Groupe de travail Angers-Nantes 2000-2001

14 juin 2001

Cette année, le groupe de travail s’est concentré autour des thèmes suivants:

- Les techniques cosimpliciales, et leur applications.

- Le calcul de cohomologie des fibres d’une fibration, et son outil privilégié, la suite spectrale d’Eilenberg-Moore.

Ces deux thèmes s’unifient dans le sens où la construction de Rector permet de construire la suite spectrale d’Eilenberg-Moore par des techniques cosimpliciales.

Ces thèmes ont été concrétisés par une étude du livre de Bousfield et Kan, ’Completion and localization in homotopy theory’. Ceci a débouché sur l’étude des propriétés basiques de la complétion au sens de Bousfield et Kan. Dans cet esprit, on a comparé la localisation de Bousfield et Kan avec les techniques plus récentes développées par Dror et bien d’autres.

D’un autre côté, on a étudié la suite spectrale d’Eilenberg-Moore, ses différentes constructions, sa convergence et surtout son application à des calculs cohomologiques. En particulier, le professeur K.Kuribayashi, qui est un spécialiste de ce type de calculs, nous a montré différentes facettes de son travail.

Enfin, certains d’entre nous ont profité du groupe de travail pour présenter leurs propres travaux devant un public attentif et averti.

Voici une liste non exhaustive des exposés qui ont étés donnés dans le groupe de travail.

I Techniques cosimpliciales

1. Introduction au livre de Bousfield-Kan.(J-C.Thomas, deux exposés) Rappels sur les ensembles simpliciaux. Homotopy dans les ensembles simpliciaux. Groupes abéliens simpliciaux. Espaces cosimpliciaux. Espace total d’un espace cosimplicial. Définition du complété de B-K.

2. Espaces cosimpliciaux. Tour de fibration associée à un espace cosimplicial fibrant. Suite spactrale homotopique associée à un espace cosimplicial fibrant pointé. Applications: Suite spectrale de Bousfield-Kan, suite spectrale d’Eilenberg-Moore, suite de Mayer-Vietoris homotopique. (G.Gaudens, 3 exposés)

3. Homotopie dans la catégorie des espaces cocimpliciaux (L.Piriou, 2 exposés) 4.Espaces R-bons, R-mauvais, R-complets. (G.Gaudens, 1 exposé)

5. Propriétés de connexité de la coplétion de Bousfield-Kan.(L.Piriou, 3 exposés)

II Suite spectrale d’Eilenberg-Moore

1. Construction topologique, et propriétés, calculs (K.Kuribayashi, 4 exposés).

2. Application au calcul de la cohomologie des tours de Postnikov à deux étages (F. Mathé, trois exposés).

3. Espaces nilpotents, Construction cosimpliciale de Rector de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore, théorème de convergence de Dwyer (G.Gaudens, 1 exposé).

III Complétions et localisations

1. Localisation à la Dror définitions et propriétés (Luc Menichi, trois exposés).

IV Autres exposés

1. Structures algébriques dans les suites spectrales de Bockstein.(M-E.Joint)

2. Opérations de Steenrod sur la cohomologie de hochschild (J-C.Thomas).

3. L’isomorphisme entre la K-Theorie stable, et l’homologie de MacLane (V.Franjou)

V Projet

Ceci nous fait un total de 26 exposés, et j’en oublie peut-être. On n’a pas chômé. Le projet pour l’année prochaine et d’étudier plus précisément les théories d’homologie de MacLane etc.

d’une part; et d’autre part, d’étudier les espaces de lacets libres. (si j’ai bien compris!!)