UNIVERSITÉ DENIS DIDEROT (PARIS VII) Séminaire de structures algébriques ordonnées, Avril 1998

Anneaux pseudo algébriquement clos

1. Anneaux, relations radicales et treillis distributifs

Tous nos anneaux sont commutatifs et unitaires ; tous nos treillis ou demi-treillis ont un plus grand et un plus petit élément.

La notion suivante a été introduite par Prestel et Schmid dans [P-S].

Définition Un r-anneau est un annneau A muni d’une relation radicale, c’est-à-dire d’un préordre ≤ tel que pour tous a, b, c dans A :

(i) 1 ≤ a; (ii) a ≤ b et a ≤ c ⟹ a ≤ b + c; (iii) a ≤ b ⟹ ac ≤ bc; (iv) a ≤ b^{2} ⟹ a ≤ b.

L’ensemble des idéaux premiers 𝔭 tels que pour tout a, b ∈ A on ait :

a ∈ 𝔭 et a ≤ b ⟹ b ∈ 𝔭

s’appelle le spectre r-clos de (A, ≤) et se note Sp(A, ≤).

L’exemple le plus simple de relation radicale est obtenu en prenant une famille P quelconque d’idéaux premiers de A et en définissant :

a ≤_{P} b ⟺ ∀𝔭 ∈ P (a ∈ 𝔭 ⟹ b ∈ 𝔭).

Alors (A, ≤_{P}) est un r-anneau, et P ⊆ Sp(A, ≤_{P}). Le théorème de structure suivant montre que ce sont là tous les cas possibles.

Théorème 1 (Prestel-Schmid) Soit (A, ≤) un r-anneau quelconque, et P := Sp(A, ≤). Alors pour tous a, b dans A on a :

a ≤ b ⟺ a ≤_{P} b.

Notations: Pour tout anneau A nous noterons ≤_{A} la relation radicale ≤_{Spm(A)} induite par le spectre maximal de A. D’autre part, pour tout r-domaine (A, ≤) et tout a dans A :

– P (a) := {𝔭 ∈ Sp(A, ≤) / a ∈ 𝔭};

– L(A, ≤) := {P (a) / a ∈ A};

– L(A) := L(A, ≤_{A}).

Avec ces notations, on remarque que :

(1) Il est immédiat que P (a) ∪ P (b) = P (ab), et :

∅ = P (1) ⊆ P (a) ⊆ P (0) = Sp(A, ≤).

Il s’ensuit que L(A, ≤) est un demi-treillis supérieur distributif.

(2) a ≤ b ⟺ P (a) ⊆ P (b) donc l’ensemble ordonné quotient canoniquement associé au préordre ≤ est isomorphe à L(A, ≤). En particulier ce dernier est interprétable dans

(A, ≤).

(3) La relation radicale ≤_{A} est définissable dans A. En effet, en notant (x, y) = 1 la formule ∃u, ∃v(xu + yv = 1) qui dit que deux éléments sont étrangers, on voit que :

a ≤_{A} b ⟺ ∀c [(b, c) = 1 ⟹ (a, c) = 1].

En particulier L(A) est interprétable dans A.

Dans la suite de cette section, nous allons nous pencher sur la nature de l’information portée par le treillis residuel d’un r-anneau.

Définition (A, ≤) est dit ∩-stable si et seulement s’il est stable par intersection. Dans ce cas, L(A, ≤) est un treillis distributif, que nous appellerons le treillis résiduel de (A, ≤).

Exemple: Un anneau de Bezout, c’est-à-dire dont tout idéal de type fini est principal, est ∩- stable pour n’importe quelle relation radicale. En effet si A est un tel anneau muni d’une relation radicale ≤ et si a, b sont deux éléments quelconques de A, alors tout genérateur d de l’idéal engendré par a et b satisfait P (d) = P (a) ∩ P (b).

Nous verrons plus loin que l’∩-stabilité est en fait beaucoup plus répandue que la propriété de Bezout.

Notations: Étant donné un treillis distributif L, je note F(L) l’ensemble des filtres premiers de L, c’est-à-dire l’ensemble des parties F de L telles que :

(i) F ≠ ∅, F ≠ L; (ii) α ∈ F et α ≤ β ⟹ β ∈ F ; (iii) α, β ∈ F ⟹ inf(α, β) ∈ F ; (iv) sup(α, β) ∈ F ⟹ α ∈ F ou β ∈ F.

Pour tout α dans L je note P (α) := {F ∈ F(L) / α ∈ F }. Il est bien connu que l’ensemble des (P (α))_{α∈L} ordonné par inclusion est un treillis distributif isomorphe à L.

Proposition 2 Soit (A, ≤) est un r-anneau ∩-stable quelconque, et L son treillis résiduel.

– ∀𝔭 ∈ Sp(A, ≤), 𝔭^{∗} := {P (a) / a ∈ 𝔭} est un filtre premier de L.

– ∀F ∈ F(L), F_{∗} := {a ∈ A / P (a) ∈ F } est un idéal premier r-clos de (A, ≤).

Cela définit une correspondance bijective entre idéaux premiers r-clos de (A, ≤) et filtres premiers de L(A, ≤). Si de plus on muni F(L) de la topologie “de Zariski” obtenue en prenant les (P (α))_{α∈L} comme base de fermés on a :

Proposition 3 F(L(A, ≤)) est homéomorphe à Sp(A, ≤) (pour la topologie de Zariski).

Il est connu que deux treillis distributifs sont isomorphes si et seulement si leurs espaces de filtres sont homéomorphes. On a donc montré en fait :

Corollaire 4 Soient (A, ≤) et (B, ≤) deux r-anneaux ∩-stables. Leurs treillis disributifs sont isomorphes si et seulement si leurs spectres r-clos sont homéomorphes.

On comprend maintenant ce qu’apporte la relation radicale à la structure d’anneau (au moins dans le cas ∩-stable) : elle permet de coder dans le treillis résiduel toute l’information topologique sur le spectre r-clos.

Ce résultat a une autre conséquence intéressante : Hochster a caractérisé dans [Ho] les espaces topologiques homéomorphes à des spectres d’anneaux. Pour cela il part d’un espace donné satisfaisant certaines hypothèses (un tel espace est appelé “spectral”) et construit un anneau dont le spectre est homéomorphes à cet espace. Une étude détaillée de sa construction montre que l’anneau ainsi construit est ∩-stable (pour la relation radicale définie par tout son spectre). On en déduit :

Corollaire 5 Tout treillis distributif peut être représenté comme le treillis résiduel d’un r-anneau ∩-stable.

Nous terminons cette section par une rapide étude d’une notion utile pour la suite.

Définition Un treillis distributif L est une quasi-algèbre de Boole si et seulement si pour tout α dans L autre que le plus grand élément, l’ensemble des éléments de L plus petits que α est une algèbre de Boole. Nous dirons qu’une quasi-algèbre de Boole est stricte si ce n’est pas une algèbre de Boole.

Exemples:

(1) Toute algèbre de Boole est une quasi-algèbre de Boole.

(2) Une chaine à trois éléments est une quasi-algèbre de Boole stricte. Plus généralement si on rajoute à une algèbre de Boole quelconque un nouvel élément strictement plus grand que tous les autres, on obtient une quasi-algèbre de Boole stricte.

(3) Étant donné un ensemble E quelconque, L_{ω}(E) := {E} ∪ {X ⊆ E / X fini } est une quasi-algèbre de Boole. Ce n’est une algèbre de Boole que si E est fini.

On sait que la théorie des algèbres de Boole denses est complète, modèle-complète, et que c’est le modèle compagnon de la théorie des algèbres de Boole. Cette théorie étant récursivement (et même finiment) axiomatisée, elle est donc décidable. Cela s’étend aux quasi-algèbres de Boole.

Théorème 6 La théorie des algèbres de Boole denses strictes est complète et modèle-complète, c’est le modèle compagnon de la théorie des quasi-algèbres de Boole strictes. En particulier cette théorie est décidable.

Définition Un r-domaine (A, ≤) est quasi-complémenté si et seulement si pour tous a, b dans A :

a ≠ 0 ⟹ P (a) \ P (b) ∈ L(A, ≤).

Nous dirons qu’un anneau A est quasi-complémenté si (A, ≤_{A}) l’est.

Puisque P (a)∩P (b) = P (a)\(P (a)\P (b)) il est immédiat qu’un r-domaine quasi-complémenté est ∩-stable. Le lien avec les quasi-algèbres de Boole est donc clair :

Proposition 7 Soit (A, ≤) un r-domaine ∩-stable. Alors (A, ≤) est quasi-complémenté si et seulement si L(A, ≤) est une quasi-algèbre de Boole.

En utilisant ce résultat et l’exemple que nous avons donné plus haut de quasi-algèbre de Boole des parties finies d’un ensemble E, il est facile de voir que par exemple tout anneau de Dedekind dont le groupe de Picard est de torsion est quasi-complémenté. Comme nous l’avions annoncé plus haut, cela fourni en particulier une classe d’anneaux ∩-stables bien plus grande que celle des anneaux de Bezout (un anneau de Dedekind est de Bezout si et seulement si son groupe de Picard est nul). Plus généralement encore on peut montrer :

Proposition 8 Tout anneau intégralement clos inclus dans une clôture algébrique de ℚ ou de 𝔽_{p}(T) est quasicomplémenté.

2. Anneaux pseudo algébriquement clos

Notations: Étant donné un corps K nous notons K^{a} (resp. K^{s}) la clôture algébrique (resp. séparable) de K. Une variété V définie sur K est la donnée d’un système f_{1}, …, f_{m} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] de polynômes engendrant un idéal premier de K^{a}[X_{1}, …, X_{n}]. Les points de V dans une Kalgèbre A sont les zéros communs à f_{1}, …, f_{m} dans A^{n}. Un tel point est lisse si le rang de la matrice jacobienne des f_{i} évaluée en ce point est maximal, et on note V^{∘}(A) l’ensemble des points lisses de V dans A.

Rappelons qu’un corps K est dit pseudo algébriquement clos (PAC) si et seulement si pour toute variété V définie sur K on a :

V^{∘}(K) ≠ ∅ ⟺ V^{∘}(K^{s}) ≠ ∅.

Il est bien connu que toute extension algébrique d’un corps PAC est encore PAC (voir [F-J]).

Pour généraliser aux anneaux la notion de corps PAC il nous faut passer par celle d’anneau de valuation. On appelle ainsi tout anneau intègre R tel que :

∀a, b ∈ R, a|b ou b|a.

Un anneau de valuation possède un unique idéal maximal, nous le noterons m(R). Un prolongement de R à K^{s} (K = Fr(R)) est un anneau de valuation R′ de corps des fractions K^{s} tel que R′ ∩ K = R. Par théorème, tous les prolongements de R à K^{s} sont K-isomorphes.

Notations: Soit A un anneau intègre, de corps des fractions K.

– W_{A} désigne l’ensemble des anneaux de valuations R contenant A tels que R ⊆ K et m(R) ∩ A ∈ Spm(A).

– Pour tout R dans W_{A} on note R^{s} un prolongement de R à K^{s}.

Définition Un anneau intègre A est pseudo algébriquement clos (en abrégé PAC) si et seulement s’il est quasi-complémenté et si pour toute variété V définie sur le corps des fractions K de A :

V^{∘}(A) ≠ ∅ ⟺ ∀R ∈ W_{A}, V^{∘}(R^{s}) ≠ ∅.

Remarque: Si A = K on voit qu’il est PAC au sens ci-dessus si et seulement s’il est PAC au sens usuel pour les corps.

Exemples:

(1) Rumely [Ru] a montré que la clôture intégrale de ℤ dans ℚ^{a} était PAC.

(2) Moret-Bailly [MB] a généralisé ce résultat. Son théorème montre entre autres que la clôture intégrale de 𝔽_{p}[T] dans un corps séparablement clos quelconque est PAC.

(3) Notons ℚ_{ar} le corps des nombres algébriques absolument réels, c’est-à-dire des nombres algébriques qui sont réels ainsi que tous leurs conjugués sur ℚ. Alors le théorème de Moret-Bailly montre aussi que pour tout n ∈ ℕ^{∗} la clôture intégrale de ℤ[1/n] dans ℚ_{ar}[i] est PAC.

D’autres exemples découlent de ceux-ci à l’aide du résultat suivant :

Théorème 9 Soit A un anneau PAC de corps des fractions K. Alors tout anneau compris entre A et une clôture algébrique de K est encore PAC.

Il semble que Jarden ait prouvé dans un article non encore disponible que l’ensemble des ℚ-autmorphismes σ des ℚ^{a} tels que la clôture intégrale de ℤ dans le corps laissé fixe par σ soit PAC, était de mesure 1 (au sens de la mesure de Haar sur le groupe absolu de Galois de ℚ). Contrairement au théorème de Moret-Bailly ce résultat n’est pas constructif au sens où il ne donne aucun exemple concret de corps dans lequel la clôture intégrale de ℤ serait PAC. Néanmoins il prouve l’existence de tels corps, donc en le combinant avec le théorème 9 on retrouve le théorème de Rumely.

Cette relative abondance d’exemples justifiait une étude systématique des anneaux PAC. Du point de vue de la théorie des modèles, le résultat suivant en est un préambule essentiel :

Théorème 10 La classe des anneaux PAC est récursivement axiomatisable (dans le langage des anneaux).

Notations: Étant données deux structures E et E′ (relativement à un langage L quelconque) et une sous-structure commune E_{0}, on note E ≡_{E_{0}} E′ le fait que E est élémentairement équivalente à E′ dans le langage enrichi L(E_{0}) obtenu en augmentant L d’un symbole de constante pour chaque élément de E_{0}.

Si deux extensions A et A′ d’un anneau A_{0} sont données et si A ≡_{A_{0}} A′ alors comme les relations radicales ≤_{A} et ≤_{A′} sont définissables on a pour tous a, b dans A_{0} : a ≤_{A} b ⟺ a ≤_{A′} b. Cela induit donc des plongements entre les ensembles ordonnés quotients, i.e. L(A_{0}) s’identifie à une sous-structure commune à L(A) et L(A′), au sens des ensembles ordonnés. En fait si ces anneaux sont ∩-stables L(A_{0}) est un sous-treillis de L(A) et L(A′).

Théorème 11 Soient A, A′ deux anneaux PAC, extensions d’un anneau ∩-stable A_{0}. Soient K_{0}, K′, K′′ leurs corps des fractions et L_{0}, L′, L′′ leurs treillis résiduels respectifs. Supposons que les extensions K|K_{0} et K′|K_{0} soient régulières, et (pour éviter un cas trivial) que A et A′ ne soient pas des corps. Alors A ≡_{A_{0}} A′ si et seulement si :

(i) ∀a, b ∈ A_{0}, a ≤_{A} b ⟺ a ≤_{A′} b.

(ii) K ≡_{K_{0}} K′. (iii) L ≡_{L_{0}} L′.

Ce théorème fondamental se décline en plusieurs versions, qui donnent chacune le comportement des anneaux PAC relativement à une question de théorie des modèles (équivalence élémentaire, plongement élémentaire…).

Corollaire 12 Soient A ⊆ A′ deux anneaux PAC qui ne sont pas des corps. Alors A ⪯ A′ si et seulement si :

(i) ≤_{A′} prolonge ≤_{A} (i.e. ∀a, b ∈ A, a ≤_{A} b ⟺ a ≤_{A′} b).

(ii) Fr(A) ⪯ Fr(A′). (iii) L(A) ⪯ L(A′).

Preuve: Il suffit d’appliquer le théorème 11 en prenant A_{0} = A.

Définition Pour tout anneau intègre A on note Alg(A) le sous-anneau des éléments de A algébriques sur le sous-corps premier de Fr(A). On remarquera que d’après la proposition 8 cet anneau est quasi-complémenté, donc ∩-stable, ce qui va permettre d’appliquer le théorème 11 avec A_{0} = Alg(A).

Les propriétés suivantes sont bien connues, ou faciles a vérifier pour deux anneaux intègres A et A′ quelconques.

(1) Si A ≡ A′ alors Alg(A) ≃ Alg(A′) (en effet, un isomorphisme entre deux ultra-puisances de A et A′ enverra l’une sur l’autre les parties algébriques). Pour la même raison K ≡ K′ si et seulement si K ≡_{K_{0}} K′, pour deux corps quelconques K et K′, et après identification de leurs parties algébriques en un sous-corps commun K_{0} = Alg(K) = Alg(K′).

(2) Toujours si A ≡ A′ on a :

(0) ∈ Sp(A, ≤_{A}) ⟺ (0) ∈ Sp(A′, ≤_{A′}).

En effet (0) ∈ Sp(A, ≤_{A}) si et seulement si A satisfait la formule ∀a, 0 ≤ a ⟹ 0 = a, et de même pour A′.

(3) Si les deux conditions ci-dessus sont vérifiées, c’est-à-dire si Alg(A) ≃ Alg(A′) et si (0) ∈ Sp(A, ≤_{A}) ⟺ (0) ∈ Sp(A′, ≤_{A′}) alors après identification de Alg(A) et Alg(A′) on peut montrer que la trace sur Alg(A) des relations radicales ≤_{A} et ≤_{A′} coïncident, i.e. :

∀a, b ∈ Alg(A), a ≤_{A} b ⟺ a ≤_{A′} b.

On en déduit d’après le théorème 11 :

Corollaire 13 Soient A, A′ deux anneaux PAC qui ne sont pas des corps. Alors A ≡ A′ si et seulement si :

(i) A_{0} := Alg(A) ≃ Alg(A′).

(ii) (0) ∈ Sp(A, ≤_{A}) ⟺ (0) ∈ Sp(A′, ≤_{A′}). (iii) Fr(A) ≡ Fr(A′). (iv) L(A) ≡_{L(A_{0})} L(A′).

En caractéristique positive, comme Alg(A) est forcément un corps, son treillis résiduel se réduit à ses extrémités et la dernière condition ci-dessus se simplifie en L(A) ≡ L(A′). En outre la condition ∀a, b ∈ Alg(A), a ≤_{A} b ⟺ a ≤_{A′} b est automatiquement vérifiée, ce qui rend (ii) inutile. Enfin (iii) implique (i) puisque Alg(A) = Alg(F r(A)) et de même pour A′. Le corollaire 13 se réduit donc finalement à :

Corollaire 14 Soient A, A′ deux anneaux PAC de même caractéristique positive qui ne sont pas des corps. Alors A ≡ A′ si et seulement si :

(i) Fr(A) ≡ Fr(A′).

(ii) L(A) ≡ L(A′).

Remarque: Dans les énoncés ci-dessus, nous ramenons des questions de théorie des modèles sur des anneaux PAC aux questions analogues sur leurs corps des fractions et leurs treillis résiduels. On peut se demander dans quelle mesure on a vraiment progressé. La réponse est apportée par les faits suivants.

(1) La théorie des quasi-algèbres de Boole, même si elle n’a pas été aussi étudiée que celle des algèbres de Boole, est très simple (en comparaison de celle des anneaux). En particulier, tous les ingrédients utilisés pour classifier les algèbres de Boole à équivalence élémentaire près (ce que l’on sait parfaitement faire) s’y adaptent facilement, et doivent permettre de dire quand deux quasi-algèbres de Boole sont élémentairement équivalentes.

(2) De même, la théorie des corps PAC est bien connues, et on a des critères raisonnablement simples d’équivalence élémentaire pour ces corps.

(3) Ramener pour l’essentiel la théorie d’un anneau à celles de son corps des fractions et de son treillis résiduel n’est nullement trivial, ni général : la clôture intégrale de ℤ dans le corps ℚ_{ar} des nombres algébriques absolument réels est connue pour être indécidable, alors que son corps des fractions et son treillis résiduel sont décidables.

3. Applications à la décidabilité

Du corollaire 14 on déduit immédiatement :

Théorème 15 Un anneau PAC de caractéristique positive est décidable si et seulement si son treillis résiduel et son corps des fractions sont décidables.

Soit A la clôture intégrale de 𝔽_{p}[T] dans un corps séparablement clos, et B un anneau quelconque entre A et 𝔽_{p}(T)^{a}. L’anneau A est PAC d’après le théorème de Moret-Bailly, donc aussi B d’après le théorème 9. Le corps des fractions de B est séparablement clos de degré d’imperfection 0 ou 1, et on sait que cela fourni une axiomatisation récursive de sa théorie complète, donc Fr(A) est décidable. On a donc :

Corollaire 16 Avec les notations ci-dessus, B est décidable si et seulement si L(B) est décidable.

C’est un petit exercice que de démontrer que L(A) est dense, donc décidable d’après le théorème 6. En prenant A = B il suit que A lui-même est décidable.

En caractéristique nulle il faut s’accomoder de la condition sur la partie algébrique. Aussi allons-nous donner des exemples où cette partie est bien controlée.

Notations: Fixons pour toute la suite un anneau intégralement clos A de caractéristique nulle, de corps des fractions A, et un ensemble P d’entiers premiers. Nous noterons ℤ̃ la clôture intégrale de ℤ dans ℚ^{a}.

Il est facile de vérifier que Alg(A) est isomorphe à ℤ̃[1/p]_{p∈P} ∩ Alg(K) si et seulement si : (i) A ⊧ ∃x, px = 1 pour tout p ∈ P. (ii) A ⊧ ∀x, f(x) ≠ 0 pour tout polynôme f en une indéterminée à coefficients entiers

globalement étrangers, irréductible sur ℚ, dont le coefficient dominant est divisible par l’un au moins des éléments p de P.

En particulier, on voit que cette condition sera récursivement axiomatisable si et seulement si P est récursif.

Théorème 17 L’anneau ℤ̃[1/p]_{p∈P} est décidable si et seulement si P est récursif.

Preuve: C’est une conséquence directe des remarques précédentes et du fait que le treillis residuel de ℤ̃[1/p]_{p∈P} est dense. Le corollaire 13 permet en effet sous ces conditions de construire une axiomatisation récursive de cet anneau.

Le dernier exemple est aussi le plus intéressant, puisqu’il concerne des anneaux PAC dont le corps des fractions n’est pas séparablement clos (cas particulier un peu trivial de corps PAC).

Notations: Soit ℚ_{0} := ℚ_{ar}[i] et ℤ_{0} la clôture intégrale de ℤ dans ℚ_{0} : ℤ_{0} = ℤ̃ ∩ ℚ_{0}.

Le théorème de Moret-Bailly montre que ℤ_{0}[1/p]_{p∈P} est PAC si P ≠ ∅. On ignore si ℤ_{0} lui-même est PAC, mais cela parait peu probable. En outre on sait que ces anneaux ont tous un treillis résiduel dense, et que leur corps des fractions ℚ_{0} est décidable. Le corollaire 13 permet alors de conclure :

Théorème 18 Si P ≠ ∅, alors ℤ_{0}[1/p]_{p∈P} est décidable si et seulement si P est récursif. Plus généralement, toujours si P ≠ ∅, la clôture intégrale de ℤ_{0}[1/p]_{p∈P} dans une extension algébrique K quelconque de ℚ_{0} est décidable si et seulement si K est décidable et P est récursif.

Bibliographie

[Ho] M. Hochster, Prime ideal structure in commutative rings, Trans. Amer. Math. Soc. 142 (1969) 43–60.

[F-J] M.D. Fried, M. Jarden, Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik.

[MB] L. Moret-Bailly, Groupe de Picard et problèmes de Skolem II, Ann. scien. Ec. Norm. Sup. (4) 22 (1989) 181–194.

[P-S] A. Prestel, J. Schmid, Existentially closed domains with radical relations, J. reine und angew. Math. 407 (1990) 178–201.

[Ru] R. Rumely, Arithmetic over the ring of all algebraic integers, J. reine und angew. Math. 368 (1986) 127–133.