UNIVERSITÉ DE RENNES I Séminaire de géométrie algébrique, octobre 1997

Principe de Hasse et théorie des modèles Une approche logique d’un théorème d’Artin

Partie 1. Interprétation logique du principe de Hasse

a. Point de vue géométrique

Notations: Étant donnée une partie R d’un corps K, on pose :

H_{R}(K) := \{ \begin{matrix}“le” hensélisé de K relativement à R, si R est un anneau de valuation ; \\ “la” clôture réelle de K relativement à R, si R est un ordre sur K. \end{matrix}

Remarque: H_{R}(K) n’est pas défini de manière univoque puisque dans une clôture algébrique donnée, K a en général plusieurs clôtures réelles ou henséliennes. Cependant elles sont toutes K-isomorphes, et on aura garde de ne faire intervenir les H_{R}(K) que sur des notions conservées par K-isomorphisme, ce qui autorise ces notations.

Définition Soit Σ une famille d’ordres et de valuations sur un corps K. On dit que K satisfait le principe de Hasse relativement à Σ si et seulement si pour toute variété non vide V définie sur K :

V^{∘}(K) ≠ ∅ ⟺ ∀R ∈ Σ, V^{∘}(H_{R}(K)) ≠ ∅.

On le note K ∈ PPDH(Σ)

Remarque: Lorsque les géomètres parlent de principe de Hasse, ils ont l’habitude de regarder les points locaux dans les complétés de K (notons-les C_{R}(K)) et non dans ses clôtures réelles ou ses hensélisés. Mais ils le font toujours dans des cas (valuations discrètes) où K est dense dans H_{R}(K) donc où H_{R}(K) se plonge dans C_{R}(K) au-dessus de K. Or nous verrons dans la seconde partie une généralisation d’un théorème d’Artin qui montrera que dans ce cas V^{∘}(H_{R}(K)) ≠ ∅ ⟺ V^{∘}(C_{R}(K)) ≠ ∅.

Exemples:

(1) Tout corps valué hensélien (resp. réel clos) K satisfait le principe de Hasse relativement à cette valuation (resp. à cet ordre).

(2) Si K est algébriquement clos (ou même séparablement clos), alors K ∈ PPDH(∅).

Ces exemples se généralisent :

Définition Avec les notations précédentes, si K satisfait le principe de Hasse relativement à Σ on dit :

– que K est pseudo algébriquement clos (PAC), si Σ = ∅;

– que K est pseudo réel clos (PRC), si Σ n’a que des ordres ;

– que K est pseudo p-adiquement clos (PpC) si Σ n’a que des anneaux de valuation p-adiques (comme ℚ_{p}).

Exemples élaborés : On appelle nombres totalement réels les nombres algébriques dont tout conjugué sur ℚ est dans ℝ. Ils forment une extension algébrique de ℚ, notée ℚ_{ar}.

Théorème 1 (Pop ?) ℚ_{ar} est PRC.

Corollaire 2 ℚ_{ar}[i] est PAC.

On appelle de même nombres totalement p-adiques les nombres algébriques dont tout conjugué sur ℚ est dans ℚ_{p}. Ils forment une extension algébrique de ℚ, notée ℚ_{ap}.

Théorème 3 (Moret-Bailly) ℚ_{ap} est PpC.

b. Point de vue logique

Commençons par quelques définitions.

L := {0, 1, +, −, .} est le langage des anneaux.

Nous appellerons formules d’anneaux les formules de L équivalentes, modulo les axiomes de la théorie des anneaux, à des formules du type suivant :

Q_{1}x_{1}, …, Q_{m}x_{m} ∨∨_{i∈I} ∧∧_{j∈J_{i}} p_{i,j}(x) = 0 ∧∧_{j∈J′_{i}} q_{i,j}(x) = 0

où :

– les Q_{i} sont des quantificateurs ∀ et ∃;

– ∧ (resp ∨) désigne le “et” (resp. “ou”) logique, et ∧∧ (resp. ∨∨) sa forme itérée ;

– I et les J_{i} sont des ensembles finis d’indices ;

– les p_{i,j}, q_{i,j} ∈ ℤ[X_{1}, …, X_{m}] et x = (x_{1}, …, x_{m}).

La formule sera dite existentielle si tous les Q_{i} sont des ∃. Elle sera dite à paramètres dans un anneau A si les polynômes sont pris à coefficients dans A.

Une formule φ à paramètres dans A permet d’exprimer un propriété. On dira que φ est satisfaite dans A si et seulement si A vérifie la propriété énoncée par φ.

Exemple: La formule ∀x∀y(xy = yx) énonce que la multiplication est commutative. Un anneau A la satisfait donc si et seulement s’il est commutatif. (Note : tous nos anneaux sont supposés commutatifs.)

Remarque: La seule chose de spécifique aux anneaux dans la définition des formules ci-dessus est le fait que les p_{i,j} et q_{i,j} soient des polynômes. Avec le langage des groupes L′ := {0, +, −} on construit de manière identique les formules de groupes abéliens, en remplaçant les polynômes par des combinaisons linéaires à coefficients entiers.

Propriété 4 Soit K ⊆ L une extension de corps. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(a) Toute formule existentielle à paramètres dans K satisfaite dans L est satisfaite dans K.

(b) Tout système fini d’équations polynômiales à coefficients dans K admettant une solution dans L a une solution dans K.

(c) L’extension L|K est régulière, et toute variété V définie sur K ayant un point lisse dans L a un point lisse dans K.

Définition Si l’une des conditions ci-dessus est réalisée l’extension L|K est dite existentiellement close, ce qu’on note K ≤_{∃} L.

Remarque: La définition de la propriété de clôture existentielle, au sens (a) ou (b) ci-dessus, s’étend à tout type de langage et de structure. Par exemple, si l’on regarde le plongement de K dans L seulement comme un plongement de groupes, la propriété de clôture existentielle est vérifiée (au sens des groupes) si et seulement si tout système fini d’équations linéaires à coefficients dans K ayant une solution dans L a une solution dans K. Or on sait par l’algorithme de Rouché-Fontenet que cela est toujours vrai. Toute extension de corps est donc existentiellement close au sens des groupes abéliens. Dans la suite, nous ne considèrerons cette notion qu’au sens des anneaux, suivant la définition donnée ci-dessus.

Exemples:

(1) Un corps algébriquement clos est existentiellement clos dans toute extension (et réciproquement, un corps existentiellement clos dans toute extension est algébriquement clos).

(2) Un corps réel clos est existentiellement clos dans toute extension réelle (i.e. à laquelle se prolonge son ordre).

(3) Tout corps valué hensélien est existentiellement clos dans son complété. Ce résultat généralise un théorème de M. Artin, et fera l’objet de la seconde partie de cet exposé.

Définition Soit K un corps et F une famille d’extensions algébriques de K. On dit que K est régulièrement clos relativement à F, ce qu’on note K ∈ RC(F), si pour toute extension régulière L de K on a :

∀F ∈ F, F ≤_{∃} L ⊗_{K} F ⟹ K ≤_{∃} L

Cette notion a été proposée pour la première fois par Ershov [Er]. Elle traduit en termes purement logiques le principe de Hasse. Pour opérer cette traduction, il faut une étape intermédiaire :

Définition Un corps K est dit géométriquement clos si et seulement si pour toute variété non vide V définie sur K on a :

V^{∘}(K) ≠ ∅ ⟺ K ≤_{∃} K(V)

Remarque: Dans cette définition, seule l’implication de gauche à droite est non triviale. En effet pour la réciproque si on a K ≤_{∃} K(V) il est facile de voir qu’une formule du type suivant est satisfaite dans K(V) par le point générique (parce qu’il est forcément lisse) :

∃x, f(x) = 0 ∧ Δ_{f}(x) ≠ 0

où f est un système absolument réduit d’équations de V à coefficients dans K et Δ_{f} un déterminant extrait du Jacobien de f de taille appropriée (pour caractériser un point lisse). Puisque K ≤_{∃} K(V) elle est encore satisfaite dans K, i.e. V^{∘}(K) ≠ ∅.

Exemple: Les corps séparablement clos ou réel clos sont géométriquement clos.

Proposition 5 Tout corps valué hensélien est géométriquement clos.

La démonstration est essentiellement une application du théorème des fonctions implicites. Elle nécessite néanmoins un outil puissant, les ultra-produits, que nous présenterons dans la deuxième partie. Nous pouvons maintenant énoncer le résultat d’équivalence entre le principe de Hasse et la clôture régulière :

Proposition 6 Soit F une famille d’extensions algébriques d’un corps K. On suppose que tout élément de F est géométriquement clos. Alors K ∈ RC(F) si et seulement si pour toute variété V définie sur K on a :

V^{∘}(K) ≠ ∅ ⟺ ∀F ∈ F, V^{∘}(F) ≠ ∅.

Dans ce cas, K est lui-même géométriquement clos.

Preuve:

Supposons que K ∈ RC(F), et soit V une variété définie sur K telle V^{∘}(F) ≠ ∅ pour tout F ∈ F. Alors la propriété de clôture géométrique nous donne :

∀F ∈ F, F ≤_{∃} F (V) = Fr(F ⊗_{K} K(V))

D’où K ≤_{∃} K(V) par clôture régulière. Cela prouve la seconde assertion (K est géométriquement clos). Mais par une remarque précédente, quand K ≤_{∃} K(V) on a V^{∘}(K) ≠ ∅, ce qui démontre l’implication de gauche à droite.

Réciproquement supposons que K satisfasse relativement à F le principe local-global cidessus, et soit L une extension régulière de K telle que F ≤_{∃} Fr(L ⊗_{K} F) pour tout F dans F. Soit V une variété définie sur K telle que V^{∘}(L) ≠ ∅ Pour montrer que K ≤_{∃} L il suffit de montrer que V^{∘}(K) ≠ ∅. Or pour tout F dans F on a F ≤_{∃} Fr(L ⊗_{K} F) et V^{∘}(L) ⊆ V^{∘}(Fr(L⊗_{K} F)) ≠ ∅ donc V^{∘}(F) ≠ ∅. Par clôture régulière il s’ensuit que V^{∘}(K) ≠ ∅.

Corollaire 7 Soit Σ une famille d’ordres et de valuations sur un corps K, et soit F_{Σ} := {H_{R}(K) / R ∈ Σ}. Alors :

K ∈ PPDH(Σ) ⟺ K ∈ RC(F_{Σ})

Preuve: C’est une conséquence immédiate de la proposition 5 et de la proposition 6.

Remarque: Notons que dans la définition de la clôture géométrique comme dans celle de la clôture régulière, il n’intervient aucune notion de topologie, contrairement au principe de Hasse. En ce sens la notion de clôture régulière généralise strictement celle de principe de Hasse.

Partie 2. Un théorème d’Artin revisité

a. Rappels sur les ultra-produits

Soit A un anneau, I un ensemble, U un ultrafiltre sur I et μ la fonction caractéristique de U (on pourra penser à μ comme à une mesure sur I à valeurs dans {0, 1}).

Définition On note A^{μ} le quotient de A^{I} par la relation d’égalité μ-presque partout, i.e. par l’idéal I_{μ} défini par (x_{i})_{i∈I} ∈ I_{μ} ⟺ μ({i ∈ I / x_{i} = 0}) = 1. Le plongement diagonal fait de A un sous-anneau de A^{μ}. C’est ce qu’on appelle une ultrapuissance de A.

Lemme 8 (de Los) Avec les notations ci-dessus, pour toute formule d’anneau φ à paramètres dans A, on a :

A ⊧ φ ⟺ A^{μ} ⊧ φ.

Remarque: Ce lemme classique montre en particulier que si A est intègre (resp. est un corps), A^{μ} le sera aussi. De même, A est un anneau de valuation non trivial (resp. hensélien) si et seulement si A^{μ} en est un. Enfin il est facile de voir que, par exemple, Fr(A^{μ}) = Fr(A)^{μ}.

Nous avons maintenant les outils nécessaires pour démontrer la proposition 5 (tout corps valué hensélien est géométriquement clos).

Preuve: (de la proposition 5). Soit K un corps valué hensélien, V une variété de dimension d définie sur K telle que V^{∘}(K) ≠ ∅. Pour simplifier, on suppose que f ∈ K[X_{1}, …, X_{d}, Y] est une équation de V et qu’on a (x, y) ∈ K^{d} × K tel que f(x, y) = 0 et \frac{∂f}{∂Y} (x, y) ≠ 0.

Pour montrer que K ≤_{∃} K(V) il suffit de plonger K(V) au-dessus de K dans une ultrapuissance de K. En effet, si on a K ⊆ K(V) ⊆ K^{μ}, tout système fini d’équations et d’inéquations polynômiales à coefficient dans K ayant une solution dans K(V) en aura a fortiori une dans K^{μ}, et donc dans K puisque le lemme de Los entraîne que K ≤_{∃} K^{μ}.

Pour cela, considérons une ultrapuissance K^{μ} de K. On peut toujours s’arranger pour que le cardinal de K^{μ} soit arbitrairement grand, et a fortiori pour que le degré de transcendance de K^{μ} sur K soit infini. Le théorème des fonctions implicites dans K^{μ} nous donne un voisinage U de x tel que :

∀x′ ∈ U, ∃y′ ∈ K^{μ}, f(x′, y′) = 0 et \frac{∂f}{∂Y} (x′, y′) ≠ 0.  (1)

Comme le degré de transcendance de K^{μ} sur K est plus grand que d, on sait que l’ensemble des d-uplets d’éléments de K^{μ} algébriquement indépendants sur K est dense dans (K^{μ})^{d}. Soit x^{μ} un tel d-uplet pris dans l’ouvert U, et y^{μ} un élément de K^{μ} donné par (1). On a f(x^{μ}, y^{μ}) = 0 et le degré de transcendance de K(x^{μ}, y^{μ}) sur K étant égal à d = dim V, il vient K(x^{μ}, y^{μ}) ≃ K(V), d’où le K plongement cherché de K(V) dans K^{μ}.

b. Application à un théorème d’Artin

Le théorème de M. Artin dont nous parlons affirme qu’étant donné un corps K muni d’un anneau de valuation discrète R, hensélien et excellent (i.e. toute extension immédiate de K est séparable) et un système fini S d’équations polynomiales à coefficients dans K, les solutions de S à coordonnées dans K sont denses parmi celles à coordonnées dans le complété C_{R}(K) de K (voir [La, pp 258–259]). Ce théorème admet une généralisation :

Théorème 9 Pour toute variété V définie sur un corps valué hensélien K on a :

V^{∘}(K) est dense dans V^{∘}(C_{R}(K))

au sens de la topologie produit de la valuation. En particulier, K ≤_{∃} C_{R}(K) si et seulement si l’extension C_{R}(K)|K est séparable.

Remarque: Comme nous l’avions annoncé dans la première partie, on voit que le PPDH est bien celui des géomètres puisque V^{∘}(H_{R}(K)) ≠ ∅ ⟺ V^{∘}(C_{R}(K)) ≠ ∅ (si R est un anneau de valuation, ça vient de ce théorème, et si R est un ordre c’est un résultat bien connu ou une application d’un exemple donné plus haut : un corps réel clos est existentiellement clos dans toute extension à laquelle se prolonge son ordre, donc en particulier dans son complété).

Preuve: Soit R un anneau de valuation hensélien, K son corps des fractions, et V une variété définie sur K. Soit f ∈ K[X]^{m}, (où X = (X_{1}, …, X_{n}) un système absolument réduit d’équations de V. Prenons un point ȳ quelconque dans V^{∘}(C_{R}(K)), et soit Δ un déterminant de taille n − dim V extrait du jacobien de f tel que Δ(ȳ) ≠ 0. Soit enfin δ ∈ K^{∗} arbitrairement fixé et y ∈ K^{n} tel que |y − ȳ| ≤ |δ| (pour un n-uplet a = (a_{1}, …, a_{n}) quelconque, nous notons |a| ≤ |ε| le fait que max{|a_{i}| / 1 ≤ i ≤ n} ≤ |ε|, les modules étant pris au sens d’une valuation donnée par le contexte, ici celle de C_{R}(K)).

L’ensemble des voisinages de 0 dans K est un filtre, qui se plonge donc dans un ultrafiltre U sur I := K^{∗} de fonction caractéristique μ. D’après le lemme de Los R^{μ} est un anneau de valuation hensélien. Étant donnés deux points (x_{ε})_{ε∈K^{∗}} et (y_{ε})_{ε∈K^{∗}} de K^{I}, leurs images repectives x et y dans K^{μ} par la projection canonique vérifient |x| ≤ |y| si et seulement si |x_{ε}| ≤ |y_{ε}| μ-presque partout. Comme par construction tout voisinage de 0 dans K est dans l’ultrafiltre U, on voit que s’il existe η ∈ K^{∗} tel que pour tout ε ∈ K^{∗}, |ε| ≤ |η| ⟹ |x_{ε}| ≤ |y_{ε}|, alors on aura |x| ≤ |y|.

Soit 𝔭 l’idéal infinitésimal de R^{μ} c’est-à-dire :

𝔭 := {x ∈ R^{μ} / ∀a ∈ R \ {0}, |x| ≤ |a|}

Il est facile de voir que 𝔭 est un idéal premier de R^{μ}, donc le localisé R_{𝔭}^{μ} est encore un anneau de valuation hensélien.

Pour tout ε ∈ K^{∗} soit y_{ε} ∈ K^{n} tel que |ȳ − y_{ε}| ≤ min(|δ|, |ε|). Par continuité des fonctions polynômiales, on peut exiger que |f(y_{ε})| ≤ |ε| et |Δ(y_{ε})| = |Δ(ȳ)| = |m|. La famille (y_{ε})_{ε∈K^{∗}} donne alors un point y^{μ} de K^{μ} = Fr(R^{μ}) tel que :

– ∀ε ∈ K^{∗}, |ε| ≤ |δ| ⟹ |y_{ε} − y| ≤ |δ| donc |y^{μ} − y| ≤ |δ|, or y ∈ K^{n} ⊆ (R_{𝔭}^{μ})^{n} donc y^{μ} ∈ (R_{𝔭}^{μ})^{n};

– pour tout a ∈ R \ {0} on a ∀ε ∈ K^{∗}, |ε|_{R} ≤ |a|_{R} ⟹ |f(y_{ε})| ≤ |a| donc |f(y^{μ})| ≤ |a| i.e. f(y^{μ}) ∈ 𝔭;

– Δ(y^{μ}) ∉ 𝔭 (en fait |Δ(y^{μ})| = |Δ(ȳ)|).

Autrement dit V possède un point lisse résiduel dans R^{μ}/𝔭. Celui-ci se relève par la propriété de Hensel en x^{μ} ∈ V (R_{𝔭}^{μ}) tel que Δ(x^{μ}) ≠ 0 et x^{μ} − y^{μ} ∈ 𝔭^{n}. En particulier on a |x^{μ} − y| ≤ |δ|. Il s’ensuit, en notant f^{∗}, Δ^{∗} ∈ K[X, Y] les homogénéisés de f et Δ, et en prenant v ∈ R \ {0} tel que b := vy ∈ R^{n}, que la formule suivante est satisfaite dans R^{μ} :

φ ≡ ∃a, ∃u, ∃α, y ≠ 0 ∧ f^{∗}(a, u) = 0 ∧ Δ^{∗}(a, u) ≠ 0 ∧ va − ub = uvδα

φ est une formule existentielle à paramètres dans R et R ≤_{∃} R^{μ} donc elle est aussi satisfaite dans R. On a donc a ∈ R^{n} et u ∈ R \ {0} tel que x := u^{−1}a ∈ V^{∘}(K) et |x − y| ≤ |δ|, d’où |x − ȳ| ≤ max(|x − y|, |y − ȳ|) ≤ |δ|.

Le théorème d’Artin est alors un cas particulier de la conséquence immédiate suivante.

Corollaire 10 Soit K un anneau de valuation hensélien, K^{c} son complété, et S un système fini d’équations polynomiales à coefficients dans K. Si l’extension K^{c}|K est séparable, alors les solutions de S dans K sont denses parmi celles dans K^{c}.

Preuve: On sait que si l’extension K^{c}|K est séparable alors elle est régulière. Si x^{c} est une solution de S dans K^{c}, c’est donc aussi le point générique d’une variété V définie sur K (on a K(x^{c}) = K(V)). L’ensemble des solutions de S dans K contient V (K), et le théorème 9 donne des points de V (K) arbitrairement proches de x^{c}, d’où la conclusion.

Bibliographie

[Er] Y. Ershov, Relative regular closeness and π-valuations, Algebra and Logic 31 (1992) 342–360.

[La] S. Lang, Number Theory III, Encyclopedia of mathematical sciences, vol 60, Springer-Verlag.