ELEMENTS D’ALGEBRE COMMUTATIVE

Maîtrise de Mathématiques

Université d’Angers 2003/04

D. Schaub

Chapitre 3

Produit tensoriel

3.1 Définitions

3.1.1 Applications multilinéaires

Soient M et N deux A-modules et M × N leur produit cartésien ”ensembliste”.

Définition 3.1.1 Une application f de M × N dans un A-module Q est A-bilinéaire si, pour tous a_{1},a_{2} ∈ A, x,x_{1},x_{2}, ∈ M, y,y_{1},y_{2} ∈ N, on a f(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2},y) = a_{1}f(x_{1},y) + a_{2}f(x_{2},y) et f(x,a_{1}y_{1} + a_{2}y_{2}) = a_{1}f(x,y_{1}) + a_{2}f(x,y_{2}).

Cela équivaut à dire que f est bilinéaire ssi les applications partielles f_{y} : M → Q et f_{x} : N → Q définies par f_{y}(x) = f(x,y) et f_{x}(y) = f(x,y) sont A-linéaires, pour tous y et x fixés.

Exemples: - les formes bilinéaires symétriques tels que le produit scalaire de vecteurs;

- Si M est un A-module, son dual, M^{∗} = Hom_{A}(M,A), est un A-module et l’application f : M^{∗} × M → A définie par f(u,x) = u(x) est bilinéaire.

Soient maintenant M_{1}, …,M_{n} des modules sur l’anneau A et Q un A-module quelconque.

Définition 3.1.2 Une application f : M_{1}×⋯×M_{n} → Q est n-linéaire si toutes les applications partielles x_{i} ↦ f(x_{1}, …,x_{n}) sont linéaires.

Lorsque Q = A, on parlera plutôt de formes bilinéaires ou multilinéaires.

On peut aussi considérer le cas où M = M_{1} = ⋯ = M_{n} et f : M^{n} → Q. On peut alors imposer des conditions supplémentaires à la fonction n-linéaire f, comme, par exemple, d’être alternée, à savoir f(x_{1}, …,x_{n}) = 0 dès que x_{i} = x_{j} pour i ≠ j.

Un exemple bien connu de formes n-linéaire alternée sur un espace vectoriel M de dimension n (ou, plus généralement, sur un module libre de rang n) est le déterminant det : M^{n} → A donné, par exemple, par la formule det(x_{1}, …,x_{n}) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ϵ(σ)x_{1σ(1)} ⋯ x_{nσ(n)} où les (x_{ij})_{j} sont les coordonnées du vecteur x_{i} dans une base de M.

3.1.2 Définition

Soient A un anneau (commutatif unitaire), M et N deux A-modules. Considérons le A-module libre L engendré par tous les couples (x,y),x ∈ M,y ∈ N, i.e. on peut le voir comme ⨁_{(x,y)∈A×B} A (sous-module du produit A^{M×N}).

Soit S le sous-module engendré par tous les éléments du type: (x_{1} + x_{2},y) − (x_{1},y) − (x_{2},y), (x,y_{1} + y_{2}) − (x,y_{1}) − (x,y_{2}), (ax,y) − a(x,y), (x,ay) − a(x,y), où x,x_{1},x_{2} ∈ M, y,y_{1},y_{2} ∈ N, a ∈ A.

On a bien sûr une inclusion naturelle j : M × N → L donnée par j((x,y)) = (x,y) (qui n’est pas A-linéaire !!!, en effet, dans L, (ax,ay) est linéairement indépendant de (x,y)). Composant j avec la surjection naturelle π de L dans le quotient L/S, on obtient une application φ : M × N → L/S, comme l’illustre le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{M × N \ar[r]^{j} \ar[dr]_{ϕ} & L \ar[d]^{π} \\  & L/S}

Cette application ϕ est A-bilinéaire, c’est-à-dire:

φ((α_{1}x_{1} + α_{2}x_{2},y)) = α_{1}φ(x_{1},y) + α_{2}φ(x_{2},y)
φ((x,α_{1}y_{1} + α_{2}y_{2})) = α_{1}φ(x,y_{1}) + α_{2}φ(x,y_{2})

pour tous x,x_{1},x_{2} ∈ M,y,y_{1},y_{2} ∈ N,α_{1},α_{2} ∈ A.

Vérifions, à titre d’exemple, l’une des conditions: φ((α_{1}x_{1} + α_{2}x_{2},y)) = (α_{1}x_{1} + α_{2}x_{2},y) = (α_{1}x_{1},y) + (α_{2}x_{2},y) = α_{1}(x_{1},y) + α_{2}(x_{2},y) = α_{1}(x_{1},y) + α_{2}(x_{2},y).

Une autre façon de définir L est comme l’ensemble des applications M × N → A presque partout nulles. Dans cette approche, j : M × N → L est définie par (x,y) ↦ f_{(x,y)} où f_{(x,y)}(x′,y′) = 0,∀(x′,y′) ≠ (x,y) et f_{(x,y)}(x,y) = 1.

Définition 3.1.3 Le A-module L/S est appelé produit tensoriel de M et de N et noté M ⊗_{A} N. On notera x ⊗ y la classe du couple (x,y). Ces x ⊗ y engendrent le A-module M ⊗ N. Plus précisément, tout élément de M ⊗ N est une somme finie de la forme ∑ x_{i} ⊗ y_{i}.

Remarques: 1) On vient de voir qu’il y a une application bilinéaire naturelle φ : M × N → M ⊗_{A} N.

2) On a x ⊗ 0 = x ⊗ (y − y) = x ⊗ y + x ⊗ (−y) = x ⊗ y − x ⊗ y = 0 et de même 0 ⊗ y = 0.

3.1.3 Propriété universelle

Soit G un A-module quelconque et f : M × N → G une application bilinéaire. On peut alors définir une application linéaire h : L → G par l’exigence que h soit linéaire et que h((x,y)) = f((x,y)), quel que soit (x,y) ∈ M × N. (l’ensemble {(x,y) | x ∈ M,y ∈ N} forme une base de L; alors, h est définie parce qu’on se donne les images de tous les éléments d’une base !).

L’application f étant bilinéaire, h(S) = 0. Autrement dit, h se factorise à travers L/S:

\xymatrix{L \ar[rr]^{h} \ar[dr]_{π} &  & G \\  & L/S \ar[ur]_{h^{∗}}}

Comme h est définie uniquement par f et h^{∗} uniquement par h, h^{∗} est uniquement définie. Le couple (M ⊗ N,φ) est caractérisé par la propriété universelle suivante:

Proposition 3.1.1 Toute application bilinéaire f : M × N → G se factorise de manière unique à travers une application linéaire M ⊗_{A} N → G.

En fait, c’est cette propriété qui sera, en général, utilisée pour déterminer le produit tensoriel (et non la définition), car elle caractérise le produit tensoriel à isomorphisme près.

Preuve: En effet, supposons qu’un autre couple (T,ψ), où T est un A-module et ψ : M × N → T une application bilinéaire, vérifie la même propriété universelle, autrement dit, toute application bilinéaire β de M × N dans un module G se factorise à travers ψ et une application linéaire γ : T → G. Or, φ : M × N → M ⊗ N est une application bilinéaire, d’où elle se factorise à travers ψ et une application linéaire θ : T → M ⊗N. Inversement, (M ⊗N,φ) ayant la propriété et ψ : M ×N → T étant une application bilinéaire, elle se factorise à travers η : M ⊗ N → T. Il faut encore vérifier que θ ∘η = Id_{M⊗N} et η ∘θ = id_{T}. La situation est décrite par le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{M × N \ar[r]^{ϕ} \ar[d]_{ψ} & M ⊗ N \ar[dl]_{η} \\ T \ar[ur]_{θ}} .

La composée θ∘ψ : M ×N → M ⊗N est une application bilinéaire, donc se factorise, de manière unique, à travers M ⊗ N.

Or ψ = η ∘ φ, d’où θ ∘ η ∘ φ = θ ∘ ψ, autrement dit

\xymatrix{M × N \ar[r]^{θ∘ψ} \ar[d]_{φ} & M ⊗ N \\ M ⊗ N \ar[ur]_{θ∘η}}

où l’on voit que θ∘η constitue une telle factorisation. Mais, d’un autre côté, id_{M⊗N} est clairement une autre factorisation. Par unicité, on conclut donc que θ ∘ η = id_{M⊗N}. On procède de même pour η ∘ θ. Conclusion: T ≅ M ⊗ N où φ correspond à ψ.

Exemples: * Si n,m sont des entiers tels que pgcd(n,m) = 1, alors ℤ/nℤ ⊗_{ℤ}ℤ/mℤ = 0; de même ℤ/nℤ ⊗_{ℤ} ℚ = 0.

* Si V,W sont des espaces vectoriels sur un corps k, alors V ⊗ W = 0 ⇒ V = 0 ou W = 0.

Exercice: Montrer plus généralement que ℤ/nℤ ⊗_{ℤ} ℤ/mℤ ≅ ℤ/pgcd(n,m)ℤ.

3.2 Propriétés du produit tensoriel

3.2.1 Premiers résultats

Lemme 3.2.1 A ⊗_{A} M ≅ M.

Preuve: Il s’agit de montrer que le couple (M,ψ) où ψ : A × M → M est l’application ψ((a,x) = ax, satisfait à la propriété universelle. Soit f : A×M → R une application bilinéaire quelconque, alors f se factorise à travers ψ et h : M → R telle que h(y) = f((1,y)). En effet: h(ψ((a,x)) = h(ax) = f((1,ax)) = af((1,x)) = f((a,x)). De plus, h est uniquement déterminée: soit h′, linéaire, telle que f = h′ ∘ ψ. Montrons que h(y) = h′(y),∀y ∈ M. Or ψ(1,y) = y, d’où h(y) = h(ψ((1,y)) = f((1,y)) = h′(ψ((1,y)) = h′(y).

Remarque: L’isomorphisme envoie a ⊗ x sur ax.

Lemme 3.2.2 A^{n} ⊗_{A} M ≅ M^{n}.

Preuve: La démonstration est similaire à celle ci-dessus. On va montrer que le couple (M^{n},ψ) où ψ : A^{n} × M → M^{n} est l’application bilinéaire définie par ψ(((a_{1},..,a_{n}),x)) = (a_{1}x, …,a_{n}x) vérifie la propriété universelle. Soit f : A^{n} × M → R une application bilinéaire quelconque. Désignons par {e_{1}, …,e_{n}} la base canonique de A^{n}. On remarque que: ψ(((a_{1},..,a_{n}),x)) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}ψ(e_{i},x). On définit alors h : M^{n} → R par h((y_{1}, …,y_{n})) = ∑_{i=1}^{n} f(e_{i},y_{i}). On a:

h(ψ(((a_{1},..,a_{n}),x)) = h((a_{1}x, …,a_{n}x)) = ∑_{i=1}^{n} f(e_{i},a_{i}x)

= ∑_{i=1}^{n} a_{i}f(e_{i},x) = f(∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i},x) = f((a_{1}, …,a_{n}),x)

c’est-à-dire: f = h ∘ ψ. L’unicité de h se vérifie immédiatement comme précédemment.

Remarque: L’isomorphisme envoie ((a_{1}, …,a_{n}) ⊗ x) sur (a_{1}x, …,a_{n}x).

Soit f : M → P et g : N → Q deux applications linéaires. On peut alors leur faire correspondre une application linéaire, notée f ⊗g, de M ⊗N dans P ⊗Q, vérifiant (f ⊗g)(x⊗y) = f(x)⊗g(y).

En effet, composant (f,g) : M × N → P × Q avec l’application canonique P × Q → P ⊗ Q, on obtient une application bilinéaire de M × N dans P ⊗Q. Celle-ci se factorise donc à travers M ⊗ N. On vérifie aisément qu’elle vérifie bien la propriété est ci-dessus.

Remarque Le diagramme suivant est commutatif:

\xymatrix{M × N \ar[d]_{can} \ar[r]^{(f,g)} & P × Q \ar[d] \\ M ⊗ N \ar[r]^{f⊗g} & P ⊗ Q}

En particulier, on a les:

Lemme 3.2.3 Si M ≅ P et N ≅ Q, alors M ⊗ N ≅ P ⊗ Q.

Lemme 3.2.4 M ⊗ N ≅ N ⊗ M.

Les preuves, très simples, sont laissées en exercice. On montre, par exemple dans le premier cas, que (P ⊗ Q,f ⊗ g ∘ can) vérifie la propriété universelle pour M et N.

Proposition 3.2.1 Si M et N sont libres de type fini, de bases {e_{1}, …,e_{m}}, {f_{1}, …,f_{n}}, respectivement, alors M ⊗ N est libre de base {e_{i} ⊗ f_{j} | i = 1,..,m; j = 1,..,n}.

Preuve: C’est une conséquence des lemmes ci-dessus. En effet, si M (respt. N) admet une base de cardinal m (respt. n), alors M ≅ A^{m} (respt. N ≅ A^{n}). Un tel isomorphisme est réalisé en envoyant e_{i}(respt. f_{j}) sur le i-ème (respt. j-ème) élément de la base canonique de A^{m} (respt. A^{n}). On déduit alors des isomorphismes précédents que M ⊗ N ≅ A^{m} ⊗ A^{n}; i.e. M ⊗ N est libre de rang mn. On vérifie en explicitant les différents isomorphismes que les e_{i} ⊗ f_{j} forment une base de M⊗N (en fait, les e_{i} ⊗ f_{j} forment un système de générateurs, en nombre mn, d’un modulelibre de rang mn, donc constituent une base).

3.2.2 Relations entre ⊗ et ⊕

Théorème 3.2.1 Il y a un isomorphisme (A-linéaire) θ entre M ⊗(P ⊕Q) et (M ⊗P)⊕(M ⊗Q) tel que θ(m ⊗ (p + q)) = (m ⊗ p) + (m ⊗ q).

Preuve: Soit f : M×(P ⊕Q) → (M⊗P)⊕(M⊗Q) déterminée par f((m,p+q)) = (m⊗p)+(m⊗q). Comme f est bilinéaire, elle se factorise à travers M ⊗ (P ⊕ Q) en une application θ, A-linéaire telle que θ(m ⊗ (p + q)) = (m ⊗ p) + (m ⊗ q). Construisons un inverse à θ: soient α_{P} : M ⊗P → M ⊗(P ⊕Q) telle que m⊗p ↦ m⊗(p+0) (telle que l’application α_{P} : M ×P → M ⊗(P ⊕Q)) et α_{Q} : M ⊗Q → M ⊗(P ⊕Q) définie de la même façon par m⊗q ↦ m⊗(0+q), linéaires, d’où, par la propriété de somme directe, une application κ : (M⊗P)⊕(M⊗Q) → M⊗(P ⊕Q) telle que m⊗p+n⊗q ↦ α_{P} (m⊗p)+α_{Q}(m⊗q) = m⊗p+n⊗q. On vérifie immédiatement sur les éléments du type m ⊗ p + n ⊗ q que θ ∘ κ = Id_{M⊗P +N⊗Q} et sur les éléments m ⊗ (p + q) que κ ∘ θ = Id_{M⊗(P +Q)}, d’où, par linéarité, le résultat.

Remarque On a également: (P ⊕ Q) ⊗ M ≅ (P ⊗ M) ⊕ (Q ⊗ M).

3.2.3 Relations entre ⊗ et Hom

Désignons par Bilin(M,N; P) l’ensemble des applications bilinéaires de M × N dans un module P. L’ensemble Bilin(M,N; P) est naturellement muni d’une structure de A-module.

Proposition 3.2.2 Bilin(M,N; P) ≅ Hom_{A}(M ⊗ N,P).

Preuve: Il faut expliciter des applications dans les deux sens. Soit f : M ×N → P une application bilinéaire, on lui associe l’application linéaire α(f) : M ⊗ N → P définie par la propriété universelle de M ⊗ N. Inversement, si g : M ⊗ N → P est une application linéaire, on lui fait correspondre β(g) = g ∘ φ où φ : M × N → M ⊗ N est l’application bilinéaire canonique. Il suffit alors de vérifier que les correspondances α et β sont inverses l’une de l’autre. D’une part, α(f) est définie par: f = α(f) ∘ φ et β(α(f)) = α(f) ∘ φ, d’où β(α(f)) = f. D’autre part, β(g) = g ∘ φ est une application bilinéaire de M × N dans P, donc elle se factorise à travers M ⊗ N par α(β(g)) par définition de α. Or, g elle-même factorise déjà g ∘ φ, d’où, par unicité de la factorisation, α(β(g)) = g.

Théorème 3.2.2 Hom_{A}(M,Hom_{A}(N,P)) ≅Bilin(M,N; P) ≅ Hom_{A}(M ⊗ N,P).

Preuve: Le dernier isomorphisme vient d’être démontré ci-dessus. Construisons une application Bilin(M,N; P) → Hom_{A}(M,Hom_{A}(N,P)). Soit h : M × N → P une application bilinéaire, on lui associe l’application linéaire ℓ_{h} : M → Hom_{A}(N,P) donnée par

\begin{aligned}ℓ_{h} & : & M & → & Hom_{A}(N,P) \\ & & x & ↦ & ℓ_{h}(x) : & N & → & P \\ & & & & & y & ↦ & h(x,y) \end{aligned} .

On vérifie aisément que les deux correspondances h ↦ ℓ_{h} et ℓ ↦ h_{ℓ} sont linéaires et inverses l’une de l’autre.

Rappelons que le dual d’un A-module M est Hom_{A}(M,A).

Proposition 3.2.3 Soit E,F des A-modules libres de type fini (ie. de rang fini). Il y a un isomorphisme (fonctoriel) E^{∗} ⊗ F → Hom(E,F) tel que, pour tous f ∈ E^{∗} et x ∈ E,y ∈ F, f ⊗ y ↦ λ : E → F où λ(x) = f(x)y.

Preuve: L’application E^{∗} × F → Hom(E,F) qui envoie (f,y) sur λ est clairement bilinéaire et, par conséquent, se factorise à travers E^{∗} ⊗ F de la façon décrite. Il suffit alors d’exhiber un inverse à cette application linéaire.

Soit donc {e_{1}, …,e_{n}} une base de E et {e_{1}^{∗}, …,e_{n}^{∗}} la base duale. Soit enfin λ ∈ Hom(E,F). On associe à λ l’élément ∑_{i=1}^{n} e_{i}^{∗}⊗λ(e_{i}). On vérifie immédiatement que cette application linéaire est bien inverse de l’autre, d’où l’isomorphisme.

Cas particulier: Lorsque E = F, la proposition ci-dessus donne un isomorphisme E^{∗} ⊗ E ≅ End_{A}(E).

Exercice: montrer que, pour un A-module libre de rang fini E, l’application trace d’un endomorphisme coïncide avec la composée End_{A}(E) → E^{∗} ⊗ E → A où la dernière application est f ⊗ x ↦ f(x).

3.2.4 Suites exactes et ⊗

Théorème 3.2.3 Soit \xymatrix{0 \ar[r] & E′ \ar[r]^{ϕ} & E \ar[r]^{ψ} & E” \ar[r] & 0} une suite exacte de A-modules, alors

la suite \xymatrix{E′ ⊗ F \ar[r]^{ϕ⊗Id_{F}} & E ⊗ F \ar[r]^{ψ⊗Id_{F}} & E” ⊗ F \ar[r] & 0} est exacte pour tout A-module F.

Preuve: Il faut montrer que: i) ψ ∘ Id_{F} est surjective; pour cela, il suffit, par linéarité de montrer que tout élément du type x” ⊗ y admet un antécédent. Mais, x” ∈ E” ⇔ ∃x ∈ E tel que x” = ψ(x); d’où: (ψ ⊗ Id_{F})(x ⊗ y) = x” ⊗ y. ii) (ψ ⊗ Id_{F}) ∘ (φ ⊗ Id_{F}) = 0. Il suffit à nouveau de le vérifier pour des éléments du type x′ ⊗ y. Or: (ψ ⊗ Id_{F})((φ ⊗ Id_{F})(x′ ⊗ y)) = (ψ ⊗ Id_{F})(φ(x′) ⊗ Id_{F}) = ψ(φ(x′)) ⊗ y = 0 ⊗ y = 0. D’où l’inclusion: Im(φ ⊗ Id_{F}) ⊆ ker(ψ ⊗ Id_{F}). iii) Il reste à vérifier l’inclusion: ker(ψ ⊗ Id_{F}) ⊆ Im(φ ⊗ Id_{F}) = I. D’après le point précédent et la propriété universelle d’un quotient, ψ ⊗ Id_{F} se factorise à travers (E ⊗ F)/I:

\xymatrix{E ⊗ F \ar[rr] \ar[dr] &  & E” ⊗ F \\  & (E ⊗ F)/I \ar[ur]_{f}}

Construisons un inverse à gauche pour f, i.e. g : E” ⊗ F → (E ⊗ F)/I tel que g ∘ f = Id_{(E⊗F)/I}, d’où l’on conclura que f est injective (en effet, si z ∈ (E ⊗ F)/I est tel que f(z) = 0, alors z = gf(z) = 0) et, par conséquent, l’inclusion cherchée. Soit x” ∈ E”, alors ∃x ∈ E tel que x” = ψ(x). Considérons alors α : E” × F → (E ⊗ F)/I donnée par (x”,y) ↦ \overline{x ⊗ y}. Cette application est bien définie: soit x_{1} ∈ E tel que ψ(x_{1}) = x”. Alors ψ(x_{1}−x) = 0 ⇔ x_{1}−x ∈ Im(φ) ⇔ (x_{1}−x)⊗y ∈ Im(φ⊗Id_{F}) = I. D’où: x⊗y−x_{1}⊗y = (x−x_{1})⊗y ∈ I ⇔ \overline{x ⊗ y} = \overline{x_{1} ⊗ y}. De plus, α est clairement bilinéaire, donc se factorise à travers une unique application linéaire g : E” ⊗ F → (E ⊗ F)/I telle que g(x” ⊗ y) = \overline{x ⊗ y}. On a: gf(\overline{x ⊗ y}) = g((ψ ⊗ Id_{F})(x ⊗ y)) = g(ψ(x) ⊗ y) = \overline{x ⊗ y}. D’où gf = Id par linéarité.

Remarque: On a aussi f ∘ g = Id_{E”⊗F} : fg(x” ⊗ y) = f(\overline{x ⊗ y}) = ψ(x) ⊗ y = x” ⊗ y. Donc, en fait, f est un isomorphisme.

Contre-exemple: Si φ : E” → E est injective, il n’est pas vrai, en général, que φ ⊗ Id_{F} le soit encore. En effet, soit φ : ℤ ↪ ℚ où ℚ est considéré comme un ℤ-module et tensorisons sur ℤ par ℤ/nℤ. Alors:

ℤ/nℤ = ℤ ⊗_{ℤ} (ℤ/nℤ) ⟶^{φ⊗id} ℚ ⊗_{ℤ} (ℤ/nℤ) = 0!!

Corollaire 3.2.1 Soit I un idéal d’un anneau A et M un A-module. Alors, il y a un isomorphisme: A/I ⊗_{A} M ⟶ M/IM tel que (\overline{a},x) ↦ \overline{ax}.

Preuve: La suite \xymatrix{0 \ar[r] & I \ar[r]^{α} & A \ar[r] & A/I \ar[r] & 0} est une suite exacte de A-modules. On peut donc lui appliquer le théorème précédent et on obtient une suite exacte:

\xymatrix{I ⊗_{A} M \ar[r]^{α⊗Id} & A ⊗_{A} M \ar[r] \ar[d]_{c}^{≅} & A/I ⊗_{A} M \ar[r] & 0 \\ & M} .

On a c((α⊗Id)(∑ a⊗x)) = ∑ c(((α⊗Id)(a⊗x)) = ∑ c(α(a)⊗x) = ∑ ax pour tous a ∈ A et x ∈ M. Par conséquent, Im(c∘(α⊗Id)) = IM et la suite: \xymatrix{0 \ar[r] & IM \ar[r] & M \ar[r] & A/I ⊗_{A} M \ar[r] & 0} est donc exacte. Autrement dit: M/IM ≅ A/I ⊗_{A} M. On vérifie immédiatement que l’inverse de cette application est bien celle annoncée.

Exercice: Donner une démonstration directe de ce corollaire.

3.3 Produits tensoriels itérés

Proposition 3.3.1 Soient M,N,Q trois A-modules, alors il existe un unique isomorphisme (M ⊗ N) ⊗ Q → M ⊗ (N ⊗ Q) tel que (x ⊗ y) ⊗ z ↦ x ⊗ (y ⊗ z), pour tous x ∈ M,y ∈ N,z ∈ Q.

Preuve: Une fois acquise l’existence, l’unicité provient du fait que les (x ⊗ y) ⊗ z engendrent le produit (M ⊗ N) ⊗ Q.

Existence: pour tout x ∈ M, l’application λ_{x} : N × Q → (M ⊗ N) ⊗ Q définie par (y,z) ↦ (x ⊗ y) ⊗ z est clairement bilinéaire, donc se factorise à travers l’application linéaire \overline{λ}_{x} : N ⊗ Q → (M ⊗ N) ⊗ Q.

L’application M × (N ⊗ Q) → (M ⊗ N) ⊗ Q telle que (x,α) ↦ \overline{λ}_{x}(α) est aussi clairement bilinéaire, donc se factorise à travers une application linéaire M ⊗ (N ⊗ Q) → (M ⊗ N) ⊗ Q.

Le même raisonnement en sens inverse donne l’application inverse.

Cette proposition montre donc l’associativité du produit tensoriel, ainsi nous pouvons écrire maintenant le produit M ⊗N ⊗Q sans parenthèses. De plus, nous pouvons, par récurrence, définir le produit tensoriel d’un nombre quelconque de modules M_{1} ⊗ M_{2} ⊗ ⋯ ⊗ M_{n}.

Ce produit vérifie la propriété universelle suivante: toute application n-linéaire h : M_{1} × M_{2} × ⋯ × M_{n} → N se factorise uniquement à travers l’application n-linéaire canonique M_{1} × M_{2} × ⋯ × M_{n} → M_{1} ⊗ M_{2} ⊗ ⋯ ⊗ M_{n} donnée par (x_{1}, …,x_{n}) ↦ x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{n} et une application linéaire \overline{h} : M_{1} ⊗ M_{2} ⊗ ⋯ ⊗ M_{n} → N. On a donc \overline{h}(x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{n}) = h(x_{1}, …,x_{n}).

3.4 Extension des scalaires

3.4.1 Généralités

Soit f : A → B un homomorphisme d’anneaux et soit M un A-module. Alors B est naturellement muni d’une structure de A-module, par conséquent M ⊗_{A} B est muni d’une structure de Amodule. Cependant, M ⊗_{A} B peut être aussi muni d’une structure de B-module de la manière suivante:

\xymatrix{B × (M ⊗_{A} B) \ar[r] & M ⊗_{A} B} où (b,x ⊗ b′) ↦ x ⊗ bb′.

On vérifie facilement que cette multiplication a les propriétés nécessaires.

Attention Il est faux de croire que, si M est un B-module, M ⊗_{A}B considéré comme A-module est M. En effet: Exemple: Soit ℝ ↪ ℂ. Alors, ℂ est un ℝ-module et ℂ ⊗_{ℝ} ℂ est, comme ℝ-module isomorphe à ℝ^{4}.

Proposition 3.4.1 Si N est un B-module de type fini et si B est de type fini comme A-module, alors, N est de type fini comme A-module.

Preuve: Supposons que N =By_{1} + … +By_{n} et B = Ax_{1} + … + Ax_{m}. Alors N est engendré sur A par les mn produits x_{i}y_{j}.

Proposition 3.4.2 Si M est un A-module de type fini, alors, M ⊗_{A} B est un B-module de type fini.

Preuve: Si x_{1}, …,x_{n} engendrent M sur A, alors les x_{i} ⊗1 engendrent M ⊗_{A} B comme B-module.

Remarque : il existe une application A-linéaire naturelle M → M_{⊗A}B définie par x ↦ x ⊗ 1.

3.4.2 Localisation

Proposition 3.4.3 Soit A un anneau et S une partie multiplicative de A, alors: S^{−1}M ≅ S^{−1}A ⊗_{A} M.

Preuve: Soit φ : S^{−1}A × M → S^{−1}M l’application (a/s,x) ↦ (ax)/s. Elle est clairement Abilinéaire, donc se factorise à travers f : S^{−1}A⊗_{A} M → S^{−1}M. Cette application f est surjective puisque \frac{x}{s} = f(\frac{1}{s} ⊗ x). Cherchons le noyau de f. On a f(\frac{1}{s} ⊗ x) = 0 ⇔ \frac{x}{s} = 0 ⇔ ∃t ∈ S tel que tx = 0. D’où, \frac{1}{s} ⊗ x = \frac{t}{ts} ⊗ x = \frac{1}{ts} ⊗ tx = 0.

Or, tout élément de S^{−1}A ⊗_{A} M est de la forme ∑_{i} \frac{a_{i}}{s_{i}} ⊗ x_{i} = ∑_{i} \frac{a′_{i}}{s} ⊗ x_{i} (quitte à réduire au même dénominateur) = ∑_{i} \frac{1}{s} ⊗ a′_{i}x_{i} = \frac{1}{s} ⊗ ∑ a′_{i}x_{i}, donc est de la forme \frac{1}{s} ⊗ x où x = ∑_{i} a′_{i}x_{i}. Donc, f(∑_{i} \frac{a_{i}}{s_{i}} ⊗x_{i}) = f(\frac{1}{s} ⊗x) = 0 ⇒ ∑_{i} \frac{a_{i}}{s_{i}} ⊗x_{i} = \frac{1}{s} ⊗x = 0 d’où Ker(f) = 0 et f est injective.

Corollaire 3.4.1 Si la suite \xymatrix{0 \ar[r] & M′ \ar[r]^{f} & M \ar[r] & M” \ar[r] & 0} est exacte, alors, pour toute partie multiplicative S de A, la suite

\xymatrix{0 \ar[r] & S^{−1}M′ \ar[r] & S^{−1}M \ar[r] & S^{−1}M” \ar[r] & 0}

est exacte.

Preuve: Toute l’exactitude sauf l’injection à gauche provient du résultat précédent et de l’exactitude (à droite) de ⊗. En ce qui concerne l’injectivité de S^{−1}f : S^{−1}M′ → S^{−1}M, soit x′/s ∈ S^{−1}M′ tel que S^{−1}(x′/s) = 0. Alors, par définition de S^{−1}f, 0 = S^{−1}f(x′/s) = f(x′)/s, d’où ∃t ∈ S tel que tf(x′) = f(tx′) = 0, et, par injectivité de f, tx′ = 0. Mais alors, x′ = \frac{x′}{1} = 0 dans S^{−1}M′.

3.4.3 Algèbres

Définition 3.4.1 Un ensemble B est muni d’une structure de A-algèbre si B est muni d’une loi interne +, d’une multiplication interne · telles que (B,+,·) soit un anneau (commutatif) unitaire et une multiplication externe × par les éléments de A, telle que (B, + ,×) soit un A-module et une compatibilité entre · et × : ∀a ∈ A,b,b′ ∈ B,a × (b · b′) = (a × b) · b′ = b · (a × b′).

Un homomorphisme de A-algèbres f : B → B′ est un homomorphisme de A-modules et d’anneaux.

Proposition 3.4.4 Si B et C sont deux A-algèbres (commutatives), alors B ⊗_{A} C est naturellement muni d’une structure de A-algèbre par (a ⊗ b)(c ⊗ d) = ac ⊗ bd, pour tous a,c ∈ B, b,d ∈ C.

Preuve: B ⊗_{A} C est un A-module et le produit ainsi défini a bien les propriétés requises.

Exemples: - Soit f : A → B un homomorphisme d’anneaux, alors le produit a · b = f(a)b définit sur B une structure de A-module. Mais, cette multiplication vérifie: a(bb′) = f(a)(bb′) = (f(a)b)b′ = (ab)b′ = b(f(a)b′) = b(ab′). B est donc muni ainsi d’une structure de A-algèbre. Cas particulier: A ⊂ B.

- ℤ/nℤ est une ℤ-algèbre, pour tout n. Cela fournit, en particulier, un exemple où A n’est pas inclus dans B.

40 CHAPITRE 3. PRODUIT TENSORIEL

Bibliographie

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[2] M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley Publishing.

[3] R. GODEMENT, Cours d’Algèbre, Herrmann

[4] H. MATSUMURA, Commutative Algebra, Benjamin.

[5] N. BOURBAKI, Algèbre

[6] S. MAC LANE, G. BIRKHOFF, Algèbre 2, les Grands Théorèmes, Gauthier-Villars.

[7] J.P. SERRE, Représentation linéaire des groupes finis.

[8] FULTON, HARRIS, Representations, Springer.

[9] O. ZARISKI, P. SAMUEL, Commutative Algebra, Van Nostrand.

42 BIBLIOGRAPHIE

Table des matières

3 Produit tensoriel 31

3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3 Propriété universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Propriétés du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.2 Relations entre ⊗ et ⊕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.3 Relations entre ⊗ et Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.4 Suites exactes et ⊗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Produits tensoriels itérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Extension des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.2 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.3 Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38