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2PMA
For once, we will dwell on a topic which is unusual to us: the exact solution of a PDE. The Green function of the Laplacian is the function whose Laplacian is a delta in the origin. It is the building block for the solution of the Poisson Equation, i.e. the problem of inverting the Laplacian. The Green function is well known in a variety of domains, including, for example, a torus of arbitrary modular parameter. But what can we do if, instead of the Green equation, we have a non-linear, high-order, inhomogeneous PDE? In dimension 2, we shall consider a quadratic deformation of the Laplace operator, related to the Monge-Ampère equation arising in the problem of Optimal Transport. Surprisingly, even on a torus, we can solve this equation somewhat explicitly. The solution is quite combinatorial, and involves integer partitions, planar trees and the Lagrange Inversion Formula.

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Dans cet exposé, je présente des résultats de mes articles récents avec Armin Rainer sur la perturbation des polynômes d'une ou plusieurs variables et avec Guillaume Rond sur la perturbation des opérateurs linéaires. Avec A. Rainer, nous avons montré, en particulier, que les racines des polynômes complexes d'une variable dépendant de façon lisse d'un paramètre réel t sont localement absolument continues par rapport à t, et nous avons donné une estimation optimale de leur régularité de Sobolev. Dans un article avec Guillaume Rond, nous avons montré que une famille analytique de matrices normales dépendant d'un multiparamètre peut être localement diagonalisées analytiquement si le discriminant de son polynôme caractéristique est à croisement normal. On a un résultat similaire pour la décomposition des valeurs singulières des familles de matrices arbitraires. La théorie de la perturbation des polynômes et des opérateurs linéaires est motivée par l'étude des équations pseudodifférentielles.

Séminaire de probabilités et statistiques
Nous étudions une marche aléatoire simple en dimension 2 avec des contraintes sur les axes. La motivation provient de la physique lorsque des particules sont soumises à des champs locaux. Dans notre cas, nous supposons qu'une particule évolue librement dans les cônes, mais lorsqu'elle touche les axes, elle subit une force de rappel vers l'origine. Pour des contraintes fortes nous montrons l’existence d’une structure de renouvellement, impliquant notamment un résultat ergodique pour les parties de la trajectoire de la particule restreintes aux axes. C’est un travail commun avec Pierre Debs.

Séminaire des doctorant.es
TBA

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
Soit $f$ une application de $CP(2)$. Le courant de Green $T$ est un courant positif fermé invariant par $f. Son auto intersection $\mu=T^2$ définit une mesure $\mu$ invariante par $f$. On sait que $T$ est lisse si et seulement si $\mu$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, dans ce cas la dynamique est du type Lattès. En général $T$ n’est pas lisse et le support de $\mu$ est fractal. Dans cette exposé on supposera que $\mu$ vérifie une certaine relation d'absolue continuité par rapport à $T$. Je présenterai un théorème obtenu pendant ma thèse qui montre que, dans ce cadre singulier, $f$ préserve un feuilletage holomorphe au voisinage du support de $_mu$. Lorsque le feuilletage se prolonge à $CP(2)$ celui-ci devient un pinceau de droites invariant par $f$.

Séminaire de probabilités et statistiques
TBA

Séminaire de topologie et géométrie algébriques
This is a report on work in progress. We will discuss the following problem: if (C,p_1,…,p_n) is a general pointed curve of genus g and X_1, …, X_n are general linear subspaces of P^r, then how many non-degenerate maps f from C to P^r are there with f(p_i) contained in X_i? A virtual answer in Gromov-Witten theory is easy to obtain, but is often not enumerative; the geometric counts are considerably more subtle. Our method proceeds through a series of degenerations on the moduli space of complete collineations. The case in which the X_i are points is that of geometric Tevelev degrees of P^r, which were previously known only when r=1 or when d is large; here, we explain a connection to torus orbit closures of Grassmannians and obtain a conceptual new proof of a result of Berget-Fink. Our approach to the general case involves Coskun’s geometric Littlewood-Richardson rule in an essential way.

Séminaire des doctorant.es
TBA

Séminaires systèmes dynamiques et géométrie
In this talk we investigate the critical points of the Dinew-Popovici energy functional in higher dimensions and under holomorphic deformations. We first prove that being a critical point for the Dinew-Popovici energy function is a closed property under holomorphic deformations. We then show that the existence of a Kähler metric in the Aeppli cohomology class is an open property under holomorphic deformations.