ELEMENTS D’ALGEBRE COMMUTATIVE

Maîtrise de Mathématiques

Université d’Angers 2003/04

D. Schaub

Chapitre 4

Algèbres tensorielle, symétrique et extérieure

4.1 Algèbre tensorielle d’un module

Définition 4.1.1 Un anneau ℕ-gradué est un anneau A qui peut s’écrire comme somme directe A = ⨁_{n∈ℕ} A_{n} de sous-groupes et tel que la multiplication a la propriété suivante : pour tous x ∈ A_{r}, y ∈ A_{s}, le produit xy appartient à A_{r+S}.

En particulier, A_{0} est un sous-anneau de A. Les éléments de A_{n} sont appelés éléments homogènes de degré n. La propriété de la multiplication traduit donc le fait que le produit d’un élément homogène de degré r et d’un élément homogène de degré s est un élément homogène de degré r + s.

Exemples: 1) les anneaux de polynômes A[x] et, plus généralement, A[x_{1}, …,x_{n}] sont des anneaux gradués (par le degré (total)). Ce sont même des A-algèbres graduées.

2) Une façon d’obtenir un anneau gradué consiste à se donner une collection de groupes A_{n} et de mettre sur la somme directe ⨁_{n} A_{n} un produit ayant la bonne propriété sur les degrés. Il suffit pour cela d’avoir des applications A_{r} × A_{s} → A_{r+s} et d’étendre par bilinéarité. Ainsi, par exemple, x_{1},x_{2},y_{1},y_{2} étant des éléments homogènes, (x_{1} + x_{2}) × (y_{1} + y_{2}) = x_{1} × x_{2} + x_{1} × y_{2} + x_{2} × y_{1} + x_{2} × y_{2}.

Soit à présent A un anneau et M un A-module. On définit

T^{r}(M) = \underbrace{M ⊗ ⋯ ⊗ M}_{r fois} = ⨂_{i=1}^{r} M

pour r > 0 et T^{0}(M) = A. On a alors, pour tous p,q une application naturelle définie sur les générateurs et étendue par bilinéarité :

\begin{matrix}T^{p}(M) × T^{q}(M) & → & T^{p+q}(M) \\ (x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{p},y_{1} ⊗ ⋯ ⊗ y_{q}) & ↦ & x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{p} ⊗ y_{1} ⊗ ⋯ ⊗ y_{q} \end{matrix} .

Considérons alors T (M) = ⨁_{i=0}^{∞} T^{i}(M). Cet ensemble T (M) est alors naturellement muni d’une structure de A-algèbre graduée, appelée algèbre tensorielle de M. La multiplication est évidemment induite par les applications ci-dessus.

Remarquons que les éléments de T^{1}(M) engendrent alors T (M) comme A-algèbre ie. tout élément de T (M) peut s’écrire comme somme finie ∑ ax^{α}y^{β} ⋯ z^{ω} où a ∈ A, x,y, …,z ∈ T^{1}(M) = M, α,β, …,ω ∈ ℕ. On dit encore que T (M) est engendré par ses éléments homogènes de degré 1.

Fonctorialité: Si f : M → N est une application A-linéaire, alors, pour tout p, on obtient, par factorisation de l’application bilinéaire f^{p} : M^{p} → N^{p} → T^{p}N, une application linéaire

T^{p}(f) = \overbrace{f ⊗ ⋯ ⊗ f}^{p fois} : T^{p}(M) → T^{p}(N), d’où l’on déduit une application T (f) : T (M) → T (N) déjà définie sur les éléments homogènes et étendue par linéarité. On vérifie que T (f) est un homomorphisme d’algèbres.

Proposition 4.1.1 Si E est un A-module libre de base {e_{1}, …,e_{m}}, alors, pour tout p, T^{p}(E) est un A-module libre de base e_{i_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{i_{p}}, 1 ≤ i_{s} ≤ m et tout x ∈ T (E) peut s’écrire comme somme finie x = ∑_{p} ∑_{(i_{1},...,i_{p})} a_{i_{1},...,i_{p}}e_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{i_{p}}.

Preuve: C’est simplement une généralisation du résultat ??.

Remarque: Rappelons encore que T^{n}(M) satisfait à la propriété universelle suivante: toute application n-linéaire M^{n} → N se factorise uniquement à travers une application linéaire T^{n}(M) → N (ceci n’est bien sûr qu’une traduction dans ce contexte de la propriété universelle du produit tensoriel).

4.2 Algèbre symétrique

Soit A un anneau commutatif et M un A-module (de type fini). Considérons dans l’anneau T (M) l’idéal I engendré par les éléments x ⊗ y − y ⊗ x pour tous les x,y ∈ M.

Définition 4.2.1 On appelle algèbre symétrique de M et on note S(M) (ou S_{A}(M) ou Sym(M)) le quotient T (M)/I.

On dit qu’un module M sur un anneau gradué A = ⊕_{n}A_{n} est un A-module gradué si M peut s’écrire comme somme directe de sous-groupes M = ⊕_{n}M_{n} tels que, pour, tous a_{p} ∈ A_{p}, x_{q} ∈ ℕ_{q}, a_{p}x_{q} ∈ M_{p+q}. Un exemple de module gradué est celui d’idéal gradué d’un anneau gradué. On peut d’ailleurs remarquer qu’un idéal est gradué ssi il peut être engendré par des éléments homogènes (contre-exemple : A = k[X,Y] gradué par le degré total, I l’idéal engendré par X + Y^{2} n’est pas gradué).

L’idéal considéré ici, I, est un idéal gradué ie. I = ⊕I_{r} où I_{r} = I ∩ T^{r}(M) est un sousmodule de T^{r}(M). Notons S^{r}(M) = T^{r}(M)/I_{r}, qu’on appellera puissance symétrique n-ième, le quotient. L’algèbre symétrique est graduée par S(M) = ⊕S^{r}(M) et, comme I_{0} = I_{1} = {0}, on a des identifications canoniques S^{0}(M) = A et S^{1}(M) = T^{1}(M) = M. Notons ϕ : M → S(M) l’injection canonique. Nous noterons encore xy le produit des éléments x,y ∈ S(M), càd. l’image de x ⊗ y dans le quotient.

Proposition 4.2.1 L’algèbre S(M) est commutative.

En effet, pour tous x,y ∈ M, xy = yx par définition de S(M). Comme S(M) est engendré par les x ∈ M, on en déduit le résultat.

Proposition 4.2.2 Toute application linéaire f d’un A-module M dans une A-algèbre B telle que f(x)f(y) = f(y)f(x), pour tous x,y ∈ M se factorise uniquement à travers un homomorphisme de A-algèbres g : S(M) → B (De plus, si B est graduée et f(M) ⊂ B_{1}, g est gradué).

Preuve: une application f : M → B définit une application n-linéaire f^{n} : M^{n} → B par f^{n}(x_{1}, …,x_{n}) = f(x_{1}) ⋯ f(x_{n}) pour tout n, d’où par factorisation (propriété universelle de T^{n}(M)), une application linéaire T^{n}f : T^{n}(M) → B, pour tout n, et donc une application de la somme directe T f : T (M) → B. La propriété de commutation, f(x)f(y) = f(y)f(x), signifie alors que T f(I) = 0, donc T f passe au quotient g : S(M) → B.

Corollaire 4.2.1 Si M et N sont des A-modules et u : M → N une application A-linéaire, alors il existe un unique homomorphisme d’algèbres (gradué) S(u) : S(M) → S(N) tel que ϕ_{N} ∘ u = S(u) ∘ ϕ_{M} où ϕ_{M} : M → S(M) et ϕ_{N} : N → S(N) désignent les injections canoniques.

Preuve: Composant les applications u : M → N avec l’injection canonique ϕ_{N} : N → S(N), on obtient α : M → S(N) telle que α(x)α(y) = α(y)α(x). La proposition qui précède implique alors que α se factorise à travers ϕ_{M} : M → S(M).

Définition 4.2.2 Une application f : M^{n} → N est symétrique, si, pour toute permutation σ ∈ 𝔖_{n}, et tout élément (x_{1}, …,x_{n}) ∈ M^{n}, f(x_{σ(1)}, …,x_{σ(n)}) = f(x_{1}, …,x_{n}).

S^{n}(M) est aussi caractérisé par une propriété universelle:

Proposition 4.2.3 Toute application n-linéaire symétrique f : M^{n} → N se factorise de manière unique à travers S^{n}(M) ie. Hom_{A}(S^{n}(M),N) s’identifie à l’ensemble des applications n-linéaires symétriques sur M.

Preuve: Soit donc f : M^{n} → N une application n-linéaire symétrique. Comme elle est n-linéaire, elle se factorise uniquement à travers une application linéaire g : T^{n}(M) → N. Mais cette dernière vérifie g(I_{n}) = 0 par la propriété de symétrie, d’où elle se factorise par g̃ : S^{n}(M) → N.

Proposition 4.2.4 Pour tout n ∈ ℕ, on a S^{n}(M ⊕ N) ≅ ⊕_{k}(S^{k}(M) ⊗ S^{n−k}(N)) et, par conséquent, S(M ⊕ N) ≅ S(M) ⊗ S(N) .

Preuve: Posons E = M ⊕ N et commençons par construire une application ⊕_{k}(S^{k}(M) ⊗ S^{n−k}(N)) → S^{n}(E). Pour tout i, l’application M^{i} → S^{i}(E) définie par (x_{1}, …,x_{i}) ↦ x_{1} ⋯ x_{i} est i-linéaire symétrique, donc induit par passage au quotient une application linéaire S^{i}(M) → S^{i}(E). On a de même, pour tout j, une application linéaire S^{j}(N) → S^{j}(E).

On en déduit donc une application bilinéaire S^{i}(M)×S^{j}(N) → S^{i}(E)×S^{j}(E) → S^{i+j}(E) qui passe au quotient par S^{i}(M) ⊗ S^{j}(N) → S^{i+j}(E) et l’application cherchée par extension à la somme directe.

Il s’agit à présent de construire une application en sens inverse S^{n}(E) → ⨁_{k=0}^{n} S^{k}M ⊗ S^{n−k}N, à savoir z ↦ (η_{0}(z), …,η_{n}(z)) où η_{k}(z) ∈ S^{k}M ⊗ S^{n−k}N. Définissons E^{n} → S^{k}M ⊗ S^{n−k}N comme l’application (x_{1}+y_{1}, …,x_{n}+y_{n}) ↦ ∑_{H} x_{H} ⊗y_{K} où H ⊂ {1,2, …,n}, h_{1} < h_{2} < ⋯ < h_{k} et K = {1, …,n} − H, k_{1} < k_{2} < ⋯ < k_{n−k} et x_{H} = x_{h_{1}} ⋯ x_{h_{k}}, y_{K} = y_{k_{1}} ⋯ y_{k_{n−k}}. Cette application est n-linéaire symétrique, donc définit uniquement une application η_{k} : S^{n}E → S^{k}M ⊗ S^{n−k}N, d’où η.

On vérifie que ces deux applications sont bien inverses l’une de l’autre.

Le passage aux algèbres provient simplement du fait que le produit tensoriel commute aux sommes directes (même infinies).

Théorème 4.2.1 L’algèbre symétrique d’un A-module libre de rang n est isomorphe à l’algèbre de polynômes A[x_{1}, …,x_{n}].

Preuve: Raisonnons par récurrence sur le rang n du module libre L. Si n = 1, soit e une base de L, alors l’application α : L → A[x] définie par e ↦ x vérifie bien les propriétés de commutativité α(v)α(w) = α(w)α(v), ∀v,w ∈ L, donc se factorise à travers un homomorphisme de A-algèbres graduées ϕ : S(L) → A[x]. Au rang k, S^{k}(L) est libre de rang 1, engendré par e^{k}, et l’application envoie e^{k} sur y^{k}, donc, clairement, ϕ est un isomorphisme.

Supposons donc le résultat acquis pour tout module libre de rang ≤ n − 1. Soit donc L de rang n. On peut choisir un vecteur e ∈ L tel que L = Ae ⊕ N avec N libre de rang n − 1 (par choix d’une base contenant e par exemple). Alors, d’après la proposition précédente, S(L) = S(N ⊕ Ae) ≅ S(N) ⊗ S(Ae). Or, par hypothèse de récurrence, S(N) ≅ A[y_{1}, …,y_{n−1}] et on a vu S(Ae) ≅ A[x]. D’où S(L) ≅ A[y_{1}, …,y_{n−1}] ⊗_{A} A[x] ≅ A[y_{1}, …,y_{n−1},x].

Remarque : notons au passage que la k-ième puissance symétrique d’un module libre E de rang fini n est libre de rang \binom{n+k−1}{n−1}, de base e_{1}^{k_{1}} ⋯ e_{n}^{k_{n}} où k = ∑ k_{i} et \{e_{1}, …,e_{n}\} désigne une base de E.

Exercice: Vérifier que A[x] ⊗_{A} A[y] ≅ A[x,y] et, plus généralement, le résultat admis en fin de preuve ci-dessus.

4.3 Algèbre extérieure

Soit I_{r} le sous-module de T^{r}(M) engendré par les éléments du type x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{r} avec x_{i} = x_{j} pour un i ≠ j.

Soit ⋀^{r}(M) = T^{r}(M)/I_{r} le quotient. On a une application r-linéaire naturelle

\begin{matrix}ϕ : \underbrace{M × ⋯ × M}_{r fois} & → & T^{r}(M) & → & \frac{T^{r}(M)}{I_{r}} = ⋀^{r}(M) \\ (x_{1}, …,x_{r}) & ↦ & x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{r} & ↦ & \overline{x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{r}}. \end{matrix}

Celle-ci est alternée car si x_{i} = x_{j} pour un couple (i,j), i ≠ j, alors ϕ((x_{1}, …,x_{r})) = 0. La propriété suivante traduit la nature universelle de ⋀^{r}(M)

Proposition 4.3.1 Toute application r-linéaire alternée f : M^{r} → N se factorise de manière unique à travers une application linéaire f_{∗} : ⋀^{r} M → N telle que le diagramme suivant commute

\xymatrix{M^{r} \ar[r]^{ϕ} \ar[dr]_{f} & ⋀^{r} M \ar[d]^{f_{∗}} \\  & N}

Preuve: Cela résulte de la propriété universelle de T^{r}(M) puisque toute application r-linéaire, f : M^{r} → N se factorise à travers ϕ : T^{r}(M) → N et ϕ(x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{n}) = f(x_{1}, …,x_{n}). Comme, de plus, l’application f est alternée, càd. f(x_{1}, …,x_{n}) = 0 si x_{i} = x_{j} avec i ≠ j, cela signifie précisément que ϕ s’annule sur I_{r}, donc passe au quotient T^{r}(M)/I_{r}.

Notations: on notera x_{1} ∧ x_{2} ∧ ⋯ ∧ x_{r} la classe de x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{r} dans le quotient et on parlera du produit extérieur des x_{i}.

Le A-module ⋀ M = ⨁_{r=0}^{∞} ⋀^{r} M a une structure naturelle de A-algèbre graduée, engendrée par les éléments homogènes de degré 1, appelée algèbre extérieure (”alternating algebra” en anglais) de M. Le produit étant défini par (x_{1}∧⋯∧x_{n},y_{1}∧⋯∧y_{m}) ↦ x_{1}∧⋯∧x_{n}∧y_{1}∧⋯∧y_{m} après avoir pris soin de vérifier que cette ”application” était bien définie.

Une alternative à cette définition est de montrer que I = ⨁ I_{r} est un idéal gradué de T (M) et de définir ⋀ M comme le quotient (gradué) de l’algèbre graduée T (M) par l’idéal gradué I.

Proposition 4.3.2 1) Pour tous x,y,x_{1}, …,x_{n} ∈ M, x∧y = −y ∧x et, plus généralement, pour toute permutation σ ∈ 𝔖_{n}, x_{σ(1)} ∧ ⋯ ∧ x_{σ(n)} = ϵ(σ)x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n} où ϵ(σ) désigne la signature de σ;

2) Si H,K désignent deux sous-ensembles complémentaires de l’ensemble {1,2, …,n} et (i_{h})_{1≤h≤p}, (j_{k})_{1≤k≤n−p} les éléments de H et K respectivement, rangés par ordre croissant, soient x_{H} = x_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ x_{i_{p}} et x_{K} = x_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ x_{j_{n−p}}. Alors x_{H} ∧ x_{K} = (−1)^{ν}x_{1} ∧ x_{2} ∧ ⋯ ∧ x_{n} où ν désigne le nombre de couples (i,j) ∈ H × K tels que i > j.

Preuve: Il suffit de remarquer que 0 = (x+y)∧(x+y) = x∧x+x∧y+y∧x+y∧y = x∧y+y∧x. Le cas général s’en déduit en décomposant σ en produit de transpositions. Le 2) n’en est qu’une application.

Proposition 4.3.3 Soit f : M → N une application A-linéaire, on en déduit, pour tout r, une application A-linéaire, ⋀^{r} f : ⋀^{r} M → ⋀^{r} N, et un homomorphisme de A-algèbres graduées ⋀ f : ⋀ M → ⋀ N.

Preuve: On “définit” ⋀^{r} f par ⋀^{r} f(x_{1} ∧ x_{2} ∧ ⋯ ∧ x_{r}) = f(x_{1}) ∧ f(x_{2}) ∧ ⋯ ∧ f(x_{r}) et ⋀ f par linéarité.

Proposition 4.3.4 Si B est une A-algèbre commutative et f : M → B A-linéaire telle que f(x)^{2} = 0, ∀x ∈ M, alors il existe un unique homomorphisme g : ⋀ M → B de A-algèbres tel que f = g ∘ i où i : M → ⋀ M désigne l’inclusion naturelle.

Preuve: L’application f induit une application r-linéaire M^{r} → B, pour tout r, par (x_{1}, …,x_{r}) ↦ f(x_{1}) ⋯ f(x_{r}). Celle-ci se factorise donc à travers T^{r}(M), d’où une application T (M) → B qui est un homomorphisme d’algèbres et f(x)^{2} = 0 signifie simplement qu’elle s’annule sur I, donc passe au quotient ⋀ M.

Proposition 4.3.5 Si M et N sont des A-modules, on un isomorphisme canonique ⋀^{n}(M ⊕ N) ≅ ⨁_{j}(⋀^{j} M ⊗ ⋀^{n−j} N).

Preuve: Posons E = M ⊕ N. Pour tout i, on a une application i-linéaire alternée M^{i} → ⋀^{i} E définie par (x_{1}, …,x_{i}) ↦ (x_{1} + 0) ∧ (x_{2} + 0) ∧ ⋯ ∧ (x_{i} + 0) qui se factorise donc uniquement à travers une application A-linéaire ϕ_{i} : ⋀^{i} M → ⋀^{i} E. De même, pour tout j, une application A-linéaire ψ_{j} : ⋀^{j} N → ⋀^{j} E.

L’application composée ⋀^{i} M × ⋀^{j} N → ⋀^{i} E ⊗ ⋀^{j} E → ⋀^{i+j} E définie par (x,y) ↦ ϕ_{i}(x) ∧ ψ_{j}(y) est clairement bilinéaire, donc se factorise à travers ⋀^{i} M ⊗ ⋀^{j} N → ⋀^{i+j} E. On en déduit donc une application naturelle de la somme directe ϕ : ⨁_{k}(⋀^{j} M ⊗ ⋀^{k−j} N) → ⋀^{k} E.

Il s’agit à présent de définir une application en sens inverse θ : ⋀^{k} E → ⨁_{k}(⋀^{j} M ⊗ ⋀^{k−j} N). Pour cela, définissons, pour z ∈ E, θ(z) = (θ_{0}(z), …,θ_{k}(z)) où θ_{j} : ⋀^{k} E → ⋀^{j} M ⊗ ⋀^{k−j}. Cette dernière application est définie par factorisation de l’application k-linéaire alternée κ : E^{k} → ⋀^{j} M ⊗ ⋀^{k−j} N définie par (x_{1} + y_{1}, …,x_{k} + y_{k}) ↦ ∑_{H} ϵ(σ_{H})x_{H} ⊗ y_{K} où H = {h_{1}, …,h_{j}} ⊂ {1,2, …,k}, h_{1} < h_{2} < ⋯ < h_{j} et K = {1,2, …,k} − H, k_{1} < k_{2} < ⋯ < k_{k−j} et ϵ(σ_{H}) la signature de la permutation σ_{H} : H ∪ K → {1,2, …,k}. La vérification (pas entièrement triviale) que ϕ ∘ θ = Id et θ ∘ ϕ = Id est laissée en exercice.

Proposition 4.3.6 Si E est un A-module libre de base {e_{1}, …,e_{n}}, pour r > n, ⋀^{r} E = 0, si 1 ≤ r ≤ n, ⋀^{r} E est libre de base e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{r}}, 1 ≤ i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{r} ≤ n, de rang \binom{n}{r}.

Preuve: On prouve le résultat par récurrence sur le rang n et en utilisant le résultat précédent sur la décomposition du produit extérieur d’une somme directe. Pour n = 1, il n’y a rien à démontrer. Supposons donc que, pour k ≤ n − 1, le résultat est vrai, à savoir, pour tout A-module libre L de rang k ≤ n, ⋀^{r} L est libre de base e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{r}}, 1 ≤ i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{r} ≤ k.

Ecrivons alors E = Ae_{1} ⊕ F où F =< e_{2}, …,e_{n} >. Alors le résultat précédent dit que ⋀^{r} E = Ae_{1} ⊗ ⋀^{r−1} F ⊕ ⋀^{r} F. Or une base de ⋀^{r−1} F est donnée par e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{r−1}}, 2 ≤ i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{r−1} ≤ n − 1, d’où une base de Ae_{1} ⊗ ⋀^{r−1} F: e_{1} ⊗ e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{r−1}}, qui par l’application ϕ ci-dessus s’envoie sur e_{1} ∧ e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{r−1}}. De même, une base de ⋀^{r} F est donnée par e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{r}}, 2 ≤ i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{r} ≤ n. D’où le résultat.

4.4 Déterminants

Soit E un A-module libre de rang n et u : E → E un endomorphisme de E. Alors ⋀^{n} u ∈ End_{A}(⋀^{n} E) et ⋀^{n} E est libre de rang 1 (donc isomorphe à A). Or ϕ : A → End_{A}(⋀^{n} E) définie par a ↦ (x ↦ ax) réalise un isomorphisme canonique entre A et End_{A}(⋀^{n} E).

Définition 4.4.1 On appelle déterminant de u, on note det(u) l’élément ϕ^{−1}(⋀^{n} u) de A.

Par définition de ⋀^{n} u, on a

(⋀^{n} u)(x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n}) = u(x_{1}) ∧ ⋯ ∧ u(x_{n}) = det(u)x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n}.

Conséquences: a) det(u ∘ v) = (det u)(det v). En effet, det(u∘v)(x_{1}∧⋯∧x_{n}) = ⋀^{n}(u∘v)(x_{1}∧⋯∧x_{n}) = (u∘v)(x_{1})∧⋯∧(u∘v)(x_{n}) = u(v(x_{1}))∧ ⋯ ∧ u(v(x_{n})) = (⋀^{n} u)(v(x_{1}) ∧ ⋯ ∧ v(x_{n})) = (det u)(⋀^{n} v(x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n})) = (det u)(detv)(x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n}).

b) Si u est inversible, det(u^{−1}) = (det u)^{−1}. On applique le résultat précédent à u ∘ u^{−1} = Id_{E}, d’où 1 = det(Id) = (det u)(det(u^{−1}).

Définition 4.4.2 Soit E = {e_{1}, …,e_{n}} une base de E et x_{1}, …,x_{n} ∈ E, on appelle déterminant de x_{1}, …,x_{n} dans la base {e_{1}, …,e_{n}}, et on note det_{E}(x_{1}, …,x_{n}), le déterminant det(u) où u : E → E est l’endomorphisme défini par e_{i} ↦ x_{i}.

Il s’ensuit donc que x_{1} ∧⋯∧x_{n} = u(x_{1})∧⋯∧u(x_{n}) = det(u)e_{1} ∧⋯∧e_{n} = det_{E}(x_{1}, …,x_{n})e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n} et, en particulier, det_{E}(e_{1}, …,e_{n}) = 1.

Proposition 4.4.1 Pour tout endomorphisme v, det(v(x_{1}), …,v(x_{n})) = det v det_{E}(x_{1}, …,x_{n}).

Preuve: Soit u l’endomorphisme défini par u(e_{i}) = x_{i}, alors v(x_{1}) ∧ ⋯ ∧ v(x_{n}) = (v ∘ u)(e_{1}) ∧ ⋯ (v ∘ u)(e_{n}) = det(v ∘ u)e_{1} ∧ ⋯ e_{n} et d’autre part v(x_{1}) ∧ ⋯ ∧ v(x_{n}) = det(v)x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n} = det(v) det(u)e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}. D’où le résultat

L’application det_{E} : E^{n} → A ainsi définie est une forme n-linéaire alternée telle que det_{E}(e_{1}, …,e_{n}) = 1.

Proposition 4.4.2 Toute forme n-linéaire alternée sur E^{n} est de la forme α det_{E} , α ∈ A.

Preuve: Soit f : E^{n} → A, et soit α = f(e_{1}, …,e_{n}), alors f(e_{1}, …,e_{n}) = α det_{E}(e_{1}, …,e_{n}). Les deux formes n-linéaires f et α det_{E}, coïncidant sur une base, sont donc égales. (Rappelons à ce sujet que l’ensemble A_{n}(E; A) des n-formes linéaires alternées sur E est isomorphe à Hom(⋀^{n} E,A) ≅ Hom(A,A) et donc de rang 1, ce qu’on retrouve ici).

Théorème 4.4.1 Un endomorphisme d’un A-module libre E de rang fini est bijectif ssi son déterminant est inversible dans A.

Preuve: Soit u ∈ End_{A}(E). Si u est bijectif, alors, il existe un endomorphisme inverse u^{−1} et u ∘ u^{−1} = Id_{E}. D’où 1 = det(Id) = det(u) det(u^{−1}), donc det(u) est inversible dans A.

Inversement, supposons det(u) inversible. Soit alors x_{1}, …,x_{n} une base de E. Montrons que u(x_{1}), …,u(x_{n}) est une base de E, ce qui suffit à prouver que u admet un inverse (l’application u(x_{i}) ↦ x_{i}). Le système u(x_{1}), …,u(x_{n}) est libre. En effet, supposons qu’il existe une combinaison linéaire non triviale λ_{1}u(x_{1})+⋯+λ_{n}u(x_{n}) = 0 alors l’un des λ_{i}, supposons par exemple λ_{1}, est non nul, d’où l’on déduit que λ_{1}u(x_{1}) = μ_{2}u(x_{2}) + ⋯ + μ_{n}u(x_{n}). Mais alors, λ_{1} det_{E}(u(x_{1}), …,u(x_{n})) = det_{E}(λ_{1}u(x_{1})), …,u(x_{n}) = 0. Or, det(u(x_{1}), …,u(x_{n})) = det(u) det_{E}(x_{1}, …,x_{n}) ≠ 0, d’où λ_{1} = 0, ce qui est contradictoire. Il reste à montrer que le système est aussi générateur. Soit f : E^{n} → A la forme linéaire alternée telle que f(x_{1}, …,x_{n}) = 1 et g : E^{n+1} → E l’application n + 1-linéaire définie par g(z,y_{1}, …,y_{n}) = f(y_{1}, …,y_{n})z + ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i}f(z,y_{1}, …,ŷ_{i}, …,y_{n})y_{i} pour tous z,y_{1}, …,y_{n} ∈ E. Cette application est clairement (n + 1)-linéaire et alternée, donc nulle (car ⋀^{n+1} E = 0): g(z,y_{1}, …,y_{n}) = 0, ∀z,y_{1}, …,y_{n}. En particulier, pour tout x ∈ E, g(x,u(x_{1}), …,u(x_{n})) = 0, ce qui se traduit par f(u(x_{1}), …,u(x_{n}))x = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i−1}f(x,u(x_{1}), …,û(x_{i}), …,u(x_{n}))u(x_{i}). Comme f(u(x_{1}), …,u(x_{n})) = det(u)f(x_{1}, …,x_{n}) = det(u) est inversible, on en déduit que x s’écrit bien en fonction des u(x_{i}).

Exercice: Montrer qu’un système de vecteurs x_{1}, …,x_{n} d’un module libre E est une base ssi x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n} ≠ 0 et det(x_{1}, …,x_{n}) inversible dans A. En particulier, pour un espace vectoriel, il suffit que x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n} ≠ 0.

Définition 4.4.3 Soit M = (a_{ij}) une matrice carrée n × n. On appelle déterminant de M le déterminant de l’endomorphisme u dont M est la matrice dans une base donnée (ou alternativement, le déterminant du système des vecteurs colonnes dans la base canonique de A^{n}). C’est, bien entendu, indépendant de la base choisie.

Soit H = {h_{1}, …,h_{p}} et K = {k_{1}, …,k_{p}} des suites croissantes d’entiers entre 1 et n. On appelle mineur d’indices H,K le déterminant de la matrice, qu’on notera M_{H,K}, constituée des intersections des lignes h_{1}, …,h_{p} avec les colonnes k_{1}, …,k_{p}.

Proposition 4.4.3 Pour une famille d’éléments {x_{1}, …,x_{p}} d’un A-module libre E de rang n, désignons par M la matrice n × p dont la i-ème colonne est constituée des coordonnées de x_{i} dans une base {e_{1}, …,e_{n}} de E. Alors on a

x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p} = ∑_{K} det(M_{K,H})e_{K}

où H = {1, …,p} et K décrit l’ensemble des suites croissantes 1 ≤ k_{1} < k_{2} ⋯ < k_{p} ≤ n, l’ensemble des e_{K} = e_{k_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{k_{p}} constituant une base de ⋀^{p} E.

Preuve: Il suffit de calculer x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{p} en utilisant les propriétés de p-linéarité et d’alternance. Ainsi, calculons la K-ème composante de x_{1} ∧⋯∧x_{p} = (∑_{j} a_{j1}e_{j})∧(∑_{j} a_{j2}e_{j})∧⋯∧(∑_{j} a_{jp}e_{j}) dans la base des e_{K}.

Or la matrice M_{K,H} est la matrice de l’application linéaire composée de A^{p} → A^{n} de matrice A dans les bases canoniques E′ = {e′_{1}, …,e′_{p}} et E, et pr_{K} : A^{n} → A^{p}, la projection sur le sous-espace engendré par les p vecteurs de la base canonique de A^{n} d’indices k_{1}, …,k_{p}. On a donc ⋀^{p}(pr_{K} ∘ M)(e′_{1} ∧ ⋯ ∧ e′_{p}) = det(_{K,H})e_{K}.

D’autre part, ⋀^{p}(pr_{K} ∘M)(e′_{1} ∧⋯∧e′_{p}) = ⋀^{p}(pr_{K})(x_{1} ∧⋯∧x_{p}) n’est autre que la K-ème composante cherchée, d’où le résultat.

Corollaire 4.4.1 Soit u : E → F une application linéaire entre deux modules libres de rang respectivement m et n. Soit M la matrice de u dans les bases E = {e_{1}, …,e_{m}} et F = {f_{1}, …,f_{n}} et soit p ≤ inf(m,n). Alors l’application ⋀^{p} u : ⋀^{p} E → ⋀^{p} F a pour matrice dans les bases \{e_{K}\}_{1≤<k_{1}<···<k_{p}≤m} et \{f_{H}\}_{1≤h_{1}<···<h_{p}≤n} la matrice à \binom{n}{p} lignes et \binom{m}{p} colonnes de terme général det(M_{H,K}).

Preuve: On applique le résultat précédent à (⋀^{p} u)(e_{k_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{k_{p}}) = u(e_{k_{1}}) ∧ ⋯ ∧ u(e_{k_{p}}) = ∑_{K} det(M_{H,K})f_{H}.

Posons, pour H,K deux parties croissantes de [1,n], ρ_{H,K} = 0 si H∩K ≠ ∅ et ρ_{H,K} = (−1)^{ν} où ν est le nombre de couples (h,k) ∈ H × K tels que h > k sinon.

Théorème 4.4.2 Formule de Laplace Soient M une n × n matrice, H = {h_{1}, …,h_{p}} avec 1 ≤ h_{1} < ⋯ < h_{p} ≤ n. Désignons encore par H′ la partie ordonnée complémentaire de H. Alors

det(M) = ρ_{H,H′} ∑_{R} ρ_{R,R′} det(M_{R,H}) det(M_{R′,H′})

où R parcourt les suites croissantes à p éléments entre 1 et n, R′ désignant son complémentaire.

Preuve: Soit K = {k_{1}, …,k_{n−p}}, 1 ≤ k_{1} < ⋯ < k_{n−p} ≤ n, K′ la partie ordonnée complémentaire de K et notons u l’endomorphisme de A^{n} représenté par M dans la base canonique. En appliquant la proposition 4.4.3, on a, avec les notations de ce résultat,

(⋀^{p} u)(e_{H}) = ∑_{R} det(M_{R,H})e_{R} et (⋀^{n−p} u)(e_{K}) = ∑_{S} det(M_{S,K})e_{S}.

On en déduit: (⋀^{p} u)(e_{H}) ∧ (⋀^{n−p} u)(e_{K})

= ∑_{R} det(M_{R,H}) det(M_{R′,K})e_{R} ∧ e_{R′} = ∑_{R} ρ_{R,R′} det(M_{R,H}) det(M_{R′,K})e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}

puisque e_{R} ∧ e_{S} = 0 si R ∩ S ≠ ∅ ⇒ e_{R} ∧ e_{S} ≠ 0 ssi S = R′. Si K = H′, on a aussi (⋀^{p} u)(e_{H})∧(⋀^{n−p} u)(e_{K}) = u(e_{h_{1}})∧⋯∧u(e_{h_{p}})∧u(e_{k_{1}})∧⋯∧u(e_{k_{n−p}}) = ρ_{H,H′}u(e_{1}) ∧ ⋯ ∧ u(e_{n}) = ρ_{H,H′} det(u)e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n}.

En rapprochant les deux formules, on obtient le résultat.

Remarque: 1) Lorsque K ≠ H′, on a H ∩ K ≠ ∅ et, par conséquent, e_{H} ∧ e_{K} = 0, d’où

∑_{R} ρ_{R,R′} det(M_{R,H}) det(M_{R′,K}) = 0.

2) La formule de Laplace pour p = 1 n’est autre que la formule bien connue de développement par rapport à la ligne d’indice h_{1}.

Théorème 4.4.3 Soit E un module libre de rang n et u : E → E un endomorphisme; soit encore a,b ∈ A, alors det(aId_{E} + bu) = ∑_{k≥0} Tr(⋀^{k} u)a^{n−k}b^{k}.

Preuve: Soit e_{1}, …,e_{n} une base de E et M = (m_{ij}) la matrice de u dans cette base. Le déterminant est obtenu par calcul de (aId + bu)(e_{1}) ∧ ⋯ ∧ (aId + bu)(e_{n}) = (ae_{1} + bu(e_{1})) ∧ ⋯ ∧ (ae_{n} + bu(e_{n})) qui est égal à la somme des termes a^{n−p}b^{p}z_{K} où z_{K} = x_{1} ∧ x_{2} ∧ ⋯ ∧ x_{n} avec x_{i} = u(e_{i}) si i ∈ K et x_{i} = e_{i} si i ∈ H = [1,n] − K, p parcourant les entiers de 1 à n et, pour chaque p, K est l’ensemble des suites 1 ≤ k_{1} < ⋯ < k_{p} ≤ n. De même, on supposera les h_{i} rangés par ordre croissant.

On a z_{K} = ρ_{H,K}e_{h_{1}}∧⋯∧e_{h_{n−p}}∧u(e_{k_{1}})∧⋯∧u(e_{p}) et u(e_{k_{1}})∧⋯∧u(e_{k_{p}}) = ∑_{L} det(M_{L,K})e_{L}. Par conséquent, z_{K} = ρ_{H,K} ∑_{L} det(M_{L,K})e_{H} ∧ e_{L}.

Comme e_{H} ∧e_{L} = 0 sauf si H ∩L = ∅ ie. L = K, on en déduit z_{K} = det(M_{K,K})e_{1} ∧⋯∧e_{n} et le coefficient de a^{n−p}b^{p} est alors ∑_{K} det(M_{KK}). Or ces éléments constituent la diagonale de la matrice de ⋀^{p}(u). On en tire aisément le résultat.

Corollaire 4.4.2 Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme d’espaces vectoriels sur un corps k est égal à P (x) = ∑_{k} Tr(⋀^{n−k} u)(−x)^{k}.

Preuve: Si u ∈ End(E) où E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k, alors le polynôme caractéristique de u est précisément le déterminant de l’endomorphisme de k[X]- modules u − XId où l’on continue à noter u l’endomorphisme u ⊗ 1 : E ⊗ k[X] → E ⊗ k[X]. Il suffit alors d’appliquer le résultat précédent.

50 CHAPITRE 4. ALGÈBRES TENSORIELLE, SYMÉTRIQUE ET EXTÉRIEURE

Bibliographie

[1] S. LANG, Algèbre, Addison-Wesley.

[2] M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley Publishing.

[3] R. GODEMENT, Cours d’Algèbre, Herrmann

[4] H. MATSUMURA, Commutative Algebra, Benjamin.

[5] N. BOURBAKI, Algèbre

[6] S. MAC LANE, G. BIRKHOFF, Algèbre 2, les Grands Théorèmes, Gauthier-Villars.

[7] J.P. SERRE, Représentation linéaire des groupes finis.

[8] FULTON, HARRIS, Representations, Springer.

[9] O. ZARISKI, P. SAMUEL, Commutative Algebra, Van Nostrand.

52 BIBLIOGRAPHIE

Table des matières

4 Algèbres tensorielle, symétrique et extérieure 41 4.1 Algèbre tensorielle d’un module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46