\underline{s}) = 0 pour \underline{s} ∈ \overline{B}_{2}).

Inversement, comme on l’a déjà vu, la donnée d’un tel relèvement induit une famille \{α\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B}_{2}}.

Posons alors pour j = 1, …, r,

f_{j}^{3} = f_{j}^{2} + ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} y_{j}(< \underline{x}^{∗}; \underline{n} >)\underline{u}\underline{n},

S_{3} = R_{3}/(f_{1}^{3}, …, f_{r}^{3}) et π_{3} : S_{3} → S_{2} la surjection naturelle. Soit B_{3} une base monomiale de ker(π_{3}) telle que B_{3} ⊆ B′_{3} et notons encore \overline{B}_{3} = \overline{B}_{2} ∪B_{3}.

Alors, pour tout |\underline{n}| ≤ 3, il y a une unique relation dans S_{3} :

\underline{u}\underline{n} = ∑_{\underline{n}∈\overline{B}_{3}} β_{\underline{n},\underline{m}}\underline{u}\underline{m}.

Lemme 4.3 ∀\underline{m} ∈ B_{3} , ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} β_{\underline{n},\underline{m}} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} >= 0, ie. ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} β_{\underline{n},\underline{m}}Y (\underline{n}) est un cobord.

Preuve : Comme S_{3} est obtenu de R_{3} en divisant par l’idéal engendré par les obstructions à relever E de S_{2} à R_{3}, on a o(π_{3}) = 0. Mais, à nouveau,

o(π_{3}) = ∑_{j} y_{j}^{∗} ⊗ f_{j}^{3}(\underline{u}) = ∑_{j} y_{j}^{∗} ⊗ (f_{j}^{2}(\underline{u}) + ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} y_{j}(< \underline{x}^{∗}; \underline{n} >)\underline{u}\underline{n})

= ∑_{j} y_{j}^{∗} ⊗ f_{j}^{2}(\underline{u}) + ∑_{j} ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} y_{j}^{∗} ⊗ y_{j}(< \underline{x}^{∗}; \underline{n} >)\underline{u}\underline{n} = ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} > ⊗\underline{u}\underline{n}

puisque la première partie de la somme correspond à o(π_{2}) = 0.

Or, pour tout |\underline{n}| ≤ 3, on a \underline{u}\underline{n} = ∑_{\underline{s}∈\overline{B}_{3}} β_{\underline{n},\underline{s}}\underline{u}\underline{s}. Et par conséquent,

o(π_{3}) = ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} > ⊗ ∑_{\underline{s}∈\overline{B}_{3}} β_{\underline{n},\underline{s}}\underline{u}\underline{s} = ∑_{\underline{s}∈\overline{B}_{3}}( ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} β_{\underline{n},\underline{s}} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} >) ⊗ \underline{u}\underline{s} = 0

d’où à nouveau : ∀\underline{s} ∈ \overline{B}_{3} , ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} β_{\underline{n},\underline{s}} < \underline{x}^{∗}; \underline{n} >= 0.

Dès lors, pour tout \underline{m} ∈ B_{3}, choisissons un α\underline{m} ∈ Hom^{1}(L., L.) tel que :

D(α\underline{m}) = − ∑_{\underline{n}∈B′_{3}} β_{\underline{n},\underline{m}}Y (\underline{n}).

Considérons alors une base monomiale B′_{4} de

I_{4} = \frac{m^{4}}{m^{5} + m^{4} ∩ m(f_{1}^{3}, …, f_{r}^{3})}

(ici encore, on peut supposer que tous les éléments sont de la forme u_{k}\underline{u}\underline{m} pour un \underline{m} ∈ B_{3}). On pose aussi \overline{B}′_{4} = \overline{B}_{3} ∪ B′_{4}. Alors, dans R_{4} = k[\underline{u}]/m^{5} + m(f_{1}^{3}, …, f_{r}^{3}), on a, pour tout |\underline{n}| ≤ 4, une unique relation :

\underline{u}\underline{n} = ∑_{\underline{m}∈\overline{B}′_{4}} β′_{\underline{n},\underline{m}}\underline{u}\underline{m} + ∑_{j} β′_{\underline{n},j}f_{j}^{3}.

Et on recommence le processus. Ainsi, après avoir défini successivement les ensembles de multi-indices B′_{r−1}, \overline{B}_{r−1}, B′_{r}, \overline{B}′_{r} pour r = 2, …, k, nous pouvons poser :

Définition 4.2 Une famille \{α\underline{m}\}_{\underline{m}∈\overline{B}_{k−1}} de 1-cochaînes de Hom^{.}(L., L.) est un système de définition pour les produits de Massey < \underline{x}^{∗}; \underline{n} > , \underline{n} ∈ B′_{k} si α\underline{0} = d, \overline{α_{\underline{ϵ}_{ℓ}}} = x_{ℓ} et si, pour r = 2, …, k − 1, ∀\underline{m} ∈ B_{r}, Dα\underline{m} = − ∑_{\underline{n}∈B′_{r}} β_{\underline{n},\underline{m}}Y (\underline{n}).

Alors, les produits < \underline{x}^{∗}; \underline{n} > , \underline{n} ∈ B′_{k} sont représentés par les 2-cocycles (cf. lemme)

Y (\underline{n}) = ∑_{|\underline{m}|≤k} ∑_{{\underline{m}_{1}+\underline{m}_{2}=\underline{m} \atop \underline{m}_{i}∈\overline{B}_{k−1}}} β′_{\underline{m},\underline{n}}α_{\underline{m}_{1}} ∘ α_{\underline{m}_{2}}.

On pose, pour j = 1, …, r, f_{j}^{k} = f_{j}^{k−1} + ∑_{\underline{n}∈B′_{k}} y_{j}(< \underline{x}^{∗}; \underline{n} >)\underline{u}\underline{n}, S_{k} = R_{k}/(f_{1}^{k}, …, f_{r}^{k}) et π_{k} : S_{k} → S_{k−1} la surjection naturelle. Soit encore B_{k} une base monomiale de ker(π_{k})) telle que B_{k} ⊆ B′_{k} et \overline{B}_{k} = \overline{B}_{k−1} ∪ B_{k}.

On a alors une unique relation dans S_{k} :

∀|\underline{m}| ≤ k , \underline{u}\underline{n} = ∑_{\underline{n}∈\overline{B}_{k}} β_{\underline{n},\underline{m}}\underline{u}\underline{m}

et ∑_{\underline{n}∈B′_{k}} β_{\underline{n},\underline{m}}Y (\underline{n}) est un cobord, d’où la définition de α\underline{m} ∈ Hom^{1}(L., L.) pour \underline{m} ∈ B_{k}.

Ce processus se poursuivant indéfiniment. Remarquons que d’après 4.2.4 de [1], on a alors H = lim_{\overleftarrow{k}}S_{k} et donc H ≅ k[[u_{1}, …, u_{d}]]/(\overline{f}_{1}, …, \overline{f}_{r}) où

\overline{f}_{j} = {lim \atop k→∞}f_{j}^{k}.

Remarques : 1) A chaque stade, en posant d_{i}(S_{k})_{|L_{i}⊗1} = ∑_{\underline{m}∈\overline{B}_{k}} α_{i,\underline{m}} ⊗ \underline{u}\underline{m}, on obtient un relèvement du complexe jusqu’à S_{k}.

2) En fait le processus s’arrête (les \overline{f}_{j} sont donc des polynômes) si l’on obtient, pour un k, d_{i}(S) ∘ d_{i−1}(S) = 0 pour S = k[\underline{u}]/(f_{1}^{k}, …, f_{r}^{k}).

3) On voit bien où intervient la théorie des relèvements dans la constructon des produits successifs : on l’utilise pour, d’une part prouver que les Y (\underline{n}) sont des cocycles, d’autre part construire les α\underline{m} de niveau supérieur.

4) Rappelons une fois encore que les produits de Massey (sauf les premiers) dépendent des choix des systèmes de définition choisis à chaque niveau.

References

[1] Laudal O. A. Matric Massey products and formal moduli I. Algebra, Algebraic topology and their interactions. L.N. in Mathematics, Springer-Verlag No 1183 (1986) pp. 218-240.

[2] Laudal O.A. Formal moduli of algebraic structures. L.N. in Mathematics, Springer-Verlag No 754 (1979).

[3] Massey W.S. Some higher order cohomology operations. Symposium internacional de topologia algebraica, 145-154. Mexico City (1958).

[4] May J.P. Matric Massey Products. Journal of Algebra 12, 533-568 (1969).

[5] Siqueland A. Global matric Massey products and formal moduli. Preprint Oslo (1995).

Annexe 1

Une remarque sur la méthode utilisée pour le calcul effectif des bases B′_{i+1}.

Considérons r polynômes f_{1}, …, f_{r} à n variables x_{1}, …, x_{n}. Il s’agit donc de trouver une base B′_{i+1} de m^{i+1}/m^{i+2} + m^{i+1} ∩ m(f_{1}, …, f_{r}).

Pour cela, commençons par faire le produit des f_{i} par chacun des monômes de degré 1 et soit I = (x_{1}f_{1}, x_{2}f_{1}, …, x_{n}f_{r}) et notons pour simplifier g_{1} = x_{1}f_{1}, g_{2} = x_{2}f_{1} etc...et g_{s} = x_{n}f_{r}.

On homogénéise en ajoutant une variable t en \overline{g}_{1}, …, \overline{g}_{s}. Puis calculons une base de Groebner de \overline{I} = (\overline{g}_{1}, …, \overline{g}_{s}) par rapport aux variables (t, x_{1}, …, x_{n}) dans cet ordre (t étant donc la variable de poids déterminant) (ce calcul peut évidemment être réalisé par la fonction de Mathematica GroebnerBasis ).

On obtient alors un système de générateurs (h_{1}, …, h_{ρ}) de \overline{I} tels que In(\overline{I}) = (In(h_{1}), …, In(h_{ρ})).

Notons encore, pour chaque i, h′_{i} le coefficient dominant de h_{i} par rapport à la seule variable t. Soit alors J = (h′_{1}, …, h′_{ρ}).

A présent, pour chaque k = 1, …, ρ, faisons le produit de h′_{k} par tous les monômes de degré d_{k} = i − valuation(h′_{k}). On obtient ainsi des polynômes h”_{1}, …, h”_{ℓ}. Ecrivons alors la partie de degré i + 1 de h”_{k} dans la base constituée des monômes de m^{i+1}/m^{i+2}. Cela donne une matrice (on écrit les vecteurs en ligne) :

coeff_{x_{1}^{i+1}}(h”_{1}) … coeff_{x_{n}^{i+1}}(h”_{1})
⋮  ⋮
coeff_{x_{1}^{i+1}}(h”_{ℓ}) … coeff_{x_{n}^{i+1}}(h”_{ℓ})

En opérant une réduction de cette matrice selon les lignes et en retirant de la base de m^{i+1}/m^{i+2} les monômes correspondant aux ”1” principaux de cette réduction, on obtient alors une base B′_{i+1} cherchée. Remarque : On procède de manière analogue pour le calcul des bases B_{i}.

Annexe 2

En collaboration avec G. Hunault (Université d’Angers), dont les connaissances tant en programmation qu’en Mathematica m’ont été indispensables, nous avons écrit un programme en Mathematica (version 2.0) pour effectuer le calcul des premiers produits (la trop grande complexité d’une part, le défaut d’optimisation du programme d’autre part empêchent d’aller à des niveaux très élevés même dans des cas simples !). Pour cela, il faut entrer dans un fichier d’initialisation une base de Ext^{1} et Ext^{2} sous forme matricielle (voir un exemple de fichiers d’initialisation plus loin). Le programme se lance alors, une fois dans l’environnement Mathematica, simplement par la commande �� massey. Il suffit alors de répondre aux questions ”Quel fichier d’initialisation ?”, et ”Jusqu’à quel niveau veut-on aller ?”.

Un exemple de programme d’initialisation :

On prend comme module M la normalisée de l’anneau de la courbe affine d’équation x_{1}^{4} + x_{2}^{3} = 0.

(* Initialisations de toutes les variables *)
nbv = 2               ;   (* Dimension de Ext1 = nombre de variables *)
r   = 2               ;   (* Dimension de Ext2 = nombre d'quations     *)
polp = x1^4 + x2^3  ;     (* quation de la courbe *)
(* suite des differentielles de la resolution de M *)
d[1] = {{x1,-x2^2},{x2,x1^3}}   ;
d[2] = {{x1^3,x2^2},{-x2,x1}}   ;
d[3] = d[1]                     ;
d[4] = d[2]                     ;
(* base de Ext2 : dans ys[i,j], i est l'indice du vecteur et j est *)

(* l'indice dans Hom j (M,M)                                       *)
(* on note xs[i,j] l'element x_j^* (i)  et y_j^* (i)               *)
xs[1,1] = {{-1,0 },{0,x1^2}}  ;       xs[1,2] = {{x1^2,0} , { 0,-1 }};
xs[2,1] = {{0,x2}  , {1,0} }  ;       xs[2,2] = {{ 0 ,-x2},{-1,0}  } ;
ys[2,1] = {{ 1,0 }, {0,1}}    ;       ys[2,2] = {{0,-x2},{x1^2,0}}   ;
ys[3,1] = {{ 1,0 }, {0,1}}    ;       ys[3,2] = {{0,-x1^2 x2},{1,0}} ;
(* dans alpha(i,m), i est l'indice de la place dans la suite ie. alpha(i,m) *)
(* appartient a Hom^i(M,M) et m est le multi-indice                           *)
alpha[iindi_Integer,{0,0}] = d[iindi] ;  (* alpha(i,(0,0)) = d_i *)
alpha[1 ,{1,0}] = xs[1,1] ;     (* ces alpha representent les generateurs de Ext^1 *)
alpha[1 ,{0,1}] = xs[2,1] ;
alpha[2 ,{1,0}] = xs[1,2] ;
alpha[2 ,{0,1}] = xs[2,2] ;

Il suffit en fait de recopier ce fichier et d’y modifier nbv, r, polp, d[1],d[2], les xs[,] et ys[,].

Résultat :

Pour finir, voyons le résultat de ce programme avec le fichier d’initialisation ci-dessus où la limite a été fixée à 4:

(* Programme de calcul de produits de Massey : massey.m *)
(* 12 Juillet 93  *)
(* par Gilles Hunault et Daniel Schaub *)
(* Faculte des Sciences - Universite d'Angers, 49045 ANGERS Cedex .*)
(*  E-mail : schaub@univ-angers.fr *)
(* necessite la presence des 2 programmes suivants *)
<< algcom.m       (* fonctions generales d'algebre commutative *)
<< fonction.m     (* fonctions specifiques au calcul des produits de Massey *)
Print["Voici les fichiers d'initialisation possibles : \n"] ;
!dir ini*.*
nom=InputString["Entrer le nom du fichier d'initialisation (avec extension): "];
Get[nom];
Print["Vous avez choisi : ", nom,"\n"] ;
(* les fi *)
ldv = ListeDeVariables[nbv];        (* initialise des noms de variables *)
auldv = {x1,x2};                           (* initialise une autre liste de variables *)
f = Table[0,{i,1,r}];                       (*  mises a zero et premieres bases ...*)
(* initialisations des bases:  Bp2 <==> B'^2   et bp2b <==> bar(B')^2  *)
bp2   = Monome[nbv,r] ;               (* appels de fonctions de algcom.m *)
bp2b  = MonomeInf[nbv,r] ;

(* les beta et beta' : betap[mm,nn] <===> beta[mm,nn] ou mm et nn sont dans bp2b
<===> delta[mm,nn] dans un premier temps  *)
bbarreMono = MonomeInf[nbv,1];  (* appels de fonctions de algcom.m *)
bbarre = MonToMind[bbarreMono];
btoucourMono = Monome[nbv,1] ;
btoucour = MonToMind[btoucourMono];
(* Debut de la boucle *)
i=1       ;                    (* i global de l'algorithme *)
rangi = 2 ;           (* numero dans la suite des applications de Hom.(L.,L.) *)
Print[" Jusqu'a quel degre voulez-vous pousser le calcul ? "] ;
valfin=Input[" (0 (zero!)pour une demande a chaque iteration) : " ] ;
testefin = 0;
nbiter   = 0;
While[testefin <= valfin,
If[And[valfin>0,testefin<valfin],testefin++] ;
nbiter++;
Print["                      ----> Iteration no",nbiter] ;
i++;
 (* calcul de la nouvelle base bpiplus *)
zero = Table[0,{ijklmn,1,r}];
If[f==zero,leady = f,
    ideal = Outer[Times,f,Monome[nbv,1]];
    leady = BaseStd[ideal,ldv]
];(* fin de if *)
Print [ " nouvb1 " , Timing[NouvB[1,leady] ] ];
bpiMono = bpil;
bpi=MonToMind[bpiMono]; (* B'i *)
baseprim[i]=bpi;
bpib = Join[bbarre,bpi];  (* B'i barre *)
bpibMono = Join[bbarreMono,bpiMono];
  (* calcul des betaprimes *)
Print [ " betaprime  " , Timing[Calculebetaprime ] ] ;
(* execution de la boucle principale *)
Print [ " bouprin " , Timing[BouPrin ] ] ;
(* calcul des nouvelles bases B et Bbarre *)
leady = BaseStd[f,ldv];
Print [ " nouvb2 " , Timing[NouvB[2,leady] ] ];
btoucourMono = bpil;
btoucour = MonToMind[btoucourMono];
bbarreMono = Join[bbarreMono,bpil];
bbarre = MonToMind[bbarreMono];
(* calcul des betas *)
Print [ " CalculeBeta " , Timing[Calculebeta] ] ;
(* calcul des alphas superieurs *)
Print [ " CalculeAlpha " , Timing[Calculealpha ] ];

    If[Or[testefin==0,testefin==valfin], Block[{},
             repfin = Input["Fin ? (0 (zero !) pour continuer,1 pour stopper):"] ;
    If[repfin==0,testefin=valfin,testefin=valfin+1] ]
  ]
] ;                    (* fin de While et donc du programme *)
Voici les fichiers d'initialisation possibles :
Vous avez choisi : inideu.m
Jusqu'a quel degre voulez-vous pousser le calcul ?
                     ----> Iteration no1
latba= {}
fin de nouvB
nouvb1 {0.05 Second, Null}
betaprime  {1.21 Second, Null}
Au rang : 2
bpi={{0, 2}, {1, 1}, {2, 0}}
mid1={0, 2}
yni= {{-x2, 0}, {0, -x2}}
dans le while, degPos = 0
f[[1]]=0
f[[2]]=0
mid1={1, 1}
yni= {{0, 0}, {0, 0}}
dans le while, degPos = 0
f[[1]]=0
f[[2]]=0
mid1={2, 0}
          2             2
yni= {{-x1 , 0}, {0, -x1 }}
dans le while, degPos = 0
dans le while, degPos = 1
f[[1]]=0
f[[2]]=0
 --> au rang 2 dans la suite : f1 = 0
 --> au rang 2 dans la suite : f2 = 0
bouprin {7.14 Second, Null}
latba= {}
fin de nouvB
nouvb2 {0.05 Second, Null}
CalculeBeta {1.05 Second, Null}
degrsa 0
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 1}, {0, 0}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{0, -1}, {0, 0}}
degrsa 0
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
degrsa 0
degrsa 1
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, -x1}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{-x1, 0}, {0, 0}}
CalculeAlpha {6.48 Second, Null}
                     ----> Iteration no2
latba= {}
fin de nouvB
nouvb1 {0.05 Second, Null}
betaprime  {3.63 Second, Null}
Au rang : 2

bpi={{0, 3}, {1, 2}, {2, 1}, {3, 0}}
mid1={0, 3}
 yni= {{-1, 0}, {0, -1}}
 dans le while, degPos = 0
         3
f[[1]]=-y
f[[2]]=0
mid1={1, 2}
 yni= {{0, 0}, {0, 0}}
 dans le while, degPos = 0
         3
f[[1]]=-y
f[[2]]=0
mid1={2, 1}
 yni= {{0, 0}, {0, 0}}
 dans le while, degPos = 0
         3
f[[1]]=-y
f[[2]]=0
mid1={3, 0}
 yni= {{x1, 0}, {0, x1}}
 dans le while, degPos = 0
         3
f[[1]]=-y
f[[2]]=0
                                       3
  --> au rang 3 dans la suite : f1 = -y
  --> au rang 3 dans la suite : f2 = 0
 bouprin {7.52 Second, Null}
          3
latba= {-y }
liste a tuer ={{1}}
    2   2     3
{x y , x  y, x }
 fin de nouvB
 nouvb2 {0.11 Second, Null}
 CalculeBeta {3.46 Second, Null}
 degrsa 0
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
 degrsa 0
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
 degrsa 0
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 1}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{1, 0}, {0, 0}}
 CalculeAlpha {2.91 Second, Null}
                      ----> Iteration no3
             3     4
latba= {-(x y ), -y }
liste a tuer ={{1}, {2}}
  2  2   3     4
{x  y , x  y, x }
 fin de nouvB
 nouvb1 {0.11 Second, Null}
 betaprime  {9.83 Second, Null}
 Au rang : 2

bpi={{2, 2}, {3, 1}, {4, 0}}
mid1={2, 2}
 yni= {{0, 0}, {0, 0}}
 dans le while, degPos = 0
         3
f[[1]]=-y
f[[2]]=0
mid1={3, 1}
 yni= {{0, 0}, {0, 0}}
 dans le while, degPos = 0
         3
f[[1]]=-y
f[[2]]=0
mid1={4, 0}
 yni= {{-1, 0}, {0, -1}}
 dans le while, degPos = 0
         4    3
f[[1]]=-x  - y
f[[2]]=0
                                       4    3
  --> au rang 4 dans la suite : f1 = -x  - y
  --> au rang 4 dans la suite : f2 = 0
 bouprin {11.81 Second, Null}
             3     4
latba= {-(x y ), -y }
liste a tuer ={{1}, {2}}
  2  2   3     4
{x  y , x  y, x }
 fin de nouvB
 nouvb2 {0.16 Second, Null}
 CalculeBeta {11.37 Second, Null}
 degrsa 0
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
 degrsa 0
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
 degrsa 0
alpha[1,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
alpha[2,eltXm] mod nul={{0, 0}, {0, 0}}
 CalculeAlpha {3.41 Second, Null}

On vérifie donc ici que f_{1} = −x^{4}−y^{3} et f_{2} = 0, donc H ≅ k[[x, y]]/(x^{4}+y^{3}) comme attendu.