Courbes spectrales et compactifications de jacobiennes.

Daniel Schaub Département de Mathématiques Université d’Angers 2, bd Lavoisier 49045 Angers Cédex.

Abstract. We generalize here a result of A. Beauville, M.S. Narasimhan and S. Ramanan about spectral curves and use it to realize a compactification of the generalized jacobian of a singular spectral curve as a fiber of the morphism of Hitchin.

Introduction.

En 1989, A. Beauville, M.S. Narasimhan et S. Ramanan ont montré que pour une courbe spectrale ϕ : X → Y, lorsque X est intègre, il y a une correspondance biunivoque entre les classes d’isomorphismes de faisceaux sans torsion de rang un, M, sur X et les classes d’isomorphismes de paires (E, u) où E est un faisceau localement libre sur Y de rang égal au degré de ϕ, L le faisceau inversible sur Y associé à la courbe spectrale et u : E → E ⊗ L un homomorphisme dont le polynôme caractéristique définit X.

Dans [6], N. Nitsure prouve qu’il existe un espace de modules grossier M(r, d, L) pour les couples (E, u) sur Y, semi-stables et que, de plus, le morphisme de Hitchin H : M(r, d, L) → ⊕_{i=0}^{r}H^{0}(Y, L^{⊗i}) est propre.

Nous prouvons ici essentiellement les deux résultats suivants : Théorème Pour toute courbe spectrale X → Y, la correspondance M → (E, u) est bijective. Théorème La fibre H^{−1}(P), où P ∈ ⊕_{i=0}^{r}H^{0}(Y, L^{⊗i}) définit X, réalise une compactification (au sens de [7]) de la jacobienne généralisée de X.

La première partie est consacrée à la définition et à l’énoncé de quelques propriétés des faisceaux sans torsion sur une courbe et la deuxième à la définition de courbe spectrale et au théorème de correspondance. Dans le troisième paragraphe, on établit un critère de stabilité, puis on compare dans le quatrième avec les notions de stabilité au sens de Seshadri-Oda pour des courbes spectrales à points doubles ordinaires. Enfin, dans le dernier, on montre essentiellement que Pic^{0}(X) est un ouvert d’une fibre H^{−1}(P).

Je tiens à remercier A. Beauville pour m’avoir introduit au sujet et J. Alexander pour les nombreuses discussions dont il m’a fait bénéficier.

1 Faisceaux sans torsion.

Soit X un k-schéma, A une k-algèbre. Suivant EGA I.8.1, on note R(X) l’anneau des fonctions rationnelles sur X, R(A) l’anneau total des fractions de A, qui n’est autre que R(X) lorsque X = Spec(A). On notera enfin R(X) le faisceau des fonctions rationnelles sur X, qui, par définition, est la O_{X}-algèbre associée au préfaisceau défini par: si U est un ouvert de X, R(X)(U) = R(U).

Supposons X, quasi-projectif, sans composante immergée et désignons par X_{1}, …, X_{n} les composantes irréductibles de X, et par x_{1}, …, x_{n} les points génériques de ces composantes. Alors, R(X) est quasi-cohérent et, pour tout ouvert U de X,

R(U) = Γ(U, R(X)) = ∏_{{i t.q. X_{i}∩U≠∅}} O_{x_{i}}.

Soit encore h_{i} : X_{i} → X l’injection canonique, alors

R(X) = ∏_{i=1,...,n}(h_{i})_{∗}(R(X_{i})).

On notera plus simplement R(X) = ∏_{i=1,...,n} R(X_{i}).

Etant donné un O_{X}-module E, l’homomorphisme canonique O_{X} → R(X) induit un homomorphisme E → E ⊗_{O_{X}} R(X).

Définition 1.1 Le noyau de cet homomorphisme, noté T or(E), est un sous-O_{X}-module de E appelé sous-faisceau de torsion de E. Si T or(E) = 0, autrement dit, si le morphisme canonique E → E ⊗ R(X) est injectif, E est dit sans torsion.

Exemples: 1) Tout O_{X}-module localement libre de rang fini est un O_{X}- module sans torsion et un O_{X_{i}}-module sans torsion.

2) Tout O_{X}-module localement libre est sans torsion.

3) Si X est une courbe lisse, tout O_{X}-module sans torsion est localement libre.

4) Tout sous-module d’un sans torsion est sans torsion.

5) Si X est réduit, ω_{X} est sans torsion [1].

Remarque: Si X est intègre, R(X) = K(X) est le corps des fonctions rationnelles sur X et la définition précédente signifie que E est sans torsion si et seulement si E → E ⊗ K(X) est injectif. On retrouve donc la notion habituelle de O_{X}-module sans torsion.

Nous noterons encore : E_{i} l’image de E par la composée des homomorphismes suivants :

E → E ⊗_{O_{X}} O_{X_{i}} → E ⊗_{O_{X}} O_{X_{i}} ⊗_{O_{X_{i}}} R(X_{i}).

E_{i} est évidemment ainsi un O_{X_{i}}-module sans torsion.

Proposition 1.1 Soit X une courbe sans point immergé. Un O_{X}-module E est sans torsion si et seulement si le morphisme canonique E → ∏ E_{i} est injectif.

Preuve: E étant sans torsion, le morphisme canonique E → E ⊗ R(X) est injectif. Mais,

E ⊗ R(X) = E ⊗ ∏_{i=1}^{s} R(X_{i}) = ∏_{i=1}^{s} E ⊗ R(X_{i}).

Or, précisément, les images de E dans E ⊗ R(X_{i}) sont les E_{i}.

La réciproque est immédiate puisque ∏_{i=1}^{s} E_{i} est un sous-module de E ⊗ R(X).

Enonçons quelques propriétés immédiates des modules sans torsion :

Proposition 1.2 (i) Tout R(X)-module (resp. R(X_{i})-module) est un O_{X}- module (resp. O_{X_{i}}-module) sans torsion. (ii) Un O_{X}-module E est de torsion (ie. T or(E) = E) si et seulement si E ⊗ R(X) = 0. (iii) Si E et F sont deux O_{X}-module cohérents, alors :

a) Si E ou F est de torsion, Hom_{O_{X}} (E, F) est de torsion.

b) Si F est sans torsion, Hom_{O_{X}} (E, F) est sans torsion. En particulier, le dual E^{∨} = Hom_{O_{X}} (E, O_{X}) est sans torsion.

c) Le foncteur défini par F (E) = E ⊗ R(X) est exact. De plus, il est fidèle sur les O_{X}-modules sans torsion.

d) Si E est de torsion et F sans torsion, alors Hom_{O_{X}} (E, F) = 0. (iv) Si X est réduit, le morphisme naturel E → E^{∨∨} est injectif.

(v) Pour tout O_{X}-module sans torsion G, le morphisme naturel

Hom_{O_{X}} (F_{i}, G) →^{m} (Hom_{O_{X}} (F, G))_{i}

est injectif.

Preuve : (i) Pour un R(X)-module, on a E ⊗_{O_{X}} R(X) ≅ E et de même, si E est un R(X_{i})-module, on a E ⊗ R(X_{i}) ≅ E. (ii) Supposons E = T or(E), c’est-à-dire, l’image par E → E ⊗ R(X) de E est 0. Or E ⊗ R(X) est engendré par cette image comme R(X)-module, on a E ⊗ R(X) = 0. La réciproque est évidente. (iii) a) On a, par platitude de R(X) sur O_{X}, et parce que E est cohérent,

Hom_{O_{X}} (E, F) ⊗ R(X) = Hom_{R(X)}(E ⊗ R(X), F ⊗ R(X)).

D’où le résultat. b) Si F est sans torsion, alors le diagramme commutatif

E  →  F
↓  ↓
E ⊗ R(X) → F ⊗ R(X)

prouve que Hom_{O_{X}} (E, F) ↪ Hom_{O_{X}} (E, F)⊗R(X), donc que Hom_{O_{X}} (E, F) est sans torsion. Cela prouve aussi clairement d).

En ce qui concerne c), la fidélité est prouvée par b), l’exactitude se vérifie localement et tensoriser par R(X) revient alors à une localisation en les points génériques. (iv) D’après (iii) b), E sans torsion implique que E^{∨∨} est aussi sans torsion. On a, par conséquent, le diagramme commutatif suivant:

E  →  E^{∨∨}
↓  ↓
E ⊗ R(X) → E^{∨∨} ⊗ R(X)

où les flèches verticales sont des injections et la flèche horizontale du bas un isomorphisme.

(v) (Hom_{O_{X}} (F, G))_{i} est, par définition, l’image de :

Hom_{O_{X}} (F, G) → Hom_{O_{X}} (F, G) ⊗ R(X_{i}).

Mais, ce morphisme n’est autre que

Hom_{O_{X}} (F, G) ↪ Hom_{O_{X}} (F_{i}, G) ⊗ R(X).

Comme Hom_{O_{X}} (F_{i}, G) ⊗ R(X) = ∏_{j} Hom_{O_{X}} (F_{i}, G) ⊗ R(X_{j})

= ∏_{j} Hom_{R(X_{j})}(F_{i} ⊗ R(X_{j}), G ⊗ R(X_{j}))

et que F_{i} ⊗ R(X_{j}) = 0 si i ≠ j et F_{i} ⊗ R(X_{i}) = F ⊗ R(X_{i}) sinon, on a Hom_{O_{X}} (F_{i}, G) ⊗ R(X) = Hom_{O_{X}} (F, G) ⊗ R(X_{i}) et le résultat.

Définition 1.2 Soit X un k-schéma projectif sans composante immergée, de composantes irréductibles X_{1}, …, X_{s} et F un O_{X}-module sans torsion. On dit que F est de rang r sur X si, en tous les points génériques x_{i} de X, on a:

lg(F_{x_{i}}) = r lg(O_{X,x_{i}}).

Remarques: 1) Cette définition appliquée au cas d’un faisceau localement libre sur X coïncide bien avec la notion de rang habituelle.

2) De même, cette définition coïncide bien avec la notion habituelle de rang lorsque X est intègre.

3) On peut définir (cf. [8]) une notion de ”rang multiple”, à savoir: F est de rang (r_{1}, …, r_{s}) si, pour tout i, lg(F_{x_{i}}) = r_{i} lg(O_{X,x_{i}}).

Proposition 1.3 Soit X un k-schéma réduit et F un O_{X}-module sans torsion de rang 1. Alors, il existe un entier m > 0 tel que F(−m) s’injecte dans O_{X} avec un conoyau de torsion.

Preuve : Notant (F_{i})^{∨} = Hom_{O_{X}} (F_{i}, O_{X}), le morphisme:

λ : (F_{1})^{∨} × ⋯ × (F_{s})^{∨} → (F^{∨})_{1} × ⋯ × (F^{∨})_{s}

se factorise naturellement par

μ : (F_{1})^{∨} × ⋯ × (F_{s})^{∨} → F^{∨}

et

ν : F^{∨} → (F^{∨})_{1} × ⋯ × (F^{∨})_{s}.

Or, d’après la proposition 1.2(v), λ est injectif et, si F, donc F^{∨}, est un O_{X}-module sans torsion, ν est injectif, donc finalement, μ est injectif.

Appliquant le théorème de Serre aux (F_{i})^{∨}, on trouve qu’il existe m > 0 tel que (F_{1})^{∨}(m)×⋯×(F_{s})^{∨}(m) admet une section globale qui ne s’annule sur aucun X_{i}, ce qui correspond à un morphisme:

O_{X} → (F_{1})^{∨}(m) × ⋯ × (F_{s})^{∨}(m).

D’où le diagramme commutatif:

0  0
↓  ↓
O_{X} → (F_{1})^{∨}(m) × ⋯ × (F_{s})^{∨}(m) → T → 0
↓≅  ↓ λ_{m}  ↓
O_{X} →  F^{∨}(m)  → T′ → 0
↓  ↓
M  → M_{1} → 0
↓  ↓
0  0

où M, M_{1}, T, T′ sont les conoyaux respectifs.

T est un module de torsion, puisque, en tensorisant la première ligne par O_{x_{i}}, on trouve la suite exacte:

O_{x_{i}} → ((F_{1})^{∨}(m))_{x_{i}} × ⋯ × ((F_{s})^{∨}(m))_{x_{i}} → T_{x_{i}} → 0

où O_{x_{i}} est un corps et ((F_{j})^{∨}(m))_{x_{i}} = 0 pour tout j ≠ i, tandis que ((F_{i})^{∨}(m))_{x_{i}} est un espace vectoriel sur O_{x_{i}} de dimension 1. D’où l’on déduit : T_{x_{i}} = 0, ∀i = 1, …, s.

Par ailleurs, en tout point générique x_{i}, λ_{m} est un isomorphisme, d’où M est de torsion et donc, a fortiori, M_{1}. Conséquence: T′ est de torsion.

Tensorisant alors la deuxième suite exacte horizontale par O_{X}(−m), on obtient:

O_{X}(−m) → F^{∨} → T′ → 0.

Passant aux duaux, on obtient alors:

\begin{aligned}0 & → & Hom(T′, O_{X}) & → & Hom(F^{∨}, O_{X}) & →^{α} & Hom(O_{X}(−m), O_{X}) \\ & & ↓≅ & & ↓≅ & & ↓≅ \\ & & 0 & & F^{∨∨} & & O_{X}(m) \end{aligned} .

Or d’après la proposition 1.2(iv), le morphisme F → F^{∨∨} est injectif, d’où, par composition avec α, une injection F → O_{X}(m) et le résultat.

Définition 1.3 Soit E un faisceau sans torsion de rang r sur une courbe X sans point immergé . Le degré de E est défini par:

deg(E) = χ(E) − r χ(O_{X})

où χ(E) désigne la caractéristique d’Euler-Poincaré de E.

Remarques: 1) Si X est une courbe réduite, le faisceau canonique ω_{X} est sans torsion de rang 1 ([1]) et son degré est alors deg(ω_{X}) = χ(ω_{X}) − χ(O_{X}) = 2p_{a}(X) − 2 où p_{a}(X) désigne le genre arithmétique de X.

2) Si I est un faisceau d’idéaux de O_{X}, alors I est sans torsion. Si, de plus, on suppose I de rang 1, alors deg(I) = χ(I) − χ(O_{X}) = −χ(O_{X}/I). D’où: deg(I) = −l(O_{X}/I). Dès lors, on peut définir pour un sous-schéma fermé Y de X, de dimension 0, le degré de Y: deg(Y) = χ(O_{Y}) = − deg(I_{Y}).

Théorème 1.1 Soit X une courbe réduite, E un O_{X}-module sans torsion de rang 1, L un O_{X}-module inversible. Alors :

deg(E ⊗ L) = deg(E) + deg(L).

Nous allons d’abord démontrer le résultat plus faibel suivant :

Proposition 1.4 Soit E un O_{X}-module sans torsion de rang 1 sur une courbe réduite X. Alors, pour tout entier m, on a:

deg(E(m)) = deg(E) + m deg(O_{X}(1)).

Preuve: La démonstration de [3] faite dans le cas intègre s’étend entièrement au cas considéré. En effet, d’après 1.3, il existe un m_{0} tel que la suite 0 → E(−m_{0}) → O_{X} → T → 0 soit exacte et T de torsion. Soit m un entier et tensorisons cette suite par O_{X}(m). On obtient la suite exacte: 0 → E(m − m_{0}) → O_{X}(m) → T → 0. L’additivité de la caractéristique d’Euler-Poincaré implique alors que : χ(E(m − m_{0})) = χ(O_{X}(m)) − χ(T ).

Faisant m = m_{0} dans cette formule, on obtient χ(T ) = χ(O_{X}(m_{0})) − χ(E) = m_{0} deg(O_{X}(1)) + χ(O_{X}) − χ(E) = m_{0} deg(O_{X}(1)) − deg(E); d’où en remplaçant dans la formule ci-dessus : χ(E(m − m_{0})) = m deg(O_{X}(1)) + χ(O_{X}) + deg(E) − m_{0}deg(O_{X}(1)), d’où deg(E(m − m_{0})) = deg(E) + (m − m_{0}) deg(O_{X}(1)); ceci pour tout m, d’où le résultat. Preuve du théorème : Etant donné un faisceau L sur une courbe sans point immergé X, il existe un entier m tel que L(m) est très ample. Il suffit, en effet, pour cela que le degré de L(m) sur chaque composante irréductible de X soit suffisamment grand ([5] p.80 et [4]).

Pour un tel m, L(m) est donc un O_{X}(1). On peut donc lui appliquer la proposition précédente de la manière suivante :

deg(E(−m) ⊗ L(m)) = deg(E(−m)) + deg(L(m)).

Finalement, deg(E ⊗L) = deg(E ⊗O_{X}(−m)⊗L⊗O_{X}(m)) = deg(E(−m)⊗ L(m)) = deg(E(−m)) + deg(L(m)) = deg(E) − m deg(O_{X}(1)) + deg(L) + m deg(O_{X}(1)) = deg(E) + deg(L).

2 La construction de Hitchin.

Soit C une courbe lisse, L un O_{C}-module inversible. On considère sur C un couple (E, u) où E est un O_{C}-module localement libre de rang r et de degré d et u : E → E ⊗ L un morphisme de O_{C}-modules.

Définition 2.1 Un tel couple (E, u) est dit semi-stable (respect. stable) si, pour tout sous-O_{C}-module F de E , invariant sous u , on a:

\frac{degF}{rgF} ≤ \frac{degE}{rgE} (respect. <).

N. Nitsure [6] a montré l’existence d’un espace de modules grossier M(r, d, L) pour les paires semi-stables (E, u) où E est de rang r et degré d sur C.

Considérons alors le morphisme h : M(r, d, L) → V_{r} = ∏_{i=1}^{i=r} H^{0}(C, L^{⊗i}) défini de la manière suivante: au couple (E, u), on associe les coefficients a_{i}(E, u) du polynôme caractéristique de u donnés par:

a_{i}(E, u) = (−1)^{i}T r(Λ^{i}u) ∈ H^{0}(C, L^{⊗i})

et on pose h(E, u) = (a_{1}(E, u), …, a_{n}(E, u)).

Tout élément a = (a_{1}, …, a_{n}) de V_{r} définit une courbe algébrique C^{a} = Spec(Sym)(L^{−1})/I où I est l’idéal de Sym(L^{−1}) engendré par L^{−1}(1 + a_{1} + ⋯ + a_{n}). Remarque: En fait V_{r} = H^{0}(C, S^{r}(O ⊕ L)) = Hom_{O_{C}}(O_{C}, S^{r}(O ⊕ L)). Par conséquent, se donner P ∈ V_{r} revient à se donner un morphisme P : O_{C} → S^{r}(O ⊕ L), d’où un morphisme:

P : L^{−r} → L^{−r} ⊗ S^{r}(O ⊕ L) ↪ Sym(L^{−1}).

Alors I est engendré par l’image de ce morphisme P.

Définition 2.2 Dans la situation précédente, nous dirons que C^{a} est une courbe spectrale sur C.

Losque C^{a} est lisse, A. Beauville, M.S. Narasimhan et S. Ramanan [2] ont montré que la fibre h^{−1}(a) s’identifie à la jacobienne J^{δ}(C^{a}) de C^{a}, où δ = d + \frac{1}{2} deg R(π^{a}) et R(π^{a}) désigne le diviseur de ramification.

On se propose ici de caractériser cette fibre h^{−1}(a) en toute généralité: Dans la suite, nous désignerons par Γ la courbe C^{a} lorsque aucune con-

fusion n’est possible.

Proposition 2.1 Il y a une correspondance biunivoque entre les (classes d’isomorphismes de) couples (E, u) de polynôme caractéristique donné sur C et les (classes d’isomorphismes de) O_{Γ} -modules sans torsion de rang 1 .

Preuve: La situation est caractérisée par le diagramme commutatif suivant où x_{0} désigne le point générique de C et Γ_{0} la fibre au-dessus de x_{0}:

\begin{aligned}Γ_{0} & → & Γ & → & Spec(Sym(L^{−1})) \\ ↓ & & ↓ & ↙ \\ \{x_{0}\} & → & C \end{aligned} .

Un O_{C}-module localement libre de rang r, muni d’un homomorphisme u : E → E⊗L, de polynôme caractéristique donné P, réalisant le plongement de Γ dans Spec(Sym(L^{−1})) est naturellement muni d’une structure de O_{Γ}- module. En effet:

Hom_{O_{C}}(E, E ⊗ L)) ≅ Hom_{O_{C}}(L^{−1}, E ⊗ E^{∗})) ≅ Hom_{O_{C}}(L^{−1}, Hom(E, E)).

Par conséquent, u s’identifie naturellement avec un homomorphisme u : L^{−1} → Hom(E, E) et la structure de O_{Γ}-module . Celle-ci est entièrement déterminée par u. De plus, si (E, u) ≅ (F, v), clairement, les deux O_{Γ}-modules E et F sont isomorphes.

Nous avons besoin du lemme suivant pour achever la démonstration:

Lemme 2.1 Soit ϕ : X → Y, Y intègre, un morphisme fini tel que toute composante irréductible de X domine Y, alors R(X) ≅ R(Y) ⊗_{O_{Y}} O_{X}.

La question étant locale (EGA I), le lemme n’est alors qu’une paraphrase de la proposition 8 de Bourbaki, Algèbre Commutative II,2,3.

Suite de la preuve: E étant sans torsion sur C, le morphisme naturel α : E → E ⊗_{O_{C}} R(C) est injectif, mais d’après le lemme précédent, R(Γ) ≅ R(C)⊗_{O_{C}} O_{Γ}; par conséquent, le morphisme α n’est autre que le morphisme naturel E → E ⊗_{O_{Γ}} R(Γ). Donc, E est un O_{Γ}-module sans torsion.

Le même raisonnement prouve à l’inverse que si E est un O_{Γ}-module sans torsion, alors E est un O_{C}-module sans torsion et donc localement libre. D’un autre côté, E étant un O_{Γ}-module, on a une application naturelle O_{Γ} → End_{O_{Γ}}(E), d’où un morphisme u : L^{−1} → End_{O_{Γ}}(E). Ici encore, si E ≅ F, comme O_{Γ}-modules, alors, (E, u) ≅ (F, v).

De plus, les deux correspondances sont clairement inverses l’une de l’autre.

En ce qui concerne les rangs, on a: rg_{C}(E) = lg_{O_{x_{0}}} (E_{x_{0}}). D’autre part, si Γ_{1}, …, Γ_{m} sont les composantes irréductibles de Γ, y_{1}, …, y_{m} leurs points génériques, et π_{i} la composée des applications naturelles Γ_{i} ↪ Γ → C, posons, pour tout i, d_{i} = deg(π_{i}).

On a bien sûr π(y_{i}) = x_{0} pour tout i et d_{i} = lg_{O_{y_{i}}} (O_{y_{i}}). Si E est alors un O_{C}-module de rang r, on peut écrire :

rg_{C}(E) = deg(π) = ∑_{i=1}^{m} d_{i} = ∑_{i=1}^{m} lg_{O_{y_{i}}} (O_{y_{i}})

et rg_{C}(E) = lg_{O_{x_{0}}} (E_{x_{0}}) = ∑_{i=1}^{m} lg_{O_{y_{i}}} (E_{y_{i}})

car E_{x_{0}} = ∏_{i=1}^{m} E_{y_{i}}. Et, puisque E_{y_{i}} est sans torsion, lg_{O_{y_{i}}} (E_{y_{i}}) ≤ lg_{O_{y_{i}}} (O_{y_{i}}) pour tout i. D’où, l’égalité pour tout i, autrement dit rg_{Γ}(E) = 1.

Inversement, si E est un O_{Γ}-module sans torsion de rang 1, on a :

rg_{C}(E) = lg_{O_{x_{0}}} (E_{x_{0}}) = ∑_{i=1}^{m} lg_{O_{y_{i}}} (E_{y_{i}}) = ∑_{i=1}^{m} lg_{O_{y_{i}}} (O_{y_{i}})

= ∑_{i=1}^{m} d_{i} = deg(π) = r.

3 Stabilité et semi-stabilité.

Considérons une courbe spectrale X sur Y, définie comme ci-dessus à l’aide d’un O_{Y} -module inversible L.

Lemme 3.1 Le couple (E, u) est semi-stable (resp. stable) si et seulement si, pour tout quotient localement libre G de E tel que ker(E → G) soit u-invariant, on a :

\frac{deg(G)}{rg(G)} ≥ \frac{deg(E)}{rg(E)} (resp. > ).

Preuve : Soit G un quotient localement libre de E et notonsF le noyau de la surjection E → G. On a donc la suite exacte 0 → F → E → G → 0. d’où l’on déduit :

\frac{deg(G)}{rg(G)} = \frac{deg(E) − deg(F)}{rg(E) − rg(F)}

= \frac{deg(E)}{rg(E)} (\frac{rg(E)}{rg(E) − rg(F)}) − \frac{deg(F)}{rg(F)} (\frac{rg(F)}{rg(E) − rg(F)}) .

Mais, par hypothèse, F est u-invariant et (E, u) est semi-stable, donc :

\frac{deg(F)}{rg(F)} ≤ \frac{deg(E)}{rg(E)}.

Par conséquent, en utilisant l’égalité précédente :

\frac{deg(G)}{rg(G)} ≥ \frac{deg(E)}{rg(E)} (\frac{rg(E)}{rg(E) − rg(F)} − \frac{rg(F)}{rg(E) − rg(F)}) .

D’où le résultat puisque la parenthèse vaut 1.

Réciproquement, soit F un sous-module de E, invariant sous u, et considérons G le quotient de E par F. Alors, G_{t} = G/T or(G) est localement libre sur Y (car Y est lisse) et F_{t} = ker(E → G_{t}) est u-invariant. En effet, le diagramme :

0 → F  → E → G → 0
↓ u ↓ v ↓
0 → F ⊗ L → E ⊗ L → G ⊗ L → 0

induit un diagramme commutatif

0 → F_{t} → E  →^{ϕ} G_{t} → 0
↓  u ↓  v̄ ↓
0 → F_{t} ⊗ L → E ⊗ L →^{ϕ⊗1} G ⊗ L → 0

où v̄ est naturellement induite par v.

Et, (ϕ ⊗ 1)(u(F_{t})) = v̄(ϕ(F_{t})) = 0, d’où u(F_{t}) ⊆ ker(ϕ ⊗ 1) = F_{t} ⊗ L.

Par hypothèse,

\frac{deg(G_{t})}{rg(G_{t})} ≥ \frac{deg(E)}{rg(E)}

et la suite exacte 0 → T or(G) → G → G_{t} → 0 montre que :

\frac{deg(G)}{rg(G)} = \frac{deg(G_{t}) + lg(T or(G))}{rg(G)} ≥ \frac{deg(G_{t})}{rg(G_{t})}

(rg(G) = rg(G_{t})), d’où :

\frac{deg(G)}{rg(G)} ≥ \frac{deg(E)}{rg(E)}.

Un raisonnement analogue à celui de la partie directe montre alors que :

\frac{deg(F)}{rg(F)} ≤ \frac{deg(E)}{rg(E)}.

Théorème 3.1 Soit f : X → Y une courbe spectrale et L le O_{Y} -module inversible associé. Un O_{X}-module E, sans torsion de rang 1, correspond à un couple (f_{∗}E, u) semi-stable (resp. stable) si et seulement si, pour tout sous-schéma fermé Z de X, de pure dimension 1, on a :

\frac{deg_{Z}(E_{Z})}{r_{z}} + \frac{1}{2}(r − r_{Z}) deg(L) ≥ \frac{deg_{X}(E)}{r} ( resp. > )  (1)

où E_{Z} = \frac{E⊗O_{Z}}{T or(E⊗O_{Z})}, r_{Z} = rg(f_{∗}O_{Z}) et r = rg(f_{∗}E).

Preuve : Soit E un O_{X}-module vérifiant (1) pour tout Z sous-schéma de X de pure dimension 1. Soit alors G un O_{Y} -module localement libre quotient de E = f_{∗}E, tel que F = ker(f_{∗} → G) soit invariant sous u.

On a alors le diagramme commutatif suivant :

0 → F  → E → G → 0
u |_{F} ↓ u ↓ v ↓
0 → F ⊗ L → E ⊗ L → G ⊗ L → 0

où v désigne le ”pseudo-endomorphisme” de G induit par u.

Lemme 3.2 Dans la situation décrite par le diagramme précédent, le polynôme caractéristique χ_{u} : O_{Y} → ⊕L^{k} de u s’identifie à la composée

χ_{u_{|_{F}}} ⊗ χ_{v} : O_{Y} → (⊕L^{k}) ⊗ (⊕L^{k}) → ⊕L^{k}.

Preuve : Notons S = Spec(Sym(L^{−1})). Soit j la section canonique O_{S} → O_{S} ⊗ L et ū = id_{O_{S}} ⊗ u : O_{S} ⊗ E → O_{S} ⊗ E ⊗ L l’extension de u à S. Le polynôme caractéristique de u n’est alors autre que le déterminant de ū − j. Le diagramme exact ci-dessus s’étend alors au-dessus de S, d’où l’on déduit que det(ū−j) : O_{S} → O_{S}⊗L^{r} et det(v̄−j)⊗det(ū |_{F}) : O_{S} → L^{m}⊗L^{n} → L^{r}, où m = rg(F) et n = rg(G) coïncident.

On en conclut que les morphismes de O_{Y} -modules :

det(ū − j) : O_{Y} → f_{∗}O_{S} → f_{∗}O_{S} ⊗ L^{r}
det(v̄ − j) ⊗ det(ū |_{F}) : O_{Y} → f_{∗}O_{S} → f_{∗}O_{S} ⊗ L^{r}

coïncident. Suite de la preuve du théorème : On déduit du lemme que les faisceaux d’idéaux de O_{S} engendrés par les images des polynômes caractéristiques χ_{u}, χ_{v} et χ_{u|F}, soient I_{u}, I_{v} et I_{u|F} vérifient : I_{u} = I_{v} × I_{u|F}.

Ces trois faisceaux d’idéaux définissent alors trois sous-schémas fermés de S : I_{u} définissant X et I_{v} un sous-schéma que l’on notera X_{G}. Comme I_{u} ⊆ I_{v}, X_{G} est un sous-schéma de X. De plus, du fait que S est lisse (donc localement factoriel) et que I_{u} = I_{v} × I_{u|F}, on déduit que X_{G} est de pure dimension 1.

La proposition 2.1 affirme que G a une structure naturelle de O_{X_{G}}- module sans torsion de rang 1, notons-le G.

La surjection E → G (sur Y) induit une surjection E → G, d’où aussi E ⊗ O_{X_{G}} → G. Et, puisque G est sans torsion, T or(E ⊗ O_{X_{G}}) s’envoie sur 0 par cette surjection. D’où une surjection :

ψ : \frac{E ⊗ O_{X_{G}}}{T or(E ⊗ O_{X_{G}})} → G.

D’autre part, E étant sans torsion de rang 1, E ⊗ T or(E ⊗ O_{X_{G}}) modulo torsion est aussi de rang 1 (sur X_{G}). Par conséquent, ψ est un isomorphisme, c’est-à-dire :

\frac{deg_{X_{G}}(E_{X_{G}})}{rg_{Y} (f_{∗}E_{X_{G}}} + \frac{rg_{y}(f_{∗}E) − rg_{y}(f_{∗}E_{X_{G}}}{2} deg(L) ≥ \frac{deg_{X}(E)}{rg_{Y} (f_{∗}E)}

ce qui équivaut à

\frac{deg_{Y} (f_{∗}E_{X_{G}})}{rg_{Y} (f_{∗}E_{X_{G}})} ≥ \frac{deg(f_{∗}E}{rg_{Y} E}

ou encore, compte tenu de E_{X_{G}} ≅ G :

\frac{deg(G)}{rg(G)} ≥ \frac{deg(E)}{rg(E)}.

Etudions à présent la réciproque. Soit donc E un O_{X}-module sans torson de rang 1 tel que (f_{∗}E, u) soit (semi-)stable. Soit Z ⊆ X un sous-schéma fermé, de pure dimension 1. En tensorisant la surjection canonique O_{X} → O_{Z} par E, on en déduit la surjection E → E ⊗ O_{Z} et, a fortiori, E → E_{Z} = (E ⊗ O_{Z})/T or(E ⊗ O_{Z})).

E_{Z} étant sans torsion de rang 1 sur Z, la proposition 2.1 montre que f_{∗}E_{Z} est un O_{X}-module localement libre de rang égal au degré de f |_{Z}: Z → Y et ”invariant sous u” (ie. le noyau F de f_{∗}E → f_{∗}E_{Z} est invariant sous u.

Autrement dit, f_{∗}E_{Z} est un quotient localement libre de E = f_{∗}E, ”invariant sous u”. Or, par hypothèse, (f_{∗}E, u) est (semi-)stable, d’où :

\frac{deg(f_{∗}E_{Z})}{rg(f_{∗}E_{Z})} ≥ \frac{deg(E)}{rg(E)}

ce qui équivaut à (1).

4 Relation avec les compactifications de Seshadri-Oda.

Rappelons brièvement comment C.S. Seshadri et T. Oda construisent des compactifications de jacobiennes généralisées de courbes ayant uniquement des points doubles ordinaires (cf. [7]).

Soit donc X une courbe projective n’admettant que des points doubles ordinaires. Notons X_{i}, i ∈ I = {i, …, n} les composantes irréductibles (réduites) de X et notons Q_{j}, j ∈ J = {1, …, n} ses points doubles. On peut alors associer à X un graphe Γ dont les sommets v_{i} sont indicés par les points de I et les chemins e_{j} par les points de J de telle sorte que : e_{j} est un chemin joignant v_{s} à v_{t} si Q_{j} est un point d’intersection de X_{s} et X_{t} et une boucle de sommet v_{i} si Q_{j} est un point singulier de X_{i}. On choisit une orientation de Γ.

On construit alors un complexe de chaînes C_{•}(Γ, Z) où C_{0}(Γ, Z) = ⊕_{i∈I}Z · v_{i}, C_{1}(Γ, Z) = ⊕_{j∈J}Z · e_{j} sont les Z-modules libres de bases (v_{i})_{i∈I} et (e_{j})_{j∈J} respectivement et de dérivation ∂ : C_{•}(Γ, Z) → C_{0}(Γ, Z) définie par : ∂e_{j} = 0 si e_{j} est une boucle et ∂e_{j} = v_{i} − v_{j} si e_{j} joint v_{i} à v_{j}.

On a bien entendu aussi des applications bilinéaires naturelles [ , ] sur C_{0}(Γ, Z) et ( , ) sur C_{1}(Γ, Z) définies par : [v_{i}, v′_{i}] = δ_{ii′}, (e_{j}, e′_{j}) = δ_{jj′}.

On peut, via ces applications bilinéaires, identifier le complexe de cochaînes C^{•}(Γ, Z) avec le complexe C_{•}(Γ, Z). La dérivation étant alors δ : C^{0}(Γ, Z) → C^{1}(Γ, Z) définie par :

δv_{i} = ∑_{j∈J}[v_{i}, ∂e_{j}]e_{j}.

Par conséquent, δ et ∂ sont adjoints ie. (δx, y) = [x, ∂y] pour x ∈ C_{0}(Γ, Z) et y ∈ C_{1}(Γ, Z).

Notations : Pour un sous-ensemble I′ de I, on notera v(I′) l’élément de C_{0}(Γ, Z) défini par v(I′) = ∑_{i∈I′} v_{i}. De même, pour un sous-ensemble J′ de J, on notera e(J′) l’élément de C_{1}(Γ, Z) défini par e(J′) = ∑_{j∈J′} e_{j}.

On appellera encore, pour un sous-ensemble J′ de J, degré du sousgraphe {I, J′}, l’élément de C_{0}(Γ, Z) défini par :

d(J′) = ∑_{i∈I} d(J′)_{i}v_{i}

où d(J′)_{i} est le nombre de chemins de J′ dont i est une extrémité, les boucles comptant deux fois.

Deux propriétés nous seront encore utiles :

a) Pour J′ ⊆ J, on a : [v(I), d(J′)] = 2 | J′ |.

b) Pour I′ ⊆ I et J′ ⊆ J, le nombre de chemins de J′ ayant une extrémité dans I′ et l’autre dans I − I′ est (δ′_{J}v(I′), δ′_{J}v(I′)).

On peut aussi considérer la normalisée X̃ de X et, si σ : X̃ → X désigne le morphisme canonique, on note L(F) = σ^{∗}(F)/T or_{OX̃} (σ^{∗}(F)) l’élément de Pic(X̃) associé à F.

On notera encore J(F) = {j ∈ J | F est localement libre en Q_{j}}.

La proposition centrale en ce qui nous concerne est la suivante :

Proposition 4.1 (Seshadri-Oda) Soit ϕ ∈ ∂C_{1}(Γ, Z). Alors un faisceau F sans torsion de rang 1 sur X est ϕ-semi-stable (respt. ϕ-stable) si et seulement si, pour tout sous-ensemble I′ ⊆ I, on a :

[deg(L(F)) + \frac{d(J − J(F))}{2} − ϕ, v(I′′)] ≤ \frac{(δ_{J(F)}v(I′′), δ_{J(F)}v(I′′))}{2}

où I′′ = I − I′, (respt. ¡).

Ces brefs rappels nous permettent de comparer les compactifications de Seshadri-Oda avec les fibres du morphisme de Hitchin, H : M(r, d, L) → ⊕H^{0}(L^{k}) (cf. [6]), dans le cas de courbes spectrales à points doubles ordinaires. Plus précisément, on a la proposition suivante :

Proposition 4.2 Soit f : X → Y une courbe spectrale, L et P ∈ ⊕H^{0}(L^{k}) le faisceau inversible sur Y et le polynôme caractéristique associés. Supposons que X n’a que des points doubles ordinaires. Alors la fibre H^{−1}(P) coïncide avec la compactification de Seshadri-Oda de Pic^{0}(X) obtenue pour ϕ = 0.

Preuve : Il s’agit de comparer les notions de stabilité pour un faisceau F sans torsion de rang 1 sur X, de degré 0, ie. tel que χ(F) = χ(O_{X}). Or, avec les notations ci-dessus, un tel faisceau est semi-stable, au sens du paragraphe 2, si et seulement si, pour tout I′ ⊆ I, on a :

deg_{X_{I′}} (F_{X_{I′}}) + \frac{1}{2}r_{I′}r_{I′′} deg(L) ≥ 0  (2)

où X_{I′} désigne la réunion des composantes irréductibles X_{i}, i ∈ I′ de X, F_{X_{I′}} la restriction modulo torsion de F à X_{I′}, r, r_{I′} les rangs de f_{∗}F et f_{∗}F_{X_{I′}} et r_{I′′} = r − r_{I′}. On note I′′ = I − I′.

Il faut montrer que cette condition est équivalente à la condition de la proposition ci-dessus pour ϕ = 0, à savoir :

[deg L(F) + \frac{1}{2}d(J − J(F)), v(I′′)] ≤ \frac{1}{2}(δ_{J(f)}v(I′′), δ_{J(f)}v(I′′)). (3)

Or, 0 = χ(F) − χ(O_{X}) = [deg L(F) + \frac{1}{2}d(J − J(F)), v(I)], et du fait que v(I) = v(I′) + v(I′′), on en déduit que :

[deg L(F) + \frac{1}{2}d(J − J(F)), v(I′′)] = −[[deg L(F) + \frac{1}{2}d(J − J(F)), v(I′)].

Mais, si l’on note J′, J′′, J^{∘} les points de J correspondants à des points singuliers appartenant exclusivement à X_{I′}, X_{I′′} ou à X_{I′} ∩ X_{I′′} respectivement et J′(F), J′′(F), J^{∘}(F) les sous-ensembles où F est localement libre, on a :

[d(J − J(F)), v(I′)] = [d(J′ − J′(F)), v(I′)] + [d(J^{∘} − J^{∘}(F)), v(I′)].

D’autre part, deg_{X_{I′}} (F_{X_{I′}}) = [deg L(F) + \frac{1}{2}d(J′ − J′(F)), v(I′)]. Tenant compte de toutes ces formules, la condition (3) devient alors :

− deg_{X_{I′}} (F_{X_{I′}}) − \frac{1}{2}[d(J^{∘} − J^{∘}(F)), v(I′)] ≤ \frac{1}{2}(δ_{J(F)}v(I′′), δ_{J(F)}v(I′′)).

Ce qui équivaut à :

deg_{X_{I′}} (F_{X_{I′}}) + \frac{1}{2}(δ_{J(F)}v(I′′), δ_{J(F)}v(I′′)) + \frac{1}{2}[d(J^{∘} − J^{∘}(F)), v(I′)] ≥ 0.

Mais, d’une part, (δ_{J(F)}v(I′′), δ_{J(F)}v(I′′)) est le nombre de points de X_{I′} ∩ X_{I′′} appartenant à J(F) et, d’autre part,

| J^{∘} − J^{∘}(F) |= \frac{1}{2}[d(J^{∘} − J^{∘}(F)), v(I)] =

\frac{1}{2}[d(J^{∘} − J^{∘}(F)), v(I′)] + \frac{1}{2}[d(J^{∘} − J^{∘}(F)), v(I′′)]

est le nombre de points de X_{I′} ∩ X_{I′′} n’appartenant pas à J(F). Par conséquent, (3) est en réalité équivalent à :

deg_{X_{I′}} (F_{X_{I′}}) + \frac{1}{2}X_{I′} · X_{I′′} ≥ 0

ce qui n’est autre que (2, compte tenu du fait que le nombre d’intersection des courbes X_{I′} et X_{I′′} tracées sur la surface règlée P(O⊕L) est précisément r_{I′}r_{I′′} deg(L).

5 Jacobiennes de courbe spectrale générale.

Dans l’article déjà mentionné ([6]), N. Nitsure a montré que le morphisme de Hitchin H : M(r, d, L) → ⊕H^{0}(L^{k}) est propre. Autrement dit, les fibres de ce morphisme sont compactes. Comme on l’a vu lorsque la courbe spectrale est à points doubles ordinaires, une telle fibre est candidate à être une compactification naturelle de Pic^{0}(X), où Pic^{0}(X) désigne le sousschéma de Pic(X) des faisceaux inversibles N tels que, si X_{i}, i = 1, …, n, sont les composantes irréductibles de X, deg(N ⊗ O_{X_{i}}) = 0 pour tout i.

Soit T un schéma sur k et f : X → Y une courbe spectrale, c’est-à-dire un morphisme fini et plat f : X → Y, de degré r, un faisceau inversible L sur Y et un plongement de X dans S = Spec(Sym(L^{−1})) défini par un O_{Y} -morphisme P : L^{−1} → Sym(L^{−1}).

Considérons les foncteurs :

F_{X/k} : \underline{Sch}_{/k} ⟶ \underline{Ens}

défini par : F_{X/k}(T) = {E_{T} O_{X×T} -module cohérent, plat sur T, induisant sur les fibres géométriques un O_{X_{t}}-module sans torsion de rang 1 } et

G_{Y/k}^{L,r} : \underline{Sch}_{/k} ⟶ \underline{Ens}

défini par : G_{Y/k}^{L,r}(T) = {(E_{T} , u_{T}) | E_{T} O_{Y ×T} -module localement libre de rang r, u_{T} : E_{T} → E ⊗ π_{Y}^{∗} L un morphisme de O_{Y ×T} -modules, de polynôme caractéristique P ⊗_{O_{Y}} O_{T} } où π_{Y} : Y ×_{k} T → Y désigne la projection naturelle.

Proposition 5.1 Pour une courbe spectrale X → Y, il y a un isomorphisme des foncteurs F_{X/k} et G_{Y/k}^{L,r}.

Preuve : Il s’agit de montrer que, pour tout schéma T sur k, il y a une bijection F (T) → G(T).

Soit donc E_{T} ∈ F (T). On a le diagramme commutatif suivant :

X ×_{k} T →^{f_{T}} Y ×_{k} T
↑  ↑
X_{t}  →^{f_{t}}  Y_{t}

où X_{t}, Y_{t} désignent les fibres au point t, et f_{t} le morphisme induit par f_{T} sur ces fibres.

Le morphisme f étant affine, f_{T} est affine et, par conséquent, (EGA I) :

f_{T_{∗}}(E_{T}) ⊗ κ(t) ≅ f_{t_{∗}}(E_{T} ⊗ κ(t)).

Or, d’après la proposition 2.1, f_{T_{∗}}(E_{T} ⊗ κ(t)) est un O_{Y_{t}}-module localement libre de rang r. Par conséquent, f_{T_{∗}}(E_{T}) est un faisceau F_{T} sur Y ×T, plat sur T, tel que F_{t} est localement libre de rang constant r. La proposition 6.6.19 de EGA I.0. prouve alors que F est localement libre sur Y × T de rang r.

D’autre part, X × T est naturellement plongé dans S × T et E_{T} est un O_{X×T} -module , par conséquent, un O_{S×T} -module, d’où un O_{S×T} -morphis-me naturel O_{S×T} → End_{O_{S×T}} (E_{T}), ou encore : un O_{Y ×T} -morphisme :

u_{T} : π_{Y}^{∗} L^{−1} → End_{O_{Y ×T}} (f_{T_{∗}}E_{T})

autrement dit : f_{T_{∗}}(E_{T}) est muni d’un morphisme :

u_{T} : f_{T_{∗}}(E_{T}) → f_{T_{∗}}(E_{T}) ⊗ π_{Y}^{∗} L.

On vérifie aisément que le polynôme caractéristique de u_{T} est P ⊗ O_{T}. Conclusion : (f_{T_{∗}}E_{T} , u_{T}) est un élément de G_{Y/k}^{r,L}.

Inversement, considérons (E_{T} , u_{T}) dans G(T). Du fait que le polynôme caractéristique P_{u_{T}} est de la forme P ⊗ O_{T}, on en déduit que :

X_{T} = Spec(Sym(π_{Y}^{∗} L^{−1})/P_{u_{T}}) = X ⊗_{k} T.

D’où, E_{T}, qui est naturellement muni d’une structure de O_{X_{T}} -module cohérent, est un O_{X×T} -module cohérent, plat sur T, et, par suite de la proposition 2.1, pour toute fibre géométrique X_{t}, E_{t} est un O_{X_{t}}-module sans torsion de rang 1. Ainsi, E_{T} se réalise comme un élément de F (T).

On vérifie facilement localement que les deux constructions sont inverses l’une de l’autre, d’où la proposition.

De même, si T′ → T est un morphisme, on voit aisément qu’il induit un diagramme commutatif après application des deux foncteurs.

Considérons à présent, les foncteurs Pic_{X/k}^{0} et M_{Y/k}^{r,d,L,P} (qu’on notera simplement M_{Y/k} lorsqu’aucune confusion ne sera possible) de \underline{Sch}_{/k} dans \underline{Ens} définis par :

Pic_{X/k}^{0}(T) = \{ \begin{matrix}classe d’isomorphisme de O_{X×T} -modules \\ inversibles E tq. ∀t ∈ T, χ(E_{t}) = χ(O_{X_{t}} \end{matrix} \} / ≈

où E ≈ E′ s’il existe M ∈ Pic(T) tel que E ≅ E′ ⊗ π_{T}^{∗} M et :

M_{Y/k}^{r,d,L}(T) = \{ \begin{matrix}classe d’isomorphisme de O_{Y ×T} -modules localement \\ libres E, de rang r, deg(E_{t}) = d, munis de \\ u_{T} : E_{T} → E ⊗ π_{Y}^{∗} L tel que (E_{T} , u_{T}) semi-stable \end{matrix} \} / ≡ où E ≡ E′ s’il existe M ∈ Pic(T) tel que E ≅ E′ ⊗ π_{T}^{∗} M.

On note M_{Y/k}^{r,d,L,P} le sous-foncteur tel que, pour tout T, le polynôme caractéristique P_{u_{T}} de u_{T} est P ⊗ O_{T}.

Corollaire 5.1 Soit X → Y une courbe spectrale. Alors, il existe un morphisme de foncteurs Pic_{X/k}^{0} → M_{Y/k}^{r,d,L,P} injectif où d = \frac{1}{2}r(r − 1) deg(L^{−1}).

Preuve : La proposition précédente montre que, pour tout k-schéma T, E_{T} ∈ Pic_{X/k}^{0}(T) correspond fonctoriellement à une famille plate de classes d’équivalence de couples (E_{T} , u_{T}) où E_{T} est localement libre de rang r, (E_{t}, u_{t}) semi-stable (tout inversible sur X correspond à un couple semi-stable sur Y), deg(E_{t}) = d, et P_{u_{T}} = P ⊗ O_{T}, donc à un élément de M_{Y/k}^{r,d,L,P} (T). D’où le morphisme annoncé.

Inversement, soit I(T) l’image par le morphisme ϕ : Pic^{0}(T) → M(T). La construction de la proposition ci-dessus prouve qu’une famille de couples (E_{T} , u_{T}) représentant un élément de I(T) peut se relever à F_{X/k}(T). Mais, par définition même de I(T), E_{T} est alors inversible et, si deg(E_{t}) = d, alors χ(E_{t}) − χ(O_{X_{t}}) = 0. On a ainsi défini un élément de Pic_{X/k}^{0}(T) qui réalise une section de ϕ.

Du fait que M(r, d, L) est un espace de modules grossier pour les paires (E, u) sur Y, il s’ensuit que, pour toute famille plate de classe d’équivalence (modulo ≡) de telles paires semi-stables, paramétrées par un k-schéma T, il existe une application :

M_{Y/k}^{r,d,L}(T) ⟶ Mor_{k-sch}(T, M(r, d, L))

qui, pour T = Spec(k), est bijective.

Corollaire 5.2 Pic^{0}(X) s’identifie à un ouvert de M_{Y} (r, d, L, P).

Preuve : Pic_{X/k}^{0}(.) est représenté par le schéma quasi-projectif P = Pic^{0}(X), ce qui signifie que, pour tout k-schéma T :

Mor_{k}(T, Pic^{0}(X)) ≅ Pic_{X/k}^{0}(T)

mais, le corollaire précédent a montré l’existence d’un morphisme

Pic_{X/k}^{0}(T) ⟶ M_{Y/k}^{r,d,L,P} (T)

d’où, avec la remarque qui précède, Id ∈ Mor_{k}(Pic^{0}(X), Pic^{0}(X)) correspond à un morphisme ϕ : P → M = M(r, d, L, P) ⊆ M(r, d, L).

L’image de ϕ est l’ensemble des couples (E, u) tels que E soit un O_{X}- module inversible : c’est donc un ouvert de M. Il s’agit alors de montrer que les espaces tangents à P et à M sont isomorphes. L’espace tangent T_{M,(E,u)} est l’ensemble (des classes d’isomorphisme):

\{(E′, u′) ∈ M_{Y/k}^{r,d,L,P} (k[ϵ]) | \begin{matrix}E′ & →^{u′} & E′ ⊗ π_{Y}^{∗} L \\ ↓ & & ↓ \\ E & →^{u} & E ⊗ L \end{matrix} commutatif\} .

La proposition précédente montre précisément qu’à un tel (E′, u′) correspond bijectivement, par l’application naturelle de Pic^{0}(k[ϵ]) dans M(k[ϵ]), un E, inversible sur X × k[ϵ], c’est-à-dire un vecteur tangent à P.

Remarque : Dans le cas où X est intègre et n’a que des points doubles ordinaires, Pic_{X/k}^{0} est un ouvert dense de \overline{Pic_{X/k}^{0}} ([3]) réalisant ainsi une compactification au sens topologique. En général cependant, et c’est déjà le cas des courbes considérées dans [7], il faut s’attendre à ce qu’une telle compactification contienne plusieurs exemplaires de Pic_{X/k}^{0}. Cependant, les espaces du type H^{−1}(P) ci-dessus satisfont aux propriétés exigées par Seshdri-Oda pour être de ”bonnes” compactifications.

References

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