UNIVERSITÉ DENIS DIDEROT (PARIS VII) Séminaire général de théorie des modèles, novembre 1997

Anneaux localement booléens

1. Rappels sur les anneaux de valuation

Définition Un anneau de valuation est un anneau intègre R tel que :

∀a, b ∈ R, a|b ou b|a

où “a|b” se lit “a divise b”. Le langage des anneaux de valuation est L_{div} = {0, 1, +, −, ., |}

Notations: Si R est un anneau de valuation de corps des fractions K, il possède un unique idéal maximal et on note :

– m(R) l’idéal maximal de R;

– Γ_{R} = K^{∗}/R^{∗} le “groupe des valeurs” de R;

– k_{R} = R/m(R) le “corps des restes” de R;

– |x|_{R} ∈ Γ_{R} la classe de x modulo R^{∗}, pour tout x ∈ K^{∗}. Γ_{R} est un groupe abélien, linéairement ordonné par la relation :

|x|_{R} ≤ |y|_{R} ⟺ \frac{x}{y} ∈ R.

Par convention, on pose |0|_{R} = 0 et on prolonge l’ordre de Γ_{R} à Γ_{R} ∪ {0} en posant :

∀x ∈ K^{∗}, |x|_{R} > 0.

Comme la notation |x|_{R} le suggère, on a alors une topologie sur K définie en prenant pour tout x_{0} ∈ K les ensembles {x ∈ K / |x − x_{0}|_{R} ≤ |ε|_{R}}_{ε∈K^{∗}} comme base de voisinage de x_{0}. L’inégalité triangulaire prend pour les valuations une forme particulière :

|x − y|_{R} ≤ max(|x|_{R}, |y|_{R}).

En outre :

|x − y|_{R} < max(|x|_{R}, |y|_{R}) ⟹ |x|_{R} = |y|_{R}.

Cela entraîne, par la formule de Taylor, que pour tout f ∈ R[X] :

|f(x) − f(y)|_{R} ≤ |x − y|_{R}

Définition Un anneau de valuation R est dit hensélien si pour tout polynôme unitaire f à coefficients dans R, si f a une racine résiduelle simple (i.e. dans k_{R}) alors celle-ci se relève en une racine simple dans R.

Exemples: L’anneau ℤ_{p} est un anneau de valuation hensélien. L’anneau k[[T]] des séries formelles à coefficients dans un corps k aussi.

Faits :

(1) Tout anneau de valuation R se plonge dans un anneau hensélien plus petit que tous les autres, appelé son hensélisé et noté R^{h}. Ils ont même corps résiduel et même corps des restes. Son corps de fraction est une extension algébrique séparable de celui de R.

(2) La classe des anneaux de valuation hensélien est élémentaire dans L_{div}.

(3) Si T_{c} (resp. T_{g}) est une théorie de corps (resp. de groupe abélien linéairement ordonné) alors la classe des anneaux de valuation R tel que k_{R} ⊧ T_{c} et Γ_{R} ⊧ T_{g} est élémentaire. Notons T (T_{c}, T_{g}) sa théorie. Notons T H(T_{c}, T_{g}) = T (T_{c}, T_{g}) + “être hensélien”.

Théorème 1 (Ax-Kochen-Ershov) Si, avec les notations ci-dessus, on a :

– les modèles de T_{c} sont de caractéristique nulle ;

– T_{c} (resp. T_{g}) a un modèle-compagnon T_{c}^{∗} (resp. T_{g}^{∗}).

Alors T H(T_{c}^{∗}, T_{g}^{∗}) est le modèle-compagnon de T (T_{c}, T_{g}).

Remarque: Pour l’élimination des quantificateurs dans des langages enrichis, cf. thèse Delon.

Un cas d’inégale caractéristique

Définition Un anneau de valuation p-adique de rang 1 (p un nombre premier) est un anneau de valuation de caractéristique nulle, de corps résiduel 𝔽_{p} et dont l’idéal maximal est engendré par p. Il est dit p-adiquement clos de rang 1 si de plus il est hensélien et si son groupe des valeurs est un ℤ-groupe (i.e. ici, en notation additive, |Γ_{R}/nΓ_{R}| = n pour tout n ∈ ℕ^{∗}). fin

Remarque: Tous les anneaux de valuation p-adiques que nous considérons étant de rang 1, nous sous-entendrons partout cette précision.

Exemple: ℤ_{p} est un anneau de valuation p-adiquement clos. On peut montrer qu’en fait un anneau de valuation est p-adiquement clos si et seulement s’il est élémentairement équivalent à ℤ_{p}.

Théorème 2 La théorie des anneaux de valuation p-adiquement clos est le modèle-compagnon de celle des anneaux de valuation p-adiques.

Remarque: On obtient l’élimination des quantificateurs pour les corps p-adiquement clos dans un langage enrichi de certains prédicats unaires.

2. Corps munis d’une famille de topologies

On sait qu’une topologie sur un corps rendant continues les opérations usuelles est forcément induite par un ordre ou une valuation (en considérant que la topologie usuelle de ℂ est induite par l’ordre de ℝ). On peut donc préciser un peu les choses : soit K un corps, et W une familles d’ordres et d’anneaux de valuation sur K.

Cas où W n’a qu’un seul élément

On peut considérer que ce cas est réglé :

– Si c’est un ordre, on sait que la théorie des corps ordonnés admet pour modèle-compagnon celle des corps réel clos, qui en outre est complète, décidable, et a l’élimination des quantificateurs.

– Si c’est une valuation, les cas les plus ordinaires ont été élucidés par les résultats cités plus haut. On note que la théorie d’un anneau de valuation hensélien dépend notamment de celle de ses structures résiduelles (groupe des valeurs et corps des restes).

Cas où W est finie

L’étude de ce cas remonte à la thèse de van den Dries. Elle repose sur des principes locauxglobaux de type géométrique, qui permettent de concilier dans K des informations prises dans ses différentes clôtures (réelles ou henséliennes). On obtient alors des résultats de modèlecomplétude, de décidabilité, voire d’élimination des quantificateurs en fonction des théories des structures locales considérées (noter que, si toutes les clôtures réelles sont élémentairement équivalentes, il n’en va pas de même des différents hensélisés, qu’il est donc utile de décrire individuellement).

On peut mener cette étude dans le langage des anneaux augmenté de n prédicats (un pour chaque ordre et chaque anneau de valuation).

Le cas général

Si on essaye de mener cette étude dans le langage “naturel” des anneaux augmenté d’une infinité de symboles de relations (un par élément de W) ça ne marche pas (cf. thèse van den Dries). On contourne alors la difficulté :

– Si W n’est composée que d’ordres, on considère l’ensemble des éléments de K positifs au sens de tous les ordres de W simultanément. Cela conduit à l’étude des corps pseudo réels clos, dont il ne sera pas question ici.

– Si W est composée uniquement d’anneaux de valuation, on considère son anneau

d’holomorphie A_{W} = ⋂ W. Pour pouvoir mener à bien notre étude, il nous faut : (i) pouvoir reconstituer W à partir de A_{W} ; (ii) “coder” dans A_{W} des informations sur les théories des anneaux de valuation

R ∈ W, et si possible sur leurs hensélisés.

Le cas général peut ensuite être abordé en mélangeant ces deux là. Nous nous contenterons de regarder le second. Pour pouvoir satisfaire aux conditions ci-dessus, on introduit la notion suivante.

3. Parties constructibles

Notations: Si W est une famille quelconque d’anneaux de valuation sur un corps K, nous noterons pour tout x ∈ K, W (x)= {R ∈ W / x ∈ m(R)}. Si A est un anneau intègre de corps des fractions K, nous noterons W_{A} l’ensemble des anneaux de valuation R de K tels que m(R)∩A ∈ Spm(A). Pour tout a ∈ A, nous noterons aussi M(a) l’ensemble des idéaux maximaux de A contenant a.

Définitions Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, et W une famille d’anneaux de valuation sur K.

(1) On appelle parties constructibles de W (resp. de Spm(A)) les combinaisons booléennes de parties du type W (x) (resp. M(a)).

(2) La topologie de Zariski sur W (resp. sur Spm(A)) est la topologie définie en prenant comme sous-base de fermés les parties du type W (x) (resp. M(a)).

(3) Un anneau intègre A est dit de Prüfer si pour tout 𝔪 ∈ Spm(A), A_{𝔪} est un anneau de valuation.

Proposition 3 Avec les notations de la définition, si on prend W = W_{A} et si A est de Prüfer, alors :

(1) A = A_{W} et W = {A_{𝔪} / 𝔪 ∈ Spm(A)}.

(2) L’application 𝔪 ↦ A_{𝔪} envoie bijectivement les parties constructibles de Spm(A) sur celles de W_{A}.

Le (1) ci-dessus montre que si on se limite aux familles d’anneaux de valuation de la forme W_{A} où A est de Prüfer, la condition (i) évoquée dans le “cas général” est satisfaite. Comme il se trouve que la classe des anneaux de Prüfer est élémentaire, il paraît raisonnable de nous limiter à ce cas. La raison d’être des parties constructibles réside surtout dans la propriété suivante, à rapprocher de la condition (ii) énoncée plus haut.

Proposition 4 Soit A un anneau de Prüfer de corps des fractions K, et soit φ une formule sans quanteur de L_{div} à paramètres dans A. Alors l’ensemble des R ∈ W_{A} tels que R ⊧ φ est constructible.

C’est cette propriété, combinée à la notion d’approximation par blocs, qui va rendre possible sous des conditions raisonnables l’axiomatisation des structures locales à partir de l’anneau d’holomorphie.

4. Axiomatisation

Définition Soit W une famille d’anneaux de valuation sur un corps K. W satisfait la propriété d’approximation par blocs (BAP) si :

– pour toute partition constructible W_{1}, …, W_{p}, de W (i.e. toute partition de W formée de parties constructibles) ;

– ∀x_{1}, …, x_{p} ∈ K, ∀ε_{1}, …, ε_{p} ∈ K \ {0}; il existe x ∈ K tel que :

∀i ∈ [[1, p]], ∀R ∈ W_{i}, |x − x_{i}|_{R} ≤ |ε_{i}|_{R}.

Nous dirons d’un anneau intègre A qu’il satisfait la BAP si W_{A} la satisfait.

Exemple: On peut montrer que tout anneau intégralement clos inclus dans une clôture algébrique de ℚ ou de 𝔽_{p}(T) satisfait la BAP.

Proposition 5

(1) La classe des anneaux de Prüfer satisfaisant la BAP est élémentaire.

(2) Si un anneau de Prüfer A satisfait la BAP, alors les parties constructibles de Spm(A) sont toutes ouvertes ou fermées. Si de plus le radical de jacobson de A est non nul, alors elles sont toutes à la fois ouvertes et fermées dans Spm(A).

Définition Une formule φ(x) de L_{div}, à n variables libres, est BAP-compatible s’il existe une formule φ^{∗}(x) du langage des anneaux telle que tout anneau de Prüfer A ayant la BAP et tout a ∈ A^{n} vérifient :

A ⊧ φ^{∗}(a) ⟺ ∀𝔪 ∈ Spm(A), A_{𝔪} ⊧ φ(a).

Une théorie d’anneaux de valuation T (dans L_{div}) sera dite BAP-compatible si et seulement si elle est axiomatisable par des formules BAP-compatibles.

Quand on se donne une famille d’anneaux de valuation issue d’un anneau de Prüfer A satisfaisant la BAP nous voulons, pour satisfaire (ii) (§2, le cas général), axiomatiser dans A les propriétés des éléments de W_{A}, voire de leurs hensélisés. Autrement dit, il nous faut montrer que de nombreuses théories d’anneaux de valuation, et notamment celles correspondant aux théorèmes rappelés dans la première partie, sont BAP-compatibles. Notre résultat est le suivant :

Proposition 6 (1) La théorie des anneaux de valuation denses dans leurs hensélisés est BAP-compatible.

(2) La théorie des anneaux de valuation p-adiquement clos est BAP-compatible.

(3) La théorie des anneaux de valuation R tels que k_{R} ⊧ T_{c} et Γ_{R} ⊧ T_{g}, où T_{c} (resp. T_{g}) est une théorie de corps (resp. de groupe abélien linéairement ordonné) axiomatisée par des formules ∀∃, est BAP-compatible.

Nous donnons une idée de la preuve en annexe.

5. Le modèle-compagnon

Soit T_{loc} une théorie BAP-compatible d’anneaux henséliens, telle que pour tout anneau de valuation R dense dans son hensélisé on ait : R ⊧ T_{loc} si et seulement si R^{h} ⊧ T_{loc}. La proposition 6 montre que la théorie des anneaux de valuation p-adiquement clos et les théories du type T (T_{c}, T_{g}) vérifient ces hypothèses. La classe des anneaux de Prüfer A satisfaisant la BAP tels que tout R ∈ W_{A} est dense dans R^{h} et R^{h} ⊧ T_{loc} est donc élémentaire. Nous noterons T (T_{loc}) sa théorie. Pour éviter des cas triviaux, on exige en outre que les modèles de T_{loc}, et donc aussi ceux de T (T_{loc}), ne soient pas des corps.

Nous allons énoncer un analogue du théorème d’Ax-Kochen-Ershov : avec les notations cidessus, si T_{loc} est modèle-complète, alors T (T_{loc}) possède un modèle-compagnon. Celui-ci peut être décrit explicitement, modulo quelques définitions.

Définition Un modèle A de T (T_{loc}) sera dit maximal, s’il n’existe pas d’extension algébrique propre L de Fr(A) telle que la clôture intégrale de A dans L soit encore un modèle de T (T_{loc}).

Lemme 7 La classe des modèles maximaux de T (T_{loc}) est élémentaire.

La preuve est assez facile, et se fait comme pour la proposition 6 à l’aide des parties constructibles, grâce à la BAP.

Définition Pour tout anneau A la relation suivante :

a ≤ b ⟺ ∀𝔪 ∈ Spm(A), (a ∈ 𝔪 ⟹ b ∈ 𝔪)

définit un préordre sur A, appelé relation radicale de A. L’ordre quotient est un demi-treillis supérieur appelé le treillis résiduel de A.

La notion de relation radicale est due à Prestel-Schmid. Elle joue ici un rôle analogue à celui des préordres d’Artin dans l’étude des corps pseudo réel clos. La propriété de Hensel est centrale dans le théorème d’Ax-Kochen-Ershov. Elle est remplacée ici par un principe local global de type géométrique, qui a lui aussi un pendant pour les corps pseudo réel clos.

Définition Un anneau de Prüfer A ayant la BAP est dit satisfaire le LGPH si et seulement si pour toute variété V définie sur Fr(A) on a :

V^{∘}(A) ≠ ∅ ⟺ ∀R ∈ W_{A}, V^{∘}(R^{h}) ≠ ∅.

Contrairement aux apparences, on peut montrer que :

Lemme 8 La classe des modèles de T (T_{loc}) satisfaisant le LGPH est élémentaire.

L’analogue du théorème d’Ax-Kochen-Ershov s’énonce alors ainsi :

Théorème 9 Si T_{loc} est modèle-complète, alors T (T_{loc}) admet un modèle-compagnon T^{∗}(T_{loc}). Les modèles existentiellement clos de T (T_{loc}) sont ceux qui sont maximaux, satisfont le LGPH, et dont le treillis résiduel est une algèbre de Boole dense.

Annexe : démonstration de la proposition 6 (idée)

Rappel de la proposition 6 (1) La théorie des anneaux de valuation denses dans leurs hensélisés est BAP-compatible.

(2) La théorie des anneaux de valuation p-adiquement clos est BAP-compatible.

(3) La théorie des anneaux de valuation R tels que k_{R} ⊧ T_{c} et Γ_{R} ⊧ T_{g}, où T_{c} (resp. T_{g}) est une théorie de corps (resp. de groupe abélien linéairement ordonné) axiomatisée par des formules ∀∃, est BAP-compatible.

(1) Un anneau de valuation R est dense dans son hensélisé si et seulement si pour tout polynôme f ∈ R[X], s’il existe un élément a de R tel que f(a) ∈ m(R) et f′(a) ∉ m(R), alors pour tout ε ∈ R \ {0} il existe b ∈ R tel que |f(b)|_{R} ≤ |ε|_{R}. Autrement dit, la classe des anneaux de valuation denses dans leurs hensélisés est axiomatisée par les formules suivantes, pour tout d ∈ ℕ^{∗} :

DH_{d} ≡ ∀c_{0}, …, c_{d}∀a∀ε, (ε ≠ 0 → ∃b, f(a)|1 ∨ f′(a) |̸1 ∨ ε|f(b))

avec f = ∑ c_{i}X^{i}. Il suffit donc de montrer que DH_{d} est BAP-compatible

(2) C’est essentiellement un cas particulier du (3).

(3.a) Un axiome de T_{c} est de la forme ∀x∃yφ(x, y), où φ(x, y) est une formule sans quanteur du langage des anneaux à m + n variables libres :

φ(x, y) ≡ ∨∨_{i∈I} ∧∧_{j∈J_{i}} f_{i,j}(x, y) = 0 ∧ g_{i}(x, y) ≠ 0.

Elle se traduit par la formule ∀x∃yφ^{∗}(x, y) de L_{div} définie par :

φ^{∗}(x, y) ≡ ∨∨_{i∈I} ∧∧_{j∈J_{i}} f_{i,j}(x, y) |̸1 ∧ 0 ≠ g_{i}(x, y)|1

au sens où un anneau de valuation R satisfait ∀x∃yφ^{∗}(x, y) si et seulement si son corps des restes vérifie ∀x∃yφ(x, y).

(3.b) De même, on peut (c’est classique : il suffit de ramener la théorie du groupe à celle de sa partie positive) axiomatiser T_{g} modulo la théorie des groupes abéliens linéairement ordonnés par des formules ∀x∃yψ(x, y) du type suivant :

ψ(x, y) ≡ ( ∧∧_{1≤i≤m} x_{i} ≥ 0) →

[ ∧∧_{1≤j≤n} y_{j} ≥ 0 ∧ (∨∨_{i∈I} ∧∧_{j∈J_{i}} f_{i,j}(x, y) ≥ f′_{i,j}(x, y) ∧∧_{k∈K_{i}} g_{i,k}(x, y) ≱ g′_{i,k}(x, y))],

où x = (x_{1}, …, x_{m}), y = (y_{1}, …, y_{n}) sont des multivariables, et les f_{i,j}, f′_{i,j}, g_{i,j}, g′_{i,j} des combinaisons linéaires à coefficients dans ℕ (nous sommes en notations additives). Tout anneau de valuation R, de groupe des valeurs Γ_{R} noté additivement, vérifie :

Γ_{R} ⊧ ∀x∃yψ(x, y) ⟺ R ⊧ ∀x∃yψ^{∗}(x, y)

où ψ^{∗}(x, y) est la formule :

ψ^{∗}(x, y) ≡ ( ∧∧_{1≤i≤m} x_{i} ≠ 0) →

[ ∧∧_{1≤j≤n} y_{j} ≠ 0 ∧ (∨∨_{i∈I} ∧∧_{j∈J_{i}} F′_{i,j}(x, y)|F_{i,j}(x, y) ∧∧_{k∈K_{i}} G′_{i,k}(x, y) |̸G_{i,k}(x, y))],

dans laquelle, pour toute combinaison linéaire h(z) := ∑ n_{i}z_{i} à coefficients dans ℕ, on a posé H(z) := ∏ z_{i}^{n_{i}}. Les x_{i} et y_{i} étant tous supposés non nuls, on peut remplacer les sous-formules F′_{i,j}(x, y)|F_{i,j}(x, y) par 0 ≠ F′_{i,j}(x, y)|F_{i,j}(x, y).

Il suffit donc de montrer que les formules ci-dessus sont BAP-compatibles. C’est l’objet de la proposition suivante :

Proposition 10 Soit ψ(x, y, z) ≡ ∨∨_{i∈I} ψ_{i}(x, y, z) une disjonction de formules à m + n + p variables libres, du type suivant :

ψ_{i}(x, y, z) ≡ ∧∧_{j∈J_{i}} f_{i,j} ≠ 0 ∧∧_{j∈K_{i}} 0 ≠ p_{i,j}|q_{i,j} ∧∧_{j∈K′_{i}} p′_{i,j} |̸q′_{i,j}

où les f_{i,j}, p_{i,j}, q_{i,j}, p′_{i,j}, q′_{i,j} sont des polynômes en x, y, z à coefficients dans ℤ (les variables sont sous-entendues dans ψ_{i}). Soit θ(x, y) une formule sans quanteur du langage des anneaux. Alors la formule ∀y(θ(x, y) → ∃zψ(x, y, z)) est BAP-compatible.

On commence par se ramener à ne considérer que les anneaux dont le radical de Jacobson est non nul, afin d’avoir des parties constructibles toujours ouvertes (cf. la proposition 5).

Lemme 11

(1) Une théorie T est BAP-compatible si et seulement s’il existe une théorie T^{∗∗} du langage des anneaux telle que pour tout anneau de Prüfer A de radical de Jacobson non nul et satisfaisant la BAP on a :

A ⊧ T^{∗} ⟺ ∀R ∈ W_{A}, R ⊧ T.

(2) Dans un anneau de Prüfer A de radical de Jacobson non nul satisfaisant la BAP, toutes les parties constructibles de Spm(a) (resp. de W_{A}) sont de la forme M(a) (resp. W_{A}(a)) avec a ∈ A \ {0}.

La preuve de ce lemme est facile, et ne présente pas d’intérêt. La démonstration de la proposition 10 en revanche mérite un détours puisqu’elle permet de voir comment intervient la notion de partie constructible, et comment la BAP permet de faire tout le travail. Elle se fait en deux étapes.

Étape 1 : Pour toute formule de L_{div} BAP-compatible φ(x, y) à m + n variables, et toute formule sans quanteur θ(x, y) du langage des anneaux, la formule ∀y(θ(x, y) → φ(x, y)) est BAP-compatible.

Preuve: Soient φ et θ deux telles formules. La BAP-compatibilité de φ donne une formule φ^{∗}. On montre alors que pour tout anneau de Prüfer A et tout a ⊆ A on a :

∀R ∈ W_{A}, R ⊧ ∀y(θ(a, y) → φ(a, y))  (1)

si et seulement si :

∀α ∈ A \ (A^{∗} ∪ {0}), S_{α}^{−1}A ⊧ ∀y(θ(a, y) → φ^{∗}(a, y))  (2)

Or (2) se dit par une formule Θ(α, a) et les S_{α}^{−1}A sont uniformément interprétables dans A, d’où :

(2) ⟺ A ⊧ ∀α[(α ≠ 0 ∧ ∀β(αβ ≠ 1)) → Θ(α, a)]

Ceci valant pout tout A et tout a, la formule ∀y(θ(a, y) → φ(a, y)) est donc bien BAPcompatible.

Étape 2 : La formule ∃zψ(x, y, z)) est BAP-compatible.

Preuve: D’après l’étape précédente, il suffit de montrer que ∃zψ(x, y, z) est BAP-compatible. Pour simplifier, supposons que ψ soit réduite à :

ψ(z) ≡ f(z) ≠ 0 ∧ 0 ≠ p(z)|q(z)

Soit A un anneau de Prüfer satisfaisant la BAP, et tel que tout R ∈ W_{A} satisfasse ∃zψ(z). En vertu du lemme précédent on peut supposer que le radical de Jacobson de A est non nul, et donc que toute partie constructible de Spm(A) est ouverte. Or pour tout 𝔪 ∈ Spm(A) on a un z_{𝔪} ∈ A_{𝔪} tel que A_{𝔪} ⊧ ψ(z_{𝔪}). L’ensemble C_{𝔪} := {𝔫 ∈ Spm(A) / z_{𝔪} ∈ A_{𝔫} et A_{𝔫} ⊧ ψ(z_{𝔪}} est constructible d’après la proposition 4, donc ouvert, et contient 𝔪.

Les C_{𝔪} forment donc un recouvrement ouvert de Spm(A) ; par quasi-compacité on peut en extraire un sous-recouvrement fini C_{𝔪_{1}}, …, C_{𝔪_{r}} de Spm(A). Pour alléger, posons C_{i} := C_{𝔪_{i}} (1 ≤ i ≤ r) et de même pour z_{i}. Quitte à remplacer itérativement chaque C_{i+1} par C_{i} \ ⋃_{j=1}^{i} C_{i}, on peut supposer que les C_{i} forment une partition contructible de Spm(A). La BAP permet alors de construire un z ∈ K := Fr(A) tel que :

∀i ∈ [[1, r]], ∀𝔫 ∈ C_{i}, |z − z_{i}|_{𝔫} ≤ |ε_{0}ε_{i}|_{𝔫}

où ε_{i} := f(z_{i})p(z_{i})q′(z_{i}) est non nul par hypothèse, et ε_{0} ∈ J(A) \ {0}.

Pour tout i et tout 𝔫 dans C_{i} on a :

– |z|_{𝔫} ≤ max(|z − z_{i}|_{𝔫}, |z_{i}|_{𝔫}) ≤ 1, i.e. s ∈ A_{𝔫} D’où z ∈ ⋂_{i} ∩_{C_{i}}A_{𝔫} = ⋂{A_{𝔪} / 𝔪 ∈ Spm(A)} = A.

– |f(z) − f(z_{i})|_{𝔫} ≤ |z − z_{i}|_{𝔫} ≤ |ε_{0}ε_{i}|_{𝔫} < |f(z_{i})|_{𝔫}.

D’où |f(z)|_{𝔫} = |f(z_{i})|_{𝔫} et en particulier f(z) ≠ 0.

– Le même raisonnement que ci-dessus pour f montre que |p(z_{i})|_{𝔫} = |p(z)|_{𝔫}. Or |q(z)|_{𝔫} ≤ max(|q(z)−q(z_{i})|_{𝔫}, |q(z_{i})|_{𝔫}), et |q(z)−q(z_{i})|_{𝔫} ≤ |z−z_{i}|_{𝔫} ≤ |p(z_{i})|_{𝔫}. Comme A_{𝔫} ⊧ p(z_{i})|q(z_{i}) on a |q(z_{i})|_{𝔫} ≤ |p(z_{i})|_{𝔫} donc finalement |q(z)|_{𝔫} ≤ |p(z_{i})|_{𝔫} = |p(z)|_{𝔫}. D’où q(z)/p(z) ∈ ⋂ W_{A} = A,i.e. A ⊧ q(z)|p(z).

On a donc bien A ⊧ ψ(z), et la réciproque est banale : s’il existe z ∈ A tel que A ⊧ ψ(z) la forme de ψ est telle que tout R ∈ W_{A} satisfait ψ(z), ce qui achève la démonstration.